重难点02 二次函数中平移﹑翻折﹑对称﹑旋转﹑折叠问题（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学讲义聚焦二次函数平移、旋转、翻折、对称、折叠五大中考核心变换题型，构建“命题预测-典例精析-变式拓展-分层训练”复习体系，通过梳理折叠性质、对称关系等核心解题思路，结合中考真题讲解，帮助学生突破压轴难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于融入数学思维与模型意识，设计“折叠性质代数化”策略，如典例中利用OP'=OP建立方程求动点坐标，创新考点探究折痕恒过定点的代数推导。配合“基础巩固-能力提升”分层练习，培养学生用数学语言表达变换关系的能力，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第三章 函数 重难点02 二次函数中平移﹑翻折﹑对称﹑旋转﹑折叠问题 （5种题型汇总+专题训练） 目 录 01 重难攻坚👉破瓶颈·冲高分 1 02 分层攻坚👉验实效·夺高分 3 练透重难·固根基/解锁潜能·拓创新 题型1 二次函数平移问题 题型2 二次函数旋转问题 题型3 二次函数翻折问题 题型4 二次函数折叠问题 题型5 二次函数对称问题 【命题预测】 高频压轴题：抛物线上一点P，将△POC（O 为原点，C为抛物线与 y 轴交点）沿OC折叠，若落点 P' 在抛物线的对称轴上，求 P 点坐标（核心是利用折叠性质：OP' = OP，P'C = PC）。 创新考点：折叠后折痕的性质探究：如 “折痕 AB 恒过定点”“折痕 AB 的斜率为定值”，需通过代数推导证明。 难点考点：多次折叠：如 “将抛物线上的点 P 先沿 x 轴折叠，再沿抛物线的对称轴折叠，最终落点 P'' 在直线 l 上，求P点坐标”，需逐步应用折叠性质，转化坐标关系。 核心解题思路：折叠问题的关键是“折叠前后对应边相等、对应角相等”，结合勾股定理、两点间距离公式建立方程，求解动点坐标。 题型01 二次函数平移问题 【典例1】（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【变式1】（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 【变式2】（2024·湖北·中考真题）如图1，二次函数交轴于和，交轴于． (1)求的值． (2)为函数图象上一点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为与轴交于点，记，记顶点横坐标为． ①求与的函数解析式． ②记与轴围成的图象为与重合部分（不计边界）记为，若随增加而增加，且内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出的取值范围． 题型02 二次函数旋转问题 【典例2】（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； (3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【变式1】（2025·江西赣州·二模）已知抛物线：与轴交于点．其中自变量与函数值的部分对应值如下表： … 1 2 3 4 5 … … 0 0 3 8 … (1)抛物线的对称轴为直线______，点的坐标______； 求抛物线的解析式及的值． (2)如图，将抛物线绕点旋转后，得到抛物线． 抛物线的解析式为______； 记抛物线，组合得到的新图象为，图象与过点的直线有且仅有一个交点，请求出的取值范围． 【变式2】（2025·江西·模拟预测）如图，二次函数的图象经过，两点，C为抛物线的顶点，其纵坐标为． (1)直接写出顶点C的坐标； 求二次函数的解析式． (2)若经过点A的抛物线与具有相同的对称轴． 判断：点B_____（填“在”或“不在”）在抛物线上． 将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线，记为，D为的顶点，将C，D两点间的距离记为d，求d的取值范围． 题型03 二次函数翻折问题 【典例3】（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【变式1】（2023·山东·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．     (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； (3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值． 【变式2】（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线与新图象有三个公共点时，求k的值； (3)如图2，如果把直线沿y轴向上平移至经过点，与抛物线的交点分别是，，直线交于点，过点作于点，若．求点的坐标． 【变式3】（2025·河北邯郸·二模）如图1，抛物线：（是常数，）与轴交于点，，点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标； (2)求点，的坐标及直线的函数表达式； (3)如图2，将抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，与抛物线在轴下方的部分合在一起得到新的图形记作，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围． 题型04 二次函数折叠问题 【典例4】（2025·辽宁葫芦岛·二模）数学活动课上，李老师和同学们一起运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究—】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图象经过原点，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与轴交于另一点，点是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）同学们在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 【变式1】（2024·青海西宁·三模）类比探究题： 【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． 【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系． 【拓展拔高】（3）如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，则y与x的函数关系是_______，最大值为______． 【变式2】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由．题型05 二次函数对称问题 【典例5】（2025·福建福州·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，点是点关于抛物线对称轴的对称点． (1)若，，求抛物线的解析式和点坐标； (2)当，时，求证：； (3)在（1）的条件下，将绕抛物线对称轴上的一点顺时针旋转后得（点，，的对应点分别是点，，． 若边所在的直线经过点，求点的坐标； 小明认为只要点在抛物线的对称轴上，必有一条边所在的直线经过点，他的判断是否正确？请说明理由． 【变式1】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）某城市计划在滨河步道上方搭建一座抛物线型观景台．如图，步道的宽为，观景台拱顶最高处点距离地面为．为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称，支撑柱，在两个支撑柱上搭一个限高横杆．以步道的中点为原点，所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求该观景台所在抛物线的函数表达式； (2)为提升景观效果，现要在横杆上方设置一个面积为的矩形宣传牌，要求宣传牌在观景台内部，一边落在上，且长、宽均为整数，宣传牌关于观景台的对称轴对称．求符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由． 【变式2】（2025·安徽宣城·一模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点，直线经过点，，点为抛物线上一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在第一象限内直线上方的抛物线上运动，过点作垂直抛物线的对称轴于点，作于点，当时，求点的坐标； (3)点在抛物线对称轴上运动，当点，关于直线对称时，请直接写出点的坐标． 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 2．（2025·江西新余·二模）已知抛物线W：的对称轴在y轴左侧． (1)求抛物线W经过的定点坐标； (2)将抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线． ①抛物线的解析式为______（用含a的式子表示）； ②若抛物线恰好经过抛物线W的顶点，求a的值． 3．（2025·重庆大渡口·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，求的最大值及点的坐标； (3)将抛物线绕点旋转，得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得，直接写出点的坐标． 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 5．（2024·江苏无锡·模拟预测）已知矩形中，，，点是边上的动点(不与重合)，设，将沿折叠至． (1)如图1，当点在对角线上时，求的值； (2)设与矩形重叠部分的面积为，求关于的函数表达式． 6．（2024·天津南开·二模）如图1，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点D在边上（点D不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点D，并与直线相交于点F，且，点C的对应点为﹒设． (1)如图2，当折痕经过点B时，求t的值和点的坐标； (2)若折叠后的图形为四边形，点B的对应点为，与边相交于点G，，分别与x轴相交于点H，I，设折叠后四边形与矩形重合部分的面积为S． ①如图3，当折叠后四边形与矩形重合部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，直接写出S的取值范围． 7.（2025·安徽·模拟预测）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)平移抛物线，使其顶点在直线上，得到抛物线． （ⅰ）若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求抛物线的解析式； （ⅱ）若点，在抛物线上，当时，都有，求抛物线顶点纵坐标的最大值． 8．（2025·浙江衢州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，抛物线顶点的纵坐标为． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若将抛物线向右平移个单位长度后，图象恰好经过点，求的值． (3)只取抛物线在间的部分记为，将在直线上方的部分沿翻折，的其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围． 1．（2025·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）的顶点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是____________； (3)抛物线上一点P到x轴的距离为6，求点P的坐标； (4)将该抛物线在间的部分记为G，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为．设Q的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，直接写出t的取值范围． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动． 活动情境： 如图2，将边长为的正方形纸片沿折叠（折痕分别与、交于点、），使点落在边上的点处，与交于点处，连接与交于点． 所得结论： 当点与的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）： 甲：的边______，______； 乙：的周长为16cm； 丙：． 你的任务： (1)填充甲同学所得结果中的数据； (2)当点在边上除点A、外的任何一处（如图2）时： ①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论； ②直接写出S（S为四边形的面积）的最大值是多少？ 3．（2025·青海西宁·一模）【阅读理解】在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标相等的点叫做“不动点”，例如，都是“不动点”． 【迁移应用】在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线表达式及抛物线上“不动点”的坐标； (2)如图，将抛物线沿直线折叠得到新的图象，若恰好有个“不动点”，求的值； (3)如图，点为“不动点”，点是抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使？若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 重难点02 二次函数中平移﹑翻折﹑对称﹑旋转﹑折叠问题 （5种题型汇总+专题训练） 目 录 01 重难攻坚👉破瓶颈·冲高分 1 02 分层攻坚👉验实效·夺高分 3 练透重难·固根基/解锁潜能·拓创新 题型1 二次函数平移问题 题型2 二次函数旋转问题 题型3 二次函数翻折问题 题型4 二次函数折叠问题 题型5 二次函数对称问题 【命题预测】 高频压轴题：抛物线上一点P，将△POC（O 为原点，C为抛物线与 y 轴交点）沿OC折叠，若落点 P' 在抛物线的对称轴上，求 P 点坐标（核心是利用折叠性质：OP' = OP，P'C = PC）。 创新考点：折叠后折痕的性质探究：如 “折痕 AB 恒过定点”“折痕 AB 的斜率为定值”，需通过代数推导证明。 难点考点：多次折叠：如 “将抛物线上的点 P 先沿 x 轴折叠，再沿抛物线的对称轴折叠，最终落点 P'' 在直线 l 上，求P点坐标”，需逐步应用折叠性质，转化坐标关系。 核心解题思路：折叠问题的关键是“折叠前后对应边相等、对应角相等”，结合勾股定理、两点间距离公式建立方程，求解动点坐标。 题型01 二次函数平移问题 【典例1】（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点G的坐标为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式为：或，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系分类讨论即可； （3）分成两种情况进行讨论，抛物线沿射线方向或射线方向平移．沿射线方向平移，求出直线的解析式为，由直线性质可知图象沿上下方向与左右方向平移相同的单位，设向上、向右平移了m个单位，可得，，由平移性质可证四边形是平行四边形，推出交点M坐标为，可证明为直角三角形且，根据，可得四点共圆，是在以为直径的圆上，可求中点，根据列方程即可求得的值，则题目可解； 抛物线沿射线方向，作关于点对称点，方法同上． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， ， ， 当时，取最小值，最小值为， 顶点G的坐标为． （2）解：Ⅰ、当抛物线向右平移时： 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点M纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点N纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； ，符合题意； Ⅱ、当抛物线向左平移时， 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， ∴当时，y取最大值8，代入解析式得： ， 解得：，（舍）， 综上可知，或； （3）解： 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则, ∴直线与轴交于， 直线与坐标轴围成的是一个等腰直角三角形， ∴图象沿直线平移时，上下方向与左右方向平移的距离相等， 设向上、向右平移了m个单位， ，， 由平移得，， 四边形是平行四边形， 线段与交于点M， ∴为线段的中点， ， Ⅰ、如图，抛物线沿射线平移， ∵，，G， ∴由勾股定理可得， ， ，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，是在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； Ⅱ、如图，抛物线沿射线平移， 作关于点对称点， 则可同理证明，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求一次函数解析式，平行四边形的判定和性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，正确作出辅助线． 【变式1】（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或 【分析】（1）令，则，得到，根据平移得到，进而根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标； （2）①当点O，M，F三点共线时，为最小值．对于抛物线，令，求出，进而可得直线的解析式为．由点F在射线CD上，，得到，从而可得直线的解析式为．解方程组即可解答； ②由，，得到是等腰直角三角形，从而．连接，，由两点间距离公式可得，，从而，即可得到是等腰直角三角形，因此，从而证得，得到，进而有．证明，根据勾股定理求出，即可解答． （3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为． （2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值． 对于抛物线，令，则， 解得，， ∴， 设过点，的直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵点F在射线上，，， ∴， ∴由点，可得直线的解析式为， 解方程组得， ∴当的值最小时，点M的坐标为； ②∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴轴，即， ∴， ∴． ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． （3）解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴． 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段最短等，综合运用相关知识是解题的关键． 【变式2】（2024·湖北·中考真题）如图1，二次函数交轴于和，交轴于． (1)求的值． (2)为函数图象上一点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为与轴交于点，记，记顶点横坐标为． ①求与的函数解析式． ②记与轴围成的图象为与重合部分（不计边界）记为，若随增加而增加，且内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)①；②的取值范围为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得，，作轴于点，设，分当点在轴上方和点在轴下方时，两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，列式求解即可； （3）①利用平移的性质得图象的解析式为，得到图象与轴交于点的坐标，据此列式计算即可求解； ②先求得或，中含，，三个整数点（不含边界），再分三种情况讨论，分别列不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数交轴于， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 令，则， 解得或， 令，则， ∴，，， 作轴于点， 设， 当点在轴上方时，如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）； 当点在轴下方时，如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）； ∴或； （3）解：①∵将二次函数沿水平方向平移， ∴纵坐标不变是4， ∴图象的解析式为， ∴， ∴， 由题意知：C、D不重合，则， ∴； ②由①得， 则函数图象如图， ∵随增加而增加， ∴或，中含，，三个整数点（不含边界）， 当内恰有2个整数点，时， 当时，，当时，， ∴， ∴，或， ∴； ∵或， ∴； 当内恰有2个整数点，时， 当时，，当时，， ∴， ∴或，， ∴； ∵或， ∴； 当内恰有2个整数点，时， 此情况不存在，舍去， 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式及二次函数与线段的交点问题，也考查了二次函数与不等式，相似三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数图象的性质及数形结合法是解题的关键． 题型02 二次函数旋转问题 【典例2】（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； (3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）直接由待定系数法即可求解； （2）先联立抛物线与直线求出交点的坐标，再求出对称轴，则得到点的坐标表示，再由两点间距离公式建立方程求解即可； （3）顶点，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：联立， 解得：， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，顶点为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：由（2）得顶点，设， 由旋转得， 当时， 过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， ∴或； 当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， 或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，难度较大，解题的关键在于构造“三垂直”全等模型． 【变式1】（2025·江西赣州·二模）已知抛物线：与轴交于点．其中自变量与函数值的部分对应值如下表： … 1 2 3 4 5 … … 0 0 3 8 … (1)抛物线的对称轴为直线______，点的坐标______； 求抛物线的解析式及的值． (2)如图，将抛物线绕点旋转后，得到抛物线． 抛物线的解析式为______； 记抛物线，组合得到的新图象为，图象与过点的直线有且仅有一个交点，请求出的取值范围． 【答案】(1)；；，； (2)；． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴的求法即可求出对称轴，利用利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求点的坐标； 由可得出抛物线的解析式，把点代入即可求出； （2）设的顶点为，的顶点为，由题意可知点与点关于点对称，抛物线的开口方向相反，利用中点坐标公式求出点的坐标，即可求解； 直线经过点，即直线为，当过点的直线与、有且仅有一个交点时，解得，当时，直线无限靠近轴，与图象有且仅有一个交点，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，或， 对称轴为， 把，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，， ， 故答案为：，； 由可知，抛物线的解析式为， 把代入，得：， 解得：； （2）解：如图：设的顶点为，的顶点为， 当时，， ， 将抛物线绕点旋转后，得到抛物线， 点与点关于点对称，抛物线的开口方向相反， ， ，， ， 抛物线的解析式为； 直线经过点， ，即直线为， 当过点的直线与有且仅有一个交点时， 令，即， ， 解得：， 当过点的直线与有且仅有一个交点时， 令，即， ， 解得：， 当时，直线无限靠近轴，与图象有且仅有一个交点， 故图象与过点的直线有且仅有一个交点时，的取值范围是． 【变式2】（2025·江西·模拟预测）如图，二次函数的图象经过，两点，C为抛物线的顶点，其纵坐标为． (1)直接写出顶点C的坐标； 求二次函数的解析式． (2)若经过点A的抛物线与具有相同的对称轴． 判断：点B_____（填“在”或“不在”）在抛物线上． 将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线，记为，D为的顶点，将C，D两点间的距离记为d，求d的取值范围． 【答案】(1)，（或） (2)①在，② 【分析】本题主要涉及二次函数的性质及应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）利用已知点的坐标可求出对称轴，可知顶点C的坐标； 已知顶点C的坐标，设二次函数解析式（顶点式），代入已知点，可得二次函数的解析式； （2）因为抛物线与具有相同的对称轴，根据抛物线的对称性，所以点B在抛物线上； 直线为抛物线的对称轴．F为抛物线的顶点，F，B，D三点共线，且．过B，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，E，可得的长，由D点在上，且点到直线的距离垂线最短，可得d的取值范围 【详解】（1）解： 二次函数的图象经过，两点， 对称轴为 C为抛物线的顶点，其纵坐标为． 点C坐标为． 设二次函数解析式，将代入， 得，解得． 二次函数的解析式为或． （2）解∶ ①在， 因为抛物线与具有相同的对称轴，且经过点，根据抛物线的对称 性，点关于对称轴的对称点为，所以点B在抛物线上． 如图，直线为抛物线的对称轴． F为抛物线的顶点， ∴F，B，D三点共线，且． 过B，D分别作直线的垂线，垂足分别为M，E， ，． ∵将抛物线绕着点B旋转得到新的抛物线， 点D在直线上运动. ∵， d的取值范围为． 题型03 二次函数翻折问题 【典例3】（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式1】（2023·山东·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．     (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； (3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题易得c的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答； （2）过作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到，，由，推出，解直角三角形得到的长，即可解答； （3）求得所在直线的解析式为，设，设所在直线的解析式为：，得，令，解得，分别表示出和，再对进行化简计算，配方成顶点式即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点， ∴， ∵对称轴为， ∴，， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，过作x轴的垂线，垂足为H，    令， 解得：， ∴，， ∴， 由翻折可得， ∵对称轴为， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）设所在直线的解析式为， 把B、C坐标代入得：， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线与x轴所成夹角为， 设， 设所在直线的解析式为：， 把点P代入得， ∴， 令，则， 解得， ∴ ∴ ∵点P在直线上方， ∴， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键． 【变式2】（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线与新图象有三个公共点时，求k的值； (3)如图2，如果把直线沿y轴向上平移至经过点，与抛物线的交点分别是，，直线交于点，过点作于点，若．求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）设抛物线的解析式为， ， ， ， 把，代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为 （2）直线表达式， 直线经过定点， 将过点的直线旋转观察和新图象的公共点情况 把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的解析式为， 新图象表达式为：时，；或时，， 如下图当直线与翻折上去的部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点，    联立，得：， 整理得： ， ， ， ， ， 时，即如上图所示，符合题意， 时，如下图所示，经过点，    不符合题意，故舍去， 如下图，当直线经过点时，和新图象有三个公共点，      把代入，得：， 解得：， 综上所述，当平面内的直线与新图象有三个公共点时，k的值为或 （3）在抛物线上， 设坐标为， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （舍去）， ，代入， 点的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数综合、翻折、交点个数问题，结合一元二次方程、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点，数形结合是解题的关键． 【变式3】（2025·河北邯郸·二模）如图1，抛物线：（是常数，）与轴交于点，，点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标； (2)求点，的坐标及直线的函数表达式； (3)如图2，将抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，与抛物线在轴下方的部分合在一起得到新的图形记作，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2)，， (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出抛物线与轴交点，再由待定系数法求解一次函数解析式； （3）先求出翻折后的解析式，设出平移后的直线解析式，找出两个临界状态，一个是直线经过点，一个是直线与抛物线相切时，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：将代入． ， 则， 则． 抛物线解析式为 即． 顶点坐标为； （2）解：当时，， ，． 点，． 设直线的表达式为．将，点代入得 ， 解得 直线的函数表达式为； （3）解：将直线向下平移个单位所得直线的解析式为， 当直线过点时，， 解得； 将抛物线位于轴上方的部分关于轴对称， 得到新的图形的解析式为． 当直线与抛物线相切时， 令， 整理得， ． 解得 当时，直线与新的图形有四个不同交点． 的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，翻折的性质，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移问题等知识点． 题型04 二次函数折叠问题 【典例4】（2025·辽宁葫芦岛·二模）数学活动课上，李老师和同学们一起运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究—】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图象经过原点，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与轴交于另一点，点是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）同学们在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交直线于点，求得，，得到，证明为等腰直角三角形，得到，再证明为等腰直角三角形，得到，求出，即可求解； （3）求出右侧幼苗上方轮廓表达式，设，则，则，即可求解． 【详解】解：（1）把点代入中，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）由（1）可知，抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 如图，过点作轴，交直线于点， 将代入中，得：， ∴， ∴， ∵直线与坐标轴交于两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点是关于对称轴直线的一对对称点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 解得：， ∴； （3）如图： ∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状想再，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓表达式为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为． 【变式1】（2024·青海西宁·三模）类比探究题： 【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． 【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系． 【拓展拔高】（3）如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，则y与x的函数关系是_______，最大值为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）， 【分析】（1）证明即可证明； （2）过作轴于点，证明，即可得到，，再根据求解即可； （3）证明即可得到y与x的函数关系，然后根据关系式求最大值即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）过作轴于点， ∵点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y， ∴，，， ∵以为直角边作等腰直角，使， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴y与x的函数关系为； （3）∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵现将沿直线折叠， ∴， ∵过点P作的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∵，， ∴当时，为最大值， 故答案为：，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角坐标系，二次函数最值，根据一线三垂直模型构造全等或相似是本题的关键． 【变式2】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)相等，理由见解析 【分析】（1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； （2）证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 题型05 二次函数对称问题 【典例5】（2025·福建福州·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，点是点关于抛物线对称轴的对称点． (1)若，，求抛物线的解析式和点坐标； (2)当，时，求证：； (3)在（1）的条件下，将绕抛物线对称轴上的一点顺时针旋转后得（点，，的对应点分别是点，，． 若边所在的直线经过点，求点的坐标； 小明认为只要点在抛物线的对称轴上，必有一条边所在的直线经过点，他的判断是否正确？请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为，点坐标为； (2)见解析； (3)点的坐标为；正确，直线必定经过点，理由见解析 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式，利用配方法可求得抛物线对称轴，根据轴对称性质即可得出点坐标； （2）由题意可得，再由根与系数关系得：，即可证得结论； （3）设，由旋转得：，，，，，则，运用待定系数法可得直线的解析式，把点代入即可求得答案； 运用待定系数法可得直线的解析式为，验证得点在直线上，即可证得结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 设，把代入得：， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，顶点为， 点是点关于抛物线对称轴的对称点， ， 抛物线的解析式为，点坐标为； （2）证明：，， ， 由根与系数关系得：，， ， ； （3）解：设， 将绕抛物线对称轴上的一点顺时针旋转后得（点、、的对应点分别是点、、）， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 边所在的直线经过点， ， 解得：， 点的坐标为； 正确，直线必定经过点．理由如下： 由得：，， 同理可得：直线的解析式为， 当时，， 直线必定经过点． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，旋转变换的性质，根与系数关系等，根据旋转的性质得到、、坐标是解题的关键． 【变式1】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）某城市计划在滨河步道上方搭建一座抛物线型观景台．如图，步道的宽为，观景台拱顶最高处点距离地面为．为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称，支撑柱，在两个支撑柱上搭一个限高横杆．以步道的中点为原点，所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求该观景台所在抛物线的函数表达式； (2)为提升景观效果，现要在横杆上方设置一个面积为的矩形宣传牌，要求宣传牌在观景台内部，一边落在上，且长、宽均为整数，宣传牌关于观景台的对称轴对称．求符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由． 【答案】(1) (2)长为10m，宽为2m；见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）先求出两个支撑柱之间的距离．进一步求得的长可以为1或2．则有下列2种初步的设计方案：①；②；然后分别验证即可． 【详解】（1）解：由题意，得拱顶最高处点的坐标为，， ∴点B的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴该观景台所在抛物线的函数表达式为； （2）解：令，即． 解得． 两个支撑柱之间的距离． 矩形宣传牌的面积为，宣传牌在观景台内部，一边落在上，且长、宽均为整数，宣传牌关于观景台的对称轴对称， 的长可以为1或2． 有下列2种初步的设计方案： ①；②： ． 方案①不合题意． ，此时点到步道的距离为6． 当时，． 此时宣传牌左上方顶点的坐标是．符合题意． 综上所述，矩形宣传牌的长为，宽为． 【变式2】（2025·安徽宣城·一模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点，直线经过点，，点为抛物线上一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在第一象限内直线上方的抛物线上运动，过点作垂直抛物线的对称轴于点，作于点，当时，求点的坐标； (3)点在抛物线对称轴上运动，当点，关于直线对称时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）先由一次函数求出，，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴交直线于点F，求出，得到，设点P的坐标为，则，得到，求出抛物线的对称轴为直线，得到，则，解方程求出答案； （3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接，分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况分别画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，， ∴点，， 经过点，，      解得 抛物线的函数解析式为： （2）过点P作轴交直线于点F， ∵ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设点P的坐标为，则， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴ （3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接， 如图，当点P在直线上方时， ∵轴， ∴， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴， ∴， 把代入得到， 则， ∴点P的纵坐标为1， 把代入得到， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴， ∴点Q的坐标为， 同理，如图，当点P在直线下方时， ∵， ∴点P的纵坐标为1， 把代入得到， 解得（不合题意，舍去），， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、轴对称的性质、待定系数法求函数解析式、一次函数和二次函数的交点问题、解直角三角形等知识，综合性强，分情况讨论是解题的关键． 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线与交于定点 【分析】（1）根据题意可得，整理得，即可知则有； （2）由题意得抛物线：，则设 ，可求得，结合题意可得直线解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点E，则，即可求得，进一步解得点，过D作于点H，则，即可求得； （3）设可求得直线解析式为，过点D作，可得，结合题意得 设抛物线解析式为，由于过点，可求得抛物线解析式为，根据解得，即可判断抛物线与交于定点． 【详解】（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点， ∴，整理得，解得 ∴ 则； （2）当时，抛物线：， 则 设 ，则， 设直线解析式为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则直线解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点E，则， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得， ∴点， 过点D作于点H，则， 则； （3）设直线解析式为， 则，解得， 那么直线解析式为， 过点D作，如图， 则， ∵， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴ 由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为， ∵点，都落在抛物线上   ∴ 解得， 则抛物线解析式为 ∵ 整理得，解得， ∴抛物线与交于定点． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用． 2．（2025·江西新余·二模）已知抛物线W：的对称轴在y轴左侧． (1)求抛物线W经过的定点坐标； (2)将抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线． ①抛物线的解析式为______（用含a的式子表示）； ②若抛物线恰好经过抛物线W的顶点，求a的值． 【答案】(1)抛物线W经过的定点坐标为和 (2)①a；② 【分析】（1）将变形为，即可解答； （2）①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称，据此得到，化简即可解答；②求出的顶点坐标为，代入抛物线的解析式，得解得，再根据抛物线W：的对称轴在y轴左侧，建立不等式组得到或，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，， ∴抛物线W经过的定点坐标为和． （2）解：①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称， ∴， 即抛物线的解析式为． ②由得抛物线W的顶点坐标为， 整理得，代入抛物线的解析式，得， 整理得， 解得． ∵抛物线W：的对称轴在y轴左侧， ∴，即， ∴或 ∴，则不合题意，舍去， 故a的值为． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征，其中用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键． 3．（2025·重庆大渡口·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，求的最大值及点的坐标； (3)将抛物线绕点旋转，得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为9，此时， (3)或． 【分析】（1）将，，三点坐标代入抛物线解析式，求解即可； （2）过点作轴，先求出直线的函数关系式为，设，则， 可得出，再求解即可； （3）分为当点在的下方时及当点在的上方时，这两种情况，构造全等三角形，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 将，，三点坐标代入抛物线解析式： ，解得：, 抛物线的表达式为：； （2）解：如图，过点作轴， 设直线的函数关系式为，将，两点坐标代入得： ，解得， 直线的函数关系式为， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，为9，此时； （3）解：将抛物线绕点旋转，得到新抛物线， 关于对称点都在抛物线上， 设新抛物线的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， 新抛物线的函数关系式为， 当点在的下方时， 如图，过点作，过点作轴，过点作的延长线于点， 设点， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直线：上， ， 解得：（舍去）， ， 当点在的上方时， 如图，过点作，过点作轴，过点作的延长线于点 ， 设点， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直线：上， ， 解得：（舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）令，解方程即可得解； （2）由二次函数知，其对称轴为直线，故设设点，则点，点，则，，由得，即可求解； （3）如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”，只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”，进而求解． 【详解】（1）解：令 ∴， 则或， ∴点、； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点，则点，点， ∴，， ∵， ∴，则， ∴ ； （3）解：如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”， 只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”， 此时． 根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点， 此时是临界位置，， 所以． 5．（2024·江苏无锡·模拟预测）已知矩形中，，，点是边上的动点(不与重合)，设，将沿折叠至． (1)如图1，当点在对角线上时，求的值； (2)设与矩形重叠部分的面积为，求关于的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数与面积问题，灵活运用知识点、分类讨论是解题的关键． （1）根据矩形的性质、折叠的性质，得出，，推出，证明，得出，则，计算即可； （2）分“当时”和“当时”两种情况讨论．当时，点在左侧以及上，则此时，得出函数表达式；当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点，根据折叠的性质，得出，证明四边形是矩形，得出，设，则，根据勾股定理，则，得出，表示出，根据，得出函数表达式．综合两种情况，得出关于的函数表达式即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，将沿折叠至，当点在对角线上， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：当时，点在左侧以及上， 此时； 如图，当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 展开得：， 整理得：， ∴； 综上所述，． 6．（2024·天津南开·二模）如图1，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点D在边上（点D不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点D，并与直线相交于点F，且，点C的对应点为﹒设． (1)如图2，当折痕经过点B时，求t的值和点的坐标； (2)若折叠后的图形为四边形，点B的对应点为，与边相交于点G，，分别与x轴相交于点H，I，设折叠后四边形与矩形重合部分的面积为S． ①如图3，当折叠后四边形与矩形重合部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，直接写出S的取值范围． 【答案】(1)；点的坐标为； (2)①；；②． 【分析】（1）在中，利用正切定义求出即可，过作于H，在中，利用余弦定义求出即可，利用勾股定理求出，即可求解； （2）①解直角三角形，分别用t表示出，，，，然后求解即可； ②分；；三种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∵矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点， ∴ ，，， 在中，， 过作于H， ∵折叠， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴点的坐标为 （2）解：①过F作于K， 则四边形，都是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴ ， ∵折叠后与边相交于点G，，分别与x轴相交于点H，I， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 此时 当时，随t的增大而增大， ∴当时，S有最小值为， 当时，S有最大值为； 当时，， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴当时，S有最大值为， ∵，， 当或时，S有最小值为， 当时，如图， 此时 ， 当时，随t的增大而减少， ∴当时，S有最大值为，当时，S有最小值为， 综上，当时，． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形，勾股定理，二次函数的性质等知识，理解重叠图形的变化规律是解题的关键． 7.（2025·安徽·模拟预测）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)平移抛物线，使其顶点在直线上，得到抛物线． （ⅰ）若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求抛物线的解析式； （ⅱ）若点，在抛物线上，当时，都有，求抛物线顶点纵坐标的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）抛物线的解析式为或；（ⅱ）3 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移问题，一次函数图象上的点的坐标特点，熟知二次函数的相关知识是解题的关键。 （1）利用待定系数法求解函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）设抛物线的顶点的横坐标为，则抛物线的顶点坐标为，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数可推出点在抛物线上将代入，得，解方程即可得到答案； （ⅱ）设抛物线的顶点的横坐标为，由（ⅰ）得，则可得到，，进而得到，根据，，得到，则，再由抛物线的顶点的纵坐标为，可得当时，取最大值，最大值为． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：（ⅰ）设抛物线的顶点的横坐标为， 抛物线的顶点在直线上， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线的解析式为， 点关于坐标原点的对称点为，且点在抛物线上 ∴将代入，得， 整理，得， 解得，， 抛物线的解析式为或；                    （ⅱ）设抛物线的顶点的横坐标为， 由（ⅰ）得， ，在抛物线上， ，， ， ， ， ， ， ， ， 抛物线的顶点的纵坐标为， 当时，取最大值，最大值为． 8．（2025·浙江衢州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，抛物线顶点的纵坐标为． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若将抛物线向右平移个单位长度后，图象恰好经过点，求的值． (3)只取抛物线在间的部分记为，将在直线上方的部分沿翻折，的其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，熟练掌握平移规则，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出对称轴，根据顶点的纵坐标为，得到时的函数值为，进行求解即可； （2）根据平移规则，求出新的解析式，待定系数法求出的值即可； （3）设图象折叠后的对应点为，点H是时，函数所处的位置，图象Q为区域，分点在点下方或与M平齐，以及点在点上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵抛物线顶点的纵坐标为， ∴当时，， ∴， ∴； （2）∵， ∴将抛物线向右平移个单位长度后，得到， ∵平移后的图象恰好经过点， ∴， 解得：或； （3）设图象折叠后的对应点为，点H是时，函数所处的位置，图象Q为区域， ∵，当时， ∴点，点， ∴点， 当点在点下方或与M平齐时，图象Q的最低点为，最高点为N， 则，， 依题意得：． 解得， 当点在点上方时，函数Q的最高点为点，最低点为， 则，，依题意得： ． 解得：． 综上所述：． 1．（2025·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）的顶点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是____________； (3)抛物线上一点P到x轴的距离为6，求点P的坐标； (4)将该抛物线在间的部分记为G，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为．设Q的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 (4) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的翻折、函数的最值、不等式的应用等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）利用对称轴及待定系数法确定函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）抛物线上一点P到x轴的距离为6，而顶点坐标为，故，即可求解； （4）分在点H下方、上方两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：函数的对称轴为： ， 将点代入得， 解得：， 故解析式为：， 故答案为：； （2）∵抛物线的对称轴为，开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：； （3）∵抛物线上一点P到x轴的距离为6，顶点坐标为， ， 解得：， 故点P的坐标为 或； （4）． 设图象折叠后顶点M的对应点为，点H是函数所处的位置，图象Q为区域， 点，点，则点 当点在点H下方或与H重合时，函数Q的最高点为H，最低点为N， 则，，依题意得： ． 解得， 当点在点H上方时，函数Q的最高点为点，最低点为N， 则，，依题意得： ． 解得． 若，的取值范围．综上所述：． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动． 活动情境： 如图2，将边长为的正方形纸片沿折叠（折痕分别与、交于点、），使点落在边上的点处，与交于点处，连接与交于点． 所得结论： 当点与的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）： 甲：的边______，______； 乙：的周长为16cm； 丙：． 你的任务： (1)填充甲同学所得结果中的数据； (2)当点在边上除点A、外的任何一处（如图2）时： ①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论； ②直接写出S（S为四边形的面积）的最大值是多少？ 【答案】(1)3，5 (2)①不会发生变化，证明见解析；②40 【分析】（1）根据图形翻折变换的性质可，则，利用勾股定理即可求出的长，进而求出的长即可； （2）①设，利用勾股定理可得出，同理可知，再由相似三角形的性质可得出的周长即可；②由正方形的性质及全等三角形的判定定理可知可得，进而可得，再表示四边形的面积，再根据二次根式的性质求得面积的最大值即可． 【详解】（1）解： 设，则， ∵， ∴，解得：， ． 故答案为：3，5． （2）解：①乙的结果不会发生变化，理由如下： 如图2，设， ， ， 由折叠的性质可得：， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：． ②证明：如图2，如图：过作于， 、关于对称， 于， ∵，， ， 在正方形中，， ， ． ∵， ， ∴， ∴， ∴ 当，即与的中点重合时． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、正方形的性质等知识点，相似三角形的判定与性质的应用是解题的关键． 3．（2025·青海西宁·一模）【阅读理解】在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标相等的点叫做“不动点”，例如，都是“不动点”． 【迁移应用】在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线表达式及抛物线上“不动点”的坐标； (2)如图，将抛物线沿直线折叠得到新的图象，若恰好有个“不动点”，求的值； (3)如图，点为“不动点”，点是抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使？若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，令，求出不动点即可； （2）当直线和折叠的部分抛物线只有一个交点时，满足题设要求，相当于折叠前抛物线和直线只有一个交点，则直线、关于直线设该直线和轴的交点为对称，则是的中点，即可求解； （3）分当点在抛物线内部和点在抛物线外部，两种进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴，把代入，得：， ∴， ∴， 当时，， 解得：或， ∴抛物线上“不动点”的坐标为：，； （2）由题意，设“不动点”所在的直线表达式为：，如图直线， 当直线和折叠的部分抛物线只有一个交点时，满足题设要求，相当于折叠前抛物线和直线只有一个交点， 则直线、关于直线设该直线和轴的交点为对称，则是的中点， 联立和原抛物线得：， 则，则， ∴直线，当时，， ∴， ∵是的中点， ∴， 把代入，得：； （3）存在，理由： ∵，，， ∴，，， 则，即为直角三角形，且， ， ∴，， ∴， 设点， ①当点在抛物线内部时，过点作轴，交轴于点，作于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∵在抛物线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点． ②当点在抛物线外部时， 同法可得：， ∴，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或． 5 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $