精品解析：河南省安阳市文峰区第八中学2025-2026学年 上学期九年级第三次月考数学试卷

河南省安阳市文峰区第八中学2025－2026上学期九年级 第三次月考数学试卷 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题30分） 1. 下列函数中不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在4×4的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正弦值是（ ） A. 2 B. C. D. 5. 如图，，，，则的长是（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 20 6. 已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A. k＞0 B. 若图象上点的坐标分别是 M（﹣2，y1 ），N（﹣1，y2 ），则y1＞y2 C. y随x的增大而减小 D. 若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2 7. 如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形的面积比为（　　） A. 4：9 B. 2：5 C. 2：7 D. 2：3 8. 如图，为直径，弦，垂足为点E，若的半径为13，，则长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC是等边三角形，AB=4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知是关于的一元二次方程的解，则______． 12. 将抛物线向左平移4个单位长度，平移后抛物线的解析式为________． 13. 如图，E为菱形的对角线上一点，以E为圆心的圆弧恰好经过点A，B，C．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 14. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图像交于点B，则________． 15. 如图，在中，，，将线段绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当点在的边上时，恰好，则点到直线的距离为 ____． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 已知关于x的一元二次方程的两根分别为 （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 18. 某中学要求学生全员参与社团活动，为了有序开展好此项工作，学校对学生最喜欢的社团类别进行了调查，设置了文化艺术类、科技创新类、社会实践类、兴趣爱好类（以下分别用，，、表示）四大类，对部分学生进行了抽样调查（每名学生只能选择一个类别），并将调查情况绘制如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次参加抽样调查的学生有__________，扇形统计图中部分圆心角的度数为__________； （2）将条形统计图补充完整； （3）甲、乙两位同学对，、三种类别的喜欢程度都差不多，这两位同学决定在这三种类别中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选到同一类别的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集： （3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 20. 如图，学校一幢教学楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌，已知米．小宏在点测得点的仰角为，再向教学楼前进米到达点，测得点的仰角为．若小宏的身高米，不考虑其它因素，求教学楼的高度．（结果精确到米）．（参考数据：，，） 21. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当，且时，y的最大值和最小值分别为m，n，且，求k的值． 22. 如图，在中，，以为直径作，交于点，作交延长线于点，过点B作的切线，交于点E． （1）证明：； （2）若的半径为５，，求的长． 23. 如图1，在中，，点D、E分别在边、上，，，． （1）线段与之间的数量关系是 ； （2）如图 2，若绕点A旋转，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？ 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）绕点 A 旋转至，且，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省安阳市文峰区第八中学2025－2026上学期九年级 第三次月考数学试卷 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题30分） 1. 下列函数中不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的概念进行判断即可． 【详解】解：∵形如是y关于x的反比例函数，也可表示为或， ∴A、B、C中，，均为反比例函数，不符合题意； D中，是正比例函数，不是反比例函数，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的表达式．解题的关键在于掌握反比例函数表达式的形式． 2. 将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是，常数项是的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为；根据题意确定出所求方程即可． 【详解】，可化为，其二次项系数是2，一次项系数是，常数项是， 故选：B． 3. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，依据题意，由抛物线为，从而开口向上，对称轴是轴，结合抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，进而可以判断得解．掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线为， ∴该抛物线的图像开口向上，对称轴是轴， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ∵， ∴． 故选：C． 4. 如图，在4×4的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正弦值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理可得， ∴， ∴是直角三角形， ∴ 故选：B． 5. 如图，，，，则的长是（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．由平行线分线段成比例定理得，即可得出结论． 【详解】， ， 即， 解得：， 故选择：B 6. 已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A. k＞0 B. 若图象上点的坐标分别是 M（﹣2，y1 ），N（﹣1，y2 ），则y1＞y2 C. y随x的增大而减小 D. 若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】由图象可得，随增大而增大，由反比例函数系数的几何意义可得矩形面积与的关系，进而求解． 【详解】解：A、反比例函数图象在第二象限， ，选项A错误． B、时，随增大而增大， ，选项B错误． C、时，随增大而增大，选项C错误． D、由反比例函数系数的几何意义可得矩形面积为， ，选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数系数的几何意义． 7. 如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形的面积比为（　　） A. 4：9 B. 2：5 C. 2：7 D. 2：3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答． 【详解】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形，， ， 四边形与四边形的面积比为：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，解题的关键是掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质． 8. 如图，为直径，弦，垂足为点E，若的半径为13，，则长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，垂径定理得到，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵为直径，弦， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 9. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：B． 10. 如图，△ABC是等边三角形，AB=4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，设DM＝x，则CM＝x，由旋转的性质易得△EDM≌△FEN，然后分D在BC上时和D在BC的延长线上时，分别通过勾股定理计算出AF2，然后利用二次函数的最值解答. 【详解】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N， 设DM＝x， 在Rt△CDM中，CM＝DM＝x， ∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF， ∴ED＝EF，∠DEF＝90°，易得△EDM≌△FEN， 当D在BC上时，如图1，DM＝EN＝x，EM＝NF＝2−x， 在Rt△AFN中，AF2＝(2−x) 2＋(2+x)2＝， 当D在BC的延长线上时，如图2，DM＝EN＝x，EM＝NF＝x＋2， 在Rt△AFN中，AF2＝(x+2) 2＋(2-x)2＝， 当x＝时，AF2有最小值， ∵＞ ∴AF的最小值为：， 故选D. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数的最值以及旋转的性质等，涉及知识点较多，较为复杂，正确的作出辅助线并分类讨论是解题关键. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知是关于的一元二次方程的解，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先把代入得即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：把代入， 得：， ∴ 故答案为：． 12. 将抛物线向左平移4个单位长度，平移后抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移4个单位长度，新解析式为． 故答案为：． 13. 如图，E为菱形的对角线上一点，以E为圆心的圆弧恰好经过点A，B，C．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，扇形面积的计算．连接，设与相交于点，根据求解即可． 【详解】解：连接，设与相交于点，如图所示． 在菱形中，， ． ． 恰好经过点，， ． ．则 ． ． ． ． 14. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图像交于点B，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角形相似的判定和性质，角的正切等知识点，数形结合是解题的关键．过作轴于，过作轴于，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于， ， ， ， ， ，即， （负值舍去）， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，将线段绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当点在的边上时，恰好，则点到直线的距离为 ____． 【答案】或 【解析】 【分析】由四边形为平行四边形，可得，由题意知，分在上，在上两种情况求解：①当在上，如图①，过点作于点，由旋转的性质可得，证明为等边三角形，则，根据，计算求解即可；②当在上时，如图②，连接，过点作于点，则为等边三角形，，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 由题意知，分在上，在上两种情况求解： ①当在上，如图①，过点作于点， 由旋转的性质可得， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ②当在上时，如图②，连接，过点作于点， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点到直线的距离为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等边对等角，正弦的含义．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先把三角函数值代入，再按实数混合运算法则计算即可； （2）先将方程化简厉一般式，再运用公式法求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）化简整理，得 ，，， ∴ ∴ ∴，． 【点睛】本题考查三角函数混合运算，解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值和掌握用公式法求解一元二次方程是解题的关键． 17. 已知关于x的一元二次方程的两根分别为 （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意原方程有两个实数根，则，据此求解即可； （2）由根与系数的关系可得，则可推出，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意， ∴． 18. 某中学要求学生全员参与社团活动，为了有序开展好此项工作，学校对学生最喜欢的社团类别进行了调查，设置了文化艺术类、科技创新类、社会实践类、兴趣爱好类（以下分别用，，、表示）四大类，对部分学生进行了抽样调查（每名学生只能选择一个类别），并将调查情况绘制如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次参加抽样调查的学生有__________，扇形统计图中部分圆心角的度数为__________； （2）将条形统计图补充完整； （3）甲、乙两位同学对，、三种类别的喜欢程度都差不多，这两位同学决定在这三种类别中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选到同一类别的概率． 【答案】（1）600， （2） 如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，也考查了统计图． （1）由B类型人数及其所占百分比可得总人数，用乘以A类型人数所占比例即可； （2）根据四个类型人数之和等于总人数求出C对应人数，从而补全图形； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：总人数（人）， 扇形统计图中A部分圆心角的度数为， 故答案为：600，； 【小问2详解】 解：C类型人数为（人）； 【小问3详解】 解：列表如下： B C D B C D 由表知，共有9种等可能结果，其中两位同学选到同一类别的有3种结果， 所以两位同学选到同一类别的概率为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集： （3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可反比例函数的解析式； （2）求出点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出，再根据求出，即可求出． 【小问1详解】 解：把点代入直线得：， 直线， 即一次函数的解析式为， 把点代入，得 ， 即反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把点代入，得， ∴， ∵， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：把代入得：， 即点的坐标为：， ， ， ， ， 当点的纵坐标为3时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数解析式，利用图象法求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点，三角形面积，数形结合是解题关键． 20. 如图，学校一幢教学楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌，已知米．小宏在点测得点的仰角为，再向教学楼前进米到达点，测得点的仰角为．若小宏的身高米，不考虑其它因素，求教学楼的高度．（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】28.8 【解析】 【详解】试题分析：过作于点，解直角三角形即可. 试题解析： 设教学楼高米， 过作于点，则（米），（米）， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 在中， 即， 解得． 21. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当，且时，y的最大值和最小值分别为m，n，且，求k的值． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）4． 【解析】 【分析】（1）把C点坐标代入y＝x2+2ax+3a中求出a得到抛物线解析式； （2）利用配方法得到y＝（x﹣1）2﹣4，则对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y有最小值﹣4，由于当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n，所以n＝﹣4，则m＝5，计算y＝5所对应的自变量的值，从而得到k的值． 【小问1详解】 解：把C（0，﹣3）代入y＝x2+2ax+3a得3a＝﹣3， 解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3； 【小问2详解】 解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1，如图， 当x＝1时，y有最小值﹣4， ∵当0＜x≤k，且k＞1时，y的最大值和最小值分别为m，n， ∴n＝﹣4， 而m+n＝1， ∴m＝5， 当y＝5时，（x﹣1）2﹣4＝5， 解得x1＝﹣2（舍去），x2＝4， ∴k＝4． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 22. 如图，在中，，以为直径作，交于点，作交延长线于点，过点B作的切线，交于点E． （1）证明：； （2）若的半径为５，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵CD⊥AC， ∴∠A+∠D=90°， ∵BE与切于点B， ∴CB⊥BE， ∴∠CBA+∠EBD=90°， ∵AC=BC， ∴∠A=∠CBA， ∴∠EBD=∠D， ∴BE=DE； （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质及CD⊥AC，得出∠A+∠D=90°，∠CBA+∠EBD=90°，由AC=BC，得出∠A=∠CBA，进而得出∠EBD=∠D，即可证明BE=DE； （2）连接MB，由已知及圆周角定理求出BC，MC，MB的长度，进而证明△BMC∽△CBE，利用相似三角形的性质求出BE的长度，即可得出DE的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶如图，连接MB， ∵BC是的直径，的半径为5， ∴BM⊥AC，BC=AC=2×5=10， ∵AM=4， ∴MC=AC-AM=10-4=6， ∴， ∵AC⊥CD， ∴， ∴∠MBC=∠BCE， ∵∠BMC=∠CBE=90°， ∴△BMC∽△CBE， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 23. 如图1，在中，，点D、E分别在边、上，，，． （1）线段与之间的数量关系是 ； （2）如图 2，若绕点A旋转，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？ 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）绕点 A 旋转至，且，求线段的长． 【答案】（1）； （2） 解：成立，理由如下： ∵， ∴，即． ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， 即； （3）3或． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，则，可证得，得，则，由平行线分线段成比例即可证得答案； （2）先证明，再由，，可证得，即可证明，再利用其性质即可证明； （3）分在上方和下方两种情况作出图形，分别讨论，证明四边形是平行四边形，先求出的长度，再由（2）可知，即可求解， 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，则， ∴， ∴，则， ∴，则， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①如图3，在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ②同①四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，长3或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $