重难点04 函数中整点、定点和定值问题（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学中考复习讲义聚焦函数整点、定点和定值问题，涵盖10种核心题型，按高频必考与创新趋势构建知识体系，通过“考点梳理-典例精析-分层训练”环节，帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于以新定义问题（如“对称函数”）培养创新意识，通过定值证明题发展推理能力，结合分层练习和真题训练，确保高效复习。教师可依托此资料精准把控节奏，提升学生数学思维与应考能力。

第三章 函数 重难点04 函数中整点，定点和定值问题 （10种题型汇总+专题训练） 目 录 01 重难攻坚👉破瓶颈·冲高分 1 02 分层攻坚👉验实效·夺高分 3 练透重难·固根基/解锁潜能·拓创新 题型1 函数中整点问题 题型2 面积定值 题型3 线段长为定值 题型4 线段和为定值 题型5 加权线段和定值 题型6 线段乘积为定值 题型7 面积比值为定值 题型8 线段长比值为定值 题型9 横(纵)坐标定值 题型10 定点问题 【命题预测】 整点 高频必考：二次函数指定区间内的整点个数统计；含参数函数过已知整点的参数求解。 创新趋势：函数图象与几何图形（三角形、四边形）重叠区域内的整点计数；含参数函数整点个数满足条件的参数范围。 定点问题 高频必考：含参数一次 / 二次函数的定点坐标求解；定点与函数图象位置关系分析。 创新趋势：函数经平移 / 旋转等几何变换后仍过定点的问题；多函数共定点的综合应用。 定值问题 高频必考：抛物线上动点与定点的线段比值 / 三角形面积定值；反比例函数中与k相关的面积定值。 创新趋势：跨函数（一次 + 反比例 / 二次）背景下的定值证明；几何变换后动点相关量（斜率、角度）的定值探究。 题型01 函数中整点问题 【典例1】（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)①5；② 【分析】（1）根据“关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数”，从而求出点和关于点的对称点，再用待定系数法求出函数关于点的“对称函数”； （2）分析函数解析式可知，函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的，从而得出函数的图象关于点中心对称； （3）①当时，：，：，联立 ，得交点横坐标，结合图形计算可得内的“整点”个数有5个； ②先得出的解析式为，在区域内找出关于点对称的点，得出过点和过时的值即可得答案． 【详解】（1）解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． （2）解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身． （3）解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：，： 联立，解得， 当时，，，有整点， 当时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ②∵的顶点为， ∴的解析式为， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，即和，和，和，和， 此时，当过时，满足题意，即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有个整点，如图， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，在前面个“整点”的基础上增加了、、及 个“整点”， 此时， 如图， 的取值范围是． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键． 【变式1】（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可； （2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可． 【详解】（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得， ∴一次函数与轴的交点为； 当时，，函数为二次函数， ∵， ∴ ， ∴当时，与轴总有交点， ∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点； （2）解：当时，不符合题意， 当时，对于函数， 令，则， ∴， ∴或 ∴或， ∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数， ∴或或或或或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去）， ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． (1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，1； (2)； (3)①，，共3个；②或． 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）利用对称轴公式以及y轴上点的坐标特征求得即可； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得出答案； （3）①根据图象即可求得； ②时，抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点，结合①即可得出；当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点，结合图象即可求得，从而求得如果区域W内恰有5个整点，则或 【详解】（1）解：二次函数， 对称轴为直线， 令，则， 图象与y轴的交点坐标为； 故答案为：，1； （2）解：抛物线G：， 抛物线：， 即， 当时，； （3）解：①当时，则抛物线G：， 顶点为， 令，解得：， 图象与y轴的交点坐标为， 区域W内的整点有，，共3个； ②当时，如图2， 抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点， ， 解得：， 结合①可得：； 当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点． 经过点时，， 解得：， 经过点时，， 解得：， ， 故如果区域W内恰有5个整点，则或 题型02 面积定值 【典例2】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积为定值，的面积为4 【分析】本题考查了抛物线方程的求解，直线与抛物线交点的计算，直线与直线交点的计算，联立方程求交点坐标是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，代入求解即可； （2）根据与的面积之比是，通过线段比例关系和韦达定理求解的值； （3）通过点关于轴的对称点和直线的方程，联立求解交点的坐标，可验证纵坐标为定值，即的面积为定值，再求出面积即可． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点， 将点代入抛物线方程可得：，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：若与的面积之比是， 则， ∵点在同一直线上， 则，即①， 联立直线与抛物线的方程得：， 整理得， ∴，②， 由①②得：，解得：， ∵点在轴左侧， ∴， ∴，即， ∴，即． （3）解：点关于轴的对称点， 直线与轴交于点，则点， 设点的坐标分别为：、， 由点的坐标得，直线的表达式为： ， 将点的坐标代入上式得： ， 整理得：， 由点的坐标得，直线的表达式为： ， 同理可得，的表达式为： ， 联立上述两式得： ， 解得：， ， 则， ， ， ∴点的纵坐标为为定值，即的面积为定值， ∵，到的距离为， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作，垂足为，设与轴的交点为．证明，得，，设，则，，解方程得．得直线的表达式为：，联立方程组求解即可； （3）用三角形全等求出点．根据即可求解． 【详解】（1）解： 抛物线的顶点在坐标原点， 设抛物线的表达式为． 将，代入，得： ， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，作，垂足为， 设与轴的交点为． 平分，， ，， ， ． ，轴， ， ， ，， 设，则，， 在中，， 解得，． ． 设直线的表达式为：， 代入，， 得， 解得， 可得直线的表达式为：， 联立，得：， 解得，或； 点． （3）解：的面积为定值，定值为3． 证明：将点代入直线，得，， 直线的表达式为：． 点既在抛物线上又在直线上， ， 整理得，， 解得，，； 点． 作轴于，作轴于，轴于，轴于，轴于， ， ，， ， ， ，． 设，则， 点， 又点在抛物线上， ， ， ，得，，即， 点． ． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【变式2】（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，点D在直线上方的抛物线上，过点D作的垂线交于点E，作y轴的平行线交于点F．若，求线段的长； (3)直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线与直线的交点为S，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积是定值，的面积为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出 ， 即可求解； （3）设点的坐标分别为： ，由点Q的坐标得，直线的表达式中的值为：则 再求出直线的表达式为：的表达式为：，求出 即可求解. 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得： ， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为，代入得： ，解得 则直线的表达式为： 设点 则点 ， 则 ， 由题意知，为等腰直角三角形， ∴，则， 由直线的表达式知，其和轴的夹角为， 则 ， 同理可得：， ， 则 解得： (舍去)或， 当 时，则 ； （3）的面积是定值， 理由： 设点的坐标分别为： ， 由点的坐标得，直线的表达式中的值为： 则 由点的坐标得，直线的表达式为：， 同理可得，的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得： ， ， 则， 则的面积为定值． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形的面积的综合，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 题型03 线段长为定值 【典例3】（2025·湖南常德·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． (3)如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)弦的长度是定值．弦的长为6 (3)见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，垂径定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，垂足为，连接，设点的坐标为，则，利用垂径定理结合勾股定理求出的长，进而求出的长，进行判断即可； （3）求出直线的解析式，设，则且，求出，分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）弦的长度是定值．理由如下： 如图1所示，过点作轴，垂足为，连接，则：， 设点的坐标为，则． ， ∴． ， ． ， ， ∴弦的长度为定值． （3）证明：设直线的解析式为， 直线过点， ，解得：， ∴； 设，则且， ， ， ． ①当时，点在对称轴左侧，如图2， ． ， 的坐标为， ，又， 三角形是等边三角形． ②当时，在对称轴右侧，如图3， ， ， 的坐标为， ， ，又， 三角形是等边三角形． 【变式2】（2025·广东清远·二模）【问题背景】探究二次函数的性质与图像的变化规律． 【初步探究】如1图，我们将二次函数的图象向下平移得到图象，过图像上的动点作轴，交的图像于点． 问题（1）点在上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，请说明理由． 【拓展探究】如2图，线段分别交轴、轴于点．平移得到，且使其顶点始终在线段上．过图像上的点作轴，交的图像于点． 问题（2）若的顶点在线段的中点，且，求点的横坐标． 问题（3）若点的横坐标为的顶点横坐标为的长为，求的最大值． 【答案】（1）的长度不变， （2）点的横坐标为或 （3）的最大值为26 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，平移的性质是关键． （1）根据图形平移的性质求解即可； （2）根据直线与坐标轴交点得到的顶点坐标为，的函数解析式为，设，当点在点上方时，当点在点上方时，代入计算即可求解； （3）根据题意得到顶点为，的函数解析式为，，当点重合时，，解得，分别代入，结合图形分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）的长度不变，，理由如下： 是由向下平移2个单位长度得到， 对应的函数值相差2， ． （2）将代入，得， 将代入，得， 顶点在中点， 的顶点坐标为， 的函数解析式为， 设， 当点在点上方时，，则； 当点在点上方时，，则； 点的横坐标为或． （3）的顶点横坐标为， 顶点为， 的函数解析式为， 将代入，得， ， ， 当点重合时，， 解得， ∴当时，， ，对称轴为直线， 当时，随的增大而增少， 当时，的最大值， 当时，， ，对称轴为直线， 当时，的最大值， ， 的最大值为26． 题型04 线段和为定值 【典例4】（2025·山东泰安·三模）如图，抛物线对称轴为轴，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点坐标为，点坐标为，是第四象限内的抛物线上一点，直线，与轴分别交于点，点． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：的值为定值； (3)若一次函数（为常数，）的图象经过点，且当，该一次函数对应的函数值始终小于，求点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，得到；得到抛物线的解析式为，把，分别代入解析式解答即可． （2）设点，过点P做轴，垂足为D，利用三角形相似的判定和性质，列比例式解答即可． （3）求出直线经过的定点，联立解析式构造方程组，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为， 故； 故抛物线的解析式为， 把，分别代入解析式得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）证明：设点， 过点P做轴，垂足为D ∵ P点在第四象限 根据题意，得， ∴， 即 又, ∴， 即 ，是定值． （3）解：， 则一次函数过定点， 设，如下图： 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得：； 当，该一次函数对应的函数值始终小于0，只需要当时， ， 则 当时，， 由图像可得，点的横坐标的取值范围为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，解方程组，一次函数的性质，数形结合思想，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质，一次函数的性质是解题的关键． 【变式1】（2025·湖南娄底·二模）如图1，抛物线与x轴交于点A和B（其中点A在B左侧），顶点为P，点C是x轴上一个动点，其横坐标为，连接，．已知抛物线y与x的变化规律如下表所示： … 0 1 3 4 5 … … 0 3 4 3 0 …         (1)直接写出_____，_____，_____； (2)记点到的距离为，点到的距离为，若，求证：d为定值； (3)如图2，过点作的平行线交于点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)面积的最大值2，此时点的坐标为 【分析】（1）先求出二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据二次函数的对称性和表格数据求解即可得； （2）过点作轴于点，过点作于点，作于点，先求出和的值，再解直角三角形分别求出和，由此即可得证； （3）先证出，再证出，利用相似三角形的性质可得的长，然后根据的面积等于，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将二次函数化成顶点式为， ∴这个二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等；时的函数值与时的函数值相等， ∴，， 由表格可知，当时，， ∴， ∴， 故答案为：，，． （2）证明：由（1）可知，，， 当时，，解得或， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 如图，过点作轴于点，过点作于点，作于点， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，，即，解得， 在中，，即，解得， ∵， ∴， ∴为定值． （3）解：由（2）已得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积为 ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积最大，最大值为2， ∴此时，， 又∵， ∴， ∴，即点与点重合， ∴此时点的坐标为， 综上，面积的最大值2，此时点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 【变式2】（2025·湖南永州·二模）如图，已知抛物线经过，，三点，抛物线的对称轴l与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线上一动点，其横坐标m满足，连接，交于点E，交直线l于点F，连接并延长交直线l于点G． ①求的最大值； ②求证：为定值． 【答案】(1) (2)①；②见详解 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）利用待定系数法可进行求解； （2）由（1）可知对称轴直线l为，①由题意可得直线的解析式为，分别过点M、A作y轴的平行线，分别交于点H、Q，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质可得，最后问题可求解； ②分别得出直线、的解析式，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把，，三点代入得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）可知：抛物线解析式为， ∴对称轴直线l为， ①设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 分别过点M、A作y轴的平行线，分别交于点H、Q，如图所示： ∴轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴当时，取到最大值，最大值为； ②证明：由题意得：，F、G的横坐标都为， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∴把分别代入、解析式得：，， ∴， ∴． 题型05 加权线段和定值 【典例5】（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，当点F在x轴上方时，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值即可求出点F的坐标；当点F在x轴上方，且点E与点A重合时，利用等腰直角三角形的性质求出，即可求出点F的坐标；同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解； （3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入中得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线：， 如图所示，当点F在x轴上方时，设与交于点，过点作于点，     ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或, ∴； 如图所示，当点F在x轴上方时，且点E与点A重合时，设直线l与x轴交于G， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴； 如图所示，当点F在x轴下方时，，设与交于点，过点作于点    ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点在抛物线上 ∴ 解得：（舍去）或， ∴， 如图所示，当点F在x轴下方，当点与点重合时，     ∵，是等腰直角三角形，且， ∴ ∴， 综上所述，或或或； （3）解：设，直线的解析式为，的解析式为， ∵点，，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，的解析式为， 对于，当时，，即， 对于，当时，，即， ∵在抛物线上，则 ∴ ∴为定值． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握二次函数的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式1】．（2025·湖南衡阳·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，连接，并延长交轴于点，连接，交轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． (3)将该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线刚好经过点，点为抛物线对称轴上一点．在平面内确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形． 【答案】(1) (2)的值为定值10，理由见详解 (3)点坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，抛物线和菱形的综合等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法和菱形的判定和性质． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴于点，得出，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于的代数式，化简代数式即可得出结论； （3）根据菱形的判定和性质分类讨论，根据题意画出图形，假设出点的坐标，根据对边平行且相等列出方程，解方程即可得出坐标． 【详解】（1）解：将，两点代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：的值为定值10，理由如下， 如图，过点作轴于点,则, ∴, 即 假设点坐标为，则点坐标为， ∴，，,，， ∴， 整理得， ∴的值为定值10； （3）解：平移后抛物线的表达式为， 整理得， 联立， 解得， ∴点坐标为， ∴根据勾股定理得， 抛物线的对称轴为直线， ①当以点为圆心长为半径画圆时，此圆与直线无交点，因为点到直线的距离为； ②当以点为圆心长为半径画圆时，如下图所示， 假设交点坐标为， ∴ 解得或， 即， 假设， ∵, ∴，；，； 解得；； 所以此时； ③当为菱形的对角线时，作的垂直平分线，交对称轴于点，如下图所示， 假设， ∴ 即 解得 ∴ 假设，根据得， ， 解得， 所以此时 综上可得点坐标为或． 题型06 线段乘积为定值 【典例6】（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)定值，理由见详解 【分析】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解； （2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，可得，由，可求解；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，，即可求解；③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标； （3）可设直线的解析式为，，，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：，， ； ②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ()， ， ， ， 解得：，， ； 如上图，根据对称性：， ③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为； 综上所述：的坐标为或或． （3）解：是定值， 理由：如图，直线经过， 可设直线的解析式为， 、在抛物线上， 可设，， ， 整理得：， ，， ， 当时，， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， ， ， 同理可求：， ； 当与对调位置后，同理可求； 故的定值为． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键． 【变式1】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数图象上，是第四象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，连接分别与轴，轴交于点，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数的表达式为 (2)的值为定值，定值是 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，设出直线的含参表达式，联立求出交点的坐标是解题的关键． （1）将点代入中可求出的值，则可知点的坐标，将点代入中，即可求出反比例函数的表达式； （2）由一次函数和反比例函数的表达式可得点的坐标，由点在反比例函数图象上，可得点的坐标，设点，直线的表达式为， 将点，代入，可得直线的表达式，分别令，，可得点，点的坐标，同理可得点，点的坐标，进而可得，，最后计算即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴， ∴将点代入中，得， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：的值是定值，理由如下： 直线与反比例函数交于，两点， 令，解得，， 把代入得，， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， 设点，直线的表达式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 令，得，即， 令，得，即， 设直线的表达式为， 将点，代入上式， 得， 解得， 直线的表达式为， 令，得，即， 令，得，即， ∴，， ∴， ∴的值为定值，定值是8． 【变式2】（2025·湖南岳阳·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，过平面上一点作任意一条直线交抛物线于两点，过点作直线，分别交轴于两点，试探究与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3)与的积为定值，定值为2 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式为：设，过作，交于，求出，进而求出，利用而阐述的性质即可解答； （3）设直线的解析式为：，求出直线的解析式为：，联立：，求出，求出直线的解析式为，进而求出，同理：，即可解答． 【详解】（1）解：由题意的： 抛物线的表达式为：； （2）解：， 设直线的表达式为： ， 设直线的表达式为： 设，过作，交于 ∵， ∴， ， 的最大值为，此时； （3）解：设直线的解析式为：，且直线经过点 直线的解析式为： 联立： 得 设直线的解析式为：， 同理： ， 与的积为定值，定值为2． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，根和系数的关系等．解决（3）问的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段，的长． 题型07 面积比值为定值 【典例7】（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)为定值3，证明见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，． ∴， ∴的值为定值； （3）设，则， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴当时，线段长度的最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的函数表达式和对称轴； (2)如图1，直线交轴正半轴于点，把线段沿直线翻折，若点刚好落在抛物线的对称轴上点处，求此时的值； (3)如图2，为抛物线上两动点，且，当（2）中点为时，直线与直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是定值，定值为 【分析】（1）先求解，将点代入，可得，再进一步求解即可； （2）如解图①过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为．由，可得在抛物线对称轴的右侧，证明，可得．过点作交CD于点，过点作于点．证明，可得点与点重合，，再进一步求解即可； （3）设 ，求解直线的表达式为 ，如解图②，过点分别作轴的垂线，垂足分别为．证明，可得，可得：．求解直线的表达式为，可得，，把代入上式得 ，可得，即点为一个定点，再进一步求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 将点代入，得， 拋物线的函数表达式为 ， 对称轴为直线； （2）解：如解图①过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为． ， ∴在抛物线对称轴的右侧， ． 根据翻折的性质可知，， ， ， ， ， ． 过点作交于点，过点作于点． 在与中，， ， ， 又， ， ， 点与点重合， ， 将点代入中，得， 解得； （3）解：是定值．理由如下： 设 ， 设直线MN的表达式为， ， 得：， ∵， 解得， 把代入①得： ， 直线的表达式为 ， 如解图②，过点分别作轴的垂线，垂足分别为． ∴， 同理可得：， ∴， ， 即， 整理得：． 由直线过点，得， 直线的表达式为， 联立， 整理得，， 把代入上式得 ， ． ， ，即点为一个定点， ． ， 轴， ∴， ， ， 为定值，定值为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数，一次函数的解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型08 线段长比值为定值 【典例8】（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动，点G在直线上方的抛物线上，，于点E，交于点I，平分，，于点H，连接． (1)求抛物线的解析式及的面积； (2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求的面积； (3)试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 【答案】(1)，的面积为12 (2)当点F运动至对称轴上时，的面积为3 (3)的值是定值，定值为 【分析】（1）运用待定系数法可得．设点到的距离为，点的纵坐标为，根据三角形面积公式即可求得； （2）当点运动至对称轴上时，点的横坐标为3，可得．连接、，由点与点关于原点对称，可得点、、三点共线，且为的中点．推出，可得点到的距离为．再根据三角形面积公式即可求得答案； （3）过点作于点，过点作于点．运用勾股定理可得．再证得为等腰直角三角形．设，则，再运用解直角三角形可求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 将，代入上式，得， 整理得， 解得， ， 设点O到的距离为d，点A的纵坐标为，则，， ∴的面积； （2）解：由（1）得抛物线的对称轴为， 当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3， ， 即， 连接，， ∵，， ∴A与点C关于原点O对称， ∴点A，O，C三点共线，且O为的中点， ， ， . 平分， ， ， ∴， 与间的距离为d， ∴点H到的距离为d， ，， ， ∴当点F运动至对称轴上时，的面积为3； （3）解：过点A作于点L，过点F作于点K， 由题意得，， ， ， ∴在中，， . ， ，即为等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， 在和中，， 即， ， 解得， ， 又， 即， ，解得， ， 的值是定值，定值为. 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的面积计算，解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键． 【变式1】（2025·湖北武汉·模拟预测）二次函数图象与x轴交于点两点，与轴交于点，连接，在该图象上有一点，连接，．设点的横坐标为． (1)若． ①求该二次函数的表达式； ②为何值时，是直角三角形？ (2)连接交轴于点，直线交轴于点，求证：是定值． 【答案】(1)①；②或； (2)证明见解析 【分析】（1）①利用二次函数与轴交点坐标设出交点式，再代入点坐标求出表达式； ②如图，当时，过作轴于，如图，当，过作轴于，过作轴于，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可； （2）过点作轴于，构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例来证明是定值． 【详解】（1）解：①已知二次函数图像与轴交于点，设二次函数表达式为， 在抛物线上，把代入得： ，即， 解得． 二次函数表达式为． ②如图，当时，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，而，， ∴， 解得：（舍去），， 如图，当，过作轴于，过作轴于， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，而，，， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∵， ∴不符合题意； 综上：或； （2）解：∵二次函数图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C， ∴，， 过点作轴于， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， 即是定值． 【点睛】本题考查二次函数表达式求解，直角三角形的判定，以及相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用交点式设二次函数表达式，利用相似三角形性质证明线段比例定值． 题型09 横(纵)坐标定值 【典例9】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，． 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式； （2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案； （3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即 （2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则 （3）解：由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值． 【变式1】（2023·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．    (1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上． ①________； ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． (2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 【答案】(1)①1；②；③是，值为1 (2)或 【分析】（1）①当，，可知不在二次函数图象上，将代入，求解值即可；②由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，，由菱形的性质得，，，则轴，，根据，即，计算求出满足要求的解即可；③如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，由正方形的性质可知，为、的中点，，，则，证明，则，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，计算求解即可1； （2）由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；①当在轴右侧时，，同理（1）③，，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，解得；②当在轴左侧时，求解过程同（2）①；③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，同理可求，当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，由正方形、二次函数的性质可得，． 【详解】（1）①解：当，， ∴不在二次函数图象上， 将代入，解得， 故答案为：1； ②解：由①知，二次函数解析式为， 设菱形的边长为，则，， 由菱形的性质得，，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去），（舍去），， ∴菱形的边长为； ③解：如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，    由正方形的性质可知，为、的中点，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由题意知，，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧， ∴， ∴， ∴是定值，值为1； （2）解：由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解； ①当在轴右侧时， ∵， 同理（1）③，，， 由题意知，，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， 化简得， ∵ ∴； ②当在轴左侧时， 同理可求； ③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时， 同理可求， 当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时， 由正方形、二次函数的性质可得，； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式2】（2023·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．    (1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上． ①________； ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． (2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 【答案】(1)①1；②；③是，值为1 (2)或 【分析】（1）①当，，可知不在二次函数图象上，将代入，求解值即可；②由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，，由菱形的性质得，，，则轴，，根据，即，计算求出满足要求的解即可；③如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，由正方形的性质可知，为、的中点，，，则，证明，则，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，计算求解即可1； （2）由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；①当在轴右侧时，，同理（1）③，，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，解得；②当在轴左侧时，求解过程同（2）①；③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，同理可求，当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，由正方形、二次函数的性质可得，． 【详解】（1）①解：当，， ∴不在二次函数图象上， 将代入，解得， 故答案为：1； ②解：由①知，二次函数解析式为， 设菱形的边长为，则，， 由菱形的性质得，，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去），（舍去），， ∴菱形的边长为； ③解：如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，    由正方形的性质可知，为、的中点，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由题意知，，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧， ∴， ∴， ∴是定值，值为1； （2）解：由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解； ①当在轴右侧时， ∵， 同理（1）③，，， 由题意知，，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， 化简得， ∵ ∴； ②当在轴左侧时， 同理可求； ③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时， 同理可求， 当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时， 由正方形、二次函数的性质可得，； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型10 定点问题 【典例10】（2025·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图1，抛物线上两点，，若，求m的值． (3)如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在定点 【分析】（1）把代入，求出抛物线的解析式，令，即可求解； （2）设直线为，设点，，可得且，即可求解； （3）设直线解析式，直线与抛物线相交于点，，与抛物线解析式联立可得，，．作，，，，，．根据，可得，从而得到，进而得到，继而得到，再由直线不垂直于轴，可得，从而得到直线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：把代入， ． 抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ； （2）解：∵，N是抛物线顶点， ∴， 设直线的解析式为， ，， ∴，解得：， 直线的解析式为， ， 可设直线为， 设点，， 且． 解得：． （3）解：存在定点满足条件． 设直线解析式，直线与抛物线相交于点，， ， ． ，，． 作，，，，，． ， ． 即， ， ， ． ． ． ， 直线不垂直于轴， ， ， ， 直线解析式， 无论为何值，，， ∴过定点，故存在定点． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数交点问题等知识．利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式1】（2025·福建福州·三模）已知抛物线交轴于原点和点，直线交抛物线于点和点，其中点为轴左侧抛物线上一点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线顶点坐标． (2)当，时，若点为直线下方抛物线上一点，求面积最大时，点的坐标． (3)若始终有，直线是否过定点？若是，求出该点坐标，若不是，请说明理由． 【答案】(1)抛物线顶点坐标为： (2) (3)直线经过定点 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象及性质，根与系数的关系，利用铅锤法求面积是解题的关键． （1）求出抛物线解析式为，即可求顶点坐标； （2）求出，点作轴交于点，设，则，则即可得出面积的最大值以及此时点的坐标； （3）过点作轴交于点，过点作轴交于点，由已知可得，设，当时，根据根与系数的关系可知，，，再由整理得，则直线：经过定点． 【详解】（1）解：抛物线经过原点， ， 抛物线解析式为：， 顶点为； （2），， 直线解析式为：， 当时， 解得或， 当时，，当时， ，， 过点作轴交于点， 设，则， ， ， 当时，的面积有最大值为， 当时，， 此时； （3）直线过定点，理由如下： 过点作轴交于点，过点作轴交于点， ，， ， 设， 当时，， ，， ， ， ， 整理得：， 直线：经过定点． 【变式2】 （2025·广东深圳·二模）综合与实践 【问题情境】 求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，小亮取了自变量x的4个值，再分别算出相应的y值，列表得： x的值 0 1 2 3 的值 13 30 小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为x，即． 进一步取值，得到下表： x的值 1.0 1.1 1.2 1.3 的值 0.84 2.29 得出结论：． 【操作判断】 （1）若关于x的一元二次方程在实数范围内有两个解、（其中）． 根据下列表格 x的值 1 1.5 2 2.5 的值 4 10 你能得出_________的大致范围（填“”或“”）；请你写出这个解的取值范围：_________． 【实践探究】已知二次函数（n为常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． （2）若仅有一个交点的横坐标x满足，求出n的取值范围． （3）不论n为何值，二次函数必过定点E． ①求E点坐标； ②连结，若，请求出n的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）①；② 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合运用； （1）根据得到图象开口向上，再根据表格即可求出结果； （2）根据题意得到①或② ，计算求解即可； （3）①将函数变形为，根据当时，不论n取何值，y恒等于4，即可求出结果；②过点A作交于点D，分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F，证出，设，得到，得到，整理得到，对于函数，令，得到方程，由求根公式得到，并代入中，计算即可求出． 【详解】（1）∵， ∴图象开口向上， ∴根据表格数据能得出的大致范围，取值范围为， 故答案为：；；                                 （2）当时，； 当时，                   仅有一个交点的横坐标x满足， ①或②                   解①得：； 解②得：无解． 综上，n的取值范围为：；               （3）①将函数变形为                由上式可知，当时，不论n取何值，y恒等于4， 故E点的坐标为．                  ②如图1，过点A作交于点D， 由可得为等腰直角三角形． 分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F， ， ， ． 设， 由题意可知，． ， ． ， ， ， 即，                                 整理得：．（★） 对于函数， 令，得到方程， 方程的判别式， 据题意，． 由求根公式，得， 代入（★）式，得，                   求得，此时满足． 其中，当时，情况如图2所示： 故． 1．（2025·河南周口·三模）如图所示，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于（不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）问题： (1)G内整点最多有 个； (2)若G内整点的个数为4，求点B的纵坐标m的取值范围． 【答案】(1)5个； (2)． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，结合图形求解是解题关键． （1）取点，观察函数图象，数出整点个数，即可求解； （2）根据题意求得的解析式，根据平行于，设的解析式为，根据内整点的个数为，找到特殊点，，待定系数法的求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，取点， ∵双曲线 （）经过点 点 ， ∴，反比例函数解析式为， ∴， 当点在的左侧时， 内整点的个数最多有共5个点 故答案为：． （2）∵，设直线的解析式为，则 ∴， ∵平行于 设的解析式为 若内整点的个数为，则点在点的右侧，或与点重合，即 当经过点时，，解得： 当经过点时，，解得： ∵整点有4个，则不经过 ∴ 故答案为：． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）令，解方程即可得解； （2）由二次函数知，其对称轴为直线，故设设点，则点，点，则，，由得，即可求解； （3）如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”，只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”，进而求解． 【详解】（1）解：令 ∴， 则或， ∴点、； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点，则点，点， ∴，， ∵， ∴，则， ∴ ； （3）解：如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”， 只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”， 此时． 根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点， 此时是临界位置，， 所以． 3．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知抛物线 的图象经过两点，与x轴交于A、B 两点（点A 在B 的左侧），P为抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点 P 作轴于点 M，若满足（a为常数）的点有且只有三个，求的值； (3)若点 P 为第四象限内抛物线上一动点，直线与y轴交于点 C，连接． ①如图①，若，求点 P 的坐标；②如图②，直线与抛物线交于点 D，连接．请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)①②是定值，定值为 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由满足的点有且只有三个，则的值为抛物线顶点到x轴的距离；进而得到的顶点坐标为，即； （3）①先求得；如图：过点 P作轴于点H，再证明，进而得到；设，则解得，再根据，解得 ，即点P的坐标为 ；②先运用待定系数法可得，进而可得；再求得直线的解析式为，联立解得或 ，进而得到点D 的横坐标为，纵坐标为 ，然后求得 ，最后代入计算即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过两点， ，解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵满足的点有且只有三个， ∴的值为抛物线顶点到x轴的距离， 由（1）得抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为， ∴． （3）解：①由（1）知 将代入 中，得： 解得： ∵点A在点B的左侧， ∴． 如图：过点 P作轴于点H， ， ， ∵轴，， ∴， ， ， ∵点P在第四象限的抛物线上， ∴设 且均不为0， 化简可得 ∵P为第四象限内抛物线上一点， ∴，且， ∴，解得： ∵点 P在第四象限， ， 此时 ∴点P的坐标为 ②是定值． 设直线的解析式为， 将代入中， 可得 ，解得： ∴直线的解析式为， 将代入中，得， ∴． 设直线的解析式为， 将代入中， 可得 ，解得 ∴直线的解析式为 联立 ，解得：或 ∴点D 的横坐标为，纵坐标为 ． ∴的值是定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函数解析式、求抛物线与坐标轴的交点、求抛物线与直线的交点、利用坐标求三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识并掌握数形结合思想成为解题的关键． 4．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数（a是常数）． (1)当时． ①求二次函数图象的顶点坐标； ②在的范围内，求y的取值范围． (2)当a取值为时，二次函数的最大值相等，此时是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)是， 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）①把代入二次函数解析式，然后配成顶点式，进而问题可求解；②根据二次函数的性质可进行求解； （2）根据二次函数的最值问题可得，然后进行化简即可求解． 【详解】（1）解：①把代入得：， ∴， ∴该二次函数的顶点坐标为； ②由①可知：，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为3， 当时，则，当时，则， ∴当时，y的取值范围为； （2）解：是定值，理由如下： 由可知：开口向下，最大值为， ∴当时，最大值为，当时，最大值为， ∴ ∴． 5．（2023·海南海口·模拟预测）如图，抛物线交轴于点和点，交于轴点，为抛物线顶点，点在抛物线上． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； 求四边形的面积； (2)如图，直线垂直于轴于点，点是线段上的动点除、外过点作轴的垂线交抛物线于点，连接、． 当是直角三角形时，求出所有满足条件的点的横坐标． 如图，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点横坐标；为定值，定值为 【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式； ②结合二次函数性质求得顶点，，然后利用割补法求图形面积； （2）①设点D的坐标为（），根据两点间的距离公式得到，，，分三种情况讨论：若，若， 若，根据勾股定理构造方程求解即可； ②设，结合一次函数图象的性质分析求解 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，， ∴，解得 ∴该抛物线的函数表达式为：； ②∵， ∴顶点， ∵，， ∴，且∥x轴， ∵， ∴； （2）解：①∵点P在线段上，过点作轴的垂线交抛物线于点， ∴设点D的坐标为（）， ∵，， ∴， ， ， 当是直角三角形时， 若，则， ∴， 整理得， 解得或（均不合题意，舍去）； 若，则， ∴， 整理得， 解得（不合题意，舍去）或； 当时，，与点Q重合，不合题意，舍去； 若，则， ∴， 整理得， 因式分解，得 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或， ∵当时，， ∴不合题意，舍去 ∵当时，， ∴D点横坐标为， 综上可知：D点横坐标． ②设， 由A、D的坐标得，直线的表达式为：， 当时，； 由点B、D的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 则是为定值，定值为8． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式等知识点，数形结合以及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 6．（2025·江苏无锡·一模）二次函数图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，连接，在该图像上有一点P，连接，．设P点的横坐标为． (1)若， ①求该二次函数的表达式； ②m为何值时，的面积取得最大值？ (2)连接交y轴于点E，直线交y轴于点F，求证：是定值． 【答案】(1)①②，的面积取得最大值6； (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数表达式求解，三角形面积最值以及相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用交点式设二次函数表达式，通过作辅助线求三角形面积，利用相似三角形性质证明线段比例定值． （1）①利用二次函数与轴交点坐标设出交点式，再代入点坐标求出表达式； ②过点作轴交于点，用含的式子表示出的面积，再根据二次函数性质求最值； （2）过点作轴于，构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例来证明是定值． 【详解】（1）解：①已知二次函数图像与轴交于点，设二次函数表达式为， 在抛物线上，把代入得： ，即，解得． 二次函数表达式为． ②过点作轴交于点， 设直线表达式为，把代入得 ，将代入得，解得， 直线表达式为， 点横坐标为，则，． ， ， 即， 对于二次函数，对称轴为， 当时，的面积取得最大值； （2）解：∵二次函数图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C， ∴，， 过点作轴于， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， 即是定值． 7．（2025·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为． (1)当时，求的坐标； (2)当变化时，点始终在抛物线上，的顶点为，点关于点的对称点为，经过点且平行于轴的直线为，于点． ①求证：； ②当时，若是抛物线上的动点，在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)当时，顶点的坐标为 (2)①见解析；②直线上存在点，使得为定值 【分析】（1）将代入抛物线解析式，配方后即可得到顶点的坐标； （2）①先表示出顶点的坐标，根据题意可得出抛物线的解析式，从而得出点坐标、点坐标，由直线过点且平行于轴得出点坐标，表示出、即可得证； ②先表示出当时抛物线的解析式，根据抛物线与抛物线的平移规律推出点，过作直线的垂线，垂足为，交轴于点，结合①中的结论即可证为定值． 【详解】（1）解：当时， 抛物线的解析式为， 所以抛物线的顶点的坐标为； （2）解：①抛物线的解析式为， 顶点的坐标为， 当变化时，点始终在抛物线上， 抛物线的解析式为， ， 点，关于点对称，即为中点， ， 根据勾股定理，， 直线过点且平行于轴， 直线：， 于点， ∴， ， ． ②直线上存在点，使得为定值 当时，抛物线的解析式为， 由①知抛物线：，将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到抛物线， 对应的，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 将直线：向上平移个单位长度得到直线：， 过作直线的垂线，垂足为，交轴于点， 由①，， 即抛物线上任一点到点的距离等于到直线：的距离， 点在上， ， ， 即直线上存在点， 使得为定值． 【点睛】本题考查的知识点是把化成顶点式、二次函数综合、勾股定理，解题关键是熟练掌握二次函数的相关知识点． 8．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线：的图像与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且，与x轴交于点D，求点E的横坐标； (3)点P是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为定值，等于1 【分析】（1）利用待定系数法，将点坐标代入，解方程组即可； （2）先证明，根据等腰三角形三线合一，得到平分，结合，推出，然后在中利用勾股定理求出的长度，得到的坐标，下一步求出直线的表达式，联立直线与抛物线，得到点的坐标； （3）设点，作轴于M，作轴于N，通过是中位线表示出点的坐标，然后将点代入抛物线，得到的轨迹方程，将的轨迹方程与分别与联立，利用未达定理，得到，的值，最后算出的值． 【详解】（1）将点，代入抛物线， 得到，解得 抛物线的解析式为 （2），， ， 又， 平分 设，则 在中， ，解得， 设直线解析式为，代入点，则，解得 直线解析式为 联立抛物线与直线 ， 得，（舍）， 点E的横坐标为； （3）为定值，理由如下： 设点，作轴于M，作轴于N，则， 又为中点， 为中位线 ，为中点 ， ， 将点代入抛物线， 化简得， 设，，，的横坐标分别为，，， 则 由得， 由得， 定值． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形的中位线，韦达定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知抛物线与x轴只有一个公共点A，且过点 ． (1)求点 A 的坐标． (2)若点 在抛物线上，且，点E 在第二象限，，直线 经过抛物线与y轴的交点C，点F 在线段 上，连接，，求的度数． (3)将抛物线向左平移一个单位长度，得到一个新的抛物线，则在 y 轴正半轴上是否存在一点Q，使得当经过点Q 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，请求出点 Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，Q的坐标为，定值为4 【分析】（1）根据题意得到，，联立求出a、b的值即可求解析式； （2）先求出，再由抛物线与y轴的交点，可得，设，过点D作轴于点N，过点E 作，交 的延长线于点M，可证明，则，即 ，解得，求出，再由，求出，所以轴，则； （3）平移后的新抛物线对应的函数解析式为，设直线对应的函数解析式为，则，设，，当 时，， ，得到，令，则，根据题意得到方程组，解方程组进而可得结论． 【详解】（1）解：∵ 抛物线经过点， ∴， ∴， ∵ 抛物线 与x轴只有一个公共点， 即 ， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线对应的函数解析式为 ， ∴点A 的坐标为； （2）解：∵点在抛物线上， ， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∵ 抛物线与 y 轴的交点C 的坐标为， ∴， ∴， ∴ 直线对应的函数解析式为，设点 ， 如图，过点D作轴于点N，过点E 作，交 的延长线于点M， ∴，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又 ∵， ∴， ∴，即 ， 解得 ， ， ， ， ∴， ∴轴， ∴； （3）解：存在，平移后的新抛物线对应的函数解析式为， 设直线对应的函数解析式为，则， 设，， 当 时，， ， ∴， ，， ， 令 ，则， ， ， ， 解得， ∴在y轴正半轴上存在一点Q，使得 为定值，定值为4，此时点Q的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，待定系数法求直线解析的方法是解题的关键． 2．（2026·湖北武汉·中考模拟）抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方． （1）如图1，若P（1，－3）、B（4，0）， ① 求该抛物线的解析式； ② 若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标； （2） 如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）①y＝x2-；②点D的坐标为（-1，-3）或（，）；（2）是定值，等于2. 【详解】（1）①将P（1，－3）、B（4，0）代入y＝ax2＋c得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； ②如图：D在P左侧， 由∠DPO＝∠POB得DP∥OB，D与P关于y轴对称， 由P（1，－3）得D（-1，-3）； 如图，D在P右侧，即图中D2，则∠D2PO＝∠POB，延长PD2交x轴于Q，则QO＝QP， 设Q（q，0），则（q－1）2＋32＝q2， 解得：q＝5， ∴Q（5，0）， 易得直线PD2为， 再联立得：x＝1或， ∴ D2（） ∴点D的坐标为（-1，-3）或（）； （2）设B（b，0），则A（-b，0）有ab2＋c＝0， ∴b2＝， 过点P（x0，y0）作PH⊥AB，有， 易证：△PAH∽△EAO，则即， ∴， 同理得 ∴， ∴，则OE＋OF＝ ∴， 又OC＝－c， ∴. ∴是定值，等于2． 3．（24-25广东东莞·模拟）在平面直角坐标系中，抛物线M：的顶点为A． (1)如图1，若A点横坐标为2，点在抛物线M上，求t的值； (2)如图2，若，直线分别交x轴、y轴于点B、C，用b表示点A到直线l的距离d，并求出d取得最小值时抛物线M的解析式； (3)定义：在平面直角坐标系中，若点P满足横、纵坐标都为整数，则把点P叫做“整点”，如点，都是“整点”．若，当抛物线与其关于x轴对称抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，d有最小值，此时抛物线M的解析式为 (3) 【分析】（1）根据顶点为A的横坐标为2，得到，再将点代入解析式求解，即可解题； （2）过点A作于点D，作轴交直线l于点E，结合一次函数解析式得到，，利用勾股定理求出，结合二次函数解析式得到顶点A的坐标为，进而求出，再证明，最后利用相似三角形性质和二次函数最值求解，即可解题； （3）通过抛物线的解析式可得对称轴为直线，过点，对a分情况讨论或求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为A．且A点横坐标为2， ， ， 点在抛物线M上， ， t的值为． （2）解：如图，过点A作于点D，作轴交直线l于点E， 则， 对于直线，易知，， ， ， 抛物线M：， 顶点A的坐标为， 把代入到，得， ， ， 轴， ， 又 ， ， ，即， ，即， 当时，d有最小值，此时抛物线M的解析式为． （3）解： ， ，其对称轴为直线，图象必过点， 当时，开口向上，如下图： 当时，此时整点有，，，，，根据对称性，整点显然超过9个，不符合题意； 当时，开口向下，如下图： 要保证封闭区域内（包括边界）共有9个整点，需要同时满足： 当时，，当时，， 即， 解得， 故a的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数性质，一次函数与坐标轴交点，勾股定理，二次函数一般式化顶点式，相似三角形的性质和判定，二次函数与一元一次不等式组，解题的关键在于理解题意列出不等式组． 93 / 93 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 重难点04 函数中整点，定点和定值问题 （10种题型汇总+专题训练） 目 录 01 重难攻坚👉破瓶颈·冲高分 1 02 分层攻坚👉验实效·夺高分 3 练透重难·固根基/解锁潜能·拓创新 题型1 函数中整点问题 题型2 面积定值 题型3 线段长为定值 题型4 线段和为定值 题型5 加权线段和定值 题型6 线段乘积为定值 题型7 面积比值为定值 题型8 线段长比值为定值 题型9 横(纵)坐标定值 题型10 定点问题 【命题预测】 整点 高频必考：二次函数指定区间内的整点个数统计；含参数函数过已知整点的参数求解。 创新趋势：函数图象与几何图形（三角形、四边形）重叠区域内的整点计数；含参数函数整点个数满足条件的参数范围。 定点问题 高频必考：含参数一次 / 二次函数的定点坐标求解；定点与函数图象位置关系分析。 创新趋势：函数经平移 / 旋转等几何变换后仍过定点的问题；多函数共定点的综合应用。 定值问题 高频必考：抛物线上动点与定点的线段比值 / 三角形面积定值；反比例函数中与k相关的面积定值。 创新趋势：跨函数（一次 + 反比例 / 二次）背景下的定值证明；几何变换后动点相关量（斜率、角度）的定值探究。 题型01 函数中整点问题 【典例1】（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 【变式1】（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． (1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 题型02 面积定值 【典例2】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 【变式2】（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，点D在直线上方的抛物线上，过点D作的垂线交于点E，作y轴的平行线交于点F．若，求线段的长； (3)直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线与直线的交点为S，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 题型03 线段长为定值 【典例3】（2025·湖南常德·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． (3)如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形． 【变式2】（2025·广东清远·二模）【问题背景】探究二次函数的性质与图像的变化规律． 【初步探究】如1图，我们将二次函数的图象向下平移得到图象，过图像上的动点作轴，交的图像于点． 问题（1）点在上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，请说明理由． 【拓展探究】如2图，线段分别交轴、轴于点．平移得到，且使其顶点始终在线段上．过图像上的点作轴，交的图像于点． 问题（2）若的顶点在线段的中点，且，求点的横坐标． 问题（3）若点的横坐标为的顶点横坐标为的长为，求的最大值． 题型04 线段和为定值 【典例4】（2025·山东泰安·三模）如图，抛物线对称轴为轴，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点坐标为，点坐标为，是第四象限内的抛物线上一点，直线，与轴分别交于点，点． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：的值为定值； (3)若一次函数（为常数，）的图象经过点，且当，该一次函数对应的函数值始终小于，求点的横坐标的取值范围． 【变式1】（2025·湖南娄底·二模）如图1，抛物线与x轴交于点A和B（其中点A在B左侧），顶点为P，点C是x轴上一个动点，其横坐标为，连接，．已知抛物线y与x的变化规律如下表所示： … 0 1 3 4 5 … … 0 3 4 3 0 …         (1)直接写出_____，_____，_____； (2)记点到的距离为，点到的距离为，若，求证：d为定值； (3)如图2，过点作的平行线交于点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【变式2】（2025·湖南永州·二模）如图，已知抛物线经过，，三点，抛物线的对称轴l与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线上一动点，其横坐标m满足，连接，交于点E，交直线l于点F，连接并延长交直线l于点G． ①求的最大值； ②求证：为定值． 题型05 加权线段和定值 【典例5】（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； (3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式1】．（2025·湖南衡阳·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，连接，并延长交轴于点，连接，交轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． (3)将该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线刚好经过点，点为抛物线对称轴上一点．在平面内确定一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形． 题型06 线段乘积为定值 【典例6】（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【变式1】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数图象上，是第四象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，连接分别与轴，轴交于点，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式2】（2025·湖南岳阳·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，过平面上一点作任意一条直线交抛物线于两点，过点作直线，分别交轴于两点，试探究与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 题型07 面积比值为定值 【典例7】（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的函数表达式和对称轴； (2)如图1，直线交轴正半轴于点，把线段沿直线翻折，若点刚好落在抛物线的对称轴上点处，求此时的值； (3)如图2，为抛物线上两动点，且，当（2）中点为时，直线与直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 题型08 线段长比值为定值 【典例8】（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动，点G在直线上方的抛物线上，，于点E，交于点I，平分，，于点H，连接． (1)求抛物线的解析式及的面积； (2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求的面积； (3)试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 【变式1】（2025·湖北武汉·模拟预测）二次函数图象与x轴交于点两点，与轴交于点，连接，在该图象上有一点，连接，．设点的横坐标为． (1)若． ①求该二次函数的表达式； ②为何值时，是直角三角形？ (2)连接交轴于点，直线交轴于点，求证：是定值． 题型09 横(纵)坐标定值 【典例9】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式1】（2023·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．    (1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上． ①________； ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． (2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 【变式2】（2023·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．    (1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上． ①________； ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． (2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 题型10 定点问题 【典例10】（2025·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图1，抛物线上两点，，若，求m的值． (3)如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【变式1】（2025·福建福州·三模）已知抛物线交轴于原点和点，直线交抛物线于点和点，其中点为轴左侧抛物线上一点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线顶点坐标． (2)当，时，若点为直线下方抛物线上一点，求面积最大时，点的坐标． (3)若始终有，直线是否过定点？若是，求出该点坐标，若不是，请说明理由． 【变式2】 （2025·广东深圳·二模）综合与实践 【问题情境】 求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，小亮取了自变量x的4个值，再分别算出相应的y值，列表得： x的值 0 1 2 3 的值 13 30 小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为x，即． 进一步取值，得到下表： x的值 1.0 1.1 1.2 1.3 的值 0.84 2.29 得出结论：． 【操作判断】 （1）若关于x的一元二次方程在实数范围内有两个解、（其中）． 根据下列表格 x的值 1 1.5 2 2.5 的值 4 10 你能得出_________的大致范围（填“”或“”）；请你写出这个解的取值范围：_________． 【实践探究】已知二次函数（n为常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． （2）若仅有一个交点的横坐标x满足，求出n的取值范围． （3）不论n为何值，二次函数必过定点E． ①求E点坐标； ②连结，若，请求出n的值． 1．（2025·河南周口·三模）如图所示，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于（不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）问题： (1)G内整点最多有 个； (2)若G内整点的个数为4，求点B的纵坐标m的取值范围． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 3．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知抛物线 的图象经过两点，与x轴交于A、B 两点（点A 在B 的左侧），P为抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点 P 作轴于点 M，若满足（a为常数）的点有且只有三个，求的值； (3)若点 P 为第四象限内抛物线上一动点，直线与y轴交于点 C，连接． ①如图①，若，求点 P 的坐标；②如图②，直线与抛物线交于点 D，连接．请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 4．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数（a是常数）． (1)当时． ①求二次函数图象的顶点坐标； ②在的范围内，求y的取值范围． (2)当a取值为时，二次函数的最大值相等，此时是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 5．（2023·海南海口·模拟预测）如图，抛物线交轴于点和点，交于轴点，为抛物线顶点，点在抛物线上． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； 求四边形的面积； (2)如图，直线垂直于轴于点，点是线段上的动点除、外过点作轴的垂线交抛物线于点，连接、． 当是直角三角形时，求出所有满足条件的点的横坐标． 如图，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由． 6．（2025·江苏无锡·一模）二次函数图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，连接，在该图像上有一点P，连接，．设P点的横坐标为． (1)若， ①求该二次函数的表达式； ②m为何值时，的面积取得最大值？ (2)连接交y轴于点E，直线交y轴于点F，求证：是定值． 7．（2025·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为． (1)当时，求的坐标； (2)当变化时，点始终在抛物线上，的顶点为，点关于点的对称点为，经过点且平行于轴的直线为，于点． ①求证：； ②当时，若是抛物线上的动点，在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，说明理由． 8．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线：的图像与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且，与x轴交于点D，求点E的横坐标； (3)点P是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知抛物线与x轴只有一个公共点A，且过点 ． (1)求点 A 的坐标． (2)若点 在抛物线上，且，点E 在第二象限，，直线 经过抛物线与y轴的交点C，点F 在线段 上，连接，，求的度数． (3)将抛物线向左平移一个单位长度，得到一个新的抛物线，则在 y 轴正半轴上是否存在一点Q，使得当经过点Q 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，请求出点 Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 2．（2026·湖北武汉·中考模拟）抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方． （1）如图1，若P（1，－3）、B（4，0）， ① 求该抛物线的解析式； ② 若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标； （2） 如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 3．（24-25广东东莞·模拟）在平面直角坐标系中，抛物线M：的顶点为A． (1)如图1，若A点横坐标为2，点在抛物线M上，求t的值； (2)如图2，若，直线分别交x轴、y轴于点B、C，用b表示点A到直线l的距离d，并求出d取得最小值时抛物线M的解析式； (3)定义：在平面直角坐标系中，若点P满足横、纵坐标都为整数，则把点P叫做“整点”，如点，都是“整点”．若，当抛物线与其关于x轴对称抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，求a的取值范围． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $