精品解析：重庆市凤鸣山中学教共体2025-2026学年九年级上学期12月段性消化作业（二）数学试题

重庆市凤中教共体学体2025−2026学年度上期 初2026级数学阶段性消化作业（二） 考试说明：1．时间：120分钟；2．总分150分 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数． 根据无理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是有理数； B．是有理数； C．π是无理数，是无理数； D．是分数，有理数． 故选：C． 2. 下面的气象图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； B．该图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意； C．该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D．该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：B． 3. 反比例函数图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数上点的特征，判断点是否在函数图象上是解题的关键． 根据反比例函数的图象经过的点满足，因此计算各选项点的坐标判断是否在反比例函数的图象上即可． 【详解】解：对于A：当时，，∴在反比例函数的图象上，∴符合题意； 对于B：当时，，∴不在反比例函数的图象上，∴不符合题意； 对于C：当时，，∴不在反比例函数的图象上，∴不符合题意； 对于D：当时，，∴不在反比例函数的图象上，∴不符合题意； 故选：A． 4. 如图，直线，直线分别与直线，交于点E和F，P为直线上一点且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的性质，由等腰三角形得到，然后由平行得到，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∵与的面积比为， ∴与的相似比，即， ∴，即， 故选：B． 6. 如图，用同样大小的黑色圆点按规律拼图案，其中第①个图案中有7个圆点，第②个图案中有10个圆点，第③个图案中有13个圆点，…，按此规律，则第⑫个图案中，黑色圆点的个数是（ ） A. 30 B. 33 C. 37 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是得到图形的一般规律；由题意易得第个图案中有个圆点，然后代入进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有7个圆点，第②个图案中有个圆点，第③个图案中有个圆点，…， ∴第个图案中有个圆点， ∴第⑫个图案中，黑色圆点的个数是（个）； 故选D． 7. 估计的值应在（ ） A. 8到9之间 B. 7到8之间 C. 6到7之间 D. 5到6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数取值范围的估计，判断无理数在有理数之间的范围是解题的关键．首先通过估算的近似值，再确定的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则， ∴估计的值应在6到7之间． 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得，于是得到，根据特殊角三角函数，得到，根据扇形面积公式计算即可． 本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数，扇形面积公式，熟练掌握三角函数，扇形面积是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 由矩形， 得， 故， 故， ， 故阴影部分的面积为：， 故选：A． 9. 如图，在正方形中，点M为边上一点，，连接，延长交于点N，点F为边上一点，过点C作交于点E，作于点H，交于点G．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 连接，证明，得，，证明，得到，继而求得，，，根据，得到，解答即可． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故， 故选：B． 10. 已知：，其中为自然数，，，，⋯，，为整数，且，下列说法： ①若，； ②若，且，则满足条件的二次三项式有个； ③若，且与有相同的非零实数根，则． 其中正确的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式的基本运算、整数的取值分析、方程的根的性质．对每个说法逐一分析，结合多项式的定义、运算规则、整数的取值范围、方程根的代换等知识进行验证；注意题目中“整数”“非零实数根”等限制条件，避免遗漏或错误推导，是解题的关键． 说法①通过直接计算的值验证； 说法②需找出满足且的二次三项式，计算个数； 说法③利用共同非零实根条件推导与的关系． 【详解】解：①∵， ∴，①正确； ②设，满足，且，即， ∵，且，，均为非零整数， ∴可能情况为，，或，，， 每种情况下，，符号独立，各有种选择，故有个，②正确； ③设，共同非零实根为， 则，， 两式相减得， ∵， ∴， 代入第一式得，即， ∴，③正确． 故选： 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 秋冬季节是流感的高发季节，科学研究表明流感病毒的直径约为米，正规医用口罩可以有效防止这些病毒进入我们的呼吸系统，用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．利用科学记数法的表示方法正确确定的值以及的值即可． 【详解】解：原数，将小数点向右移动位得到，因此指数为，故表示为． 故答案为：． 12. 四张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字2，3，4，5，将它们背面朝上，洗匀后先随机抽取一张，得到的牌面数字记为a，然后不放回，继续抽取第二张，得到的牌面数字记为b，则的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： a b 2 3 4 5 2 3 4 5 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中的结果数有和，共2种， ∴的概率是， 故答案为：． 13. 若a，b为实数，且同时满足，，则为______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题考查了解绝对值方程，代数式求值． 通过解绝对值方程，得到a和b的值，再计算b的a次方． 【详解】解：由，得， 代入，得， 即， 当时，，矛盾； 当时，，则， 解得； 代入，得， 故． 故答案为：． 14. 某正多边形的一个内角的度数是它一个外角的度数的三倍，则这个正多边形的内角和为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和，掌握正多边形的每一个外角都相等是解题的关键．设这个正多边形的一个外角的度数为度，则一个内角的度数为度，根据内角与外角互补的关系列方程求解，再计算边数，最后利用多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的一个外角的度数为度，则一个内角的度数为度． 由内角与外角互补，得，解得， 一个外角度数为度， 正多边形的边数． 这个正多边形的内角和为． 故答案为：． 15. 如图，平行四边形的三个顶点B，C，D在上，线段为直径，连接，与相交于点E，已知，，则______；延长交于点H，连接，若，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过O作于P，连接、，根据垂径定理和等腰三角形的性质，结合圆周角定理得到，，根据已知及正弦定义求得，进而可求得；过B作于Q，连接、，先利用圆周角定理和等腰三角形的性质求得，，，利用锐角三角函数求得，然后利用平行四边形的性质推导出，利用相似三角形的性质求得，进而在中，利用勾股定理可求得． 【详解】解：过O作于P，连接、， 则，， ∴， 又∵， ∴， ∵，线段为直径， ∴，， ∴， ∴； 过B作于Q，连接、， ∵，线段为直径， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， 则， 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 16. 如果一个四位自然数P各数位上的数字不完全相同且均不为零，将这个四位自然数P的千位数字和百位数字互换，十位数字和个位数字互换，得到一个新的四位自然数Q，规定；将这个四位数P的个位数字放到千位数字的左边，组成一个新的四位数R，再将R的左边两位数字不交换顺序一起放到个位的右边，组成一个新的四位数S，规定．若四位数，则______．若四位数（，，x，y为整数），满足，则满足条件的所有B的和为______． 【答案】 ①. ②. 15048 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减的应用、因式分解的应用、解二元一次方程组，理解题意，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 对于，根据定义计算和，然后求差．对于，通过数字关系得到B的各位数字表达式，代入给定方程，利用因式分解求解x和y，再求B的值并求和． 【详解】解：若四位数，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四位数（，，x，y为整数）， ∴， ∴B各位数字为， ∵数位上的数字均不为零， ∴， 解得：， ∴Q的各位数字为， ∴， ∴， ∴R的各位数字为， S的各位数字为， ∴， ， ∴， 代入方程，， 得， 化简得， ∵，，，且均为正整数， ∴，，且均为整数， ∴或， 解得：或． 则B值为6633和8415，和为． 故答案为：，15048． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题和18题每题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】解集：，整数和：9 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，有理数的加法，熟练掌握该知识点是解题的关键． 分别解不等式、，求出一元一次不等式组的解集，从而得到一元一次不等式组的整数解，相加即可． 【详解】解： 解不等式，， ； 解不等式，， ； 此不等式组的解集为， 整数解为：，0，1，2，3，4， 整数解的和：． 18. 如图，四边形是矩形，连接． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点，连接（保留作图痕迹，不写做法）． （2）已知：在矩形中，为的垂直平分线，求证：四边形为菱形．证明：四边形是矩形 ∴① ∵为的垂直平分线， ∴且② ∴在和中 ∴ ∴③ 又∵ ∴．四边形是平行四边形又∵④ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，准确作图和证明是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图步骤进行作图即可； （2）由为的垂直平分线得到且，证明，得到，由得到四边形是平行四边形，又由即可证明平行四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图即为所求， 【小问2详解】 证明：四边形是矩形 ∴ ∴ ∵为的垂直平分线， ∴且 ∴在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴．四边形是平行四边形 又∵ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：，，， 19. 先化简，再求值， 其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数值和分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 先根据分式的混合运算法则进行计算，再求出的值，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， ， 当时，原式． 20. 某中学组织全校学生参加国家安全知识学习，现让八年级和九年级的学生参加安全知识竞赛，再从中各随机选出20名同学的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：65，74，75，78，78，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 九年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：86，87，83，81，87，82，89． 八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表 学生 平均数 中位数 众数 八年级 85 86 b 九年级 85 a 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级在此次安全知识竞赛中的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有670名学生、九年级有800名学生，请估计该校八、九年级参加此次知识竞赛成绩不低于90分的学生共有多少人？ 【答案】（1），， （2）九年级安全知识竞赛成绩较好，理由见解析 （3）481人 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，样本估计总体，利用中位数作决策，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中位数的定义，得九年级成绩的中位数排在第名和第名，再分析C组中的成绩，即可得，然后根据众数的定义进行分析，即可作答． （2）利用中位数作决策，即可作答． （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，九年级一共抽取20名学生进行调查， ∴中位数排在第名和第名（按低分到高分），且， ∵九年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：86，87，83，81，87，82，89． ∴排序C组中的成绩（按低分到高分）为81，82，83，86，87，87，89． ∴第名和第名是86，87， ∴． 则 ∴． 观察八年级20名学生的竞赛成绩，其中分出现次数最多， ∴， 【小问2详解】 解：九年级安全知识竞赛成绩较好． 理由如下：在八、九年级的成绩的平均数相等的情况下，八年级安全知识竞赛成绩的中位数为86，九年级安全知识竞赛成绩中位数为， ∵， ∴九年级安全知识竞赛成绩较好． 【小问3详解】 解：依题意，（人） 答：估计该校八、九年级参加此次知识竞赛成绩不低于90分的学生人数共481人． 21. 列方程（组）或不等式（组）解决问题． 2025年五一期间，重庆荣昌成为了全国热门旅游城市，荣昌卤鹅也渐渐成为了游客们的美食首选，卤鹅可分为酱香和麻辣两种口味．某卤鹅专卖店第一次购进了酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅共40只，酱香味卤鹅每只进价18元，麻辣味卤鹅每只进价21元，酱香味卤鹅每只售价23元，麻辣味卤鹅每只售价25元． （1）若该店第一次购进两种卤鹅共花了774元，则购进酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅各多少只？ （2）第一批卤鹅销售完毕，该店又购进了第二批，第二批两种卤鹅每只的进价不变，购进的两种卤鹅数量相同．每只酱香味卤鹅的售价在第一次的基础上涨了元，每只麻辣味卤鹅的售价在第一次的基础上降低了m元，当第二批进货全部买完后，统计出第二批酱香味卤鹅获得160元的利润，第二批麻辣味卤鹅获得40元的利润，求m的值． 【答案】（1）购进酱香味卤鹅只，麻辣味卤鹅只 （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）设购进酱香味卤鹅只，麻辣味卤鹅只，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）以购进两种卤鹅的数量相同作为等量关系列分式方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：设购进酱香味卤鹅只，麻辣味卤鹅只， 由题意可得：， 解得：， ∴购进酱香味卤鹅只，麻辣味卤鹅只； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故的值为． 22. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，动点F从点D出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，过点F作交线段AC于点E，连接，，设点F的运动时间为x秒（），的长度为，的面积记为，的面积记为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）当，随x增大而减小，当，随x增大而增大；图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，列函数表达式，画函数图象，根据图象求不等式的解集，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据菱形的性质求出相关线段的长度，确定自变量的取值范围，然后分情况进行求函数表达式即可； （2）利用描点法画出函数的图象即可； （3）根据函数图象及其交点可得不等式的解集． 小问1详解】 解：由题意可得， ∵菱形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，点在线段上，此时，； 当时，点在线段上，此时，； 综上所述，； ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，，此点为空心圆； 当时，，此点为空心圆； 当时，； 根据两点确定一条直线，画出图象即可； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，此点为空心圆； 用一条平滑的曲线画出图象即可； 作图： 当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大； 【小问3详解】 解：根据函数图象可得，当时，， 当时，． 23. 2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行900米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） （1）求的长度．（结果保留根号） （2）若小陈步行的平均速度为100米/分，爸爸步行速度为90米/分，购买充气棒的时间是5分钟，取票时间是10分钟，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 【答案】（1）米 （2）爸爸先到达 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是理解题意． （1）作于点H，由题意得，，然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知：（米），然后可得（米），再分别求出小陈和爸爸到达体育场D处的时间，比较二者的大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，作于点H， 由题意得，，， ∴， 在中，（米）， ∴米， 在中，（米）， 答：的长度为米． 【小问2详解】 解：在中，（米）， ∴（米）， 在中，（米）， （米）， （分） （分） ∵， ∴爸爸先到达体育场D处． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，已知，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段上方抛物线上的一动点，连接，，点，为轴上的两个动点（点在点的左侧），且，连接，．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）符合条件的点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）过作轴交于，先求出直线表达式，设，则，即可求得，进一步可求得点的坐标；再根据轴对称的性质，作点关于轴对称点，则，将向右平移个单位长度至点，则， 当，，三点共线时，取最小值，即取最小值，即可求解； （3）先求出平移后抛物线的解析式，然后求出，再分两种情况讨论：情况1：当在上方时，设与轴交于点，先求直线的表达式，再求直线与平移后的抛物线的交点坐标即可；情况2：当在下方时，同理可求直线的表达式及直线与平移后的抛物线的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：将，代入得 ， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ， 设直线表达式为， 将，代入得， 解得， 直线表达式为， 如图，过作轴交于， 设，则， ， ， ， 抛物线开口向下，其对称轴是直线，且， 当时，取最大值．此时的坐标为， 作点关于轴对称点，则， 将向右平移个单位长度至点，则， 当，，三点共线时，取最小值，即取最小值， 的最小值为； 【小问3详解】 解：在上截取，过点作于点， ，， ，， ， ， ，， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，相当于将该抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位， 抛物线平移后的解析式为， 过点作轴于点， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 情况1：如图，当在上方时，设与轴交于点， ， ， ， ， ， ， ， 设直线表达式为， 将，代入得， 解得， 直线表达式为， 令， 解得或（舍去）， 当时，， ； 情况2：如图，当在下方时，同理可得， 同理也可求得直线表达式为， 令， 解得或（舍去）， 当时，， ； 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解直角三角形，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与三角形面积的综合问题，两点之间线段最短，二次函数与角相关的综合问题，利用数形结合思想和分类讨论思想解题是关键． 25. 如图所示，在中，，点H是边上一点，将线段绕着D点逆时针旋转，得到线段，连接，，． （1）如图1，延长交于点E，当点P在线段上时，连接，若为的角平分线，，求的度数； （2）如图2，当点P在线段上时，连接，，若为的角平分线，，求证：； （3）如图3，点P为内一点，连接，，且，过点P作于点M，于点N，连接，若，，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，，得到，由，得到，进而求得、和的度数，则的度数可求得； （2）在上截取，连接，过点P作于点F．由，，得到，所以可得，，，四点共圆，则 ，，结合为角平分线，得到，所以，可推得，所以推得对应边、对应角相等，进一步推得是等腰三角形，利用三线合一的性质可得．接着证明，可得，根据，，所以，即可推得结论； （3）根据，，求得，，的长，作的外接圆O，连接，，过点O作于点E，根据，， 求得的长，推出，．根据，推得，从而求得的长．当P是与O的交点时，的值最小，由，，推出，，，四点共圆，由正弦定理得，利用求得，即可求得结果． 【小问1详解】 解：，， ． ， ， ， ． 为的角平分线， ， ． 【小问2详解】 证明：在上截取，连接，过点P作于点F，设与交于点O． ，， ， ，，，四点共圆， ∵， ，． 为的角平分线， ， ， ． ，， ， ，． ， ． ，，， ． ，， ， ， ； 【小问3详解】 解析：，， ， ． 作的外接圆O，连接，，过点O作于点E，如图， ，， ，， ． ， ． 作中点Q， ． ， ， ， ， ． 当P是与O的交点时，的值最小，， ，， ，，，四点共圆， 由正弦定理得， ． ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转性质，角平分线的性质，解直角三角形，圆的综合，三角形全等，等腰直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市凤中教共体学体2025−2026学年度上期 初2026级数学阶段性消化作业（二） 考试说明：1．时间：120分钟；2．总分150分 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下面的气象图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线分别与直线，交于点E和F，P为直线上一点且．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 5. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　 　） A. B. C. D. 6. 如图，用同样大小的黑色圆点按规律拼图案，其中第①个图案中有7个圆点，第②个图案中有10个圆点，第③个图案中有13个圆点，…，按此规律，则第⑫个图案中，黑色圆点的个数是（ ） A. 30 B. 33 C. 37 D. 40 7. 估计的值应在（ ） A. 8到9之间 B. 7到8之间 C. 6到7之间 D. 5到6之间 8. 如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点M为边上一点，，连接，延长交于点N，点F为边上一点，过点C作交于点E，作于点H，交于点G．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 10. 已知：，其中为自然数，，，，⋯，，为整数，且，下列说法： ①若，； ②若，且，则满足条件的二次三项式有个； ③若，且与有相同的非零实数根，则． 其中正确的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 秋冬季节是流感的高发季节，科学研究表明流感病毒的直径约为米，正规医用口罩可以有效防止这些病毒进入我们的呼吸系统，用科学记数法表示为______． 12. 四张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字2，3，4，5，将它们背面朝上，洗匀后先随机抽取一张，得到的牌面数字记为a，然后不放回，继续抽取第二张，得到的牌面数字记为b，则的概率是______． 13. 若a，b为实数，且同时满足，，则为______． 14. 某正多边形的一个内角的度数是它一个外角的度数的三倍，则这个正多边形的内角和为______度． 15. 如图，平行四边形的三个顶点B，C，D在上，线段为直径，连接，与相交于点E，已知，，则______；延长交于点H，连接，若，则的长为______． 16. 如果一个四位自然数P各数位上的数字不完全相同且均不为零，将这个四位自然数P的千位数字和百位数字互换，十位数字和个位数字互换，得到一个新的四位自然数Q，规定；将这个四位数P的个位数字放到千位数字的左边，组成一个新的四位数R，再将R的左边两位数字不交换顺序一起放到个位的右边，组成一个新的四位数S，规定．若四位数，则______．若四位数（，，x，y为整数），满足，则满足条件的所有B的和为______． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题和18题每题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 18. 如图，四边形是矩形，连接． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点，连接（保留作图痕迹，不写做法）． （2）已知：在矩形中，为的垂直平分线，求证：四边形为菱形．证明：四边形是矩形 ∴① ∵为的垂直平分线， ∴且② ∴在和中 ∴ ∴③ 又∵ ∴．四边形是平行四边形又∵④ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 19 先化简，再求值， 其中． 20. 某中学组织全校学生参加国家安全知识学习，现让八年级和九年级的学生参加安全知识竞赛，再从中各随机选出20名同学的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：65，74，75，78，78，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 九年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：86，87，83，81，87，82，89． 八、九年级所抽取学生竞赛成绩统计表 学生 平均数 中位数 众数 八年级 85 86 b 九年级 85 a 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级在此次安全知识竞赛中的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有670名学生、九年级有800名学生，请估计该校八、九年级参加此次知识竞赛成绩不低于90分的学生共有多少人？ 21. 列方程（组）或不等式（组）解决问题． 2025年五一期间，重庆荣昌成为了全国热门旅游城市，荣昌卤鹅也渐渐成为了游客们的美食首选，卤鹅可分为酱香和麻辣两种口味．某卤鹅专卖店第一次购进了酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅共40只，酱香味卤鹅每只进价18元，麻辣味卤鹅每只进价21元，酱香味卤鹅每只售价23元，麻辣味卤鹅每只售价25元． （1）若该店第一次购进两种卤鹅共花了774元，则购进酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅各多少只？ （2）第一批卤鹅销售完毕，该店又购进了第二批，第二批两种卤鹅每只的进价不变，购进的两种卤鹅数量相同．每只酱香味卤鹅的售价在第一次的基础上涨了元，每只麻辣味卤鹅的售价在第一次的基础上降低了m元，当第二批进货全部买完后，统计出第二批酱香味卤鹅获得160元的利润，第二批麻辣味卤鹅获得40元的利润，求m的值． 22. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，动点F从点D出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，过点F作交线段AC于点E，连接，，设点F的运动时间为x秒（），的长度为，的面积记为，的面积记为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行900米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） （1）求长度．（结果保留根号） （2）若小陈步行平均速度为100米/分，爸爸步行速度为90米/分，购买充气棒的时间是5分钟，取票时间是10分钟，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，已知，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段上方抛物线上的一动点，连接，，点，为轴上的两个动点（点在点的左侧），且，连接，．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 25. 如图所示，在中，，点H是边上一点，将线段绕着D点逆时针旋转，得到线段，连接，，． （1）如图1，延长交于点E，当点P在线段上时，连接，若为的角平分线，，求的度数； （2）如图2，当点P在线段上时，连接，，若为的角平分线，，求证：； （3）如图3，点P为内一点，连接，，且，过点P作于点M，于点N，连接，若，，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $