专题05 轴对称图形与等腰三角形（10重点+20题型+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材沪科版

专题05 轴对称图形与等腰三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：轴对称图形 （一）轴对称图形的相关概念 ◆1、轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． ◆2、轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． ◆3、常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． （二）轴对称图形的性质 ◆1、性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段．沿对称轴折叠后轴对称图形上能够重合的点叫做对称点． ◆2、画对称轴的方法： （1）过两对对称点所连的线段的中点作直线；（2）作一对对称点连线的垂直平分线. 知识点二 ：轴对称 （一）轴对称的相关概念 ◆1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 【注意】理解轴对称的定义应抓住三点：①有两个图形；②存在一条直线；③一个图形沿着这条直线折叠后能与另一个图形重合. ◆2、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 区别 对象 一个图形 两个图形 意义 一个图形具有的特殊形状 两个全等图形的特殊的位置关系 对称轴的条数 一条或多条 只有一条 对称轴的位置 一定经过这个图形 可能在两个图形的外部，也可以经过两个图形内部或它们的公共边（点）. 联系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． （二）轴对称的性质 ◆1、轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分． 如右图：直线MN是AA′, BB′,CC′的垂直平分线. 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． ③成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等. （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． ◆2、找对称轴：若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同． ◆3、、作一个图形关于某条直线成轴对称的方法： 先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可． 知识点三 ：画已知图形的轴对称图形 画与已知图形成轴对称的图形的步骤： （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点. 知识点四 ：画已知图形的轴对称图形 ◆1、关于坐标轴对称的点的坐标规律： 1.关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2.关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． ◆2、在坐标系中画出已知图形关于某直线成轴对称的图形的步骤： ①计算——计算出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——按原图对应顺序依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 知识点五 ：线段的垂直的平分线 ◆1、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，MN⊥AA′， AP=A′P.直线MN是线段AA ′的垂直平分线. 说明：线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合. ◆2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. ★★应用格式：（如右图） ∵ 直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l ， ∴ PA = PB． ★★作用：证明线段相等. ◆3、线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． ★★应用格式：（如上图） ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． ★★作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 知识点六 ：角的平分线 （一）角平分线的性质定理 ◆1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ◆2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). ◆3、定理的作用：证明线段相等. ◆4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. （二）角平分线的判定定理 ◆1、判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ◆2、应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. ◆3、定理的作用：判断点是否在角的平分线上. ◆4、角平分线的判定的几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. ★拓展三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这点到三边的距离相等， 反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点. 知识点七 ：等腰三角形的概念及性质 ★1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． ★2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”). ★用符号语言表示为： 在△ABC中，∵ AB=AC（已知）， ∴ ∠B＝∠C （等边对等角）. ★3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.简称：等腰三角形三线合一. ★用符号语言表示为： 在△ABC中， （1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （2）∵AB=AC , BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. ★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． ★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 知识点八：等边三角形的概念及性质 ★1、定义：三边相等的三角形叫作等边三角形或正三角形． ★2、性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴． （2）等边三角形的各角都等于60°． ★3、等边三角形与等腰三角形的性质比较： 等腰三角形 等边三角形 对称性 轴对称图形(1条) 轴对称图形(3条) 边 两腰相等 三边都相等 角 两底角相等 三个角都等于60° 特殊线 底边上的中线、高和顶角的平 分线互相重合(1条) 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(3条) 知识点九 ：等腰三角形的概念及性质 等腰三角形的判定方法： ★1、定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形. ★2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)． 几何语言： 在△ABC中， ∵ ∠B＝∠C（已知）， ∴ AB=AC （等角对等边）. ★3、等腰三角形的判定与性质的区别 条件 结论 作用 性质 (等边对等角) 在同一个三角形中，两边相等. 这两边所对的角也相等. 证明角相等. 判定 (等角对等边) 在同一个三角形中，两个角相等. 这两个角所对的边也相等. 证明线段相等. 知识点十 ：等边三角形的判定 ★1、等边三角形的判定 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形． （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ． ★2、等边三角形与等腰三角形判定的区别 图形 等腰三角形 等边三角形 判 定 从边看： 两条边相等的三角形是等腰三角形. 三条边都相等的三角形是等边 三角形. 从角看： 两个角相等的三角形是等 腰三角形. 三个角相等的三角形是等边三角形. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点． 【题型1 轴对称图形的识别】 高妙技法 1. 抓定义：沿直线折叠，两旁部分完全重合； 2. 常见图形记忆：等腰三角形、矩形等是轴对称图形； 3. 排除法：无对称轴的图形直接排除 【典例1】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）下列四种标识中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）下列图形中不是轴对称图形的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果沿某一条直线对折，左右两边能完全重合，则这个图形就是轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可解答． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得：选项A、B、D是轴对称图形，选项C不是轴对称图形． 故选C． 【变式2】（25-26八年级上·安徽宣城·月考）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； C选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：C． 【题型2 轴对称性质的应用】 高妙技法 1. 对应点连线：被对称轴垂直平分； 2. 镜面对称：像与原图形左右颠倒（如钟面时间，8 时对应镜中 4 时）； 3. 折叠问题：折叠前后对应角、对应边相等 【典例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若的长为15，则的周长为（　　） A．15 B．18 C．20 D．21 【答案】D 【分析】本题考查的是折叠的性质，熟知折叠前后对应线段相等是解题的关键． 由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵将沿直线折叠，使得点与点重合， ∴， ∵，的长为15， ∴的周长． 故选：D． 【变式1】如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是 　 　． 【答案】． 【分析】根据△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S△BEF＝S△CEF，根据图中阴影部分的面积是S△ABC求出即可． 【详解】解：∵△ABC关于直线AD对称， ∴B、C关于直线AD对称， ∴△CEF和△BEF关于直线AD对称， ∴S△BEF＝S△CEF， ∵△ABC的面积是：BC×AD6×5＝15， ∴图中阴影部分的面积是S△ABC． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，角平分线定义，将所求的角转化为已知角进行计算是解题的关键． 先推导求出，在中可求得，由翻折的性质可得，接下来根据两个平角和为及的度数即可求出． 【详解】解：平分平分， ， ， ， ， ， ， 由翻折可得，，即， ， ， ， ． 故选：B． 【题型3 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用】 高妙技法 1.关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2.关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【典例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）剪纸是古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，蝴蝶剪纸的图案关于y轴对称，点E的对应点为点F，若点E的坐标为，则点F的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，“若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变”，据此解答即可． 【详解】解：点E的对应点为点F，点E的坐标为， 点F的坐标为 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．根据关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可解答． 【详解】解：点关于y轴对称点的坐标是． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）若点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点与点关于x轴对称， ∴， 则． 故答案为：． 【题型4 在平面直角坐标系中画已知图形的轴对称】 高妙技法 在平面直角坐标系中画轴对称图形的方法： ①计算——计算出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——按原图对应顺序依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 【典例1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中的位置如图，点，点，点． (1)将向左平移4个单位得到（点A、B、C的对应点分别为、、），画出； (2)和关于x轴对称（点、、的对称点分别为、、），画出； (3)在直线上画出一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查作图平移变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会由轴对称解决最短问题． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可解决问题． （2）分别作出各点关于轴的对称点，再顺次连接； （3）作点关于直线对称点，连接交直线于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：如图所示．点坐标． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在平面直角坐标系中，如图所示． (1)的面积为______； (2)在图中画出关于y轴的对称图形，其中点的坐标为 ，点的坐标为 ； (3)点C关于直线对称的点的坐标为______． 【答案】(1) (2)图见解析，， (3) 【分析】本题考查轴对称作图，网格中的三角形面积，点的对称变换，掌握好轴对称的性质是解题关键． （1）使用割补法，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积．计算出的面积； （2）根据轴对称的性质，依次画出点、、，连接成三角形，并写出对应的点的坐标； （3）根据轴对称的性质，算出对称的点的坐标． 【详解】（1）解：网格中三角形的面积可以用长方形面积减去三个直角三角形的面积得到， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示， 由轴对称的性质可得，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； （3）解：如图，点E就是点C关于直线对称的点， 根据轴对称的性质，点的坐标为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)若网格上的每个小正方形的边长为1，则的面积为 ； (3)在轴上求作点，使的值最小． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称变换的性质、轴对称最短路径问题、割补法求面积等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据关于y轴对称点的横坐标变为相反数，纵坐标不变的规律得出点的坐标，再顺次连接即可； （2）运用割补法求解即可； （3）如图：连接，与y轴的交点即为所求的P点． 【详解】（1）解：如图：即为所求；点的坐标为． （2）解：的面积为． （3）解：如图：连接，与y轴的交点即为所求的P点． 【题型5 线段垂直平分线的性质】 高妙技法 1. 性质应用：垂直平分线上的点到线段两端距离相等（如 DE 垂直平分 AC，则 DA=DC）； 2. 角度计算：结合等腰三角形 “等边对等角”（如 DA=DC，则∠A=∠ACD）； 3. 周长计算：用 “等线段代换” 简化（如△BCE 周长 = BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC） 【典例1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，的周长为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出，．由线段垂直平分线的性质推出，，得到的周长为，结合的周长为，求出的长，进而可得到的长． 【详解】解：垂直平分线， ，， 的周长为， 的周长为， ， ． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，直线垂直平分，是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质、求最短距离问题等知识点，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 由垂直平分线的性质可得，进而得到周长的最小值是，最后代入数据求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵直线m是中边的垂直平分线，是直线上的一个动点． ∴， ∴， ∴最小为， ∵，， ∴周长的最小值是． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，分别是的垂直平分线，分别交 于点 ，连接，若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵分别是 的垂直平分线， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 【题型6 线段垂直平分线的判定】 高妙技法 1. 判定依据：到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上；2. 证明方法：证两点到线段两端距离相等，两点连线即为垂直平分线；3. 结合全等：通过全等证线段相等，再用判定定理 【典例1】如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则（　　） A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上 C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上 【答案】D． 【分析】根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC＝PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上． 【详解】解：∵PB＝PC， ∴P在线段BC的垂直平分线上， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，点在内，，分别垂直平分，，求证：点在边的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂直平分线的判定等知识点，掌握到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 先根据垂直平分线的性质可得、，即，从而证明结论． 【详解】证明：垂直平分， ． 垂直平分， ， ， 点在的垂直平分线上． 【变式2】如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 【题型7尺规作图（线段的垂直平分线或角平分线）】 高妙技法 1. 作图步骤：分别以线段两端为圆心，大于 1/2 线段长为半径画弧，两弧交点连线即为垂直平分线； 2. 关键：半径需大于 1/2 线段长，保证两弧有交点； 3. 验证：用 “到两端距离相等” 或 “垂直平分” 验证 【典例1】下列尺规作图方法错误的是（    ） A．如图1，作的平分线交边于点 B．如图2，在内作点，使点到，，三个顶点的距离相等 C．如图3，在内作点，使点到，两点的距离相等，且 D．如图4，在内作点，使点到，两点的距离相等，且到两边的距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查基本作图：角平分线和线段垂直平分线，结合作图图形逐项判断作图方法即可. 【详解】解：A、如图1，作的平分线交边于点，作法正确，不符合题意； B、如图2，在内作点，使点到，，三个顶点的距离相等，作法正确，不符合题意； C、如图3的作法只能使，不能使，故此作法错误，符合题意； D、如图4，在内作点，使点到，两点的距离相等，且到两边的距离相等，作法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】如图，在中，已知，根据图中的作图痕迹，的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查三角形的内角和定理和角平分线的定义，先根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据作图可得平分，即可得到的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据作图可知，平分， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，的周长为13． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的周长． 【答案】(1)画图见解析 (2)7 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，三角形的周长，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （）根据作线段垂直平分线的作法作图即可． （）由线段垂直平分线的性质可得，，进而由三角形的周长可得，即可得的周长． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：为线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为， ， ∴， 的周长． 【题型8 角平分线的性质求线段长】 高妙技法 1. 性质应用：角平分线上的点到角两边距离相等（如 AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，则 DE=DF）；2. 辅助线：过角平分线上点作两边垂线，构造等线段； 3. 计算：用等线段代换（如 CD=DE，已知 DE 求 CD） 【典例1】如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．4 【答案】B． 【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点P到边OA的距离即等于PD的长． 【详解】解：过点P作PE⊥OA于点E， ∵点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PE＝PD＝2． 故选：B． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AC＝9，CD＝6，则点D到BC的距离是（　　） ​ A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C． 【分析】根据题意作辅助线，然后根据角平分线的性质得出DE＝AD，根据已知可得AD＝3，所以DE＝3，即D点到BC的距离是3． 【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E， ∵已知∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC， ∴∠A＝∠DEB＝90°， 根据角平分线的性质可得：DE＝AD． ∵AC＝9，CD＝6， ∴DA＝3． ∴DE＝3，即D点到BC的距离是3， 故选：C． 【变式2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C． 【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，先利用三角形的面积公式求出DF＝4，然后再利用角平分线的性质可得DE＝DF＝4，即可解答． 【详解】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵△ACD的面积为16，AC＝8， ∴AC•DF＝16， ∴DF＝4， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， 故选：C． 【题型9 角平分线的性质求面积】 高妙技法 1. 面积公式：三角形面积 = 1/2× 底 × 高，高用角平分线性质找等线段（如△BCE 面积 = 1/2×BC×EF，EF=DE）； 2. 多三角形面积：用角平分线性质统一高，简化计算（如△ABD 与△ACD 面积比 = AB:AC） 【典例1】如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E．若AB＝4，DE＝2，则△ABD的面积为 　 　． ​ 【答案】4． 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线的性质可得DF＝DE，根据△ABD的面积求解即可． 【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示： ∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC， ∴DF＝DE， ∵AB＝4，DE＝2， ∴DF＝DE＝2， ∴△ABD的面积4， 故答案为：4． 【变式1】如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8， DE＝2，则△BCE的面积等于 　 　． 【答案】8． 【分析】先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE＝EF，再根据三角形的面积公式，即可求得△BCE的面积． 【详解】解：作EF⊥BC交BC于点F， ∵CD是AB边上的高， ∴CD⊥BA， ∵BE平分∠ABC， ∴DE＝EF， ∵DE＝2， ∴EF＝2， ∵BC＝8， ∴S△BCE8， 故答案为：8． 【变式1】如图，△ABC中，AD是∠A的角平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是 　 ． 【答案】7.5． 【分析】根据角分线的性质和三角形的面积先求出点D到AB、AC的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图过点D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分别为F、G， ∵AD是角平分线， ∴DF＝DG， 设DF＝DG＝h， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC， ∴24AB•DFAC•DG， ∴5h+3h＝48， 解得h＝6， ∴S△ABD5×6＝15， ∵BE是△ABD中的中线， ∴S△ABE＝S△BDES△ABD＝7.5． 故答案为：7.5． 【题型10 角平分线性质的证明】 高妙技法 1. 证明思路：先证点在角平分线上，再证到两边距离相等（或反之）； 2. 辅助线：作两边垂线，构造直角三角形； 3. 全等辅助：用 HL 或 AAS 证直角三角形全等，得距离相等 【典例1】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【详解】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 【变式1】如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB． 求证：BE＝FD． 【分析】利用角平分线的性质得到CD＝CE，然后证明Rt△CBE≌Rt△CFD，从而得到BE＝FD． 【详解】证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD， ∴CD＝CE， 在Rt△CBE和Rt△CFD中， ， ∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝FD． 【变式1】如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC． 【分析】要证AD平分∠BAC，只需证DF＝DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现． 根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC． 【详解】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠BFD＝∠CED＝90°． 在△BDF与△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（AAS）． ∴DF＝DE， ∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴AD是∠BAC的平分线． 【题型11 角平分线的判定】 高妙技法 1. 判定依据：角内部到两边距离相等的点在角平分线上； 2. 证明步骤：证点在角内部 + 到两边距离相等； 3. 结合平行：平行线 + 距离相等，可证角平分线 【典例1】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC． 【分析】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE＝DF，然后由角平分线的判定定理，即可证得AD平分∠BAC． 【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， ∵AD＝AD， Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠DAE＝∠DAF， ∴AD平分∠BAC． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，，，，与相交于点． (1)求证：． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的判定，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理即可求证； （2）根据角平分线的判定定理即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （2）证明：如图，过点分别作，的垂线，垂足分别为，． 由（1）可知， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴平分． 【变式2】（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，则的长______． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先过点作于，判定，得出，再根据角平分线的判定定理，得出答案即可； （2）先判定，得出，再根据，求得的面积为，进而得到的长． 【详解】（1）证明：过点作于，如图所示： ∵与中，， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∵， ∴点A在的角平分线上， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形面积的计算，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 【题型12 角平分线性质与判定的综合】 高妙技法 1. 性质→判定：用性质得距离相等，再用判定证角平分线； 2. 判定→性质：用判定证角平分线，再用性质得距离相等； 3. 多结论证明：结合全等、等腰三角形，串联性质与判定 【典例1】如图，在中，和的平分线、交于点，连接． (1)求证：平分； (2)？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识； （1）过作于点，于点，于点，由角平分线的性质得，，则，再由角平分线的判定即可得出结论； （2）过作于点，于点，于点，由角平分线的性质得，再证明，然后证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，过作于点，于点，于点， 平分， ， 平分， ， ， 平分； （2）成立，证明如下： 设， 如图，过作于点，于点，于点， 则点在线段上，点在线段上， 和的平分线、交于点， ， ，， ， 、分别平分、， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)18 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． （1）先根据三角形外角性质计算出，然后计算即可； （2）过E点作于M点，于N点，如图，先计算出得到平分，根据角平分线的性质得到，，所以，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到，则可计算出，所以，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过E点作于M点，于N点，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， 即平分； （3）解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 【变式2】在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行证明即可； （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； （2）证明：如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【题型13 利用等腰三角形的性质求角度】 高妙技法 1. 等边对等角：两腰对应底角相等（如 AB=AC，则∠B=∠C）； 2. 三线合一：顶角平分线、底边上的高 / 中线重合，可求角（如 AD⊥BC，则∠BAD=∠CAD）； 3. 内角和：结合 “三角形内角和 = 180°” 计算（如∠A=50°，则∠B=∠C=65°） 【典例1】（25-26八年级上·安徽马鞍山·月考）如图，若相交于点E，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）今，帆船运动受到越来越多年轻人的喜爱，它不仅能让人体验大自然的惊涛骇浪，还能锻炼人的胆量和体魄．如图，热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”，已知，，若，，连接，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，先证明，再根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为 度 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握好三角形外角的性质是解题关键． 设，根据等腰三角形的性质可得，，．由三角形外角的性质可得，，，计算出x的值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，． ∵是的外角， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型14 利用等腰三角形的性质求线段长 高妙技法 1. 等边对等角 + 勾股定理：已知一边和高，求腰长（如 AD⊥BC，BD=3，AD=4，則 AB=5）； 2. 三线合一：中线分底边为两段相等线段（如 D 是 BC 中点，则 BD=CD）； 3. 全等辅助：证全等得等线段，再结合等腰性质 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B． 【分析】根据已知可得BD+CD＝5，从而可得AB＝AC＝5，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵BC＝3，且△BDC的周长为8， ∴BD+CD＝8﹣3＝5， ∵AD＝BD， ∴AD+DC＝5， ∴AC＝5， ∵AB＝AC， ∴AB＝5， ∵AD＝DB，DE⊥AB， ∴AEAB＝2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线，△BNC的周长是24cm，BC＝10cm，则AB的长是（　　） A．17cm B．12cm C．14cm D．34cm 【答案】C． 【分析】根据垂直平分线的性质可得：AN=BN，根据△BNC的周长和BC的长度得出AC=14cm,再利用AB=AC，则AB=AC=14cm． 【详解】解：∵MN是AB的垂直平分线， ∴AN＝BN， ∵△BNC的周长是24cm，BC＝10cm， ∴BN+NC+BC＝AN+NC+BC＝AC+BC＝24（cm）， ∴AC＝14cm， ∵AB＝AC， ∴AB＝14cm， 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，求出AC=14cm． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【答案】B． 【分析】先得出AD是△ABC的中线，得出S△ABC＝2S△ABD＝2AB•DE＝AB•DE＝5AB，又S△ABCAC•BF，将AC＝AB代入即可求出BF． 【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ABD＝2AB•DE＝AB•DE＝5AB， ∵S△ABCAC•BF， ∴AC•BF＝5AB， ∵AC＝AB， ∴BF＝5， ∴BF＝10（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键． 【题型15 等腰三角形性质的证明】 高妙技法 1. 证边相等：用全等（SAS/SSS）或 “等角对等边” 2. 证角相等：用 “等边对等角” 或全等； 3. 证三线合一：先证等腰，再证高 / 中线 / 角平分线，得三线重合 【典例1】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及直角三角形的性质是关键． （1）根据等腰三角形的两底角相等，可求得，再根据线段垂直平分线的性质可得，从而，即可求得答案； （2）根据直角三角形的性质，可得，结合，，可得，解方程即得答案． 【详解】（1）证明：，， ， 的垂直平分线是， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 即， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，点D是边上一点，点E为外的任意一点，连接，，，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先证明，再利用证明即可； （2）由可得，根据即可求出的周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，点在边上，，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)若点是的中点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理等． （1）根据题意可得，继而得到，再利用等腰三角形性质即可得到，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案； （2）连接，利用等腰三角形性质得到，然后得到，然后得到，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：证明：如图，连接． ，点是的中点， ，， ． ， ， ， ， ． 【题型16 等腰三角形的判定】 高妙技法 1. 定义法：证两边相等（如 AB=AC）； 2. 等角对等边：证两底角相等（如∠B=∠C，则 AB=AC）； 3. 特殊判定：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 【典例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 求证：△ABC是等腰三角形． 【分析】由条件可得出DE＝DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B＝∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论． 【详解】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DE＝DF， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠B＝∠C； ∴AB=AC ∴△ABC为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE＝DF是解题的关键． 【变式1】已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠BAD，等量代换得到∠ADE＝∠CAD于是得到结论． 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的中线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AB， ∴∠ADE＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠CAD ∴AE＝ED， ∴△AED是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【变式2】如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形． 【分析】要证△ABC为等腰三角形，须证∠A＝∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD＝BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形． 【详解】证明：∵DF⊥AC， ∴∠DFA＝∠EFC＝90°． ∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF， ∵BD＝BE， ∴∠BED＝∠D． ∵∠BED＝∠CEF， ∴∠D＝∠CEF． ∴∠A＝∠C． ∴△ABC为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代换是正确解答本题的关键． 【题型17 等腰三角形的性质与判定的综合】 高妙技法 1. 性质→判定：用 “等边对等角” 得角相等，再用 “等角对等边” 证新等腰三角形； 2. 判定→性质：先证等腰，再用 “三线合一” 求线段 / 角； 3. 多图形综合：结合平行线、角平分线，串联性质与判定 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，DE∥AC，DF∥AB，则四边形AEDF的周长是（　　） A．32 B．24 C．16 D．8 【答案】C． 【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再利用平行线的性质可得∠FDC＝∠B，∠EDB＝∠C，从而可得∠C＝∠FDC，∠B＝∠EDB，然后利用等角对等边可得FD＝FC，ED＝EB，从而利用等量代换可得四边形AEDF的周长＝AB+AC＝16，即可解答． 【详解】解：∵AB＝AC＝8， ∴∠B＝∠C， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴∠FDC＝∠B，∠EDB＝∠C， ∴∠C＝∠FDC，∠B＝∠EDB， ∴FD＝FC，ED＝EB， ∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF ＝AE+BE+FC+AF ＝AB+AC ＝8+8 ＝16， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质是解题的关键． 【变式1】如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B． 【分析】根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接AF，可得AF⊥BD，再利用等角的余角相等，证明∠EAF＝∠EFA，从而得EA＝EF，即可解答． 【详解】解：连接AF， ∵AB＝AD，F是BD的中点， ∴AF⊥BD， ∴∠AFD＝90°， ∴∠EAF+∠C＝90°，∠AFE+∠EFC＝90°， ∵EF＝EC， ∴∠EFC＝∠C， ∴∠EAF＝∠AFE， ∴EA＝EF， ∴EF＝EA＝ECAC＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一，添加辅助线是解题的关键． 【变式2】如图，在等腰三角形ABC中，两底角的平分线BE、CD相交于点O，求证：OB＝OC，OD＝OE． 【分析】首先根据等边对等角可得∠ABC＝∠ACB，然后根据角平分线的性质可得∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，进而得到∠OBC＝∠OCB，再根据等角对等边可得OB＝0C；再根据ASA证明△OBD≌△OCE，由全等三角形的对应边相等即可得到OD＝OE． 【详解】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD、CE是角平分线，它们相交于点O， ∴∠OBC＝∠OBD∠ABC，∠OCB＝∠OCE∠ACB， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC； 在△OBD与△OCE中， ， ∴△OBD≌△OCE（ASA）， ∴OD＝OE． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，难度适中．得出∠OBC＝∠OCB是解题的关键． 【题型18 等腰三角形中的多结论问题】 高妙技法 等腰三角形中的多结论判断问题主要是利用角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 【典例1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，过点作于点，以为斜边作直角，，点为上一点，，连接交于点．下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了三线合一定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，由三线合一定理可得，再由已知条件可判断①；延长至点使得连接，可证明垂直平分，得到，则可证明，得到，，据此可判断②④；根据现有条件无法证明，据此可判断③． 【详解】解： ∴， ∵， ∴，故①正确； 如图所示，延长至点使得连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴，故④正确； 根据现有条件，无法证明，故③错误； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，是等腰三角形，，，过点作于点，过作于点，，相交于点，为的中点，连接，，，则下列说法正确的是（    ） ①，②，③，④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质等知识．由等腰三角形的性质可得，，由余角的性质可得故①正确；通过证明是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，故②正确；由可证，可得，由线段垂直平分线的性质可得，可求得，故③正确；通过证明，可得，故④正确，即可求解． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， 故①正确； ∵，， ， ， 是等腰直角三角形， 为的中点， ，故②正确； 在和中， ， ， ， ，， ， ，故③正确； 是等腰直角三角形，为的中点， ， ， ，故④正确 综上所述①②③④正确， 故选：D 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，是等边三角形，点为边上一个动点不与，重合，点在边上，且，连接，相交于点，过点作于点，下列说法： 其中一定正确的个数有( ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键．由等边三角形的性质得，，因为，所以，可判断①正确；由，推导出，可根据“”证明，得，则，可判断②正确；由于点，得，若成立，则，因为点为边上一个动点，所以不一定等于，可判断③错误；由，，求得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：是等边三角形，点在边上，点在边上， ，， ， ，故①正确； ， ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； 于点， ， 若成立，则， 点为边上一个动点， 不一定等于， 与不一定相等，故③错误； ，， ， ，故④正确． 综上，正确的有3个． 故选：B． 【题型19 等边三角形的性质的计算】 高妙技法 1. 三边相等：已知一边求周长（如边长为 6，周长 = 18）； 2. 三角均为 60°：结合内角和、外角性质计算（如∠APE=∠ABC=60°）； 3. 三线合一：每条边上的高 / 中线 / 角平分线重合，可求高（如边长为 a，高 =√3/2 a） 【典例1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在等边三角形中，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形以及平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质．根据等边三角形以及平行线的性质可得，从而得到，再由含30度角的直角三角形的性质解答，即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在等边三角形中，为边上一点，延长到点，使，连接． （）若，则的度数是 ．（用含的代数式表示） （）过点作于点，的延长线与的延长线交于点，则的度数是 ． 【答案】 /度 【分析】（）由等边三角形的性质及已知得，即得，进而根据三角形内角和定理即可求解； （）由等边三角形的性质及已知得，，即得，，进而得到，再根据直角三角形的性质即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （）∵是等边三角形，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，，平分． （1）的度数是 ． （2）若四边形的面积是是的中点，则的面积是 ． 【答案】 /90度 【分析】本题主要考查了等边对等角、角平分线的定义、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由等边对等角、角平分线的定义、平行线的性质可得，进而完成解答； （2）如图，延长，记交点为．先证明可得，再根据即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． （2）如图，延长，记交点为． ， ∴ 为的中点， ． ， ， ． 故答案为：． 【题型20 等边三角形的判定】 高妙技法 1. 定义法：证三边相等； 2. 角判定：证三角均为 60°，或有一个角是 60° 的等腰三角形； 3. 全等辅助：证三角形全等，得三边 / 三角相等 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB，交CD于E，交BC于F，若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形． 【分析】在△ABC中，AF平分∠CAB、AF＝BF求得∠B＝∠2＝∠1＝60°，根据外角性质可得∠4＝60°，在RT△ADE中可得∠3＝∠5＝60°，进而可知∠4＝∠5＝60°，得证． 【详解】证明：如图， ∵AF是∠BAC的平分线， ∴∠CAB＝2∠1＝2∠2， ∵AF＝BF， ∴∠2＝∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°，即∠B+2∠1＝∠B+2∠2＝90°， ∴∠B＝∠1＝∠2＝30°， ∵∠4是△ABF的外角， ∴∠4＝∠2+∠B＝60°， ∵CD是AB边上的高， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠3＝60°， ∵∠5＝∠3， ∴∠4＝∠5＝60°， ∴△CEF是等边三角形． 【变式1】如图，点D在线段BC上，∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝DC．求证：△ADE为等边三角形． 【分析】先判定△ABD≌△DCE（ASA），即可得到AD＝ED，再根据∠ADE＝60°，即可得出△ADE是等边三角形． 【详解】证明：∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝60°+∠CDE， ∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD， ∴∠BAD＝∠CDE， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（ASA）， ∴AD＝ED， 又∵∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 【变式2】如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB． （1）求∠C的度数； （2）求证：△ADE是等边三角形． 【分析】（1）因为AB＝AC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又∠BAC＝120°，根据三角形内角和，可求出∠C的度数为30°． （2）AD⊥AC，AE⊥AB，∠ADE＝∠AED＝60°，三个角是60°的三角形是等边三角形． 【详解】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， 故答案为：30°． （2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB． ∴∠ADC＝∠AEB＝60°， ∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 【题型21 30°角所对的直角边等于斜边的一半】 高妙技法 1. 直接应用：在 Rt△中，30° 角对边 = 1/2 斜边（如∠A=30°，BC=1/2 AB）； 2. 逆用：直角边 = 1/2 斜边，则对边对应角 = 30°； 3. 辅助线：构造含 30° 的直角三角形（如作高，拆分图形） 【典例1】（22-23八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，是斜边上的高，，那么等于（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由题干条件得出两个直角三角形中含角所对的直角边等于斜边的一半,即与即可求解. 【详解】在中，，则 ∵， ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了含有角的直角三角形，关键是根据“在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半”得出． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）如图，在中，是的中点，交于，点在上，且是等边三角形，，，求的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键； 连接，作于点，先根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质得到，，再求得，在中，求得，，在中，求得，，，即可求解． 【详解】解：连接，作于点， 是的中点，， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 在中，， ，， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：10． 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在等边中，交于点于点． （1）∠PBQ的度数为 ； （2）连接，若，则的值为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质和含的直角三角形的性质是解题的关键． （1）先根据是等边三角形，推出，，然后利用即可证明全等，由全等三角形的性质得，等量代换之后得，而，则； （2）根据含的直角三角形的性质即可证明，再证明，求得，据此计算即可求解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，． 在与中， ， ∴． ， ， ． ． ， ； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【题型22 等边三角形的性质与判定的综合】 高妙技法 1. 性质用角度：60° 角结合全等（如△ABC 等边，AB=AC，∠BAC=60°）； 2. 判定证等边：先证等腰，再证有 60° 角； 3. 综合计算：结合全等、线段和差，求边长或角度 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）综合与实践 已知为等边三角形，，为上一点，，连接． 情景观察（1）如图1，与全等吗？请说明理由； 问题探究（2）如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，， ①的度数为___________；②求证：； 拓展延伸（3）如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，则的面积为___________． 【答案】（1）全等，理由见解析；（2）①，见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，可得，即可得结论； （3）由“”可证，可得，，，由“”可证，可得，，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：全等，理由如下， 是等边三角形，， ，， 又， ； （2）证明： ， ， 又 ，， ， ，，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ，，， ， ，，， ， ， 在中，， 又， ， ， 又， ， 又， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在等边中，D是上一点，E是延长线上一点，，交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点H，若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，添加平行线构造全等三角形是解题关键． （1）过点D作的平行线，交于点G，由 是等边三角形和，可得也是等边三角形，则有．结合已知条件，容易证出，从而得到； （2）由（1）可知，，则有．因为是等边三角形，同时，可得，因此． 【详解】（1）证明：如图，过点D作的平行线，交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图， 由（1）可知，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知在等边纸片中，点，分别是，边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，． 【初步探究】当折痕时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落在内部时，求证：； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （3）当是等腰直角三角形时，请求出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）由得出，从而得出，进而得出，从而得出，从而是等边三角形； （2）可证得，，从而得出； （3）分三种情形：当时，；当时，；当时，． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：由（1）知：， 同理可得，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图， 当时，； 如图， 当时，， ∴； 如图， 当时，， ∴， 综上所述：或． 【题型23等腰三角形中的分类讨论问题】 高妙技法 1. 边分类：已知两边，讨论哪边为腰（如 AB=3，BC=6，腰只能是 6）； 2. 角分类：已知一角，讨论是顶角还是底角（如∠A=70°，则顶角为 70° 或 40°）；3. 位置分类：高、中线位置（如钝角三角形高在外部） 【典例1】（2024春·安徽六安·八年级校考期中）已知等腰的周长为18，，若，则中一定有一条边等于（   ） A．7 B．2或7 C．5 D．2或5 【答案】D 【分析】分为腰、为底两种情况，求出等腰三角形的另两边，根据全等三角形的性质解答． 【详解】解：当为腰时，等腰的周长为18， ∴另两边为或2， 当为底时，另两边为5或5， ∵， ∴中有一条边等于2或5， 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【变式1】若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（　　） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】分两种情况，画出相应的图形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，结合等边三角形的判定和性质求出顶角度数，即可得到等腰三角形底角的度数． 【详解】解：当为锐角三角形时，作于点D，取的中点E，连接，如图：        则， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； 当为钝角三角形时，作，交的延长线于点D，取的中点，连接，如图：      则， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上分析可知，此等腰三角形的底角的度数是或，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在中，，，点D在边上，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接． （1）的度数为 ； （2）设，当θ为 时，为等腰三角形． 【答案】 或或 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，根据轴对称的性质可知，．结合已知条件，容易证出，则，从而求出； （2）由三角形内角和定理可得，，进而得到，由轴对称的性质可得，，从而计算得，若为等腰三角形，有三种可能，即、、，计算每种情况下的值，进一步算出θ的值． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 根据轴对称的性质可知，，， ∴ ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由轴对称的性质可得，， ∵， ∴，， ∴， ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得； 综上，当或或时，为等腰三角形． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，运用分类讨论思想是解题关键． 【题型24 等腰三角形与动点运动问题】 高妙技法 1. 动态分析：分阶段讨论动点位置（如 P 在 AB 上、BC 上）； 2. 等量关系：根据等腰条件列方程（如 AP=AQ，设 t 秒后相等）；3. 临界值：确定动点运动范围，结合等腰性质找临界时刻 【典例1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知线段，，线段，．点在线段上，以的速度由点向点运动;同时，点在线段上，以的速度由点向点运动，设它们的运动时间为． （1）若，则当 时，是等边三角形； （2）当 时，与全等． 【答案】 1或 【分析】本题考查等边三角形的判定，全等三角形的性质，一元一次方程的应用，求出符合题意的所有情况是解题的关键， （1）根据等边三角形的判定分别计算出和的长度，即可得到答案； （2）由题知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：（1）当时，则点的速度为，点的速度为，运动时间为，， ∴，，， 要使是等边三角形，需满足， ∴， 解得：， 故答案为：． （2）∵点的速度为，点的速度为，运动时间为，，， ∴，，， ， 当与全等时，分两种情况： ①时， ，， ∴，， 解得：，， ②时， ，， ∴，， 解：，， 综上所述：的值为1或． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）两个智能机器人在如图所示的等边三角形区域附近工作，，射线为生产流水线，点在的延长线上．机器人甲从点出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点表示，机器人乙从点出发，沿的方向以相同的速度匀速运动，其所在位置用点表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为（单位：），点到的距离（垂线段的长）为（单位：m），点到的距离（垂线段的长）为（单位：m）．连接交于点．当机器人甲到达终点时，两个机器人停止运动． (1)机器人甲运动的路程是_____m，机器人乙运动的路程是_____m．（用含t的代数式表示） (2)若，求的值． (3)求证：． (4)在运动过程中，线段的长会发生变化吗？如果不会，求出的长；如果会，请说明理由． 【答案】(1)； (2)． (3)见解析 (4)不会， 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）由等边三角形的性质可得，再运用三角形外角的性质可得，进而得到，即．再说明是直角三角形，结合可得，最后根据列出关于t 的方程求解即可； （3）先证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （4）先证明可得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：机器人甲运动的路程是，机器人乙运动的路程是． 故答案为：；． （2）解：∵等边三角形， ∴， ， ， ∴ ． 在中，， ， 是直角三角形， ． ， ∴，解得：． （3）证明：， ． ∵点到的距离（垂线段的长）为（单位：m），点到的距离（垂线段的长）为（单位：m）． ∴． 在和中， ， ， ，即． （4）解：的长不会发生变化． 由（3）可知， ． 在和中， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． (1)填空：______ ，______ ； (2)如图，若的坐标为，且于点，交于点，求点的坐标； (3)如图，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)4， (2) (3)不发生改变，4 【分析】（1）将配方得，根据算术平方根和平方的非负性，即可求得的值； （2）利用可证明 ，得，则题目可解； （3）利用可证 ，则 ，所以 ， 则题目可求． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，， 故答案为：，； （2）解：直线交轴于点，交轴于点， 点，点， ， ∴， ∵， ， ， 在和中， ， ； ， 的坐标为， ， ， 的坐标为； （3）解：的值不发生改变；理由如下： 如图，，，为的中点，连接 ， ，，， ， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查配方，绝对值和平方运算的非负性，全等三角形的性质和判定，图形和坐标，三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 1、 选择题 1．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形，据此解答即可． 【详解】解：A不是轴对称图形，不符合题意； B是轴对称图形，符合题意； C不是轴对称图形，不符合题意； D不是轴对称图形，不符合题意； 故答案为：B． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图所示的正方形方格中有颗棋子，只移动其中的一颗棋子一步（小正方形的边长为一步），棋子不能重叠，若移动后的颗棋子组成的图形是轴对称图形，则不同的移法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的特征是解题的关键．根据轴对称图形的特征画出所有可能结果即可解答． 【详解】解：移动后的轴对称图形如图所示，共有种方法． 故选：D． 3．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．是直角三角形 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练运用等腰三角形的三线合一性质是解本题的关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质解答． 【详解】解：∵中，，D是中点， ∴（故B正确，不符合题意）， 平分（故C正确，不符合题意）， ，则是直角三角形（故D正确，不符合题意）， 无法得到（故A不正确，符合题意）， 故选：A． 4．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【详解】解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 5．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，，则的周长为（    ） A．12 B．15 C．14 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线的定义和平行线的性质得出相等角，然后利用等角对等边得出相等的边，利用线段的和差，即可求出三角形周长． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：B． 6．（25-26八年级上·安徽·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（   ） A．1 B．2 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握以上知识点是关键．根据角平分线的性质定理可得关于的方程，解方程即可求得点的坐标，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，证明即可． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，如图所示： ∵点在第一象限角平分线上，， ∴， ∴， 解得：， 则点的坐标为， ∵， ， ∵， ， 由点的坐标知，， ∴， ， ． 故选：C． 7．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作、、的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作、、的垂线，垂足分别为、、， 、、是的三条角平分线， ， ，的面积为， ， ， 的面积 ， 故选：D 8．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）已知含有角的直角三角形内部两条直角边的关系为“所对直角边的长度所对直角边的长度．由上述信息完成下题．如图，，平分，且．若点，分别在，上，是等边三角形且，则满足上述条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、等边三角形的性质、轴对称的性质，熟练掌握勾股定理和轴对称的性质是解题的关键． 过点作于点、于点，证得为等边三角形及，根据等边三角形的面积，求得，分情况讨论，当在点靠近侧，在点靠近侧和当在点远离侧，在点远离侧时，在上取，使，在上取，则，根据勾股定理求得，进而得到在、上分别构造出两组对称点、，形成两个满足条件的等边即可． 【详解】解：根据题意得，，平分， 则 过点作于点、于点， 则 在中，， 同理得， 在四边形中， 为等边三角形，边长为， 其面积为 根据所对直角边的长度所对直角边的长度， 得 解得， 则等边三角形的边长为， 由于， 则， ①当在点靠近侧，在点靠近侧， 在上取，使，在上取，则， 、、， 是等边三角形， 根据勾股定理得， 即 解得或（舍去）， 则存在唯一解； ②当在点远离侧，在点远离侧， 同理，在上取，使，在上取，则， 此时， 根据勾股定理得， 即 解得，存在唯一解， 综上所述，可在、上分别构造出两组对称点、，形成两个满足条件的等边， 故选：B． 2、 填空题 9．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于水平直线对称的两个点的横坐标相同，纵坐标的和为，据此求解即可． 【详解】解：平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的横坐标为，纵坐标为， ∴点关于直线对称的点的坐标是， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，点P是内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线判定定理可得平分，平分，则，，根据角之间的关系可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 点P到三边的距离， ∴平分，平分， ∴， ∴ ∴； 故答案为：． 11．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，关键是利用线段垂直平分线的性质进行角的转换； 根据可得，又根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可求出结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 12．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，点在边上，连接，且，，直线是边的垂直平分线，若点在直线上运动，连接、，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，最短线段问题，将求周长的最小值转化为求线段的最小值是解题关键．连接，由垂直平分线的性质可知，则的周长，当点、、三点共线时，有最小值为的长，即周长的最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 直线是边的垂直平分线，点在直线上运动， ， 的周长， 当点、、三点共线时，有最小值为的长， 周长的最小值为， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知，在的内部有一点，为上一动点，为上一动点，． （1）的周长的最小值是 ； （2）当的周长最小时， 度． 【答案】 120 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握“利用轴对称转化线段长度求最短路径（周长最小值）”是解题的关键． （1）利用轴对称的性质将三角形周长转化为线段长度，结合等边三角形性质求解周长最小值； （2）通过角的等量关系计算的度数． 【详解】（1）分别作点关于，的对称点，，连接， 分别交，于点，则此时的周长最小． 连接，由轴对称的性质得，， 是等边三角形， ， 的周长， 的周长的最小值为, 故答案为：； （2）由（1）可知，， ， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，在中，，，已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）． （1）若，则的度数为 ； （2）当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理；能根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，由三角形的内角和定理即可求解． （2）分类讨论：当时， 当时，当时，即可求解． 【详解】解：（1） ，， ， ， ， ， 故答案为：． （2）分类讨论： 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，此时点P与点B重合，点D与点A重合， ，题干要求，故该情况不存在； 故答案为：或． 3、 解答题 15．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图，在平面直角坐标系中，把向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)求的面积； (3)若与全等（点与点不重合），直接写出点的全部坐标． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3)或或 【分析】本题考查了平移作图，求图形的面积，全等三角形判定定理，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据平移的性质确定出点对应点的位置，然后顺次连线即可； （2）根据三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据三角形全等的条件，并结合网格特点进行分析即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积为； （3）解：根据与全等（点与点不重合），作图如下： 由图知，点的坐标为或或． 16．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)作出的边上的高； (3)在（1）和（2）的条件下，若的面积为40，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由三角形外角的定义和性质得出，再由角平分线的定义即可求出． （2）过点E作交的延长线与点M． （3）过点作于点，过点作于点．由三角形面积公式求出，由含30度直角三角形的性质得出，由角平分线的性质定理得出，最后根据即可求出的值． 【详解】（1）解：，， ． 为的角平分线， （2）解：如图，即为所求作 【答案】(1) (2)的度数为 (3) 【分析】（1）在等腰中，利用两个底角相等，直接表示出来的度数即可； （2）首先利用等边三角形和等腰三角形的性质，将表示为，即可结合（1）中的结论进行求解； （3）首先构造合适的辅助线得到全等三角形，再将与的线段关系表示为三角形面积关系，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴的度数为； （3）解：如图所示，连接，，过点C作于点M， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵C为的中点， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵C为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，合理构造辅助线和将线段比例用三角形面积的比例表示出来是解题的关键． （3）解：如图，过点作于点，过点作于点． ，为的中线， ． ． ． 在中， ， ． 为的角平分线，，， ． ， ， 即． ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，角平分线有关的计算，三角形中线的性质，三角形外角的定义，作三角形高等知识，掌握这些知识是解题的关键． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在中，，分别是边，上的高，，相交于点F，． (1)求证：； (2)连接，若平分，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意易证得和都是直角三角形，进而证得，证得，根据全等三角形的性质证得； （2）在上截取，连接，证得，根据全等三角形的性质证得，，进而证得，由于三角形外角定理证得和，从而求出的度数． 【详解】（1）证明：在中，，分别是边，上的高， ， 和都是直角三角形 ， 在和中 ； （2）解：在上截取，连接，如图所示： 平分 在和中， ， 是的外角， 在中， 即的度数为． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、三角形外角和定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 18．（25-26八年级上·安徽·期末）如图，在等边中，D为边上一点，延长至F使得，过A作于H，与的延长线交于点G． (1)若为α，直接写出的度数；（用含α的代数式表示） (2)求的度数； (3)已知C为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2)的度数为 (3) 【分析】（1）在等腰中，利用两个底角相等，直接表示出来的度数即可； （2）首先利用等边三角形和等腰三角形的性质，将表示为，即可结合（1）中的结论进行求解； （3）首先构造合适的辅助线得到全等三角形，再将与的线段关系表示为三角形面积关系，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴的度数为； （3）解：如图所示，连接，，过点C作于点M， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵C为的中点， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵C为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，合理构造辅助线和将线段比例用三角形面积的比例表示出来是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轴对称图形与等腰三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：轴对称图形 （一）轴对称图形的相关概念 ◆1、轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． ◆2、轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． ◆3、常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． （二）轴对称图形的性质 ◆1、性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段．沿对称轴折叠后轴对称图形上能够重合的点叫做对称点． ◆2、画对称轴的方法： （1）过两对对称点所连的线段的中点作直线；（2）作一对对称点连线的垂直平分线. 知识点二 ：轴对称 （一）轴对称的相关概念 ◆1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 【注意】理解轴对称的定义应抓住三点：①有两个图形；②存在一条直线；③一个图形沿着这条直线折叠后能与另一个图形重合. ◆2、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 区别 对象 一个图形 两个图形 意义 一个图形具有的特殊形状 两个全等图形的特殊的位置关系 对称轴的条数 一条或多条 只有一条 对称轴的位置 一定经过这个图形 可能在两个图形的外部，也可以经过两个图形内部或它们的公共边（点）. 联系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． （二）轴对称的性质 ◆1、轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分． 如右图：直线MN是AA′, BB′,CC′的垂直平分线. 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． ③成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等. （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． ◆2、找对称轴：若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同． ◆3、、作一个图形关于某条直线成轴对称的方法： 先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可． 知识点三 ：画已知图形的轴对称图形 画与已知图形成轴对称的图形的步骤： （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点. 知识点四 ：画已知图形的轴对称图形 ◆1、关于坐标轴对称的点的坐标规律： 1.关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2.关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． ◆2、在坐标系中画出已知图形关于某直线成轴对称的图形的步骤： ①计算——计算出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——按原图对应顺序依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 知识点五 ：线段的垂直的平分线 ◆1、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，MN⊥AA′， AP=A′P.直线MN是线段AA ′的垂直平分线. 说明：线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合. ◆2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. ★★应用格式：（如右图） ∵ 直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l ， ∴ PA = PB． ★★作用：证明线段相等. ◆3、线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． ★★应用格式：（如上图） ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． ★★作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 知识点六 ：角的平分线 （一）角平分线的性质定理 ◆1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ◆2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). ◆3、定理的作用：证明线段相等. ◆4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. （二）角平分线的判定定理 ◆1、判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ◆2、应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. ◆3、定理的作用：判断点是否在角的平分线上. ◆4、角平分线的判定的几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. ★拓展三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这点到三边的距离相等， 反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点. 知识点七 ：等腰三角形的概念及性质 ★1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． ★2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”). ★用符号语言表示为： 在△ABC中，∵ AB=AC（已知）， ∴ ∠B＝∠C （等边对等角）. ★3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.简称：等腰三角形三线合一. ★用符号语言表示为： 在△ABC中， （1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （2）∵AB=AC , BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. ★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． ★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 知识点八：等边三角形的概念及性质 ★1、定义：三边相等的三角形叫作等边三角形或正三角形． ★2、性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴． （2）等边三角形的各角都等于60°． ★3、等边三角形与等腰三角形的性质比较： 等腰三角形 等边三角形 对称性 轴对称图形(1条) 轴对称图形(3条) 边 两腰相等 三边都相等 角 两底角相等 三个角都等于60° 特殊线 底边上的中线、高和顶角的平 分线互相重合(1条) 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(3条) 知识点九 ：等腰三角形的概念及性质 等腰三角形的判定方法： ★1、定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形. ★2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)． 几何语言： 在△ABC中， ∵ ∠B＝∠C（已知）， ∴ AB=AC （等角对等边）. ★3、等腰三角形的判定与性质的区别 条件 结论 作用 性质 (等边对等角) 在同一个三角形中，两边相等. 这两边所对的角也相等. 证明角相等. 判定 (等角对等边) 在同一个三角形中，两个角相等. 这两个角所对的边也相等. 证明线段相等. 知识点十 ：等边三角形的判定 ★1、等边三角形的判定 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形． （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ． ★2、等边三角形与等腰三角形判定的区别 图形 等腰三角形 等边三角形 判 定 从边看： 两条边相等的三角形是等腰三角形. 三条边都相等的三角形是等边 三角形. 从角看： 两个角相等的三角形是等 腰三角形. 三个角相等的三角形是等边三角形. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点． 【题型1 轴对称图形的识别】 高妙技法 1.抓定义：沿直线折叠，两旁部分完全重合； 2.常见图形记忆：等腰三角形、矩形等是轴对称图形； 3. 排除法：无对称轴的图形直接排除 【典例1】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）下列四种标识中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）下列图形中不是轴对称图形的是（   ）. A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽宣城·月考）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．B．C．D． 【题型2 轴对称性质的应用】 高妙技法 1. 对应点连线：被对称轴垂直平分； 2. 镜面对称：像与原图形左右颠倒（如钟面时间，8 时对应镜中 4 时）； 3. 折叠问题：折叠前后对应角、对应边相等 【典例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若的长为15，则的周长为（　　） A．15 B．18 C．20 D．21 【变式1】如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是 　 　． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型3 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用】 高妙技法 1.关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． 2.关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【典例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）剪纸是古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，蝴蝶剪纸的图案关于y轴对称，点E的对应点为点F，若点E的坐标为，则点F的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）若点与点关于轴对称，则 ． 【题型4 在平面直角坐标系中画已知图形的轴对称】 高妙技法 在平面直角坐标系中画轴对称图形的方法： ①计算——计算出已知图形中一些特殊点的对称点的坐标； ②描点——根据对称点的坐标描点； ③连接——按原图对应顺序依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 【典例1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中的位置如图，点，点，点． (1)将向左平移4个单位得到（点A、B、C的对应点分别为、、），画出； (2)和关于x轴对称（点、、的对称点分别为、、），画出； (3)在直线上画出一点P，使的值最小，并直接写出点P的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在平面直角坐标系中，如图所示． (1)的面积为______； (2)在图中画出关于y轴的对称图形，其中点的坐标为 ，点的坐标为 ； (3)点C关于直线对称的点的坐标为______． 【变式2】（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)若网格上的每个小正方形的边长为1，则的面积为 ； (3)在轴上求作点，使的值最小． 【题型5 线段垂直平分线的性质】 高妙技法 1.性质应用：垂直平分线上的点到线段两端距离相等（如 DE 垂直平分 AC，则 DA=DC）； 2. 角度计算：结合等腰三角形 “等边对等角”（如 DA=DC，则∠A=∠ACD）； 3. 周长计算：用 “等线段代换” 简化（如△BCE 周长 = BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC） 【典例1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，的周长为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，直线垂直平分，是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，分别是的垂直平分线，分别交 于点 ，连接，若，则的周长为 ． 【题型6 线段垂直平分线的判定】 高妙技法 1. 判定依据：到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上；2. 证明方法：证两点到线段两端距离相等，两点连线即为垂直平分线；3. 结合全等：通过全等证线段相等，再用判定定理 【典例1】如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则（　　） A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上 C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，点在内，，分别垂直平分，，求证：点在边的垂直平分线上． 【变式2】如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【题型7尺规作图（线段的垂直平分线或角平分线）】 高妙技法 1.作图步骤：分别以线段两端为圆心，大于 1/2 线段长为半径画弧，两弧交点连线即为垂直平分线； 2.关键：半径需大于 1/2 线段长，保证两弧有交点； 3. 验证：用 “到两端距离相等” 或 “垂直平分” 验证 【典例1】下列尺规作图方法错误的是（    ） A．如图1，作的平分线交边于点 B．如图2，在内作点，使点到，，三个顶点的距离相等 C．如图3，在内作点，使点到，两点的距离相等，且 D．如图4，在内作点，使点到，两点的距离相等，且到两边的距离相等 【变式1】如图，在中，已知，根据图中的作图痕迹，的度数为 ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，的周长为13． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的周长． 【题型8 角平分线的性质求线段长】 高妙技法 1.性质应用：角平分线上的点到角两边距离相等（如 AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，则 DE=DF）；2. 辅助线：过角平分线上点作两边垂线，构造等线段； 3. 计算：用等线段代换（如 CD=DE，已知 DE 求 CD） 【典例1】如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．4 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AC＝9，CD＝6，则点D到BC的距离是（　　） ​ A．2 B．4 C．3 D．6 【变式2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【题型9 角平分线的性质求面积】 高妙技法 1. 面积公式：三角形面积 = 1/2× 底 × 高，高用角平分线性质找等线段（如△BCE 面积 = 1/2×BC×EF，EF=DE）； 2. 多三角形面积：用角平分线性质统一高，简化计算（如△ABD 与△ACD 面积比 = AB:AC） 【典例1】如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E．若AB＝4，DE＝2，则△ABD的面积为 　 　． ​ 【变式1】如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8， DE＝2，则△BCE的面积等于 　 　． 【变式1】如图，△ABC中，AD是∠A的角平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是 　 ． 【题型10 角平分线性质的证明】 高妙技法 1.证明思路：先证点在角平分线上，再证到两边距离相等（或反之）； 2.辅助线：作两边垂线，构造直角三角形； 3. 全等辅助：用 HL 或 AAS 证直角三角形全等，得距离相等 【典例1】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 【变式1】如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB． 求证：BE＝FD． 【变式1】如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC． 【题型11 角平分线的判定】 高妙技法 1.判定依据：角内部到两边距离相等的点在角平分线上； 2证明步骤：证点在角内部 + 到两边距离相等； 3. 结合平行：平行线 + 距离相等，可证角平分线 【典例1】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF 求证：AD平分∠BAC． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，，，，与相交于点． (1)求证：． (2)连接，求证：平分． 【变式2】（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，则的长______． 【题型12 角平分线性质与判定的综合】 高妙技法 1. 性质→判定：用性质得距离相等，再用判定证角平分线； 2. 判定→性质：用判定证角平分线，再用性质得距离相等； 3. 多结论证明：结合全等、等腰三角形，串联性质与判定 【典例1】如图，在中，和的平分线、交于点，连接． (1)求证：平分； (2)？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 【变式2】在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【题型13 利用等腰三角形的性质求角度】 高妙技法 1. 等边对等角：两腰对应底角相等（如 AB=AC，则∠B=∠C）； 2. 三线合一：顶角平分线、底边上的高 / 中线重合，可求角（如 AD⊥BC，则∠BAD=∠CAD）； 3. 内角和：结合 “三角形内角和 = 180°” 计算（如∠A=50°，则∠B=∠C=65°） 【典例1】（25-26八年级上·安徽马鞍山·月考）如图，若相交于点E，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）今，帆船运动受到越来越多年轻人的喜爱，它不仅能让人体验大自然的惊涛骇浪，还能锻炼人的胆量和体魄．如图，热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”，已知，，若，，连接，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为 度 ． 【题型14 利用等腰三角形的性质求线段长 高妙技法 1. 等边对等角 + 勾股定理：已知一边和高，求腰长（如 AD⊥BC，BD=3，AD=4，則 AB=5）； 2. 三线合一：中线分底边为两段相等线段（如 D 是 BC 中点，则 BD=CD）； 3. 全等辅助：证全等得等线段，再结合等腰性质 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线，△BNC的周长是24cm，BC＝10cm，则AB的长是（　　） A．17cm B．12cm C．14cm D．34cm 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【题型15 等腰三角形性质的证明】 高妙技法 1. 证边相等：用全等（SAS/SSS）或 “等角对等边” 2. 证角相等：用 “等边对等角” 或全等； 3. 证三线合一：先证等腰，再证高 / 中线 / 角平分线，得三线重合 【典例1】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若． (1)求证：． (2)求的长． 【变式1】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，点D是边上一点，点E为外的任意一点，连接，，，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，点在边上，，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)若点是的中点，求证：． 【题型16 等腰三角形的判定】 高妙技法 1. 定义法：证两边相等（如 AB=AC）； 2. 等角对等边：证两底角相等（如∠B=∠C，则 AB=AC）； 3. 特殊判定：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 【典例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 求证：△ABC是等腰三角形． 【变式1】已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形． 【变式2】如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形． 【题型17 等腰三角形的性质与判定的综合】 高妙技法 1. 性质→判定：用 “等边对等角” 得角相等，再用 “等角对等边” 证新等腰三角形； 2. 判定→性质：先证等腰，再用 “三线合一” 求线段 / 角； 3. 多图形综合：结合平行线、角平分线，串联性质与判定 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，DE∥AC，DF∥AB，则四边形AEDF的周长是（　　） A．32 B．24 C．16 D．8 【变式1】如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】如图，在等腰三角形ABC中，两底角的平分线BE、CD相交于点O，求证：OB＝OC，OD＝OE． 【题型18 等腰三角形中的多结论问题】 高妙技法 等腰三角形中的多结论判断问题主要是利用角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 【典例1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，过点作于点，以为斜边作直角，，点为上一点，，连接交于点．下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，是等腰三角形，，，过点作于点，过作于点，，相交于点，为的中点，连接，，，则下列说法正确的是（    ） ①，②，③，④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，是等边三角形，点为边上一个动点不与，重合，点在边上，且，连接，相交于点，过点作于点，下列说法： 其中一定正确的个数有( ) A．个 B．个 C．个 D．个 【题型19 等边三角形的性质的计算】 高妙技法 1. 三边相等：已知一边求周长（如边长为 6，周长 = 18）； 2. 三角均为 60°：结合内角和、外角性质计算（如∠APE=∠ABC=60°）； 3. 三线合一：每条边上的高 / 中线 / 角平分线重合，可求高（如边长为 a，高 =√3/2 a） 【典例1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在等边三角形中，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在等边三角形中，为边上一点，延长到点，使，连接． （）若，则的度数是 ．（用含的代数式表示） （）过点作于点，的延长线与的延长线交于点，则的度数是 ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，，平分． （1）的度数是 ． （2）若四边形的面积是是的中点，则的面积是 ． 【题型20 等边三角形的判定】 高妙技法 1. 定义法：证三边相等； 2. 角判定：证三角均为 60°，或有一个角是 60° 的等腰三角形； 3. 全等辅助：证三角形全等，得三边 / 三角相等 【典例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 求证：△ABC是等腰三角形． 【变式1】已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形． 【变式2】如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形． 【题型21 30°角所对的直角边等于斜边的一半】 高妙技法 1. 直接应用：在 Rt△中，30° 角对边 = 1/2 斜边（如∠A=30°，BC=1/2 AB）； 2. 逆用：直角边 = 1/2 斜边，则对边对应角 = 30°； 3. 辅助线：构造含 30° 的直角三角形（如作高，拆分图形） 【典例1】（22-23八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，是斜边上的高，，那么等于（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）如图，在中，是的中点，交于，点在上，且是等边三角形，，，求的长为 ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在等边中，交于点于点． （1）∠PBQ的度数为 ； （2）连接，若，则的值为 ． 【题型22 等边三角形的性质与判定的综合】 高妙技法 1. 性质用角度：60° 角结合全等（如△ABC 等边，AB=AC，∠BAC=60°）； 2. 判定证等边：先证等腰，再证有 60° 角； 3. 综合计算：结合全等、线段和差，求边长或角度 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）综合与实践 已知为等边三角形，，为上一点，，连接． 情景观察（1）如图1，与全等吗？请说明理由； 问题探究（2）如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，， ①的度数为___________；②求证：； 拓展延伸（3）如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，则的面积为___________． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在等边中，D是上一点，E是延长线上一点，，交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点H，若，求． 【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知在等边纸片中，点，分别是，边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，． 【初步探究】当折痕时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落在内部时，求证：； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （3）当是等腰直角三角形时，请求出的度数． 【题型23等腰三角形中的分类讨论问题】 高妙技法 1. 边分类：已知两边，讨论哪边为腰（如 AB=3，BC=6，腰只能是 6）； 2. 角分类：已知一角，讨论是顶角还是底角（如∠A=70°，则顶角为 70° 或 40°）；3. 位置分类：高、中线位置（如钝角三角形高在外部） 【典例1】（2024春·安徽六安·八年级校考期中）已知等腰的周长为18，，若，则中一定有一条边等于（   ） A．7 B．2或7 C．5 D．2或5 【变式1】若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（　　） A． B． C．或 D．无法确定 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在中，，，点D在边上，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接． （1）的度数为 ； （2）设，当θ为 时，为等腰三角形． 【题型24 等腰三角形与动点运动问题】 高妙技法 1. 动态分析：分阶段讨论动点位置（如 P 在 AB 上、BC 上）； 2. 等量关系：根据等腰条件列方程（如 AP=AQ，设 t 秒后相等）；3. 临界值：确定动点运动范围，结合等腰性质找临界时刻 【典例1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知线段，，线段，．点在线段上，以的速度由点向点运动;同时，点在线段上，以的速度由点向点运动，设它们的运动时间为． （1）若，则当 时，是等边三角形； （2）当 时，与全等． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）两个智能机器人在如图所示的等边三角形区域附近工作，，射线为生产流水线，点在的延长线上．机器人甲从点出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点表示，机器人乙从点出发，沿的方向以相同的速度匀速运动，其所在位置用点表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为（单位：），点到的距离（垂线段的长）为（单位：m），点到的距离（垂线段的长）为（单位：m）．连接交于点．当机器人甲到达终点时，两个机器人停止运动． (1)机器人甲运动的路程是_____m，机器人乙运动的路程是_____m．（用含t的代数式表示） (2)若，求的值． (3)求证：． (4)在运动过程中，线段的长会发生变化吗？如果不会，求出的长；如果会，请说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足． (1)填空：______ ，______ ； (2)如图，若的坐标为，且于点，交于点，求点的坐标； (3)如图，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 1、 选择题 1．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图所示的正方形方格中有颗棋子，只移动其中的一颗棋子一步（小正方形的边长为一步），棋子不能重叠，若移动后的颗棋子组成的图形是轴对称图形，则不同的移法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．是直角三角形 4．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，，则的周长为（    ） A．12 B．15 C．14 D．18 6．（25-26八年级上·安徽·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（   ） A．1 B．2 C．6 D．3 7．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）已知含有角的直角三角形内部两条直角边的关系为“所对直角边的长度所对直角边的长度．由上述信息完成下题．如图，，平分，且．若点，分别在，上，是等边三角形且，则满足上述条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2、 填空题 9．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标是 ． 10．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，点P是内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离，，则的度数为 ． 11．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，的度数为 ． 12．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，点在边上，连接，且，，直线是边的垂直平分线，若点在直线上运动，连接、，则周长的最小值为 ． 13．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知，在的内部有一点，为上一动点，为上一动点，． （1）的周长的最小值是 ； （2）当的周长最小时， 度． 14．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，在中，，，已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）． （1）若，则的度数为 ； （2）当是等腰三角形时，的度数为 ． 3、 解答题 15．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图，在平面直角坐标系中，把向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)求的面积； (3)若与全等（点与点不重合），直接写出点的全部坐标． 16．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)作出的边上的高； (3)在（1）和（2）的条件下，若的面积为40，，求的长． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在中，，分别是边，上的高，，相交于点F，． (1)求证：； (2)连接，若平分，当时，求的度数． 18．（25-26八年级上·安徽·期末）如图，在等边中，D为边上一点，延长至F使得，过A作于H，与的延长线交于点G． (1)若为α，直接写出的度数；（用含α的代数式表示） (2)求的度数； (3)已知C为的中点，且，求的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $