第十九章 二次根式（单元自测·基础卷）数学新教材人教版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十九章 二次根式·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数必须大于或等于零进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选B． 2．下列二次根式，不能与合并的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式， 最简二次根式， 掌握知识点是解题的关键． 先将化简为，然后检查各选项化简后是否含有，若不含则不能合并，即可解答． 【详解】解：∵， ∴与合并的二次根式必须化简后含有． 对于A∶，含有，可合并． 对于B∶，含有，可合并． 对于C∶，含有，不含有，不可合并． 对于D∶，含有，可合并． 故选：C． 3．下列运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，二次根式的运算性质，包括加法、减法、乘除和化简，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A：不是同类二次根式，不能直接合并，该项错误； 对于选项B：，该项错误； 对于选项C：，该项错误； 对于选项D：，该项正确． 故选D． 4．估计的值应在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的混合运算，先根据二次根式的运算法则化简式子，再利用无理数的估算即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在2到3之间． 故选：B． 5．下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 本题考查最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：，无法再开方，它们是最简二次根式； ，，，中被开方数中含有分母，它们都不是最简二次根式； 则最简二次根式共2个， 故选：A 6．若，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次根式的性质，绝对值的意义，解题关键在于掌握其性质，利用平方根与绝对值的性质，将方程转化为绝对值方程，再根据绝对值的非负性确定取值范围． 【详解】解：∵， ∴原方程化为， 又∵， ∴，即， 当时，， ∴ ，等式成立， 故的取值范围是． 故选：C． 7．当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键．先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故选：C． 8．若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．将化为分数形式，利用二次根式的性质进行化简，并结合给定的a和b表示即可． 【详解】解：，， ． 故选：C． 9．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用．先根据矩形面积和长求出宽，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，即可作答． 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的宽为， ∵， ，且 ∴， ∴正方形的最大边长为， ∴正方形的最大面积为， 故选：D 10．2025年5月4日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕．本次峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（　　） A．1 B．4 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解题意新定义是解题的关键． 根据新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则，将两个根式相乘转化为根号下的乘法运算，即可解答． 【详解】解：． 故答案为：2． 12．比较大小： （填“”“ ”“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 通过比较两个数的平方值来判断大小即可． 【详解】解：，， 由于， 所以． 故答案为：． 13．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，据此列出方程求解． 【详解】解： 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得 故答案为：． 14．已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和二次根式的定义，根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值和二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：三角形三边长分别为、、， ，即， ， 故答案为：． 15．实数x、y满足，则yx＝ ． 【答案】3 【分析】本题考查算术平方根的非负性，二次根式有意义的条件，一元一次不等式组，二次根式的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，即被开方数必须非负，从而确定x的值，再代入求y，最后计算即可． 【详解】解：由有意义，得 ，即， 解得， ∴． 则． 故答案为：3． 16．观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来 ． 【答案】（） 【分析】本题主要考查二次根式运算、式子类规律探索，观察给定等式，左边系数与根号内分子相同，分母为系数的平方减1；右边为根号下系数与分数之和，分数分子与系数相同，分母为系数的平方减1，由此得出规律． 【详解】解：总结得：对于自然数n（），等式左边为 ，右边为， 验证：左边， 右边， 左右相等，故规律成立， 因此，用含自然数的等式表示为（）． 故答案为：（）． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，然后再计算二次根式的加法和除法即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式结合二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了“海伦公式”的应用，二次根式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将，，代入公式计算得出，然后再代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ． 20．已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； （）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 21．若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”． (1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． (2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； （2）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； 本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴． （2）解：由题可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】（1）  (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝对值的化简，是解题的关键． （1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． （2）由数轴得出、、的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴原式， ， ， ． （2）∵实数在数轴上的位置如图所示， ∴，， ∴原式， ， ． 23．课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 24．【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； ②利用前面规律写出第个等式， （2）根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3）原式 25．阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【答案】(1)， (2)或 (3)① ② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可； （2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可； （3）①根据完全平方公式进行求解即可； ②根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，； （2）解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； （3）解：①； ② ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十九章 二次根式·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式，不能与合并的是（） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（） A． B． C． D． 4．估计的值应在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 5．下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．若，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 8．若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 9．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 10．2025年5月4日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕．本次峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（　　） A．1 B．4 C． D．9 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 12．比较大小： （填“”“ ”“”） 13．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 14．已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ． 15．实数x、y满足，则yx＝ ． 16．观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 18．定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 19．海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 20．已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 21．若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”． (1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． (2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 22．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 23．课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 24．【观察思考】 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：； 第4个等式： ；…… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 25．阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十九章二次根式基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B D 9 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.2 12.> 13.2 14.6 15.3 16. n n ”Vm2-1 n+- n2-1 (n22) 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：V20+45 5 =25+3V5 5 5 =5;3分 (2)解：(2-55+2-(6-5) [2-]-[-2x6x5+(] =4-3-(6-62+3) =4-3-6+6√2-3 1/5 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 =6√万-8.6分 18. 【详解】(1)解：(5★1(5☆ =(5-5+ =5-1 =4;3分 (2)解：2★n+2☆n =(2-m+2+n =√2-n+√2+n =2√2.6分 19. 【详解】解：：a=8,b=4,c=6, p=a+h+c=9,3分 2 :S.4nc=p(p-a)(p-b)(p-c) =V9×(9-8)×(9-4)×(9-6例 =315.6分 20 【详解】(1)解：：a=2+√5，b=2-√5， a+b=2+V5+2-√5=4，a-b=2+5-2-V5=25, a2-b=(a+b(a-b)=4×23=83;3分 (2)解：“a=2+√3，b=2-3, :a-b=2+5-(2-5)=25,ab=(2+V5)(2-5)=4-3=1, .a2-3ab+b2 =(a-b)2-ab =(25-1 2/5 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =12-1 =11.6分 21. 【详解】(1)解：由题意可得：m√5=10， :m=10-105-2N5.3分 √5 5 (2)解：由题可得：（万+1（√2a-=6, V14a-V万+V2a-1=6, :(14+②)a=7+V万， :as7+6 (7+万j(4-2)64-i4 14+V5(W14+214-V②122 asa 2 8分 22. 【详解】(1)：3-x≥0， x≤3， .x-4<0, “原式=Vx-42-(3-), =-(x-4)-3+x, =-x+4-3+x, =1.4分 (2):实数a,b在数轴上的位置如图所示， .b<0,a-b>0,b-a<0 :原式=-b+(a-b)-[-b-a], =-b+a-b+b-a, =-b。8分 23. 【详解】(1)解：4+ 1 3/5 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 4-15 (4+54-i可 4-15 16-15 =4-√15；2分 (2)解：：a=- 2 =√6+2， 6-2 .a2-4a+3 =(a-2)2-1 =(6+2-2-1 =5;5分 1 √6+5 =6+5.b=5-25-25+2 1 V5+2 (3)解：a=6-5(6-56+ =5+2, :V6>2, :6+5>2+5, 4a>b.8分 24. 【】：@，名- 故答案为： ，2分 1 ②m+m 1 n+2 =(n+小Vn+2 1 1 故答案为： n+2 =(n+1 Vn+2 ，4分 (2)证明：等式左边 n2+2n+1 n+2 n+2 又n+1>0, +2a2 1=右边， 。等式成立8分 4/5 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)原式=2024 1 ×V3×2025 V2025 =20245.12分 25. 【详解】(1)解：x+y5=(m+nN5)'=m2+5n2+2mmV5, .x=m2+5n2,y=2mn;4分 (2)解：x+4V5=(m+nV=m2+3n2+2mnV5, .x=m2+3n2,4=2mn, .mn=2, :m,n均为正整数， 当m=1时，n=2, 此时，x=m2+3n2=1+3×4=13; 当m=2时，n=1; 此时，x=m2+3n2=4+3×1=7; x=7或X=13;8分 (3)解：①V4+2万=+25+3=1+=1+5： ②√4-V9+2⑧ =V4-V1+28+8 =y4+ =4-(1+2阿 =V4-1-2√2 =V3-2√2 =V1-2V2+2 =1-2列 =√2-1.12分 5/5 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十九章 二次根式·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式，不能与合并的是（） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（） A． B． C． D． 4．估计的值应在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 5．下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．若，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 8．若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 9．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 10．2025年5月4日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕．本次峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（　　） A．1 B．4 C． D．9 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ． 12．比较大小： （填“”“ ”“”） 13．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 14．已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ． 15．实数x、y满足，则yx＝ ． 16．观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1) (2) 18．定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 19．海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 20．已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 21．若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”． (1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． (2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 22．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 23．课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 24．【观察思考】 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：； 第4个等式： ；…… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 25．阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $