精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

延边州2025~2026学年度上学期八年级教学质量检测 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列大学校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形识别，“一个图形沿一条直线折叠，两部分能完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 不是轴对称图形，不合题意； B. 是轴对称图形，符合题意； C. 不是轴对称图形，不合题意； D. 不是轴对称图形，不合题意． 故选：B 2. 清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法—表示较小的数，将原数转换为科学记数法时，需表示为（），通过移动小数点确定的值和指数． 【详解】解：原数为，将小数点向右移动7位至第一个非零数字8后，得到，因小数点向右移动了7位，指数为，因此，科学记数法表示为， 故选：C． 3. 老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（ ） A.    B.   C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的长度之和与较长线段的长度的大小关系，即可得出结果． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选C． 4. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变，逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：A. 分子分母同时加上1，不符合分式性质，不合题意； B. 分子分母同时乘以3，符合分式性质，符合题意； C. 分子分母同时减2，不符合分式性质，不合题意； D. 分子乘以a，分母乘以b，不满足分式的基本性质（分子分母同乘以一个非零的数），不合题意． 故选：B 5. 一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质． 根据三角形外角的性质，可得，即可． 【详解】解：如图，根据题意得：， ， 故选：C． 6. 如图，已知传送带与水平面所成角度是，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为（ ）米 A. 5 B. C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，理解图示，运用角所对的直角是斜边的一半即可求解． 【详解】解：把物体送到离地面5米高的地方，传送带与水平面所成角度是， ∴物体所经过的路程，即直角三角形斜边的长为米， 故选：D ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：3x2-6x=__________________． 【答案】3x（x-2）． 【解析】 【详解】试题解析：3x2-6x=3x（x-2）． 考点：因式分解-运用公式法． 8. 如图，这是平面镜成像的原理图．若以桌面为轴，镜面的侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：根据题意得：点与点关于轴对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是， 故答案为：． 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法运算和因式分解，解题的关键是将除法转化为乘法，并对分式的分母进行因式分解． 先将分式除法转化为乘法（乘以除数的倒数），再对分母因式分解为，最后约分得到结果． 【详解】解；原式= = = = =． 10. 如图，在四边形中，，添加一个条件使得，可添加的条件是____________． 【答案】或或（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．由已知条件：及公共边，要使，可添加或或，根据全等三角形的判定即可求证，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：若添加条件为：，证明如下： 在和中， ∵， ∴； 若添加条件为：，证明如下： 在和中， ∵， ∴ 若添加条件为：，证明如下： ∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ∵， ∴． 故答案为：或或（答案不唯一）． 11. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：16． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 先化简再求值：x²（x-1）- x（x²+x-1），其中x=1 【答案】−2x2＋x; −1． 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：x2（x−1）−x（x2＋x−1） ＝x3−x2−x3−x2＋x ＝−2x2＋x， 当x＝1时，原式＝−2×12＋1＝−1． 【点睛】本题考查整式的混合运算−化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法． 13. 如图，，，，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差、三角形全等的判定定理与性质，熟记三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 先根据线段的和差可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证． 【详解】解：， ∴，即， 在和中， ， ， ． 14. 米酒和米肠是延边美食的名片．某超市出售米酒和米肠，已知每千克米酒的价格比每千克米肠的价格少5元，用300元购买米酒的质量与用360元购买米肠的质量一样多．求米酒和米肠每千克各多少元． 【答案】米酒每千克25元，米肠每千克30元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据“购买质量相等”的等量关系建立分式方程并求解检验． 设米酒单价为元/千克，米肠为元/千克，根据质量相等列分式方程，求解后检验，得出两种食品的单价． 【详解】解：设米酒每千克元，则米肠每千克元． 由题意得 解得 检验：当时，， 故是原方程的解． 因此，米肠价格为元/千克． 15. 已知，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1）63 （2）196 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则． （1）利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，将转化为，再代入已知值计算； （2）利用积的乘方法则和幂的乘方法则，将转化为，再代入已知值计算． 【小问1详解】 解： 已知，代入得： ； 【小问2详解】 解： 已知，代入得： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）在图中画出关于轴对称的 （2）直接写出三点的坐标：（ ），（ ），（ ）． 【答案】（1）画图见解析 （2）；； 【解析】 【分析】（）根据轴对称图形的性质画图即可； （）根据所画图形写出点的坐标即可； 本题考查了画轴对称图形，点的坐标，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由（）图可得，， 故答案为：；；． 17. 如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当等于多少度时，是等边三角形？请证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2）当时，是等边三角形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据等边对等角和三角形外角的性质证明，再由对顶角相等得到，由垂线的定义和三角形内角和定理推出，再由，得到，推出，由此即可证明是等腰三角形； （2）根据（1）所求，只需要满足即可，再由三角形外角的性质即可得到的度数，据此可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：当时，是等边三角形，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，证明是解题的关键． 18. 下面是小颖同学进行分式运算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 任务一： 填空： ①以上步骤中，第一步是依据________（填运算律）进行变形的； ②第三步进行了分式的约分，约分的依据是________； ③第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________． 任务二：请写出该式正确的运算过程． 【答案】任务一：①乘法分配律；②分式的基本性质；③三，去括号时，括号前面是负号，没有改变括号内各项的符号； 任务二： 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算（运算律、分式基本性质、去括号法则），解题的关键是熟练掌握分式运算的法则和符号处理． 任务一：结合分式运算步骤，分析每一步的依据及错误；任务二：先利用乘法分配律展开，因式分解后约分，再正确去括号、合并同类项得到结果． 【详解】解：任务一 ① 乘法分配律 ② 分式的基本性质； ③ 三；去括号时，括号前面是负号，没有改变括号内各项的符号； 任务二 原式 19. 【新情境】 图①是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图②，将图①所示的仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D、点E分别在边，上，沿AF画一条射线，交于点P．是的平分线吗？如果是说明理由，如果不是举一个反例； （2）如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，求的面积． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，角平分线的性质，是解题的关键： （1）证明，得到，即可； （2）根据角平分线的性质，结合三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：是，理由如下： 由题意，，， ∵点O与顶点A重合，点D、点E分别在边，上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 【小问2详解】 解：由（1）可知：是的平分线， ∴点到的距离相等， ∵， ∴点到的距离均为的长， ∵，， ∴的面积． 20. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．小林在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小林的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是________； A． B． C． D． （2）的取值范围是________； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中进行研究； 【问题解决】如图②，是中线，交于点，交于点，且，求证：． 【答案】（1）B （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质： （1）根据全等三角形的判定方式即可求得答案； （2）根据，即可求得答案； （3）延长至点，使，连接，证明，结合和，即可求得答案． 【小问1详解】 解：和中 ∴． 故选：B 小问2详解】 解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为： 【小问3详解】 如图所示，延长至点，使，连接． 在和中 ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 21. 中，，过点C作直线，点D从点B出发，在直线上以每秒2个单位长度的速度运动，如图①，过点D作的垂线交直线于点E． （1）________（在横线上填“>”，“<”或“=”）； （2）若，，点D运动时间为t秒，当时，求出t的值； （3）如图②，若，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】（1）= （2）7 （3）、或 【解析】 【分析】（1）先根据垂直的意义得出，再利用平角的意义得出，然后利用直角三角形的两个锐角互余得出，从而可得，再根据对顶角的性质得出，从而可得； （2）先利用证明，从而可得出，于是可得关于的方程求解； （3）当是以为腰的等腰三角形时，分，点E在C的下方（两种情况：、）、点E在C的上方（）3种情况，分别求出的度数． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：=； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∵点D从点B出发，在直线上以每秒2个单位长度的速度运动，点D运动时间为t秒， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当点E在C的下方，时，如图， 则， ∵由（1）得，， ∴， ∴； 当点E在C的下方，时，如图， 则， ∵由（1）得，， ∴， ∴， ∴； 当点E在C的上方，时，如图， 则， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 综上所述，的度数为、或． 【点睛】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，同(等)角的余(补)角相等的应用，垂线的定义理解，全等的性质和（）综合（或者），等腰三角形的定义，等边对等角等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 22. 【综合与实践】 活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系 （1）活动资源：提供长度不同的两种木棒各4根（如图①）； （2）活动过程：小组成员运用以上8根木棒（不折断）摆成长方形或正方形，且木棒全部用完； （3）发现问题：选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法（如图②）进行研究； （4）提出并解决问题： ①设两种木棒的长度分别为a，b（其中），四种图形面积分别为，，，，请用含a，b的式子直接写出四种图形的面积； ②观察以上结果，在四种摆法中，选择2种或2种以上图形，直接写出它们面积之间的等量关系，例如：，所写的等量关系不能与例子重复，并通过作图验证你的结论（所作图形的线段要标清长度）； ③比较与的大小关系，并证明． （5）拓展创新： 已知：，，，直接写出值． 【答案】（4）①，，，；②，图见详解；③，证明见详解；（5）1 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方式与几何图形，解题的关键是理解题意； （4）①根据图形及正方形与长方形面积公式可进行求解；②根据①可知，进而画出图形即可；③根据作差法及完全平方公式可进行求解； （5）由题意易得，则有，然后可得，进而代入进行求解即可． 【详解】解：（4）①由图可知： ，，，； ②我发现，所作图形如下： ③，证明如下： 由①可知：，，， ∴， ∴； （5）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边州2025~2026学年度上学期八年级教学质量检测 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列大学校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 3. 老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（ ） A.    B.   C. D. 4. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知传送带与水平面所成角度是，如果它把物体送到离地面5米高的地方，那么物体所经过的路程为（ ）米 A. 5 B. C. D. 10 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：3x2-6x=__________________． 8. 如图，这是平面镜成像的原理图．若以桌面为轴，镜面的侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是______． 9. 计算：________． 10. 如图，在四边形中，，添加一个条件使得，可添加的条件是____________． 11. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 先化简再求值：x²（x-1）- x（x²+x-1），其中x=1 13. 如图，，，，求证：． 14. 米酒和米肠是延边美食的名片．某超市出售米酒和米肠，已知每千克米酒的价格比每千克米肠的价格少5元，用300元购买米酒的质量与用360元购买米肠的质量一样多．求米酒和米肠每千克各多少元． 15. 已知，求下列各式的值． （1） （2） 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）在图中画出关于轴对称 （2）直接写出三点的坐标：（ ），（ ），（ ）． 17. 如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当等于多少度时，是等边三角形？请证明你的结论． 18. 下面是小颖同学进行分式运算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 任务一： 填空： ①以上步骤中，第一步是依据________（填运算律）进行变形的； ②第三步进行了分式的约分，约分的依据是________； ③第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________． 任务二：请写出该式正确的运算过程． 19. 【新情境】 图①是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图②，将图①所示仪器放置在上，使点O与顶点A重合，点D、点E分别在边，上，沿AF画一条射线，交于点P．是的平分线吗？如果是说明理由，如果不是举一个反例； （2）如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，求的面积． 20. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．小林在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小林的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是________； A． B． C． D． （2）的取值范围是________； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中进行研究； 【问题解决】如图②，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 21. 中，，过点C作直线，点D从点B出发，在直线上以每秒2个单位长度的速度运动，如图①，过点D作的垂线交直线于点E． （1）________（在横线上填“>”，“<”或“=”）； （2）若，，点D运动时间为t秒，当时，求出t值； （3）如图②，若，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数． 22. 【综合与实践】 活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系 （1）活动资源：提供长度不同的两种木棒各4根（如图①）； （2）活动过程：小组成员运用以上8根木棒（不折断）摆成长方形或正方形，且木棒全部用完； （3）发现问题：选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法（如图②）进行研究； （4）提出并解决问题： ①设两种木棒的长度分别为a，b（其中），四种图形面积分别为，，，，请用含a，b的式子直接写出四种图形的面积； ②观察以上结果，在四种摆法中，选择2种或2种以上图形，直接写出它们面积之间等量关系，例如：，所写的等量关系不能与例子重复，并通过作图验证你的结论（所作图形的线段要标清长度）； ③比较与的大小关系，并证明． （5）拓展创新： 已知：，，，直接写出值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $