精品解析：湖北省黄冈市2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题

湖北省黄冈市2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 祝考试顺利 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. B. 3i C. D. 3 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 有一散点图如图，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（ ） A. 解释变量与响应变量的线性相关性变弱 B. 数据的方差变大 C. 决定系数变小 D. 残差平方和变小 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与该双曲线右支交于两点，直线分别交轴于两点，若的周长为24，则的最大值为（ ） A. 12 B. 16 C. D. 7. 直线与x，y轴分别交于M，N两点，点在圆上，当面积最大时，（ ） A. B. C. D. 8. 当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 直三棱柱中，，点分别为的中点，则（ ） A B. 平面 C. 平面 D. 10. 已知函数在处有极大值，则（ ） A. B. C. 若时，的值域为，则的取值范围为 D. 曲线在点处的切线与曲线有两个不同的公共点 11. 已知函数且，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图像关于对称 D. 函数的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，若，，则__________． 13. 2025的正因数的个数为__________个.（用数字作答） 14. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足，若，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且. （1）求数列通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 16. 如图，在三棱台中，平面，为中点，. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角正弦值. 17. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. （ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7879 10.828 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的上顶点为，左焦点为，焦距为的面积为6，点为椭圆上一点，圆的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）过原点作圆的两条切线OM，ON分别交椭圆于M，N. （i）若直线OM，ON的斜率都存在，分别记为，求的值； （ii）求的最大值. 19. 已知函数，. （1）求函数的最值； （2）讨论函数在上极值点个数； （3）设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省黄冈市2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 祝考试顺利 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. B. 3i C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算以及除法运算即可计算出结果. 【详解】易知，所以复数， 可得，所以. 故选：A 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解. 【详解】因为 当时, ,所以.即“”是“”的充分条件. 当时,由于成立,所以,即“”是“”的必要条件. 综上可知, “”是“”的充要条件 故选:C 【点睛】本题考查了立方和公式的用法,充分必要关系的判断,属于基础题. 3. 有一散点图如图，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（ ） A. 解释变量与响应变量的线性相关性变弱 B. 数据的方差变大 C. 决定系数变小 D. 残差平方和变小 【答案】D 【解析】 【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，方差，决定系数，残差的平方和的变化情况． 【详解】从散点图可分析出，若去掉点，则剩下的点更能集中在一条直线附近， 所以解释变量与响应变量的线性相关性变强， 数据的离散程度减小，所以方差变小，决定系数越接近1，会变大， 因为拟合效果越好，所以残差平方和变小. 故选：D 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式和二倍角公式求解计算即可. 【详解】因为，所以， 代入得， 化简得， 解得，即或， 因为，所以， 所以. 故选：B. 5. 设函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合对数的运算性质、换底公式进行求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以 . 故选：B 6. 已知双曲线的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与该双曲线右支交于两点，直线分别交轴于两点，若的周长为24，则的最大值为（ ） A. 12 B. 16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义、双曲线的通径长、双曲线的对称性，结合的周长为24，可得，根据方程利用三角换元设，其中，从而结合三角恒等变换与三角函数的性质即可得的最大值. 【详解】双曲线的左、右焦点分别为， 因为，所以， 又在双曲线上，则，解得， 设，所以， 由题意可得，分别为的中点， 如图：因为的周长为24，所以的周长为48， 则， 由双曲线的定义可得，即， 可得，整理得：，所以， 可得，， 则可设，其中， 所以， 由于，所以， 故当，即时，的最大值为. 故选：D. 7. 直线与x，y轴分别交于M，N两点，点在圆上，当面积最大时，（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设分析可得，要使面积最大，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【详解】直线与x，y轴分别交于M，N两点，则， 由圆，即，则圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 则直线与圆相离，而点在圆上， 要使面积最大，则点到直线的距离最大， 即与直线垂直，而，则， 如图，此时三点共线，即，则， 所以. 故选：A 8. 当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式转化为不等式，构造函数，求导确定函数的单调性，从而根据不等式整数解的个数列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】当时不等式等价于： 设， 则， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以有两个正整数解2和3，则，解得， 故实数的取值范围是． 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 直三棱柱中，，点分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线面垂直性质可证明A正确，假设B选项成立，利用线面垂直性质得出矛盾可得B错误，利用线面平行判定定理证明可得C正确，假设成立，结合已有分析得出矛盾，即可得D错误. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 对于A，又因为点分别为的中点，所以，且； 又，，所以，； 所以四边形是平行四边形，因此， 又因为，所以， 在直三棱柱中，平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，因此平面； 又平面，因此，即A正确； 对于B，假设平面成立，则， 由选项A中分析可知，，因此可得， 显然不成立，因此假设不成立，所以与平面不垂直，即B错误； 对于C，由选项A分析可知，平面，平面， 所以平面，即C正确； 对于D，取的中点为，连接， 显然此时，若成立，可知， 这与矛盾，因此不成立，即D错误. 故选：AC 10. 已知函数在处有极大值，则（ ） A. B. C. 若时，的值域为，则的取值范围为 D. 曲线在点处的切线与曲线有两个不同的公共点 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用极大值和导数确定可判断A；由三次函数图象的对称中心性质可判断B；利用单调性可判断C；由导数的意义结合切线方程可判断D. 【详解】，， 因为函数在处有极大值，所以， 即，解得或3， 当时，， 当时，；当时，；当时，， 此时为极小值点，不符合题意， 当时，， 当时，；当时，；当时，， 此时为极大值点， 所以， 对于A，由以上可得，故A错误； 对于B，法一：， 易知函数为奇函数，其图象关于原点对称， 而的图象是由函数的图象向右平移两个单位后，向上平移两个单位得到， 所以的图象关于点成中心对称，即； 法二：由于，令，则， 令，， 所以的图象关于点成中心对称，即，故B正确； 对于C，因为，极大值，极小值，， 结合单调性可得当的值域为，则的取值范围为，故C正确； 对于D，由，所以切线方程为，即， 联立可得，解得， 即方程有三重根，所以曲线在点处的切线与曲线有1个不同的公共点，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数且，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图像关于对称 D. 函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：利用平方差公式、余弦的二倍角公式化简该函数的解析式，最后利用余弦函数的单调性进行判断即可；B：利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、降幂公式化简该函数的解析式，最后利用余弦函数的周期公式进行求解即可；C：利用关于直线对称的性质，结合诱导公式进行运算判断即可；D：先判断该函数的最小正周期，结合导数的性质判断该函数的单调性，进而求出函数的最值即可. 【详解】A：， 当时，， 由余弦函数的性质可以判断函数在上单调递减，因此本选项说法正确； B： ， 所以函数的最小正周期为，因此本选项说法正确； C：因为， 比如，，所以函数的图像不关于对称，因此本选项说法不正确； D：因为， 所以函数的周期为，因此函数的值域，也就是函数在区间上的值域. ， 当时，， 因为，且，所以，故，所以， 所以此时函数单调递减， 当时，， 因为，且，所以，故，所以 所以此时函数单调递增， 所以有， 因为，所以， 因此当时，函数的值域为. 所以函数的值域为，因此本选项说法正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，若，，则__________． 【答案】330 【解析】 【分析】根据已知条件求出等差数列的通项公式，再利用等差数列前项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 则，即，解得， 所以. 所以， 则. 故答案为：330. 13. 2025的正因数的个数为__________个.（用数字作答） 【答案】15 【解析】 【分析】对2025进行质因数分解，然后应用正因数个数定理计算结果即可. 【详解】因为， 则根据正因数个数定理，2025的正因数个数为个. 故答案：15. 14. 在锐角中，角的对边分别为的面积为，满足，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由正余弦定理和同角的三角函数关系结合题意得到，再通过锐角三角形得到，故可得的范围，然后用余弦定理和三角形的面积公式变形，再结合基本不等式可求最小值. 【详解】整理得， 所以，所以， 因为，所以， 即，解得或（舍去）， 因为，所以， 在锐角中，有，则， 所以， 因为， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为， 所以 ， 设，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出，问题转化为根据数列的前项和公式求数列的通项公式； （2）先求出数列通项公式，利用裂项求和法求，即可证明. 【小问1详解】 由题意得 ，得，故 所以 当时，； 当时，， 当时，上式亦成立. 所以. 【小问2详解】 由（1），得， ， 由于，故，即得， 故，即得 故成立. 16. 如图，在三棱台中，平面，为中点，. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定定理可证明平面，再利用线面垂直性质可得答案； （2）建系，利用线面角的坐标运算公式可得答案. 【小问1详解】 平面平面， 又平面平面， 平面 ， 平面， 又，平面平面， 平面平面， . 【小问2详解】 由（1）知直线两两垂直， 分别以为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示 依题意得 ，设平面的法向量，则 ，取 设与平面所成角 ， 与平面所成角的正弦值为. 17. 有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. （1）根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. （ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，认为学生报名参加答题活动与性别有关联 （2）（i）；（ii）的分布列见解析, 【解析】 【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成列联表，再计算出的值判断即可； （2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则，根据二项分布的概率性质建立不等式组即可求解；（ii）写出的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可写出的分布列及期望. 【小问1详解】 因为，所以愿意报名参加答题活动人数为， 又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为，则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001； 【小问2详解】 （i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则. 则， 假设最有可能答对题目的数量是10次，则 即： 解得，又，则； （ii）的所有可能取值为：1，2，3，4， ，，， ， 所以的分布列为： X 1 2 3 4 P 故. 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的上顶点为，左焦点为，焦距为的面积为6，点为椭圆上一点，圆的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）过原点作圆的两条切线OM，ON分别交椭圆于M，N. （i）若直线OM，ON的斜率都存在，分别记为，求的值； （ii）求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）18 【解析】 【分析】（1）由焦距得，由面积得，，即可求出离心率. （2）（i）直线与圆相切，由距离公式得关于的方程，结合椭圆方程，韦达定理得. （ii）由得，代入椭圆化简得，用基本不等式得最大值. 【小问1详解】 依题意得， ，. 【小问2详解】 （i）依题意得圆，椭圆，点为椭圆上一点， ，. 直线，与圆相切，，. 平方整理，得为方程的两根， . （ii）设，由（i）知，所以， ，， 整理得， ， 由基本不等式，得，当且仅当时等号成立. 的最大值为18. 19. 已知函数，. （1）求函数的最值； （2）讨论函数在上极值点的个数； （3）设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小值为，无最大值. （2）见解析. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数即可得到函数的单调性及最值. （2）对函数求导，作出函数简图，通过方程根的个数结合极值点两边正负号即可确定参数的范围. （3）化简函数并求导，分析有三个极值点时满足的条件，结合函数单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此在处取得极小值（也是最小值），此时. 无最大值. 所以函数的最小值为，无最大值. 【小问2详解】 由题意知，即讨论在上变号零点个数 对求导可得，. 极值点的个数等价于在上的解的个数，即在上的解的个数. 令（），则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，此时. 且当时，；时，. 当时，在上无解，此时在上无极值点； 当时，在上有2个解，此时在上有2个极值点； 当时，在上有1个解， 但在和上均大于零，故此时在上无极值点； 当时，在上无解，此时在上无极值点； 综上，当或时，无极值点；当时，有2个极值点. 【小问3详解】 ，其定义域为， 则，（）. 令，解得或. 设（），则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，此时， 且当时，；当时，. 因此的大致图象如图所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点，，，且为的一个根， 所以与有两个不同的交点（且不等于1），所以， 即在上有两个不同的正根（且不等于1）. 不妨设，则， 所以，即，，也即，， 所以 令（），则 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 又，所以， 所以在上单调递增. 因为， 因此当时，， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $