精品解析：山西省吕梁市汾阳市2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期八年级第二次月考试题 数学 说明： 1、本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 2、请注意书写认真，字迹工整，答题规范，卷面整洁． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均给出四个备选答案，请将符合题意选项的字母代号，填写在下面方格内） 1. 人们常说：“地下文明看陕西，地上文明看山西．”山西素有“三晋古建甲天下”之称，以下是山西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，点A是直线l上一点，以直线外一点O为圆心，长为半径画弧，交直线l另一点于B，若，则的长不可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列变形正确是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知点在同一条直线上，，，添加下列条件后能证明的是（ ） A. B. C. D. 6. 若且，则式子值等于（ ） A. B. C. D. 7. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成Ⅰ和Ⅱ两部分，I和Ⅱ可以拼成一个长方形，此操作过程能验证的公式是（ ） A. B. C. D. 9. 在四边形中，，的平分线与交于点，连接，恰好，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 10. 如图，小杰想测量旗杆的高度，他站在点处，利用无人机在点处测得，当小杰走到点位置时，测得，若米，米，旗杆与地面垂直，则旗杆顶端与小杰的初始位置之间的距离为（ ） A. 8米 B. 9米 C. 10米 D. 11米 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若的值为零，则的值为________． 12. 蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为，若点P的坐标为，则点的坐标为______． 13. 已知一个三角形的面积为，一条边长为，则这条边上的高为________ 14. 如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，分别交，于点，，若，，则________． 15. 如图，同学们将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点A的直线折叠该纸片，使点C的对应点落在边上，折痕与边交于点D，展开后连接；再沿过点D的直线折叠该纸片，使点C的对应点落在边上，折痕交边于点E．若，，则的面积为_________． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）因式分解： 17. 阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值： ，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务一： ①第一步运算中用到的乘法公式为________（用含字母，的式子表示） ②以上步骤第________步出现了错误，错误的具体原因是________________________________ 任务二：请写出正确的解答过程． 任务三：请根据平时的学习经验，就整式化简注意事项给同学们提出一条建议． 18. 如图，在中，是边上的高，平分．若，．求：的度数． 19. 如图，，平分，交于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的基础上，延长交于点，求证：． 20. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 整体思想 整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看做一个整体，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化．下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想． 例：把因式分解． 解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 任务： （1）材料中对多项式因式分解结果不彻底，其因式分解的正确结果为______． （2）请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题 ①将多项式因式分解； ②已知，，求的值． 21. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2的面积关系，写出正确的等式__________； （2）若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片6张，B号卡片__________张，C号卡片__________张； （3）正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中两个阴影三角形面积和． 22. 综合与探究 问题情境： 在数学课上，老师给出了如下情境：如图1，是等边三角形，点是边中点，点是直线上任意一点，连接，以为边向右侧作等边三角形，连接，直线与直线交于点．试探究线段与的数量关系及的大小． 数学思考： （1）如图1，当点在线段上时， 请直接写出：①与的数量关系________； ②________ 深入探究： （2）①如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； ②在①的基础上，探究线段，，的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图3，当点在线段的延长线上时，直接写出线段，，的数量关系．无需证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级第二次月考试题 数学 说明： 1、本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 2、请注意书写认真，字迹工整，答题规范，卷面整洁． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均给出四个备选答案，请将符合题意选项的字母代号，填写在下面方格内） 1. 人们常说：“地下文明看陕西，地上文明看山西．”山西素有“三晋古建甲天下”之称，以下是山西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：第1、2、4个图可以找到一条直线使直线两旁的部分能够互相重合， 即是轴对称图形的有3个， 故选：C． 2. 如图，点A是直线l上一点，以直线外一点O为圆心，长为半径画弧，交直线l另一点于B，若，则的长不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形构成条件，根据和即可求得的范围． 【详解】解：由题意得，点O、A和B构成三角形， 则， ∵， ∴， 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，熟练掌握其运算的法则是解答本题的关键． 根据同底数幂相乘，幂乘方，积的乘方，同底数幂相除的运算法则，分析每一个选项，只有选项符合题意，由此选出答案． 【详解】解：根据题意得： 选项中，，故本选项不正确，不符合题意； 选项中，，故本选项不正确，不符合题意； 选项中，，故本选项不正确，不符合题意； 选项中，，故本选项正确，符合题意， 故选：． 4. 下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质一一判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 5. 如图，已知点在同一条直线上，，，添加下列条件后能证明的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知可得，再根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 、当时，， ∵，， ∴，该选项符合题意； 、当时，由两边及一边的对角不能证明，该选项不合题意； 、当时，，由两边及一边的对角不能证明，该选项不合题意； 、当时，由两边及一边的对角不能证明，该选项不合题意； 故选：． 6. 若且，则式子的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式化简求值，先将式子 展开，再把已知条件代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴原式， 故选：． 7. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 8. 如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成Ⅰ和Ⅱ两部分，I和Ⅱ可以拼成一个长方形，此操作过程能验证的公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查平方差公式的验证，两个正方形面积的差，构造一个长为，宽为的长方形，相同的面积用不同的表达式表示，从而可推导验证乘法公式中的平方差公式，解题的关键是根据图形找到等量关系． 【详解】解：由题意可知长方形面积为，大正方形减去小正方形后的面积为， ∴， 故选：． 9. 在四边形中，，的平分线与交于点，连接，恰好，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线判定与性质，平行线性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．延长交的延长线于点，根据是的角平分线，，可证，得到，，，结合，从而证明平分，，得到，，，可证选项A，最后由，可证选项D，综上无法证明选项B，即可得到答案． 【详解】解：延长交的延长线于点，如图 是的角平分线， ， ，， ， 平分，故C选项不符合题意； 又 ，，，故A选项不符合题意； ， ，故D选项不符合题意； 综上，无法得出B选项； 故选：B． 10. 如图，小杰想测量旗杆的高度，他站在点处，利用无人机在点处测得，当小杰走到点位置时，测得，若米，米，旗杆与地面垂直，则旗杆顶端与小杰的初始位置之间的距离为（ ） A. 8米 B. 9米 C. 10米 D. 11米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的锐角互余，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 先证明为等边三角形，然后推出，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若的值为零，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是熟练掌握分式的值为零的条件． 根据分式的值为零时，分子为零，且分母不等于零，直接解答即可． 【详解】解：∵的值为零， ∴，且， 即，且， ∴． 故答案为：． 12. 蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点P的对应点为，若点P的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的性质．根据关于y轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变解题即可． 【详解】解：点P的坐标为，则点的坐标为， 故答案为：． 13. 已知一个三角形的面积为，一条边长为，则这条边上的高为________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查多项式除以单项式，根据三角形的面积公式列出式子，然后进行计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的面积为，一条边长为， ∴这条边上的高为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，分别交，于点，，若，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】由尺规作图判断出是的垂直平分线，则，，进一步得到．由，结合三角形内角和定理，可证出，得到答案． 【详解】解：根据题意可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查垂直平分线的尺规作图，垂直平分线定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握好尺规作图的操作规范是解题关键． 15. 如图，同学们将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点A的直线折叠该纸片，使点C的对应点落在边上，折痕与边交于点D，展开后连接；再沿过点D的直线折叠该纸片，使点C的对应点落在边上，折痕交边于点E．若，，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，角平分线的性质，如图，过作于，先证明，，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， 由对折可得：，，， ∴， ∴的面积为： ， ∵， 的面积为：； 故答案为： 三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的乘法和因式分解： （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式； （2）结合提公因式法和公式法求解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 17. 阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值： ，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务一： ①第一步运算中用到的乘法公式为________（用含字母，的式子表示） ②以上步骤第________步出现了错误，错误的具体原因是________________________________ 任务二：请写出正确的解答过程． 任务三：请根据平时的学习经验，就整式化简注意事项给同学们提出一条建议． 【答案】任务一：①；②一 ，的展开式在去括号时符号错误；任务二：过程见解析；任务三：见解析． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，平方差公式和完全平方公式． 任务一：①根据完全平方公式即可得出答案；②根据去括号法则即可得出答案； 任务二：根据整式的混合运算顺序解答即可； 任务三：在使用乘法公式展开化简时要注意前面为负号时，展开后要记得先加括号 【详解】解：任务一：①第一步运算中用到的乘法公式为； ②以上步骤第一步出现了错误，错误的具体原因是：的展开式在去括号时符号错误； 故答案为：一 ；的展开式在去括号时符号错误； 任务二： ． 当，时，原式． 任务三：在使用乘法公式展开化简时要注意前面为负号时，展开后要记得先加括号（答案不唯一）． 18. 如图，在中，是边上的高，平分．若，．求：的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形的高的定义可得，进而可得，根据角平分线的定义可得，最后根据三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 在中，， ∵平分， ∴． ∴． 【点睛】本题考查三角形的角平分线、高，三角形外角的定义和性质，难度较小，解题的关键是掌握三角形角平分线和高的定义，牢记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 19. 如图，，平分，交于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的基础上，延长交于点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关的性质定理、正确推理论证是解题关键． （1）根据垂线的作法即可过作的垂线，垂足为； （2）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而可得，，然后根据等腰三角形三线合一的性质得到，再证明即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 证明：如图， 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 整体思想 整体思想是一种重要的数学思想，在解决数学问题时，将要解决的问题看做一个整体，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理，使复杂的问题简单化．下面通过对举一个例子来更好地理解整体思想． 例：把因式分解． 解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 任务： （1）材料中对多项式因式分解的结果不彻底，其因式分解的正确结果为______． （2）请类比材料中所给因式分解的解题过程，解决下面两道题 ①将多项式因式分解； ②已知，，求的值． 【答案】（1） （2）①，②25 【解析】 【分析】本题考查了因式分解及其应用，完全平方公式变形的应用； （1）将继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）①把“”看成一个整体，令，由（1）同理进行因式分解，即可求解； ②由题意得，，则根据即可求解． 【小问1详解】 解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． 故答案为：； 【小问2详解】 ①把“”看成一个整体，令． ； ②∵，， ∴， 则 ． 21. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2的面积关系，写出正确的等式__________； （2）若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片6张，B号卡片__________张，C号卡片__________张； （3）正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中两个阴影三角形面积和． 【答案】（1） （2）2，7 （3）8 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键． （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可求解； （2）先计算，再根据面积不变结合乘法的结果可得答案； （3）根据图形得到，，利用完全平方公式分别求得和即可求解． 【小问1详解】 解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为， ∴； 【小问2详解】 ∵ ， ∴要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片6张，B号卡片2张，C号卡片7张； 【小问3详解】 由题知：，， 则，则， ∴， ∴（负值舍去）， 图中阴影部分面积为：． 22. 综合与探究 问题情境： 在数学课上，老师给出了如下情境：如图1，是等边三角形，点是边的中点，点是直线上任意一点，连接，以为边向右侧作等边三角形，连接，直线与直线交于点．试探究线段与的数量关系及的大小． 数学思考： （1）如图1，当点在线段上时， 请直接写出：①与的数量关系________； ②________ 深入探究： （2）①如图2，当点在线段延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； ②在①的基础上，探究线段，，的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图3，当点在线段的延长线上时，直接写出线段，，的数量关系．无需证明． 【答案】（1）①；②60度；（2）（1）中的结论还成立，证明见解析；②，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质： （1）由“”证明，根据全等三角形的性质求解即可； （2）①由“”证明，则，，即可得出结论；②由（2）①得：，，，可得到，从而得到，即可得出结论； （3）由“”证明，则，，从而得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：①和是等边三角形， ，，， ，， ， ， ； 故答案：； ②点F是边的中点，是等边三角形， ，， 由①可知， ， ， ； 故答案为：； （2）解：①（1）中的结论还成立，理由如下： 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ，，即， 在和中 ， ， ，， ， ， ； ②由（2）①得：，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：和是等边三角形， ，，， ，， ， 在和中 ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $