精品解析：天津一中2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题

2025—2026学年天津一中九年级（上）第二次月考数学试卷 一、选择题 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. 1 C. 6 D. 4. 拉布布（）作为中国潮玩品牌泡泡玛特旗下的核心，其全球爆火不仅是一次商业奇迹，更是中国文化输出的创新范式．某商店在今年6月和8月拉布布的销售额分别是万元和万元．设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕顶点A逆时针旋转，得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知与位似，点是位似中心，若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的最小值是0，那么的值等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 10. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　） A. B. 3 C. 2 D. 11. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，，用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为； ④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积． 其中，正确结论的个数是（　　） A. l B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 13. 抛物线的顶点坐标是______． 14. 如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是______． 15. 已知的半径为5，若点P在内，则__________5（填“>”，“=”或“<”）． 16. 如图，在中，，，，则________． 17. 如图，菱形的边长为，对角线，相交于点，，点在延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．圆上的点A，B，C均为格点． （1）圆的直径长为_________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，确定格点E，使为圆的一条切线，并画出过点E的另一条切线，切点为F，请简要说明切线的位置是如何找到的（不要求证明）．_________________． 三、解答题 19. 解不等式组， 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式的解集为______． 20. （1）解方程：； （2）关于x的一元二次方程，若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 21. 如图，是的内接三角形，为直径，为的切线，且． （1）求证：； （2）若D为弧的中点，求． 22. 如图，某座山的顶部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：． 23. 已知学校组织社会实践活动，学校、学校附近社区、植树点依次在同一条直线上，小张从学校出发，匀速去植树点，后到达，在植树点植树一段时间后，离开植树点前往学校附近社区，之后到达，在该社区进行了的科普宣讲活动，宣讲活动结束后，用了匀速回到学校．下面图中表示时间，表示小张离学校的距离．图象反映了这个过程中小张离学校的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）① 填表： 小张离开学校的时间 小张离开学校的距离 ②填空：小张在植树点植树共用时 ，他从植树点到学校附近社区的平均速度为 ； ③当时，请直接写出小张离开学校的距离关于时间的函数解析式； （2）当小张到达植树点后，同行的小李离开植树点匀速回到学校，两人同时到达学校，那么小李在回学校的途中第二次遇到小张时，小张已经离开学校多长时间?(直接写出结果即可) 24. 将两个三角形，放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点C，D分别在边上，且满足． （1）如图①，求点D的坐标． （2）以点B为中心，顺时针旋转，得到，点C，D的对应点分别为点E，F． ①如图②，连接，则在旋转过程中，当时，求线段的长； ②如图③，连接，点M为的中点，则在旋转过程中，当点M到线段的距离取得最大值时，直接写出点M的坐标． 25. 已知抛物线（为常数），与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为． （1）若． ①求点和点的坐标； ②连接并延长交的延长线于点，求的度数； （2）若点的坐标为，且，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．且，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年天津一中九年级（上）第二次月考数学试卷 一、选择题 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：； 故选B． 3. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. 1 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的项与系数． 根据一元二次方程的项与系数的定义即可求解． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数为． 故选：D． 4. 拉布布（）作为中国潮玩品牌泡泡玛特旗下的核心，其全球爆火不仅是一次商业奇迹，更是中国文化输出的创新范式．某商店在今年6月和8月拉布布的销售额分别是万元和万元．设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为，则7月拉布布的销售额为万元，则8月拉布布的销售额为，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 5. 如图，将绕顶点A逆时针旋转，得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据将绕顶点A逆时针旋转，得到，得出，结合，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵将绕顶点A逆时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可． 【详解】∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 7. 如图，已知与位似，点是位似中心，若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的性质可得位似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与位似，点是位似中心，， ∴， ∴则与的面积比为， 故选：C ． 8. 如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键． 分别利用相似三角形的各种判定方法判断即可求解． 【详解】解：A、当且，故，此选项正确，但不符合题意； B、当且，故，此选项正确，但不符合题意； C、当时，无法得到，此选项错误，但符合题意； D、当，即，且，故，此选项正确，但不符合题意． 故选：C． 9. 二次函数的最小值是0，那么的值等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的最值．根据二次函数的顶点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的最小值是0， ∴，解得：． 故选：B． 10. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得， 进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD，， ∴， ∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°， ∴， ∴AD=4，AF=2，， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键． 11. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，证明，则，设，得到，则，故，同理可求，则，因此． 【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则， 由旋转得， ∵四边形是正方形， ∴，，，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，设， 则， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键． 12. 用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，，用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为； ④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积． 其中，正确结论的个数是（　　） A. l B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，准确列出方程和函数解析式是解答本题的关键．①设边长为，则边长为，当时，求出是10，不符合题意，即可判断正误；②列出一元二次方程，求出x值即可判断正误；③列出二次函数解析式，根据最值求法即可判断正误；④列出二次函数解析式，求得扇形面积的最大值，即可判断正误． 【详解】解：如图①，设边长为，则边长为， 当时，， ∴， ∵， 故①不正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴或， ∵时，，满足， 故②正确； 设矩形菜园的面积为， 根据题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为162， 故③正确； 如图②，设，则弧长， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为162， ∴方案二围成扇形菜园的最大面积等于方案一围成矩形菜园的最大面积． 故④不正确． ∴正确结论是②③2个． 故选：B． 二、填空题 13. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式利用二次函数的性质，即可找出抛物线的对称轴及顶点坐标，此题得解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式找出抛物线的对称轴及顶点坐标是解题的关键． 14. 如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是______． 【答案】2：3## 【解析】 【分析】根据相似三角形对应高线的比等于相似比解答． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为2：3， ∴它们对应高线的比为2：3， 故答案为：2：3． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高线的比等于相似比是解题的关键． 15. 已知的半径为5，若点P在内，则__________5（填“>”，“=”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点与圆的关系，根据点与圆的三种关系即可判断得到答案．解题关键是熟知点与圆的三种关系． 【详解】解：∵的半径为5，点在内， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了余弦函数的定义，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键．根据余弦函数的应以即可解答．在直角三角形中，余弦为邻边比斜边． 【详解】解：在中， ． 故答案为：． 17. 如图，菱形的边长为，对角线，相交于点，，点在延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质，可得，，根据勾股定理，即可得线段的长； （2）取的中点，连接，可得，，可得，根据勾股定理，即可得线段的长． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为，对角线，相交于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：取的中点，连接， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线，平行线的性质． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．圆上的点A，B，C均为格点． （1）圆的直径长为_________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，确定格点E，使为圆的一条切线，并画出过点E的另一条切线，切点为F，请简要说明切线的位置是如何找到的（不要求证明）．_________________． 【答案】 ①. 5 ②. 取格点E，连接，取格点G，H，M，N，连接交于点P，连接交圆于点F，作射线 【解析】 【分析】（1）连接，根据，可得为直径，即可； （2）取格点E，连接，取格点G，H，M，N，连接交于点P，连接交圆于点F，作射线，则射线即为所求． 【详解】解：（1）如图，连接， 根据题意得：， ∴为直径， ∵， ∴圆的直径长为5； 故答案为：5． （2）如图，取格点E，连接，取格点G，H，M，N，连接交于点P，连接交圆于点F，作射线，则射线即为所求． 理由：取格点J，连接，，交于点K， ∵， ∴， ∴，即， ∴为圆的一条切线， 根据题意得：四边形是矩形， ∴点P为矩形的中心， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴为圆的切线． 故答案为：取格点E，连接，取格点G，H，M，N，连接交于点P，连接交圆于点F，作射线 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键． 三、解答题 19. 解不等式组， 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式的解集为______． 【答案】（1） （2） （3） 不等式①和②的解集在数轴上表示： （4） 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式组，分别解出不等式①和②，再把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【小问3详解】 略 【小问4详解】 原不等式的解集为： 故答案为：． 20. （1）解方程：； （2）关于x的一元二次方程，若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元一次不等式，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． （1）由因式分解法即可求解； （2）将原方程因式分解，解得其有一个根为，结合题意解不等式即可． 【详解】解：（1） 或 （2） 方程有一根小于． ， 解得：， 故的取值范围为． 21. 如图，是的内接三角形，为直径，为的切线，且． （1）求证：； （2）若D为弧的中点，求． 【答案】（1） 证明：如图，连接，连接并延长交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵以为直径作， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义．解题的关键是熟悉相关知识点． （1）连接，连接并延长交于H，可得，所以，再证，可得； （2）由D为弧的中点，可得为等腰直角三角形，在中利用锐角三角函数的定义求得的值，即可得出的值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵D为弧的中点，为直径， ∴， ∵， ∴，为等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴， ∵为的切线， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， ∴， ∴在中，， ∴ ∴在中，， ∵， ∴． 22. 如图，某座山的顶部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】这座山的高度约为 【解析】 【分析】在中，，在中，，利用，即可列出等式求解． 【详解】解：如图，根据题意，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． 答：这座山的高度约为． 【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程． 23. 已知学校组织社会实践活动，学校、学校附近社区、植树点依次在同一条直线上，小张从学校出发，匀速去植树点，后到达，在植树点植树一段时间后，离开植树点前往学校附近社区，之后到达，在该社区进行了的科普宣讲活动，宣讲活动结束后，用了匀速回到学校．下面图中表示时间，表示小张离学校的距离．图象反映了这个过程中小张离学校的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）① 填表： 小张离开学校的时间 小张离开学校的距离 ②填空：小张在植树点植树共用时 ，他从植树点到学校附近社区的平均速度为 ； ③当时，请直接写出小张离开学校的距离关于时间的函数解析式； （2）当小张到达植树点后，同行的小李离开植树点匀速回到学校，两人同时到达学校，那么小李在回学校的途中第二次遇到小张时，小张已经离开学校多长时间?(直接写出结果即可) 【答案】（1）①；②；③ （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）①根据“速度=路程÷时间”求出小张从学校去植树点过程中的速度，再由“路程=速度×时间”求出离开学校时离开学校的距离；根据表格，和对应的值即为答案； ②根据图象可知小张在植树点植树共用的时间，根据“速度=路程÷时间”可以计算他从植树点到学校附近社区的平均速度； ③当时，；当时，利用待定系数法求出对应与的关系式，最终结果写为分段函数的形式即可； （2）根据题意，作出小李离学校的距离与时间的图象，利用待定系数法求出小李离开植树点匀速回到学校过程中离学校的距离与时间的关系式，根据“当小李在回学校的途中第二次遇到小张时，二人离学校距离相等”列方程并求出的值即可． 【小问1详解】 解：①小张从学校去植树点过程中的速度为，离开学校时离开学校的距离为； 当时，；当时，． 故答案为：，，． ②小张在植树点植树共用时，他从植树点到学校附近社区的平均速度为． 故答案为：，． ③当时，； 当时，设关于时间的函数解析式为、为常数，且． 将坐标和分别代入 得, 解得， ∴； 综上，关于时间的函数解析式为 【小问2详解】 根据题意，小李离学校的距离与时间的图象如图所示． 当时，小张离学校的距离与时间之间的关系式为； 设小李离开植树点匀速回到学校过程中离学校的距离与时间的关系式为 为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴． 当小李在回学校的途中第二次遇到小张时，二人离学校距离相等，得， 解得， ∴小李在回学校的途中第二次遇到小张时，小张已经离开学校． 24. 将两个三角形，放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点C，D分别在边上，且满足． （1）如图①，求点D的坐标． （2）以点B为中心，顺时针旋转，得到，点C，D的对应点分别为点E，F． ①如图②，连接，则在旋转过程中，当时，求线段的长； ②如图③，连接，点M为的中点，则在旋转过程中，当点M到线段的距离取得最大值时，直接写出点M的坐标． 【答案】（1）点D的坐标为； （2）①或；②点M的坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用三角函数关系求得，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，，据此即可求解； （2）①分两种情况讨论，当点E在上方时，求得点P为的中点，利用勾股定理求得的长，根据即可求解；当点E在下方时，同理可得； ②取中点N，连接，求得，得到点M在以点N为圆心，为半径的圆N上，过点N作的垂线，垂足为I，交圆N的交点，即为所作的点M，到的距离最大，推出O、I、N、M在同一直线上，据此即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于H， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∴点D的坐标为； 【小问2详解】 解：①由题意得，，， 当点E在上方时，如图，延长交于点P， ∵，且， ∴点P为的中点， 在中，，， ∴， ∴； 当点E在下方时，同理可得； ； ②取中点N，连接， ∴是的中位线， ∴， ∵点N是定点，是定长， ∴点M在以点N为圆心，为半径的圆N上， 过点N作的垂线，垂足为I，交圆N的交点，即为所作的点M，到的距离最大， 连接， ∵，点N是中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴点I在线段上，即O、I、N、M在同一直线上， ∴，， ∴点M的纵坐标为，点M的横坐标为， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、三角形中位线中位线定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 25. 已知抛物线（为常数），与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为． （1）若． ①求点和点的坐标； ②连接并延长交的延长线于点，求的度数； （2）若点的坐标为，且，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．且，当时，求的值． 【答案】（1）①；；② （2） 【解析】 【分析】（1）①把代入函数解析式，再求解A，D的坐标即可；②先求解点的坐标为，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，求解，结合，可得，再利用锐角三角函数可得答案； （2）先求解，可得抛物线的解析式为，设，其中．可得顶点的坐标为．过点作于点，连接，证明，求解， 可得，过点作轴于点，与直线交于点，可得点，点，结合，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：①，， 抛物线的解析式为， ， 当时，， 解得， 点在点的左侧， ，； ②∵， ∴， ，设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 同理，由点，可得直线的解析式为， 令，解得， 点的坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ∵， ∴， ∴ ∴． 【小问2详解】 点在抛物线上，其中， ，得， 抛物线的解析式为， ，其中． 对称轴为直线，顶点的坐标为． 过点作于点，连接， 则，， ∵，， ∴， ， ， ， ， 解得，（不符合题意的根舍去） ， 过点作轴于点，与直线交于点， 同理可得：直线为：， 则点，点， ∴，， 同理可得：， ， ， 解得．（不符合题意的根舍去） 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解函数的解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $