专题04 全等三角形（3重点+15题型+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材沪科版

专题04 全等三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：全等三角形的概念 ◆1、全等图形的概念： 能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 【注意】全等形的形状相同，大小相同，与图形所在的位置无关，因此平移、翻折、旋转前后的图形全等． ◆2、全等三角形的有关概念和表示方法： （1）全等三角形： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示． 全等的表示方法：△ABC≌△FDE 【注意】在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （3）对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． （4）寻找对应元素的规律 ①有公共边的，公共边一般是对应边； ②有公共角的，公共角一般是对应角； ③有对顶角的，对顶角一般是对应角； ④两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边； ⑤两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角. ◆3、三种常见的全等类型： （1）平移型；（2）翻折型；（3）旋转型. 全等变化：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等． 知识点二 ：全等三角形的性质 ◆性质1：全等三角形的对应边相等． ◆性质2：全等三角形的对应角相等． 拓展：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等． ②全等三角形的周长相等，面积相等． 【注意】 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点三 ：全等三角形的判定方法 ◆利用“SSS”判定两个三角形全等 文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”. 几何语言：在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). ◆利用“SAS”判定两个三角形全等 1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. 2、几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). 3、方法： （1）已知两边，可以找“夹角”；（2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边 【注意】1. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 2. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. 3. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. ◆利用“ASA”判定两个三角形全等 1、文字语言：有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 2、几何语言：在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (ASA). ◆利用“AAS”判定两个三角形全等 1、文字语言：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. 2、几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (AAS). ◆利用“HL”判定两个三角形全等 1、文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2、几何语言： ∵∠C=∠C′=90° 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). 【注意】 “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 3、判定两个直角三角形全等的方法： 判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”这五种方法来判定两个直角三角形全等. 【题型1 全等三角形的概念】 1. 判 “形状 + 大小相同”，排除仅其一相同的图形； 2. 平移 / 翻折 / 旋转后重合即全等；3. 组合图形拆后逐部分对比。 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）下列命题中，是真命题的是（   ） A．面积相等的两个三角形是全等图形 B．三角形的外角一定大于内角 C．对应角都相等的两个三角形全等 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【变式1】（25-26八年级上·安徽·月考）下列各组给出的两个图形中，全等的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用全等三角形的性质求角度】 1. 据全等符号定对应角，直接相等； 2. 用 “三角形内角和 180°” 算未知角； 3. 遇外角用 “外角 = 不相邻两内角和”+ 对应角。 【典例1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，点在上，点在上，，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，，的延长线经过点，交于，，，，则 ． 【题型3 利用全等三角形的性质求线段长】 1. 对应边直接迁移长度； 2. 有公共部分时，用 “全等边 - 公共边 = 另一组边” 化简； 3. 遇中点，用全等边推倍数关系。 【典例1】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图，已知，，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮南·月考）已知，，若的周长是，，则的边长可能为（） A． B． C．或 D．或 【变式2】如图，，若，则的长为（　　） A．3 B． C．4 D．6 【题型4 利用全等三角形的性质证明】 1. 证垂直：算得夹角 = 90°； 2. 证平行：转内错角 / 同位角相等； 3. 证线段相等：直接用对应边，或找中间全等边搭桥。 【典例1】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求证：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，已知 且点，，，在同一条直线上． (1)连接若，，求的度数； (2)若，，求长度的取值范围． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【题型5 利用SAS证明全等】 1. 角必须是两边夹角，忌用 SSA； 2. 无直接夹角时，用角的和差推； 3. 有平行线，用内错角造夹角。 【典例1】（24-25八年级上·山东威海·月考）如图所示，，是的中点，求证：． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，平分的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2】如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证： (1)； (2)试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． 【题型6 利用AAS证明全等】 1. 边是任意一组角的对边，标角找对边； 2. 直角三角形：直角 + 锐角 + 边直接用 AAS； 3. 有垂直，用 “同角的余角相等” 得第二组角。 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，点在一条直线上，，求证：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，与交于点与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【题型7 利用ASA证明全等】 1. 边是两角夹边（边的端点为两角顶点）； 2. 中点 + 平行线造 “夹边相等 + 角相等”； 3. 共夹边直接当条件，再证两角。 【典例1】已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC⊥CD，DE⊥AC于点E，AB＝CE，求证：△ABC≌△CED． 【变式1】如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2】（25-26八年级上·安徽·期末）如图，，是的高线，，交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【题型8 利用SSS证明全等】 1. 优先用公共边； 2. 已知两边，用 “BE=CF→BC=EF” 补第三边； 3. 用中点 / 其他全等代换找边相等。 【典例1】（25-26八年级上·安徽马鞍山·月考）如图，．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）在推进“四好农村路”建设中，某村计划在主干道旁均衡发展两片特色农业区（B区与C区）．如图，经勘测，，且连接两区的支路．请问主干道是否平分？并说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，为上一点，为上一点，且满足，，．证明： (1)； (2)． 【题型9 利用HL证明全等】 1. 先标直角，确认直角三角形； 2. 分 “斜边（直角对边）” 和 “直角边（直角邻边）”； 3. 共斜边 / 直角边直接当条件。 【典例1】如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，，且．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，点C，F在线段BE上， 请只添加一个合适的条件，使 (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 【变式2】如图①，，，点在上，且． (1)求证：． (2)如图②，连接，设交于点，过点作于点，在不添加辅助线的前提下，直接写出图②中的4对全等三角形[（1）中已证明过的除外]． 【题型10 添加条件使三角形全等】 1. 已知一边一角：边为夹边补 “边 / SAS” 或 “角 / AAS/ASA”，边为对边仅补角 / AAS； 2. 直角三角形：补斜边 / 直角边（HL）； 3. 避 SSA 陷阱。 【典例1】如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【变式1】如图， ，线段与相交于点． (1)添加一个条件： ，使； (2)说明（1）中结论成立的理由． 【变式2】已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【题型11全等三角形的实际应用】 1. 测距离：造全等模型（如△ABC≌△DEF），测易量边代难量边； 2. 验对称：证对应三角形全等； 3. 转场景：将实际距离转成全等边计算。 【典例1】如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置CD垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A．15cm B．30cm C．40cm D．45cm 【变式1】如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可在河的一侧取AB的垂线BM上两点C，D，使BC＝CD，再画出BM的垂线DE，使E在AC的延长线上，若BD＝10m，DE＝12m，CE＝13m，则A，B两点的距离是（　　） A．5m B．10m C．12m D．13m 【变式2】某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出BC的长度，如果不能，请你说明理由． 【题型12 全等三角形的性质与判定的综合】 1. 按 “判定→性质→再判定” 流程； 2. 用公共边 / 角传递边、角关系；3. 动态图形跟踪对应边 / 角，确认条件是否成立。 【典例1】（24-25八年级上·安徽淮南·月考）如图，在四边形中，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，求与的周长之和． 【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图所示，与相交于点，，，，点从点出发，在线段上沿以3的速度运动，点从点出发，在线段上沿以1的速度运动，，两点同时出发，当点回到点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为s． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含的代数式表示）； (3)连接，当线段经过点时，求的值． 【题型13 一线三等角模型】 1. 认模型：一条直线 + 三个等角 + 两边相等； 2. 直角模型：用 “同角的余角相等” 得两角，速证全等； 3. 推线段：等角对应边相等（如 BD=AE）。 【典例1】（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，试问，，之间具有怎样的数量关系，并加以证明． (3)如图3，请直接写出，，之间的数量关系． 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）几何世界就像一场探险，而“转化思想”就是你手中最明亮的那盏灯．请用“转化”的眼光去解决以下问题， (1)如图1，为上一点，，．求证：； (2)如图2，，，，的延长线交于点，猜想与的数量关系，并加以证明． 【变式2】（2025八年级上·安徽·专题练习）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【题型14 用截长补短构造全等三角形】 1. 截长：长线段截一段 = 短线段，证剩余部分 = 另一短线段； 2. 补短：延长短线段 = 长线段，证新线段 = 目标线段； 3. 适用于 “线段和差” 问题（如 AB+CD=BC）。 【典例1】（25-26八年级上·安徽黄山·期中）回答问题： (1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； (2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【变式1】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知在四边形中，，． (1)如图1，，，分别是边，上的点，延长至，使，连接，求证：； (2)已知． （ⅰ）如图2，，分别是边，上的点，求证：； （ⅱ）如图3，，分别是边，延长线上的点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）【观察】 （1）如图，和交于点，且和互相平分，则_____．（填“”“”或“”） 【总结】 当题目中出现“平分”“中点”等词语时，可寻找或构造全等三角形，通过证明三角形全等来解决问题． 【应用】 （）如图，，和交于点，且和互相平分，，，则的度数为______． （）如图，点，在上，为的中点，平分．求证：． 【拓展】 （4）如图，在中，，边上的中线长为，分别为边上的两个动点，在运动过程中始终保持，连接，且，请求出整数的值． 【题型15 利用倍长中线构造全等三角形】 1. 延长中线至两倍（如 AD→AE，DE=AD），连端点得全等； 2. 转分散边 / 角到同一三角形； 3. 适用于 “中线 + 边关系” 问题（如求中线范围） 【典例1】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）阅读并写出正确的证明过程． 如图，已知：为的中线，求证：． 证明：延长至使得，连接，则， 为的中线（已知）， ， 在和中， ， ∴（_______）， （______）， 在中，根据三角形的三边关系有： （_______________________________）， 而_____， 这种辅助线方法，我们称为“倍长中线法”， 【变式1】在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是多少？ 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出的取值范围是___________； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，求证：． 1、 选择题 1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，已知，点在边上，且，则图中与相等的角有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，点在上，点在上，，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，能直接用“”判定的条件是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·安徽六安·月考）在如图所示的平面直角坐标系中，，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 7．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，已知，，则的值为 ． 8．如图所示，已知，添加一个条件使（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是 写出一个即可． 9．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）已知 的三边长分别为6，4，3， 的三边长分别为，3，若这两个三角形全等，则 ． 11．如图，在中，，，的平分线与相交于点，过点作交的延长线于点．分别延长 相交于点．判断的数量关系．____.    12．如图，已知长方形ABCD的边长，，点E在边AB上，，如果点P从点B出发在线段BC上向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s，则经过______s，与全等． 三、解答题 13．如图，有两组等长的线段．，，将其拼成如下“蝶形图”，可以得出． (1)连接，能得出．的直接依据是___________；（用字母表示） (2)在（1）的条件下，小华认真观察之后说：“”．请判断他的说法是否正确，并说明理由． 14．如图，，点、在上，，且．    （1）求证：； （2）延长与相交于点，为的中点，，求的长． 15．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)若，，求的长度； (2)求证：； (3)若，，则_______． 16．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，，，． (1)请猜想与有什么关系，并说明理由； (2)若，，求． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，是的中点，连接，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)若，求证：． (2)若，求的长． 18．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）在中，，，点D是直线上的一个动点(与点B，C不重合)，连接并以为边在的右侧作，使，且，连接，设． (1)如图①，当点D在线段上时，求证：； (2)如图②，当点D在的延长线上时，请探究α与β的数量关系，并证明； (3)如图③，当点D在的延长线上时，若，则_____（直接写出答案)． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：全等三角形的概念 ◆1、全等图形的概念： 能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 【注意】全等形的形状相同，大小相同，与图形所在的位置无关，因此平移、翻折、旋转前后的图形全等． ◆2、全等三角形的有关概念和表示方法： （1）全等三角形： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）三角形全等的符号：“全等”用符号“≌”表示． 全等的表示方法：△ABC≌△FDE 【注意】在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （3）对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． （4）寻找对应元素的规律 ①有公共边的，公共边一般是对应边； ②有公共角的，公共角一般是对应角； ③有对顶角的，对顶角一般是对应角； ④两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边； ⑤两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角. ◆3、三种常见的全等类型： （1）平移型；（2）翻折型；（3）旋转型. 全等变化：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的两个图形全等． 知识点二 ：全等三角形的性质 ◆性质1：全等三角形的对应边相等． ◆性质2：全等三角形的对应角相等． 拓展：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等． ②全等三角形的周长相等，面积相等． 【注意】 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点三 ：全等三角形的判定方法 ◆利用“SSS”判定两个三角形全等 文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”. 几何语言：在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). ◆利用“SAS”判定两个三角形全等 1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. 2、几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). 3、方法： （1）已知两边，可以找“夹角”；（2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边 【注意】1. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 2. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. 3. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. ◆利用“ASA”判定两个三角形全等 1、文字语言：有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 2、几何语言：在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (ASA). ◆利用“AAS”判定两个三角形全等 1、文字语言：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. 2、几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (AAS). ◆利用“HL”判定两个三角形全等 1、文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2、几何语言： ∵∠C=∠C′=90° 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). 【注意】 “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 3、判定两个直角三角形全等的方法： 判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”这五种方法来判定两个直角三角形全等. 【题型1 全等三角形的概念】 高妙技法 1. 判 “形状 + 大小相同”，排除仅其一相同的图形； 2. 平移 / 翻折 / 旋转后重合即全等；3. 组合图形拆后逐部分对比。 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）下列命题中，是真命题的是（   ） A．面积相等的两个三角形是全等图形 B．三角形的外角一定大于内角 C．对应角都相等的两个三角形全等 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题的判断，全等图形的判定，三角形外角的性质． 通过反例判断A、B、C均为假命题，D符合全等形的定义． 【详解】解：面积相等的两个三角形不一定全等，如底为4高为3与底为2高为6的三角形，面积均为6但不全等，A是假命题． 三角形的外角不一定大于每一个内角，如钝角三角形中，钝角的相邻外角小于该钝角，B是假命题． 对应角都相等的两个三角形边不一定相等，即不一定全等，C是假命题． 全等图形的定义是能够完全重合的两个图形，D是真命题． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽·月考）下列各组给出的两个图形中，全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，熟练掌握该知识点是关键．能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：A、不是全等图形，不符合题意； B、不是全等图形，不符合题意； C、是全等图形，符合题意； D、不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 【题型2 利用全等三角形的性质求角度】 高妙技法 1. 据全等符号定对应角，直接相等； 2. 用 “三角形内角和 180°” 算未知角； 3. 遇外角用 “外角 = 不相邻两内角和”+ 对应角。 【典例1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再由是的外角，得到，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的外角， ∴． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，点在上，点在上，，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理及外角的性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．先设，，再根据全等三角形的性质得，再根据外角的性质，进一步可得，最后根据三角形的内角和定理求出的值，进而求解得到的度数． 【详解】解：设，则， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，，的延长线经过点，交于，，，，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是根据全等三角形的性质求出，根据平角定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， 又∵， ， 故答案为：． 【题型3 利用全等三角形的性质求线段长】 高妙技法 1. 对应边直接迁移长度； 2. 有公共部分时，用 “全等边 - 公共边 = 另一组边” 化简； 3. 遇中点，用全等边推倍数关系。 【典例1】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图，已知，，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮南·月考）已知，，若的周长是，，则的边长可能为（） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．根据等腰三角形的性质求出，再根据全等三角形对应边相等解答即可． 【详解】解：∵的周长是，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴的边长可能为或． 故选：D． 【变式2】如图，，若，则的长为（　　） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等． 根据全等三角形的对应边相等可知，，进而可求解 ． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【题型4 利用全等三角形的性质证明】 高妙技法 1. 证垂直：算得夹角 = 90°； 2. 证平行：转内错角 / 同位角相等； 3. 证线段相等：直接用对应边，或找中间全等边搭桥。 【典例1】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的特征； （1）由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由全等三角形的性质得，，结合直角三角形两锐角互余得，即可得证． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 故的长为； （2）证明： ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，已知 且点，，，在同一条直线上． (1)连接若，，求的度数； (2)若，，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据全等三角形对应角相等得，又因为，则题目可求； （2）根据全等三角形对应边相等，可得，又因为，利用三角形三边关系定理可求解题目． 【详解】（1）解：≌， ， ， ； （2）解：≌， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， 即． 【题型5 利用SAS证明全等】 高妙技法 1. 角必须是两边夹角，忌用 SSA； 2. 无直接夹角时，用角的和差推； 3. 有平行线，用内错角造夹角。 【典例1】（24-25八年级上·山东威海·月考）如图所示，，是的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查中点性质、三角形全等的判定与性质等知识，先由中点定义得到，再由两个三角形全等的判定定理得到即可，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 【详解】证明： ，是的中点， ， ∴， 在和中， ． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，平分的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，再利用证明即可； （2）先求解，再结合全等三角形的性质可得，再进一步求解即可得到答案． 【详解】（1）解： 平分 ， ， 又 ， ． （2）解： ， ， 由 （1）知 ， ． 【变式2】如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证： (1)； (2)试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． （1）求出，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由，，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： 如图，设与交于， ∵， ， ，， ， 【题型6 利用AAS证明全等】 高妙技法 1. 边是任意一组角的对边，标角找对边； 2. 直角三角形：直角 + 锐角 + 边直接用 AAS； 3. 有垂直，用 “同角的余角相等” 得第二组角。 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，点在一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的性质可得；由可得．运用证明与全等即可． 【详解】证明：∵ 即 【变式1】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，得，则可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中 ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，与交于点与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，，证明，即可作答； （2）结合三角形内角性质以及，即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图所示： ∵， 即， ∵ ∴， ∵，且 ∴． 【题型7 利用ASA证明全等】 高妙技法 1. 边是两角夹边（边的端点为两角顶点）； 2. 中点 + 平行线造 “夹边相等 + 角相等”； 3. 共夹边直接当条件，再证两角。 【典例1】已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC⊥CD，DE⊥AC于点E，AB＝CE，求证：△ABC≌△CED． 【分析】由垂直的定义可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行线的性质可得，∠A＝∠DCE，进而由ASA可得结论． 【详解】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°， ∴∠DEC＝∠B＝90°， ∵BC⊥CD， ∴CD∥AB， ∴∠A＝∠DCE， 在△CED和△ABC中， ， ∴△CED≌△ABC（ASA）． 【变式1】如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质． （1）先由平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 答：的长是． 【变式2】（25-26八年级上·安徽·期末）如图，，是的高线，，交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2)的面积为30 【分析】本题主要考查三角形全等和三角形面积的计算，找到对应的三角形全等是解题的关键． （1）通过证明两个三角形全等，即可得到对应边相等； （2）利用全等三角形的性质求出相关线段的长度，进而计算三角形的面积即可． 【详解】（1）证明：∵，是的高， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为30． 【题型8 利用SSS证明全等】 高妙技法 1. 优先用公共边； 2. 已知两边，用 “BE=CF→BC=EF” 补第三边； 3. 用中点 / 其他全等代换找边相等。 【典例1】（25-26八年级上·安徽马鞍山·月考）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）在推进“四好农村路”建设中，某村计划在主干道旁均衡发展两片特色农业区（B区与C区）．如图，经勘测，，且连接两区的支路．请问主干道是否平分？并说明理由． 【答案】平分，理由见解析 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知条件由“边边边”可以判定，则． 【详解】解：平分． 理由：在和中， ， ， 平分． 【变式2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，为上一点，为上一点，且满足，，．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用即可证明； （2）利用全等三角形的性质求得，，即可得到，即得． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴； （2）证明：延长交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【题型9 利用HL证明全等】 高妙技法 1. 先标直角，确认直角三角形； 2. 分 “斜边（直角对边）” 和 “直角边（直角邻边）”； 3. 共斜边 / 直角边直接当条件。 【典例1】如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据已知条件直接利用证明即可求解． 【详解】证明∶ ，， ． 是的中点， ． 在与中， 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，点C，F在线段BE上， 请只添加一个合适的条件，使 (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据“”和“”证明三角形全等所需要的条件解答即可； （2）根据“”和“”证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：根据“”，题中已给出一组角一组边，还缺以此组角为夹角的另一组边，即．根据“”，题中已给出直角和一组直角边，还缺一组斜边，即． 故答案为：，． （2）解：添加“”得证明过程如下： 在和中， ， ∴， 选择“”的证明过程如下； ∵， ∴都是直角三角形， 在和中， ， ∴． 【变式2】如图①，，，点在上，且． (1)求证：． (2)如图②，连接，设交于点，过点作于点，在不添加辅助线的前提下，直接写出图②中的4对全等三角形[（1）中已证明过的除外]． 【答案】(1)证明见解析； (2)对全等三角形分别为，，，，证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定定理和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由题意可证，然后根据定理可证，进而可得； （2）由图可知，对全等三角形分别为，，，，然后根据定理、定理、定理、定理依次证明即可． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ， ； （2）图②中的对全等三角形分别为，，，，证明如下： ， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中 ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ． 综上所述，图②中的对全等三角形为，，，． 【题型10 添加条件使三角形全等】 高妙技法 1. 已知一边一角：边为夹边补 “边 / SAS” 或 “角 / AAS/ASA”，边为对边仅补角 / AAS； 2. 直角三角形：补斜边 / 直角边（HL）； 3. 避 SSA 陷阱。 【典例1】如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．根据得出，结合，根据三角形全等的判定方法，可加一角或夹已知角的另一边． 【详解】解：∵， ∴， 又， 则添加①，； 添加②，与不全等； 添加③，； 添加④，． 则能使的条件是①③④． 故选：D． 【变式1】如图， ，线段与相交于点． (1)添加一个条件： ，使； (2)说明（1）中结论成立的理由． 【答案】(1)或或（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法、、、，结合已知条件添加即可； （2）由平行线的性质得，，结合所添加条件证明即可． 【详解】（1）添加一个条件：或或（答案不唯一）． 故答案为：或或（答案不唯一）； （2）∵ ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 【变式2】已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【答案】①或③ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．当选择①时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等；当选择②时，不能判定和全等；当选择③时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等，据此即可得出答案． 【详解】解：当选择①时， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 当选择②时， ∵， ∴， 在和中， ， 此条件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等； 当选择③时， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴选择条件①或③能够判定和全等． 故答案为：①或③． 【题型11全等三角形的实际应用】 高妙技法 1. 测距离：造全等模型（如△ABC≌△DEF），测易量边代难量边； 2. 验对称：证对应三角形全等； 3. 转场景：将实际距离转成全等边计算。 【典例1】如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60cm，当淇淇从水平位置CD垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A．15cm B．30cm C．40cm D．45cm 【答案】D． 【分析】过点O作OG⊥地面于点G，则OG＝60cm，证明△ABO≌△FEO（AAS），得出AB＝EF＝15cm，即可推出结果． 【详解】解：如图，过点O作OG⊥地面于点G，则OG＝60cm， 由题意可知，∠ABO＝∠FEO，∠AOB＝∠FOC，AO＝FO， ∴△ABO≌△FEO（AAS）， ∴AB＝EF＝15cm， ∴嘉离地面的高度是OG﹣EF＝60﹣15＝45（cm）， 故选：D． 【变式1】如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可在河的一侧取AB的垂线BM上两点C，D，使BC＝CD，再画出BM的垂线DE，使E在AC的延长线上，若BD＝10m，DE＝12m，CE＝13m，则A，B两点的距离是（　　） A．5m B．10m C．12m D．13m 【答案】C． 【分析】直接利用已知结合得出△ABC≌△EDC（ASA），进而得出A，B两点的距离． 【详解】解：∵BD＝DC，BD＝10m， ∴DC＝BC＝5m， ∵AB⊥BC，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝DE＝12m． 故选：C． 【变式2】某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出BC的长度，如果不能，请你说明理由． 【分析】根据中点定义求出OA＝OB，OC＝OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明． 【详解】解：∵O是AB、CD的中点， ∴OA＝OB，OC＝OD， 在△AOD和△BOC中，， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴CB＝AD， ∵AD＝30cm， ∴CB＝30cm． 【题型12 全等三角形的性质与判定的综合】 高妙技法 1. 按 “判定→性质→再判定” 流程； 2. 用公共边 / 角传递边、角关系；3. 动态图形跟踪对应边 / 角，确认条件是否成立。 【典例1】（24-25八年级上·安徽淮南·月考）如图，在四边形中，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理以及角的计算；根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键． （1）结合即可证出，由此即可得出，，即可求解； （2）通过角的计算得出，证出，由此即可得出． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ，， ， ，， ， ； （2）证明：， ． ， ． 在和中， ， ． ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，求与的周长之和． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）由得，进而由即可求证； （）根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可证明平分； （3）由已知可得，由全等三角形的性质得，，又由三角形的周长公式可得与的周长之和，代入计算即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）证明：， ， ， ， 平分； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴与的周长之和 ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如图所示，与相交于点，，，，点从点出发，在线段上沿以3的速度运动，点从点出发，在线段上沿以1的速度运动，，两点同时出发，当点回到点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为s． (1)求证：； (2)写出线段的长（用含的代数式表示）； (3)连接，当线段经过点时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)当时，的长为 ，当时，的长为 (3)的值为或 【分析】本题考查全等三角形的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据题意证明，进而即可推出； （2）根据点运动状态分情况：当从点到点运动时，当点从点到点运动时，讨论求解，即可解题； （3）连接，且过点，证明，根据全等三角形性质得到，再点运动状态分情况：当时，当时，分别表示出，再根据建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）解：当从点到点运动时， （）； 当点从点到点运动时， ， （）． 综上，当时，的长为 ，当时，的长为 ； （3）解：连接，且过点，如图： 由（1）得， . 在和中， ， ， ， 当时， ， ， ， 解得； 当时， ， ， ， 解得； 综上，的值为或． 【题型13 一线三等角模型】 高妙技法 1. 认模型：一条直线 + 三个等角 + 两边相等； 2. 直角模型：用 “同角的余角相等” 得两角，速证全等； 3. 推线段：等角对应边相等（如 BD=AE）。 【典例1】（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，试问，，之间具有怎样的数量关系，并加以证明． (3)如图3，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由垂直的定义得到，由同角的余角相等得到，即可根据“”证明；根据全等三角形的性质证明； （2）同（1）方法证明即可； （3）同（2）方法求解． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， ， ； ，， ． （2），证明如下， 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即． （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即 【变式1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）几何世界就像一场探险，而“转化思想”就是你手中最明亮的那盏灯．请用“转化”的眼光去解决以下问题， (1)如图1，为上一点，，．求证：； (2)如图2，，，，的延长线交于点，猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（等）以及利用转化思想构造全等三角形是解题的关键． （1）通过角度关系推导角相等，再结合已知的直角和边相等，利用判定三角形全等； （2）通过作辅助线构造全等三角形，先证，再证，从而推导出与的数量关系． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：，证明如下： 过点作，交的延长线于点， 同理（1）可得， ， ， ， ， ∴， ． 【变式2】（2025八年级上·安徽·专题练习）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键． （1）由题意易得，，然后根据“”可证三角形全等； （2）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质可进行求解； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ． 【题型14 用截长补短构造全等三角形】 高妙技法 1. 截长：长线段截一段 = 短线段，证剩余部分 = 另一短线段； 2. 补短：延长短线段 = 长线段，证新线段 = 目标线段； 3. 适用于 “线段和差” 问题（如 AB+CD=BC）。 【典例1】（25-26八年级上·安徽黄山·期中）回答问题： (1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； (2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】(1) (2)仍成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． 【详解】（1）解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； （2）解：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； （3）解：，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 【变式1】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知在四边形中，，． (1)如图1，，，分别是边，上的点，延长至，使，连接，求证：； (2)已知． （ⅰ）如图2，，分别是边，上的点，求证：； （ⅱ）如图3，，分别是边，延长线上的点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）（ⅰ）中的结论不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． （1）先证明，得到，，进而推出，即可证明； （2）（ⅰ）延长至，使，连接．类比（1）同理先证明，得到，，进而推出，再证明，最后结合全等三角形性质求解，即可解题； （ⅱ）延长至，使，连接，类比（ⅰ）的证明过程，先证明，再证明，并结合全等三角形性质进行分析，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ，． ， ， ， . 又， ； （2）（ⅰ）证明：如图，延长至，使，连接． ，， . ，， ， ，， ， ， ， . 又， ， ； （ⅱ）解：（ⅰ）中的结论不成立，， 理由：如图，延长至，使，连接． ，， ， ，， ， ，， ， ， . ， ， ， ， ． ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）【观察】 （1）如图，和交于点，且和互相平分，则_____．（填“”“”或“”） 【总结】 当题目中出现“平分”“中点”等词语时，可寻找或构造全等三角形，通过证明三角形全等来解决问题． 【应用】 （）如图，，和交于点，且和互相平分，，，则的度数为______． （）如图，点，在上，为的中点，平分．求证：． 【拓展】 （4）如图，在中，，边上的中线长为，分别为边上的两个动点，在运动过程中始终保持，连接，且，请求出整数的值． 【答案】（）；（）；（）见解析；（）或 【分析】（）利用线段互相平分的性质，结合全等三角形判定证明三角形全等，进而得到线段平行且相等； （）利用与互相平分得出相等线段，再通过判定，由全等得对应角相等，结合的内错角关系，得到，最终计算出的度数； （）先通过延长到点，使得，连接，结合是中点， 利用证明，得到且；再由平分推出，结合已知，利用证明，最终证得； （）利用中线定义和的条件，结合三角形三边关系确定的取值范围，进而得到整数的值． 【详解】（）解：∵和互相平分， ∴，， 又∵(对顶角相等)， ∴， ∴且， 故答案为：=． （）∵和互相平分， ∴， 在和中 ∴ ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （）（证法不唯一）证明：如图，延长到点，使得，连接． ∵是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （）如图，过点作，且，在上截取，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，有最小值，此时可得， ∴， ∴是的中点，此时的值最小，最小值为． ∴， ∴， ∴整数的值为或． 【点睛】本题综合考察了线段互相平分的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定(SAS、ASA)与性质、角平分线的定义、三角形三边关系以及角的和差计算等知识点，核心通过构造或证明全等三角形实现线段与角的等量转化，同时结合平行四边形性质和三角形三边关系解决线段长度与取值范围问题，是对平面几何中三角形与四边形基础性质的综合应用． 【题型15 利用倍长中线构造全等三角形】 高妙技法 1. 延长中线至两倍（如 AD→AE，DE=AD），连端点得全等； 2. 转分散边 / 角到同一三角形； 3. 适用于 “中线 + 边关系” 问题（如求中线范围） 【典例1】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）阅读并写出正确的证明过程． 如图，已知：为的中线，求证：． 证明：延长至使得，连接，则， 为的中线（已知）， ， 在和中， ， ∴（_______）， （______）， 在中，根据三角形的三边关系有： （_______________________________）， 而_____， 这种辅助线方法，我们称为“倍长中线法”， 【答案】；；；；；；三角形的两边之和大于第三边； 【分析】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握好全等三角形的判定定理和性质是解题关键． 将中线倍长后，用“”易证．根据全等三角形的性质，将转化为，此时．在中，运用三角形的基本性质来证明题干的不等式． 【详解】证明：延长至使得，连接，则， ∵为的中线已知， ， 在和中， ， ∴， ， 在中，根据三角形的三边关系有： （三角形的两边之和大于第三边）， 而，， ， 故答案为：；；；；；；三角形的两边之和大于第三边；． 【变式1】在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 【答案】举例:见解析；应用：见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS等）是解题的关键． 举例：要说明，根据中线定义得到，再结合已知以及对顶角相等，利用判定全等． 应用：通过倍长中线法，延长到使，先证，得到相关角和边相等，再结合已知条件证明，从而得出． 【详解】解：举例：是中线， ． 在和中， ， ． 应用：延长到，使，连接． 为中点， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是多少？ 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出的取值范围是___________； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，求证：． 【答案】（1）（2）（3）见解析 【分析】（1）延长至点E，使，连接， 证明，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）延长至点F，使，连接，可证，可得，，证明，得到，即得； （3）延长到R，使得，连接，证明，可得，，可证，可得， ，得，． 【详解】解：（1）延长至点E，使，连接，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即； 故答案为：； （2）延长至点F，使，连接，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）延长到R，使得，连接， ∵点Q是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ，，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1、 选择题 1．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，已知，点在边上，且，则图中与相等的角有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、平行线的判定与性质、角的和差等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，；再根据角的和差可得；再证明，然后利用平行线的性质以及等量代换可得、、，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角有4个． 故选：A． 2．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，点在上，点在上，，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理及外角的性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．先设，，再根据全等三角形的性质得，再根据外角的性质，进一步可得，最后根据三角形的内角和定理求出的值，进而求解得到的度数． 【详解】解：设，则， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，能直接用“”判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用证明，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：A． 4．如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】A、和分别是和的对边，不能判定，故A符合题意； B、由推出，而，，由判定，故B不符合题意； C、，而，，由判定，故C不符合题意； D、，而，，由判定，故D不符合题意． 故选：A． 5．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得到，再根据平行线的性质，得到，利用，即可解答． 【详解】解：，， ， ，， ，， ， ， 化简得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键． 6．（25-26八年级上·安徽六安·月考）在如图所示的平面直角坐标系中，，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，点的坐标与平面直角坐标系，先通过，结合点的坐标为，可得，即可作答． 【详解】解：∵，点的坐标是 ∴ ∴ ∴ 故选：C 2、 填空题 7．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，已知，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：5． 8．如图所示，已知，添加一个条件使（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是 写出一个即可． 【答案】或或（写一个即可） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．添加，结合，可利用证明；添加或，结合，可利用证明． 【详解】解：①添加条件：， 在和中， ， ， ②添加条件：， 在和中， ， ， ③添加条件：， 同②可知，， 故答案为：或或（写一个即可）． 9．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）已知 的三边长分别为6，4，3， 的三边长分别为，3，若这两个三角形全等，则 ． 【答案】或 【分析】此题考查的是根据全等三角形的性质求字母的值，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键． 根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x，y值判断即可． 【详解】解：∵和全等， ∴当时，解得：， ∴； 当时，解得：， ∴； ∴综上所述，或 ． 故答案为：或 ． 11．如图，在中，，，的平分线与相交于点，过点作交的延长线于点．分别延长 相交于点．判断的数量关系．____.    【答案】 【分析】由，，通过可证，可得，再证明，可得． 【详解】解： 在和中 ∴； ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，角平分线的性质，熟练掌握三角形判定定理是解决本题的关键． 12．如图，已知长方形ABCD的边长，，点E在边AB上，，如果点P从点B出发在线段BC上向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s，则经过______s，与全等． 【答案】1或4 【分析】分两种情况：①当时，，②当时，，进而求出即可． 【详解】解：设运动的为s，分两种情况： ①当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动， ∴（s），此时点Q的运动速度为(cm/s)； ②当，时，， 由题意得：， 解得：（s），此时点Q的运动速度为(cm/s)； 综上，点P经过1或4s时；与全等． 故答案为：1或4． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，关键是掌握两个三角形全等的判定和性质． 三、解答题 13．如图，有两组等长的线段．，，将其拼成如下“蝶形图”，可以得出． (1)连接，能得出．的直接依据是___________；（用字母表示） (2)在（1）的条件下，小华认真观察之后说：“”．请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)SSS (2)正确，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等，再利用全等三角形的性质得出线段相等． （1）已知，，且为公共边，根据全等三角形“边边边（）”的判定定理，可直接得出． （2）先由得到，再结合对顶角相等以及，根据“角角边（）”判定，进而得出． 【详解】（1）SSS （2）正确 理由：由题可知； ， 在和中，， （AAS）， ． 14．如图，，点、在上，，且．    （1）求证：； （2）延长与相交于点，为的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）12 【分析】（1）要证，只要证，即可； （2）由（1）可得EF=BC，根据三角形中位线性质可知BC=2FG=8，由EG=EF+FG计算即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ， 在和中 ． （2）解：， 为中点， 又为中点， 为的中位线， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判断与性质以及三角形中位线的性质，题目比较简单．利用全等三角形的性质解答是解题的关键． 15．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)若，，求的长度； (2)求证：； (3)若，，则_______． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，得出因为，故，即可作答． （2）根据全等三角形的性质，得，结合三角形内角和性质进行分析，即可作答． （3）根据全等三角形的性质，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，, ∴ ∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵，且， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 16．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，，，． (1)请猜想与有什么关系，并说明理由； (2)若，，求． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等． （1）通过证明，得出对应边相等，从而证明； （2）先证明，结合三角形内角和等知识求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， 在与中，， ∴ ； （2）解：在与中， ∴， ，， ， ． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，是的中点，连接，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)若，求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据中点的性质可得，根据证明，即可得出； （2）根据平行线的性质可得，进而根据证明，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：证明：是的中点， 在和中， ． （2）， 是的中点， 在和中， ． 18．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）在中，，，点D是直线上的一个动点(与点B，C不重合)，连接并以为边在的右侧作，使，且，连接，设． (1)如图①，当点D在线段上时，求证：； (2)如图②，当点D在的延长线上时，请探究α与β的数量关系，并证明； (3)如图③，当点D在的延长线上时，若，则_____（直接写出答案)． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意可证，所以，因为，所以，即，则题目可证； （2）同（1）可证，所以，因为，，所以即； （3）证明，所以，因为 ，所以即，结合已知条件，则题目可解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 即； （2）解：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 即； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $