河南省部分学校2025-2026学年高三上学期1月第四次联考数学试题

2025一2026年度上学期河南省高三年级第四次联考 数学试卷参考答案 题序 1 2 3 4 5 6 7 9 10 之 14 答案 B D BCD ACD BCD 6 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分. 【2第9,10,11题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分. 【3第12,13,14题，凡与答案不符的均不得分 1.B【解析】本题考查集合，考查数学运算的核心素养。 AUB={1,2,3},C(AUB)={4: 2.D【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养. 。=1十-1+2》-1+号+，因为复数一1+升为纯虚数，所以1+号=0，解 2+i 5 得a=-5. 3.A【解析】本题考查函数的图象，考查直观想象的核心素养 )=2“是偶网数，且fx)=2[分2，故选N 4.D【解析】本题考查充分条件与必要条件，考查逻辑推理的核心素养. 若sina=sin3,则a=3+2kπ或a+3=x十2kπ，k∈Z. 若cosa=cos3,则a=3十2kπ或a十3=2kπ，k∈Z. 故“sina=sinB”是“cosa=cos3”的既不充分也不必要条件. 5.C【解析】本题考查排列组合，考查逻辑推理的核心素养. 由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，选取两天捆绑在一起，再排列，不同的方案共有 C号A=240种 6.C【解析】本题考查直线与圆，考查直观想象、数学运算的核心素养。 由题意得A(一m,0),B(0,m),则lAB|=√2|m.因为圆N的圆心（一1,3）到直线1的距离 d==1-3+ml=-4m,所以cD1=24-d=2√ 2+4m-4.因为AB= √2 √2 1CD1,所以21m=2- "?+4m一4，解得m=2 7.C【解析】本题考查数列的应用，考查逻辑推理、数学运算的核心素养 记这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成的数列为{a,},{an}的公差为d.由题意可 得a+u2十a≥2(ag十a,+ao),所以a2≥2ag,即a+d>2(a+8d),d≤- 541.因为 1,十0≥9-35，所以2a,十9d=72a1十9（一方0），解得a≥5，质能鼓重的盒了敏少 【高三数学·参考答案第1页（共9页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫福ApP 是5千克 8.A【解析】本题考查立体几何，考查直观想象的核心素养. 如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，AC⊥BC,AC=BC.不妨设直线AC为直 A 线a,平面ABB1A1为平面a,直线b在平面BB,CC内，此时满足直线a与 平面a所成的角为于，直线b与直线a垂直.当b与BC平行或重合时，直线bA 与平面a所成的角取得最大值，最大值为无；当b与CC平行或重合时，直线b与平面a所成 的角取得最小值，最小值为0. 9.BCD【解析】本题考查数列，考查逻辑推理、数学运算的核心素养 a1=S1=-1,A错误 当n≥2时，Sw-1=1-2w-1,则a,=S,一Sw-1=-2”-1,a1=-1也满足上式，所以am= 一2-1，a2=-2,B,C均正确. (兮)》尸数列}的前项和工一2计2品 an 2六，D正确。 10.ACD【解析】本题考查平面向量，考查直观想象、数学运算的核心素养 延长AC交EF于点M.易知△AFM是等边三角形，FM=2,四边形CDEM是平行四边 形，ME=1,G武-号G+Gi=G+G,A正确.G元.G成-(G弦+G)· G=2G2.G2+G丽.G成=×4×4+×4X4×号=10，B错 误市在庞上的投影向量的模长的最小值为，前.>号×4=6， C正确.过点C作直线AF的平行线，分别交GE,HE于点T,N.因为G FO=λFB-FG=入FB+FT,点O在线段CN上，当点O与点C重合 时，入=1，当点O与点N重合时，入=2，所以入的取值范围为[1,2]，D正确. 11.BCD【解析】本题考查函数与导数，考查数学抽象、逻辑推理的核心素养」 若f(x)为常函数，满足f(x)=f(),但x=1不是f(x)的极值点，A错误。 因为fx)在(0,1D上单调递增，所以当x∈(0,1)时，了(x)≥0.[f()门'=-是f()。 当x∈(1，+∞)时，1∈(0,1)，所以f()≥0，-f()≤0，所以函数f()在 (1,十∞)上单调递减，B正确， 易知g(x)=g(）,由B选项可得，若g(x)在(0,1D上单调递增，则g(）在1，十∞)上 单调递减，即g(x)在(1，十o○)上单调递减，C正确. 因为∫(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十o∞)上单调递减，所以当x∈(0,1)时，f'(x)≥0，当 x∈1，+∞)时，f'(x)≤0.y=f(x)-f'(）,当x∈(0,1)时，∈1，+∞)，所以 f()≤0，-2f'(）≥0，y=f)-f'(）)≥0，所以y=fx)+f(）在0,1D 【高三数学·参考答案第2页（共9页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫福Ap 上单调递增.由C选项可得y=f(x)+f() 在(1，十∞)上单调递减，D正确. 12. 【解析】本题考查三角函数，考查逻辑推理的核心素养. fx)的最小正周期为)在（一冬，）上单闲递增，行-（一晋）=x,所以一音-9= 5+友x,k∈Z解得g=-君-女xk∈Z因为0≤9<，所以9-否 6 13.1【解析】本题考查函数，考查逻辑推理的核心素养， 因为“≠0，所以e≠1，f(x)≠a-1.因为f(x)没有零点，所以a=1. 14.3【解析】本题考查双曲线与抛物线，考查直观想象、数学运算的核心 素养 根据题意可得p=2C.过F1作x轴的垂线l,过P作l的垂线，垂足为 A.显然直线AF,为抛物线的准线，则|PA|=|PF2|.因为6|PF2|= F 5F,F,所以Pp,-号由双曲线的定义及已知条件可知PF,一 PF,=2a,所以1PF=2a+号 设P(xoy),在R△APF1中，AF1I2-yg=|PF2-PA2=4a2+20ac 3 因为听=4cx,所以x,-+5e 3 因为。=P11-(-号-(-号所以号+号-号化简得2-3-5ac=0,即2-50 2c -3=0,解得e=3(e=2舍去). 15.【解析】本题考查椭圆，考查数学运算的核心素养！ c=1, 解：(1)由题意可得 a2 …1分 a2=b2+c2, 解得a2=4,b2=3, …3分 所以C的方程为大名工。…。 ……4分 (2)设A(x1,y1),B(x2y2). 2 雨+学得3m于y十2my十3606分 x=my+4, △=(24m)2一4X(3m2十4)X36>0,解得m>2或m<-2,…7分 24m 36 则y1十y2= 3mn+4Dyy,3m+4②. 8分 【高三数学·参考答案第3页（共9页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫福ApP 因为B是AP的中点，所以y1=2y2, …9分 结合①解得y2= 8m 16m 3m2+4y1= 3m2+4 11分 代入②，解得m=士 65 ，满足m>2或m<-2, 所以m的值为士65 ……13分 【评分细则】 第(1)问中，正确解出a2,b2,各给1分 16.【解析】本题考查立体几何，考查直观想象、数学运算的核心素养」 (1)证明：因为AB⊥平面ACD,CEC平面ACD,所以AB⊥CE, …1分 在等边△ACD中，E是AD的中点，所以CE⊥AD.…2分 因为AB∩AD=A,所以CEL平面ABD.… 3分 因为BDC平面ABD,所以CE⊥BD.… …4分 (2)解：不妨设AB=AC=2. 以A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所 示的空间直角坐标系，… 5分 则B20.0).C02.0.D0,1w5).E(0,号） …7分 所以成=(-2,2.0)证-(-2，号，），成=(-215. 6 …………………………………………………………… 8分 n·BC=-2x1+2y1=0, 设平面BCE的法向量为n=(x1y1,之1)，则 n·BE=二2x1+2山大 1 221=0, 取x1=1,得n=(1,1,5).…10分 m·BC=-2x2+2y2=0, 设平面BCD的法向量为m=(x2,y2,之2)，则 m·BD=-2x2+y2+√3x2=0, 取=1，得m(11号〉 12分 n·n 1+1+1 3√/105 又cos<m,n〉 m n 35 ……14分 1+1+3×√1+1+3 所以sin<m,n>= 2√70 2v√7o 35 ,所以二面角E-BC-D的正弦值为 35 …15分 【评分细则】 【1】第(1)问另解如下： 不妨设AB=AC=2. 以A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系（图略），… …1分 【高三数学·参考答案第4页（共9页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫福ApP 则B20.0.C0.20.D01w5).E(0,) …3分 所以G-(0,),励-(-2.1. …4分 所以正，币-0-+g× 2 =0 5分 所以CE⊥BD.… …7分 【2】第(2)问另解1如下： 不妨设AB=AC=2. 在△BCD中，BC=22,CD=2,BD=2√2.… …6分 过点B作BF⊥CD,垂足为F,过点D作DG⊥BC,垂足为G(图略)， 易知BF=7,△BCD的面积为2CD·BF=号BC·DG,解得DG= 2 …8分 记点D到平面BCE的距离为h. 在ABCE中，BC=2E,CE-万，5E-5,则CE1BE,SECE·BE .…10分 三棱雏D-BCE的体积为号SA·h- 3SaE·AB, …12分 即×号×万X后Xh=号×号×1×疗×2，解得h 2√5 5 …13分 _2√7o 记二面角E-BC-D的大小为0，sin0=D 35 所以二面角EBCD的正弦值为2网 35 15分 第(2)问另解2如下： 不妨设AB=AC=2. 过点D作DM⊥AC,垂足为M,过点M作MN⊥BC,垂足为N,连 接DN.过点E作EP⊥AC,垂足为P,过点P作PQ⊥BC,垂足为 Q,连接EQ.…6分 因为AB⊥平面ACD,ABC平面ABC,所以平面ACD⊥平面 ABC.因为平面ACD∩平面ABC=AC,所以DM⊥平面ABC, 所以二面角A-BC-D的平面角为∠DNM.…7分 同理，二面角A-BC-E的平面角为∠PQE,…8分 所以二面角E-BC-D的大小为∠DNM一∠PQE.…9分 在△DMN中.，DM=-.MN-号，DN=VD+MN- sin∠DNM=√ 7,cos∠DNM= 7· 11分 在△EPQ中，EP-9,f0-3,BQ=√P+PQ- 4Γ， 【高三数学·参考答案第5页（共9页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫福Ap sin∠PQE-o cos∠PQE=-E 13分 又sin(∠DNM-∠PQE)=sin∠DNMcos∠PQE-cos∠DNMsin∠PQE-2Yo 35, 所以二面角EBCD的正弦值为2元 35 …15分 17.【解析】本题考查解三角形，考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养， 解：(1)在△BCP中，由余弦定理得BC2=PC2+PB2一2PC·PBcos,∠BPC,…2分 2PC2+12-2pCs120,解得PC-Y2PC=2一舍去，d PN 故△BP的面积为号PC·PBsin∠BPC=S丽。-E …5分 8 (2)设∠PBA=a,则∠PBC=60°-a,∠BCP=a,∠BAP=30°-a. …7分 在△BCP中，由正弦定理得 'sin/UCP"sin BPC,即P PB BC sin&sinl20①. …9分 AB PB PB 在△ABP中，由正弦定理得 inZAPB-sin∠BAP,即sini50 sin(30°a)②.…11分 ①×②得PB. 2 2 PB sin&‘sini150=sin120‘sin(30°-a ,即sina·sin150°=sin120°·sin(30°- a）,…13分 所以sina=E(1。 2 cos a sina5sin&=3c0sa,…14分 tan a= ,即tan∠PBA=E …15分 【评分细则】 PB BC AB PB 第(2)问中，写 sin∠BCP sin∠BPC'sin∠APBsin∠BAp,各给1分. 18.【解析】本题考查概率，考查逻辑推理、数学运算的核心素养。 解：(1)分两种情况. 第一种情况：甲第二局轮空，即第一局甲负，此时第三局一定有甲参与，其概率为2 …2分 第二种情况：甲第三局轮空，此时第二局甲负，第一局甲胜，其概率为分×号一子 …3分 故所求概率为7十寻 …4分 (2)记第n局有甲参与的概率为Pn,则第十1局有甲参与的概率为P,+1·…5分 若第n局有甲参与，则第n十1局有甲参与的概率为2；…6分 若第n局没有甲参与，则第n+1局一定有甲参与，所以P=卫，十1一P,).…7分 【高三数学·参考答案第6页（共9页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫福ApP 8分 因为P,-1,所以P,号-子，所以P,-号-号×(-)》，即卫，-号×(-》+ 2 10分 (3)第n局是甲、乙对打，则第n局丙轮空， 记第n局有丙参与的概率为Qm,则第n十1局有丙参与的概率为Qm+1· 若第n局有丙参与，则第n十1局有丙参与的概率为2； 若第n局没有丙参与，则第n十1局一定有丙参与，所以Q+1=Q。十(1一Q).…12分 即Q1是-(Q.-》 …13分 因为Q,=0,所以Q,-号=-子，所以Q,-号-号×(-}》，即Q.-号× 2 (-)+ …15分 第局是甲、乙对打的概率为1一Q,=号×(-2)+号 …17分 【评分细则】 第(3)问另解如下： 记第n局有乙参与的概率为P,第n局有丙参与的概率为P”. 根据(2)，同理可得P}×(一》+号 12分 p”x(》+ 14分 记第n局甲、乙对打的概率为a,甲、丙对打的概率为b,乙、丙对打的概率为c, [P,=a+b; 则P=a十c, 16分 P:=6+c, 解得a-卫十P一卫心-号×一》十合即第n局无甲，乙对打的概率为 2 X (-》”+ …17分 19.【解析】本题考查函数与导数，考查逻辑推理、数学运算的核心素养 (1)y'=cos x(cos x-1)-sin2x=2cos2x-cos x-1=(2cos x+1)(cos x-1)...... …1分 令>0，得csx<一号解得x∈(+2元，F+2x,k∈Z.…3分 放y=smx(cosx一1的单涧递描区间为（管+2，号+2km)∈九》. …4分 (2)cos(a十B)∈[-1,1]，若cosB-1=0,则cos(a+3)(cosB-1)=0.…5分 【高三数学·参考答案第7页（共9页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫福Ap 若cos3-1<0,则cos(a十3)(cos3-1)∈[cos3-1,1-cos3],…7分 所以cos(a十B)(cosB-1)的最大值的最小值为0，即b的最小值为0. …9分 (3)令函数f9)=cos(a+8(cos月-1D.0受一-受， f'(3)=sin(a+B)-sin(a+2β).… …10分 ①当≤a≤π时，吾≤a+B≤a+2g≤r,sin(a+B)≥sin(a+2g) 所以f(9)≥0，f(8在[0受]上单调递增。 …11分 fg)=f(受-受)=cos(e+-)儿os(受号)-1]=-sm(sm号-1)： 因为受号号号1所以》-m号长竖x(竖) 1当且仅当。=受，月时，等号成立. 2 f(3)mm=f(0)=0. 12分 @当0a<号时，令∫9=0，得a+9+a+29=x或a+月=a十g,即分”2或B=0 当B=0时，f(3)=0. 当0长2时.0a+a+25-a+≤x所以s5ma+B≤sma+23fg ≤0.… …13分 当2<R<号-号时，若0C+号则受<x-e+<a+2p≤，所以ima+≥ sina+29.若受<e+≤，则受<e+月<a+28≤，所以sima+B》>sina十23，所以 f'(3)>0. 放当0<e<受时，9在0，”2]上单潤递减，在[”。，受号]上单调递增， …14分 fo)=0,f(受号)=os(e+受-受儿os(受-号)-1]--sim(sm号-1)≤，当 且仅当m号一之即a=号时，等号成立此时R=吾 故1gn子 15分 fg=f2）=e+2(cs-）=os[o(x-2）- =-os(cs22+1）-2s 3 3 因为0a<受所以号<<受0os≤号f》=-2m≥-当且 【高三数学·参考答案第8页（共9页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫福ApP 仅当a=0时，等号成立，此时B=于. …16分 闪为分0所以osa+(csg一1的最大值为，最小值为子 …17分 【评分细则】 【1】第1响中，单词递蜡区间写成答+2云，号+2]（∈，不扣分 【2】第(2)问另解如下： 令函数h(a)=cos(a+β)(cos3-1),则h'(a)=sin(a+3)(1-cosB).…5分 令h'(a)>0,得-B十2kπ<a<π-B十2kπ，k∈Z; 令h'(a)<0,得π-B十2kπ<a<2π-B十2kπ，k∈Z.…6分 h(a)在(-3+2kπ，π一3+2kπ)，k∈Z上单调递增，在（π一3十2kπ，2π一3十2kπ），k∈Z上 单调递减。…7分 h(a)max=h(π-3)=1-cosB∈[0,2]，… …8分 所以b≥0，即b的最小值为0.… …9分 【高三数学·参考答案第9页（共9页）】 描全能王 在用的扫福Ap即2025-2026年度上学期河南省高三年级第四次联考 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U={1,2,3,4}，集合A={1,2},B={2,3}，则 A.Ø B.{4} C.{1,2,3} D.{1,2,3,4} 2．若复数 为纯虚数，则实数a= A.3 B.5 C.-3 D.-5 3．函数的部分图象大致为 A B C D 4.“sin是“的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有 A.120种 B.144种 C.240种 D.288种 学科网（北京）股份有限公司 6．已知直线l:x-y+m=0与x轴、y轴分别交于A,B两点，与圆交于C,D两点，且|AB|=|CD|，则m= A.4 B.3 C.2 D.1 7．现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是 A.2千克 B.3千克 C.5千克 D.7千克 8．已知直线a与平面α所成的角为，直线b与直线a垂直，则直线b与平面α所成角的取值范围为 A. B. , D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前n项和，则 A. B. C. D.数列的前n项和 10．某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知AB= BF=1，则 A. B. C.设P为ΔABC内一点（含边界），的最小值为6 D.设O为等腰梯形CDHI内一点（含边界），若，则λ的取值范围为［1,2］ 11．已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，下列结论正确的是 A.若，则x=1是f(x)的极值点 B.若f(x)在（0,1）上单调递增，则函数在(1,+∞)上单调递减 C.若函数在（0,1）上单调递增，则g(x)在(1,+∞)上单调递减 D.若f(x)在（0,1）上单调递增，在（1,+o）上单调递减，则函数在（0,1）上单调递增，在(1,+∞)上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数f(x)=tan(x-)(0≤<π)在上单调递增，则φ=. . 13．已知函数没有零点，则a= 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为焦点的抛物线与双曲线C在第一象限交于点P，若，则双曲线C的离心率e= · 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分） 已知椭圆C：的右焦点为F(1,0)，离心率为 （1）求C的方程； （2）若直线x=my+4与C交于A,B两点，与x轴交于点P，且B是AP的中点，求m 的值. 16.(15分） 如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面ACD，ΔACD是等边三角形，AB=AC,E是AD的中点. （1）证明：CE⊥BD． （2）求二面角E-BC-D的正弦值． 17.(15分） 如图，在边长为2的等边ΔABC中，P为ΔABC内一点， （1）若PB=1求ΔBCP的面积； （2）若，求tan∠PBA的值. 18.(17分） 甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局甲、乙对打，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打.假设甲、乙、丙三人打台球的水平相同，每局台球的结果相互独立. （1）求前三局中甲恰好参与了两局的概率； （2）求第n局有甲参与的概率； （3）求第n局是甲、乙对打的概率． 19.(17分） （1）求函数y=sinx(cosx-1)的单调递增区间； （2）若存在β使得对任意α，都有cos(α+β)(cosβ-1)≤b，求b的最小值； （3）已知，且α+2β≤π，求cos(α+β)(cosβ-1)的最值. $