第十九章 二次根式（单元自测·提升卷）数学新教材人教版八年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十九章二次根式能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.2 且x+1 12.5 13.< 14.2x-3 15.-2-V5 16.√56-7/214-7 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：(3+②)3-)24÷6 =9-2-2 =5;3分 (2)解：V80-V45 5 =4-3-2 =-1.…6分 18. 【详解】解：由题意得，通道的总面积为： (V35+2)2-4×(V7+1)(V7-1)2分 1/7 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =35+4+4V35-4×(7-1) =39+4V35-24 =4W35+15(m2】 故通道的总面积为(4√35+15)m2..6分 19. 【详解】(1)解：x=6+√5，y=6-5, :x-y=(6+5)-(6-V5=2W5,x+y=(6+5)+(6-5)=12, .x2-y2=(x-y)(x+y)=2W3×12=24V3;3分 (2)解：“x=6+√5，y=6-V5, :x+y=12,xy=6+5)6-5=36-3=33, 20. 【详解】(1)解：由题意，得： 7x5-7+5-2_25.V5. 7-522 故7※5的值为√5.…2分 (2)解：由(1)可知，7※5=√5， (2-5※(7※5)=(2-5※v5. 由题意，得： (2-)※5=2-5+ 迈 √2(2+25) 2W2+26_√2+W6 2-3-32-23(2+25)2-25 4-12 4 故2-x5的值为56.6分 4 21. 【详解】(1)解：原式=√3+7+25x√万 2/7 西学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 =+25x万+j =+列 =5+√万；4分 (2)解：原式=V4-2√48 =V6+8-2√6xV8 =⑧-28x6+6 =s-6 =2√2-√6；8分 22. 【详解】(1)解：由题意得，3+0=3， .3与0是关于3的平衡数； :5+2+-2-2)=3, :5+√2与-2-2是关于3的平衡数， 故答案为：0，-2-√2；2分 (2)解：由题意得，(m+5)1-5) =m-m5+V5-5 =(m-5)+(1-m5 =-7+3V5 m-5=-7和1-m=3, 解得m=-2, (m+5+5-5) =(-2+5)+5-5) =-2+√5+5-5 =3, 二者是关于3的平衡数；5分 3/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：：a与b是关于3的平衡数， b=3-a =3-(m+5) =3-√5-m, 由题意得，ab=m+5)(3-V5-m =3m-√5m-m2+3V5-5-V5m =-m2+3m-5+3-2m√5， 又：ab=n+75, .-m2+3m-5=n,3-2m=7, .m=-2, .-m2+3m-5=n -(-2)2+3x(-2)-5=n n=-4-6-5 解得n=-15, .m-n =-2--15） =13, m-n川=3， 故答案为：√3.8分 23. 【详解】(1)解：由题意可得第五个算式： V7-2x1+-55: 77 故答案为： 7-2小1-号95：2分 (2)解：通过观察可以得出规律：等号左边的被开方数都是这个算式的序号大2的数减去2的差再乘以1加 上比这个算式的序号大2的数的倒数，等号右边是这个算式的序号大2的数分之这个算式的序号大1的数乘 以比这个算式的序号大2的数的算术平方根；5分 4/7 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：第n个等式： Vn+2-2]x1+,工=a+n+2, n+2n+2 证明：n是正整数， :n+1>0 n+2-2)x1+1 1 +2-V++2 n2+2n+1_ Vn+2 n+n+2_n+ln+2.8分 Vn+2√n+2n+2 24. 【详解】(1)解：由题意，当a=V5,b=3,c=2V5时， ∴p=a+h+c=5+3+253+35 2 2 2 23,p-c=+3525=3-5, .b23+355=3+5,2b=3+3s3=35—3 2 2 2 2 pp-p-p-d=3+35x3+5x35-335.45-9x9-5-9x1-9. 2 2 2 2 4 4 :.S=/p(p-a)(p-b)(p-c)=/9=3, 。三角形的面积为3；…4分 (2)解：①由题意，：x=2, “a=V+1=V5,b=V5-x2=3=V9,c=4-N4-x=4-2=2=V4, △ABC中最长边的长度为3； ②0<x≤4， V5-x2=5-x,4-(N4-x=4-(4-x)=x, CBc=r+1+V5-x2+4-(V4-x =Vx+1+5-x+x =Vx+1+5, :CBc=Vx+1+5(0<x≤4)，且x为整数， 当x=4时，此时三边为5,1,4， :5+1<4, :不合题意舍去， 当x=3时，三边为2,2,3， 5/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :2+2>3, C。MBc=2+2+3=7,8分 -6日 a4BC的面积为3万.l2分 4 25. 1 vn+1-√n 【详解】解：(1)n+√n+i(n+n+n+1-n) -n+i-面-n中i-a, n+1-n 故答案为：√n+1-√n;3分 1 (2) 1+V2+2+5+5+N4+…+225+V2026 ×1+V2026 =(V2-1+V5-2+V4-V5+…+V2026-√2025×1+√2026 =(2026-×1+v2026 =2026-1 =2025.6分 (3):ab-2=Vb-1+V1-b, b-1≥0且b-1≤0， 解得b=1, 故a-2=0, 解得a=2. 1 1 十 avb+bva"(a+l)/b+i+(b+l)Ya+1(a+2)b+2+(b+2)va+2 (a+2024)Wb+2024+(b+2024)Wa+2024 6/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 1 1 1 21+V2+32+2W5+4W5+3W4 十…十 2026√2025+2025√2026 1 nvn+i+(n+1)nn(n+1)(n++ (n+i-vn) Vn(n+1(n+1+n(n+1-万） (n+i- n(n+1) 11 √n√n+l =历n+i nn+l 原式=1-5+2_5,5420252026 十…+ 22334 20252026 =1-V2026 12分 2026 7/7 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十九章 二次根式·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 2．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义． 同类二次根式需化简后根号内的数相同，比较各选项化简后与的根号内的数是否一致． 【详解】解：A：，根号内3，与不是同类二次根式； B：，无根号，与不是同类二次根式； C：，根号内2，与不是同类二次根式； D：，根号内5，与是同类二次根式； 故选：D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确． 故选：D． 4．估算的结果在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，先计算出的结果，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 6．若的整数部分是a，小数部分是b，求的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，估算出，从而可得，，代入所求式子计算即可得解，正确估算出是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵的整数部分是a，小数部分是b， ∴，， ∴， 故选：B． 7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴得，则，再化简，即可作答． 【详解】解：观察数轴得， 则， ∴ ， 故选：A． 8．如果a满足，那么的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的化简，掌握二次根式的被开方数是非负数，根据取值范围化简绝对值是解题的关键． 本题由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值． 【详解】解：∵有意义 ∴，即 ∵ ∴ 代入原方程： 化简得： 两边平方： ∴． ∴． 故选：C． 9．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算和，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴ ． 故选：B． 10．已知代数式，其中a，b，c，d，x均为正整数，且x不是完全平方数．若，且m，n为正整数．则下列说法正确的个数（   ） ①若，则， ②若，且，则不存在任何的m，n满足条件； ③若，则M，N共有4种结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据x不是完全平方数，得到为无理数，得到时，，进而得到判断①；根据且，得到，进而推出，判断②；根据，得到，求出正整数解，进行判断即可． 【详解】解：∵x不是完全平方数， ∴为无理数， ∵，其中a，b，c，d，x均为正整数， ∴当时，， ∵， ∴， ∴；故①正确； 当且时，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵均为正整数， ∴为正整数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 不存在正整数，使； 故不存在任何的m，n满足条件；故②正确； 当时，则， ∴， ∵均为正整数，， ∴或， 当时，则，，， 不存在正整数满足条件； 当时，则或，，，或， ∴或； 当时，；满足题意； 当时，；满足题意； ∴M，N共有2种结果；故③错误； 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．函数中的自变量的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据分母不能为零，且二次根式的被开方数必须非负，得到关于的不等式，解不等式求出自变量的取值范围． 【详解】解：函数 有意义， 可得：， 解得：且； 故答案为：且． 12．如果最简二次根式与是同类二次根式，则 . 【答案】5 【分析】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式是解题的关键；根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， ∴当时，，符合最简二次根式的定义． 故答案为5． 13．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，熟练掌握“通过平方转化为有理数（或含根式的整式）比较大小”是解题的关键． 通过平方两个根式表达式，比较平方值的大小，进而判断原式的大小关系． 【详解】解：设，． ∵ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 均为正数， ∴ ，即， 故答案为：． 14．若，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判断，，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案． 【详解】解：原式， ， ，， 原式 ． 故答案为：． 15．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键． 先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 16．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．将各值代入计算求解即可． 先计算半周长，再代入公式求面积S，最后估算的整数部分并求小数部分． 【详解】解： 由题意，， ， 由于， 所以S的整数部分为，小数部分或． 故答案为：或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)： (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据平方差公式与二次根式的除法进行计算即可求解； （2）根据二次根式混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 【答案】通道的总面积为． 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据通道的总面积等于正方形面积减去个花坛面积，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：由题意得，通道的总面积为： 故通道的总面积为． 19．求当，时，下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，平方差公式，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出 ， ，然后把化为，再代入求解即可； （）先求出， ，然后把化为，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 20．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：．如． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，理解新定义运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算法则计算； （2）根据新定义运算法则计算． 【详解】（1）解：由题意，得： ． 故的值为． （2）解：由（1）可知，， ∴． 由题意，得： ． 故的值为． 21．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 22．若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了实数的新定义以及二次根式的加减混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据若，则称x和y是关于3的平衡数，直接列式作答即可； （2）先得，根据题意结果为，可求出，再结合“3的平衡数”的定义进行分析，即可作答． （3）先得，则，再根据，可求出，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴3与是关于3的平衡数； ∵， ∴与是关于3的平衡数， 故答案为：0，； （2）解：由题意得， ∴和， 解得， ∴ ， ∴二者是关于3的平衡数； （3）解：∵与是关于3的平衡数， ∴ ， 由题意得， ， 又∵， ∴，， ∴， ∴ 解得， ∴ ， ∴， 故答案为：． 23．观察下面算式： 第一个算式： 第二个算式： 第三个算式： 第n个算式：……………… (1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________ (2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律； (3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查二次根式的运算以及数字的变化规律，通过观察找到各式子分母分子之间的规律是解题的关键． （1）通过观察所给的式子，直接分析即可求解； （2）通过观察算式的左边和右边的变化量和不变化量可以得出规律； （3）通过观察算式的规律可以直接写出用含n式子表示上述规律，并利用二次根式的计算进行计算证明． 【详解】（1）解：由题意可得第五个算式：； 故答案为：； （2）解：通过观察可以得出规律：等号左边的被开方数都是这个算式的序号大的数减去的差再乘以加上比这个算式的序号大的数的倒数，等号右边是这个算式的序号大的数分之这个算式的序号大的数乘以比这个算式的序号大的数的算术平方根； （3）解：第个等式：， 证明：是正整数， ． 24．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（约公元50年，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积） 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为． (1)利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ (2)利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为 ①当时，请直接写出中最长边的长度； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1)3 (2)中最长边的长度为的面积为 【分析】（1）依据题意，由时，先求出p，再代入公式计算可以得解； （2）①依据题意，由，则，从而可以判断得解； ②依据题意，由，则，从而，可得，且x为整数，故当时，三边为，1，4，再分类讨论计算可以得解． 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键． 【详解】（1）解：由题意，当时， ， ， ， ， 三角形的面积为3； （2）解：①由题意，， ， 中最长边的长度为3； ②， ， ， ，且x为整数， 当时，此时三边为，1，4， ， 不合题意舍去， 当时，三边为2，2，3， ， ， ， 的面积为． 25．阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1） （2）2025 （3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴． ∵ ∴原式 ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十九章 二次根式·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．估算的结果在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 5．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 6．若的整数部分是a，小数部分是b，求的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 8．如果a满足，那么的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 9．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 10．已知代数式，其中a，b，c，d，x均为正整数，且x不是完全平方数．若，且m，n为正整数．则下列说法正确的个数（   ） ①若，则， ②若，且，则不存在任何的m，n满足条件； ③若，则M，N共有4种结果． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．函数中的自变量的取值范围是 ． 12．如果最简二次根式与是同类二次根式，则 . 13．比较大小： （填“”“”或“”）． 14．若，化简 ． 15．已知，则的值为 ． 16．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)： (2)． 18．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 19．求当，时，下列代数式的值． (1)； (2)． 20．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：．如． (1)求的值． (2)求的值． 21．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 22．若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ． 23．观察下面算式： 第一个算式： 第二个算式： 第三个算式： 第n个算式：……………… (1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________ (2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律； (3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律． 24．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（约公元50年，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积） 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为． (1)利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ (2)利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为 ①当时，请直接写出中最长边的长度； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 25．阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十九章 二次根式·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．估算的结果在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 5．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 6．若的整数部分是a，小数部分是b，求的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 8．如果a满足，那么的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 9．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 10．已知代数式，其中a，b，c，d，x均为正整数，且x不是完全平方数．若，且m，n为正整数．则下列说法正确的个数（   ） ①若，则， ②若，且，则不存在任何的m，n满足条件； ③若，则M，N共有4种结果． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．函数中的自变量的取值范围是 ． 12．如果最简二次根式与是同类二次根式，则 . 13．比较大小： （填“”“”或“”）． 14．若，化简 ． 15．已知，则的值为 ． 16．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)： (2)． 18．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 19．求当，时，下列代数式的值． (1)； (2)． 20．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：．如． (1)求的值． (2)求的值． 21．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 22．若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ． 23．观察下面算式： 第一个算式： 第二个算式： 第三个算式： 第n个算式：……………… (1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________ (2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律； (3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律． 24．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（约公元50年，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积） 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为． (1)利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ (2)利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为 ①当时，请直接写出中最长边的长度； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 25．阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $