数学一模保分卷02（北京专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．下列函数中，图像关于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 3．在的展开式中，常数项为（   ） A．12 B．6 C． D． 4．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．若点关于直线的非重合对称点在圆上，则k、b的一组取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则的一个充分不必要条件可以是（   ） A．与内所有的直线都垂直 B．，， C．与内无数条直线垂直 D．，， 7．已知函数的最小正周期为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．设是坐标原点，双曲线的渐近线为正三角形的边所在的直线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 9．在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．若数列各项均为正数，且，则下列结论错误的是（    ） A．对任意， B．当时，存在，使得 C．可以是常数列 D．当时，对任意， 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知复数的共轭复数为，则 . 12．已知向量，满足，，，则 ． 13．已知点在抛物线上，且过点的直线与抛物线的准线交于点，为抛物线焦点，则的面积为 . 14．如图所示，鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下､左右､前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为.现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的表面积的最小值为 ，该鲁班锁的体积为 . 15．如果函数满足对任意、，有，则称为优函数.给出下列四个结论： ①为优函数； ②若为优函数，则； ③若为优函数，则在上单调递增； ④若在上单调递减，则为优函数. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分） 在直三棱柱中，，分别为，的中点，且，． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 17．（14分） 在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，从①；②（分别为的面积和周长）这两个条件中选择一个作为已知，求的周长． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（13分） 甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 19．（15分） 已知椭圆经过点，且离心率为．为椭圆的左焦点，点为直线上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，连接． (1)求证：直线过定点，并求出定点的坐标； (2)记的面积分别为和，当取最大值时，求直线的方程． 20．（15分） 已知函数． (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)已知，且函数存在极值，求的取值范围． 21．（15分） 已知无穷数列，各项都是正整数，定义集合：，； (1)已知，，直接写出集合； (2)若，，，求证：中有无穷多个1； (3)若，均为等差数列，且，均为无限集，求证：． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】计算出集合、后，利用并集定义即可得. 【详解】由，则，即， 由，解得或，则或， 故或. 故选：C. 2．下列函数中，图像关于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案. 【详解】A选项，由二次函数图像及性质可知，对称轴为，A选项错误； B选项，由指数函数图像及性质可知，函数没有对称轴，B选项错误； C选项，因为，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，C选项正确； D选项，函数定义域为，不是偶函数，D选项错误. 故选：C. 3．在的展开式中，常数项为（   ） A．12 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】求出展开式的通项后可求常数项. 【详解】展开式的通项公式为， 令得，故常数项为， 故选：A. 4．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式求出，然后利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为， 所以 . 故选：A. 5．若点关于直线的非重合对称点在圆上，则k、b的一组取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据点在圆上可知直线经过圆心即可求解. 【详解】由于在圆上，圆心为， 要使关于直线的对称点在圆上， 则直线必经过圆心，故，结合选项可知：只有D符合， 故选：D 6．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则的一个充分不必要条件可以是（   ） A．与内所有的直线都垂直 B．，， C．与内无数条直线垂直 D．，， 【答案】D 【分析】A项由线面垂直定义可知；BC项在长方体中举反例可知；D项由推证可得充分性，必要性显然不成立. 【详解】A项，由直线与平面垂直的定义可知与内所有的直线都垂直是的充要条件，选项A错； B项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件， 如图长方体中， 设平面为平面，设平面为平面，直线为， 则，满足，，， 但，不与平面垂直，故不能推出， 故条件“，，”也不是的充分不必要条件，选项B错；    C项，如图长方体中， 设平面为平面，直线为， 则直线与平面内无数条与垂直的直线都垂直，但，不与平面垂直， 故由与内无数条直线垂直不能推出，所以不是的充分不必要条件，选项C错；    D项，由，，得，又因为，所以； 反之，由推不出，，， 所以，，是的一个充分不必要条件，选项D正确. 故选：D. 7．已知函数的最小正周期为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整体代换法求得函数对称中心的横坐标，结合题设条件，得出，进而求得的最小值． 【详解】由题意，函数，又因为最小正周期为，所以，所以 令，解得 则函数的对称中心的横坐标为， 又因为，函数关于对称，函数在上单调， 所以， 当时，，即的最小值为. 故选：B. 8．设是坐标原点，双曲线的渐近线为正三角形的边所在的直线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由双曲线方程得到它的渐近线方程为，已知两条渐近线 为正三角形的边所在的直线，得出两条渐近线的夹角为，根据渐近线的 对称性得出渐近线与x轴的夹角为，求出，再根据结合 求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 正三角形中，，即两条渐近线的夹角为. 设渐近线与x轴的夹角为θ，因为，所以， 所以，则， 因为两条渐近线关于x轴对称，故. 渐近线的斜率. 双曲线的离心率. 故选：B. 9．在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的中点分别为，连接，根据外心的性质可得，，结合三点共线设，进而运算求解即可. 【详解】设的中点分别为，连接，则， 可得， 同理可得， 因为在线段上，设， 则 ， 所以的取值范围是. 故选：C. 10．若数列各项均为正数，且，则下列结论错误的是（    ） A．对任意， B．当时，存在，使得 C．可以是常数列 D．当时，对任意， 【答案】B 【分析】先求得与的递推关系式，利用差比较法、换元法，结合二次函数的知识以及差比较法求得正确答案. 【详解】由，得， 则，依题意，所以， 由于，所以可由，解得（负根舍去）， 对于A：由于，所以，即对任意，，故A正确； 对于B：因为， 又，则，即， 又，即，则， 同理可得，当，都有，故B错误； 对于C：①， 若，解得，此时是常数列，故C正确； 对于D：因为， 当，则，即， 同理可得，当，都有， 又，即数列为递减数列， 即当时，，故D正确. 故选：B 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知复数的共轭复数为，则 . 【答案】 【分析】利用共轭复数的定义求出，再由复数的除法计算即得. 【详解】由题意，，则. 故答案为：. 12．已知向量，满足，，，则 ． 【答案】6 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】由 可得， ，解得， 故答案为：6 13．已知点在抛物线上，且过点的直线与抛物线的准线交于点，为抛物线焦点，则的面积为 . 【答案】2 【分析】利用抛物线的定义求距离，然后利用面积公式求面积即可. 【详解】因为抛物线， 所以， 又因为 所以线段所在直线与准线平行， 所以点到直线的距离等于点到准线的距离为. 又， 所以. 故答案为：2. 14．如图所示，鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下､左右､前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为.现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的表面积的最小值为 ，该鲁班锁的体积为 . 【答案】 31 【分析】由于图形的对称性，只要求出一组正四棱柱的体对角线，即是外接球的直径； 该鲁班锁是由几个几何体互相交叉组合时，它的体积可以通过所有单个体积之和减去两两相交的体积再加上三者相交的体积计算即可. 【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为， ∴该球形容器表面积的最小值为： . 根据容斥原理计算，该鲁班锁六根完全一样的正四棱柱体分成三组，故所有单个体积为， 两两相交的体积为，三者相交的体积为，所以该鲁班锁的体积为. 故答案为：；31. 15．如果函数满足对任意、，有，则称为优函数.给出下列四个结论： ①为优函数； ②若为优函数，则； ③若为优函数，则在上单调递增； ④若在上单调递减，则为优函数. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】利用优函数的定义可判断①；利用赋值法推导出、，逐项递推可判断②；取，，结合优函数的定义可判断③；利用减函数的性质、不等式的基本性质结合优函数的定义可判断④. 【详解】对于①，因为、， 则 ， 所以，，则是优函数，故①正确； 对于②，因为是优函数，则，即， ，即， 同理可得、、，故②正确； 对于③，例如，， 满足， 所以，，则为优函数， 但在上单调递减，故③错误； 对于④，若在上单调递减， 任取、，，，则，， 所以，，， 变形为，， 两式相加得：， 因为，所以，，所以，为优函数，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分） 在直三棱柱中，，分别为，的中点，且，． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）依题意可得，，即可得到平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）因为为直棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，为中点，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以． （2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量，则， 取， 又平面的法向量， 记二面角为，则， 则， 即二面角的正弦值为． 17．（14分） 在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，从①；②（分别为的面积和周长）这两个条件中选择一个作为已知，求的周长． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）利用正弦定理和辅助角公式，借助于三角形内角的范围，即可求得角； （2）选择条件①：利用正弦定理可得，由条件得，再由余弦定理得到，联立即可求得周长；选择条件②：由条件得，设，可得，再由余弦定理，得，联立两式求出，即得周长. 【详解】（1）因， 由正弦定理，可得，因为， 则可得，即， 因，，则，即. （2）选择条件①：因为， 由正弦定理，可得， 则，故①． 由余弦定理可得，整理得②， 联立①②解得，故的周长为． 选择条件②： 由，可得， 即， 设，则有③ 由余弦定理，可得，即 ， 整理得，即④， 将④代入③，可得， 整理得：， 解得或（舍）， 故的周长为. 18．（13分） 甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析，2 (3) 【分析】（1）借助独立事件概率乘法公式计算即可得； （2）利用互斥事件的概率加法公式可得一局比赛中甲得0分的概率，再求出的所有可能取值及其对应概率，即可得其分布列，利用二项分布期望公式即可得其期望； （3）列出甲最终获胜的所有可能情况及其对应概率即可得. 【详解】（1）设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况， 根据独立事件概率乘法公式，可得； （2）包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错， 甲、乙都答对的概率为， 甲、乙都答错的概率为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. 则， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望； （3）甲最终获胜有以下四种情况： ① 三局都得10分，其概率为， ② 两局得10分，一局得分，其概率为， ③ 两局得10分，一局得分，其概率为， ④ 一局得10分，两局得分，其概率为， 综上可得，甲最终获胜的概率为. 19．（15分） 已知椭圆经过点，且离心率为．为椭圆的左焦点，点为直线上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，连接． (1)求证：直线过定点，并求出定点的坐标； (2)记的面积分别为和，当取最大值时，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据椭圆上的点和离心率可求得椭圆方程，进而得到两条切线的方程，进而可确定直线方程，由此可得定点； （2）将问题转化为最大值的求解，分别讨论和的情况，结合基本不等式取等条件可确定取得最大值时，直线的方程. 【详解】（1）由题意得：，，又， ，，，椭圆， 设， 则直线，直线， ，两点坐标满足方程：， 即直线方程为：， 又，直线方程为：， 当时，，直线恒过定点. （2）由题意知：直线斜率不为， 设直线，，， 由得：，， 又，， ； 当时，； 当时，（当且仅当，即时取等号）； 综上所述：的最大值为，此时直线方程为：. 20．（15分） 已知函数． (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)已知，且函数存在极值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用题意可得切线斜率，切点为，最后点斜式得出切线方程. （2）将问题转化为不等式恒成立，分类讨论结合单调性可得实数的取值范围. （3）根据函数存在极值，利用导数计算可得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，， 因为曲线在处的切线方程为，故切点为， 因为，故切点在曲线上， 因为，所以，解得， 故的值为； （2）由题可知恒成立， 因为，所以不等式整理得恒成立， 当时，不等式恒成立，此时取任意实数. 当时，，令， 求导，令，求导， 当时，在上单调递增，且，因此， 即在上单调递增，当时，，所以， 在上的下确界为，要使恒成立，故. 当时，，令， 求导，令，求导， 当时，在上单调递减，且，因此， 即在上单调递增，当时，，所以， 要使恒成立，故. 综上所述，. （3）已知，且函数存在极值， 求导，令，求导， 令，解得. 因为时，时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以在处有最小值， 因为， 所以当时，，故函数存在极值， 当时，，故函数不存在极值； 当，，故函数不存在极值； 综上，若函数存在极值，求的取值范围为． 21．已知无穷数列，各项都是正整数，定义集合：，； (1)已知，，直接写出集合； (2)若，，，求证：中有无穷多个1； (3)若，均为等差数列，且，均为无限集，求证：． 【答案】(1); (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1），需要根据集合的定义，将，式代入，找出满足条件的n值，从而确定集合。 （2），利用，，的条件，通过假设和反证法来证明中有无穷多个1. （3），根据等差数列的通项公式，结合均为无限集的条件，通过分析数列之间的大小关系来证明. 【详解】（1）对于集合，已知，根据的定义当且仅当，当时，. 要使，即，解得.因为n是正整数， 所以都满足. 所以 对于集合，已知，. 根据的定义当且仅当 当时，.要使，即，解得    . 当时，，满足 当时，,满足 当时，，满足 所以 （2）假设中只有有限个1.因为，所以. 由于，则存在N，当时，或者恒成立. 不妨设，那么，即，这与各项都是正整数矛盾.所以假设不成立，即中有无穷多个1. （3）设. 因为是无限集，对于任意大的n，存在j使得， 即，整理得对任意大的n成立，所以.同理，因为是无限集，对于任意大的n，存在j使得， 即，整理得对任意大的n成立，.所以. 设.对于任意，存在j使得， 即，移项得. 对于这个n，也存在k使得，即， 移项得，所以，即. 同理可证，所以. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C A A D D B B C B 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12．6 13．2 14． 31 15．①②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．【详解】 【详解】（1）因为为直棱柱，所以平面，（1分） 又因为平面，所以，（2分） 因为，为中点，所以，（3分） 又因为，平面， 所以平面，（4分） 又因为平面，所以．（5分） （2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，（6分） 所以，， 设平面的法向量，则， 取，（8分） 又平面的法向量，（9分） 记二面角为，则，（11分） 则，（12分） 即二面角的正弦值为．（13分） 17．【详解】 【详解】（1）因， 由正弦定理，可得，（1分） 因为，则可得，（3分） 即，（4分） 因，，（5分） 则，即.（6分） （2）选择条件①：因为， 由正弦定理，可得，（8分） 则，故①．（10分） 由余弦定理可得，整理得②，（12分） 联立①②解得，（13分） 故的周长为．（14分） 选择条件②： 由，可得，（7分） 即，（8分） 设，则有③（9分） 由余弦定理，可得，即 ，（10分） 整理得，即④，（11分） 将④代入③，可得， 整理得：，（12分） 解得或（舍），（13分） 故的周长为.（14分） 18．【详解】 【详解】（1）设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况，（1分） 根据独立事件概率乘法公式，可得；（2分） （2）包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错， 甲、乙都答对的概率为，（3分） 甲、乙都答错的概率为，（4分） 根据互斥事件的概率加法公式，可得，（5分） 因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. 则， ， ， ， ，（7分） 则的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望；（8分） （3）甲最终获胜有以下四种情况： ① 三局都得10分，其概率为， ② 两局得10分，一局得分，其概率为， ③ 两局得10分，一局得分，其概率为， ④ 一局得10分，两局得分，其概率为，（12分） 综上可得，甲最终获胜的概率为.（13分） 19．【详解】 【详解】（1）由题意得：，，又， ，，，（2分） 椭圆，（3分） 设， 则直线，直线， ，两点坐标满足方程：，（5分） 即直线方程为：， 又，直线方程为：，（6分） 当时，，直线恒过定点.（7分） （2）由题意知：直线斜率不为， 设直线，，， 由得：，，（9分） 又，， ；（11分） 当时，；（12分） 当时，（当且仅当，即时取等号）；（14分） 综上所述：的最大值为，此时直线方程为：.（15分） 20．【详解】 【详解】（1）函数的定义域为，，（1分） 因为曲线在处的切线方程为，故切点为，（2分） 因为，故切点在曲线上， 因为，所以，解得， 故的值为；（3分） （2）由题可知恒成立， 因为，所以不等式整理得恒成立，（4分） 当时，不等式恒成立，此时取任意实数. 当时，，令， 求导，（5分） 令，求导， 当时，在上单调递增，且，因此， 即在上单调递增，当时，，所以， 要使恒成立，故.（7分） 当时，，令， 求导，令，求导， 当时，在上单调递减，且，因此， 即在上单调递增，当时，，所以， 要使恒成立，故.（9分） 综上所述，.（10分） （3）已知，且函数存在极值， 求导，令，求导，（11分） 令，解得. 因为时，时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以在处有最小值， 因为，（12分） 所以当时，，故函数存在极值， 当时，，故函数不存在极值； 当，，故函数不存在极值； 综上，若函数存在极值，求的取值范围为．（15分） 21．【详解】 （1）对于集合，已知，根据的定义当且仅当， 当时，.（1分） 要使，即，解得.因为n是正整数，（2分） 所以都满足. 所以（3分） 对于集合，已知，. 根据的定义当且仅当 当时，.要使，即，解得（4分） 当时，，满足 当时，,满足 当时，，满足 所以（6分） （2）假设中只有有限个1.因为，所以.（7分） 由于，则存在N，当时，或者恒成立.（8分） 不妨设，那么，即，这与各项都是正整数矛盾.所以假设不成立，即中有无穷多个1.（10分） （3）设. 因为是无限集，对于任意大的n，存在j使得， 即，整理得对任意大的n成立，所以.（11分） 同理，因为是无限集，对于任意大的n，存在j使得， 即，整理得对任意大的n成立，.所以.（13分） 设.对于任意，存在j使得， 即，移项得. 对于这个n，也存在k使得，即，（14分） 移项得，所以，即. 同理可证，所以.（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考第一次模拟考试 ! 高三数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 舒 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 烘 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5. 正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分) 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 9[A]B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[A]B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B]CD] 7[A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、 填空题（每小题5分，共25分） 11 12. 13 14 射 15. 三、解答题（共85分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(13分) 剂 请在各题墩学顷内僬箸项邂出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ (近9并)道S患素嗾 i※￥著易佣年☒兴的到项形身凿吊爵‘易年习瑶易佣目暗号尹巢 (SI)O i壬業易州海☒惑的到环狂，毋遄吊爵·易年习暗易明目酷号剿 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．下列函数中，图像关于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 3．在的展开式中，常数项为（   ） A．12 B．6 C． D． 4．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．若点关于直线的非重合对称点在圆上，则k、b的一组取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则的一个充分不必要条件可以是（   ） A．与内所有的直线都垂直 B．，， C．与内无数条直线垂直 D．，， 7．已知函数的最小正周期为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．设是坐标原点，双曲线的渐近线为正三角形的边所在的直线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 9．在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．若数列各项均为正数，且，则下列结论错误的是（    ） A．对任意， B．当时，存在，使得 C．可以是常数列 D．当时，对任意， 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知复数的共轭复数为，则 . 12．已知向量，满足，，，则 ． 13．已知点在抛物线上，且过点的直线与抛物线的准线交于点，为抛物线焦点，则的面积为 . 14．如图所示，鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下､左右､前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为.现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的表面积的最小值为 ，该鲁班锁的体积为 . 15．如果函数满足对任意、，有，则称为优函数.给出下列四个结论： ①为优函数； ②若为优函数，则； ③若为优函数，则在上单调递增； ④若在上单调递减，则为优函数. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分） 在直三棱柱中，，分别为，的中点，且，． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 17．（14分） 在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，从①；②（分别为的面积和周长）这两个条件中选择一个作为已知，求的周长． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（13分） 甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 19．（15分） 已知椭圆经过点，且离心率为．为椭圆的左焦点，点为直线上的一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，连接． (1)求证：直线过定点，并求出定点的坐标； (2)记的面积分别为和，当取最大值时，求直线的方程． 20．（15分） 已知函数． (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)已知，且函数存在极值，求的取值范围． 21．（15分） 已知无穷数列，各项都是正整数，定义集合：，； (1)已知，，直接写出集合； (2)若，，，求证：中有无穷多个1； (3)若，均为等差数列，且，均为无限集，求证：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $