专题02 三角形与全等三角形重点复习必备知识+重难题型+分层验收（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材沪科版

专题02 三角形与全等三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角形中边的关系 能根据三角形三边关系定理判断三条线段能否构成三角形 基础必考点，常出现在小题，判断线段能否构成三角形 三角形中角的关系 能够利用三角形的内角和、直角三角形两锐角互余以及外角定理进行证明与求解角度 考查形式多样，选择、填空、解答都有考查，通常涉及角度的计算与证明 三角形的高、中线、角平分线 能够准确辨别三角形的高、中线和角平分线，能够利用高线、中线以及角平分线的概念进行计算 高线的考查主要表现为面积的求解以及利用等积法求解线段的长度； 中线的考查主要表现为线段的求解以及三角形面积的计算； 角平分线通常考查角度计算 命题与证明 理解命题的有关概念 基础性考查，常出现在小题中，判断命题的真假 全等三角形的性质 能够利用全等三角形的性质进行证明与计算 考查形式多样，但多以解答题为主，主要是利用全等三角形的性质证明线段或角度之间的数量关系 全等三角形的判定 能够准确利用全等三角形的判定定理证明三角形全等 主要在解答题中进行考查，同证明三角形全等，从而利用全等三角形的性质解题 知识点01 三角形中的边、角关系以及命题与证明 1.三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形. 2.三角形的分类： 1）三角形按边分类：三角形 2）三角形按角分类：三角形 3.三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了. 4.三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边。 5.三角形三边关系定理及推论的应用： 1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 6.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 7.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 重要线段 概念 图形 三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）． 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线． 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 知识点02 全等三角形的性质和判定 1.全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 2.全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【注意】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 3.全等三角形的性质： 1）对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． 3）全等三角形的周长相等、面积相等． 4.全等三角形的判定 （1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； （2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； （3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； （4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； （5）对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 易错点： 1. 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形. 2. 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形. 3.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 题型一 三角形三边定理的应用 解｜题｜技｜巧 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；在进行有关的绝对值化简时，先跟据三角形三边关系定理，判断绝对值里面式子的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号。 【典例1】（24-25八年级上·甘肃平凉·期中）已知a，b，c分别为三角形的三边长，化简得 ． 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期中）以下面四组小棒为边长，能围成三角形的是_____组．（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知三角形三边长分别为2，3，x，则写出所有符合条件的整数x的值 题型二 三角形内角和的应用 解｜题｜技｜巧 三角形内角和是180°。在三角形中求角度时，在已知两个内角的条件下，可以利用内角和定理求解。 【典例1】（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，则 ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，为倍角．如果一个“倍角三角形”中有一个内角为，那么这个“倍角三角形”的倍角的度数是 ． 【变式2】（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，中，于点D，于点E，若，则 °． 题型三 与三角形高有关的计算 解｜题｜技｜巧 1.在利用三角形的高求面积时，要准确找出三角形的底和高； 2.在一个三角形中可以用不同的底和高，将三角形的面积表示出来，即用等积法求出三角形的一条高或一条底。 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期中）如图，在中，于点D，，于点F，，则线段与的比值为 ． 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，是的两条高线，若，，则与的比为 ． 【变式2】（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在长方形中，，垂足为交于点，连接．写出一对面积相等但不全等的三角形 ． 题型四 根据三角形中线求长度 解｜题｜技｜巧 中线与三角形一边的交点是三角形该边的中点，可以利用中点的定义，进行求解线段的长度。 【典例1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，的周长为，是边上的中线，已知，，则的长为 ． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，分别是的中线和高，，则的长是 ． 【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知为的中线，的周长为，则的周长为 ． 题型五 根据三角形中线求面积 解｜题｜技｜巧 1.三角形的中线将三角形的面积平均分成2份； 2.三角形的三条中线交于一点，三条中线将三角形的面积平均分成6份。 3.两个三角形底相等，面积之比等于高之比；两个三角形高相等，面积之比等于底边之比。 【典例1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，D为边的中点，E为边的三等分点，线段、交于F，若，则 ． 【变式1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，是边上的中线，点在上，连接，．若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【变式2】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，点C为直线外一动点，，连接、，点D、E分别是、的中点，连接、相交于点G，当四边形的面积为6时，线段长度的最小值为 ． 题型六 判断命题的真假 解｜题｜技｜巧 1.找准命题中的题设和结论，看由题设是否能推出结论。 2.可以举反例，对于一个命题，只要能举出一个不成立的反例，则该命题是假命题。 【典例1】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角．其中真命题有 ．（填所有真命题的序号） 【变式1】下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小聪在研究实数a，b，c的关系时得到如下6个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若则；⑤若，则 上述命题中，属于真命题的有 （填写命题的序号）． 题型七 运用全等三角形的性质进行求解和证明 解｜题｜技｜巧 全等三角形对应边相等，对应角相等. 全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． 全等三角形的周长相等、面积相等． 【典例1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)若，，求的长度； (2)求证：； (3)若，，则_______． 【变式1】（25-26八年级上·贵州黔西·期中）如图，已知． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【变式2】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，，点在同一条直线上，点在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的周长为14，，求的长． 题型八 利用全等三角形的判定定理证明三角形全等 解｜题｜技｜巧 1.若已知两个三角形有两组角相等，可任意找一组边证明两个三角形全等（ASA或AAS）； 2.若已知两个三角形有两组边相等，可以找这两边的夹角相等证明两个三角形全等（SAS）；也可以找第三组边相等证明两个三角形全等（SSS）； 3.若已知两个三角形有一组边和一组角相等，可以在任意找一组角相等证明两个三角形全等（ASA或AAS）；相等的一组边是相等的一组角的邻边时，也可以找已经相等的一组角的另一组邻边相等证明两个三角形全等（SAS）; 4.注意不能利用SSA和AAA证明两个三角形全等。 【典例1】（25-26八年级上·江西赣州·期中）（1）在中，，，求的度数． （2）如图，已知线段、相交于点E，，．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2】如图，在和中，，若． (1)求证：． (2)求的度数． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·河南商丘·期末）小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西·期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，可说明，进而得出的依据是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）三角形的三个内角之比为，那么这个三角形的最小内角为 ； 4．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知：如图，在中，，于D，平分，，求的度数． 5．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在和中，，，与相交于点O．求证：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·西藏山南·期末）如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，是的平分线，，，垂足分别是E，F．，且，，则的长度是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动 时，． 4．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 5．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 4．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 5．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形的对角线交于点，．若_________，则． 从①，②，③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形与全等三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角形中边的关系 能根据三角形三边关系定理判断三条线段能否构成三角形 基础必考点，常出现在小题，判断线段能否构成三角形 三角形中角的关系 能够利用三角形的内角和、直角三角形两锐角互余以及外角定理进行证明与求解角度 考查形式多样，选择、填空、解答都有考查，通常涉及角度的计算与证明 三角形的高、中线、角平分线 能够准确辨别三角形的高、中线和角平分线，能够利用高线、中线以及角平分线的概念进行计算 高线的考查主要表现为面积的求解以及利用等积法求解线段的长度； 中线的考查主要表现为线段的求解以及三角形面积的计算； 角平分线通常考查角度计算 命题与证明 理解命题的有关概念 基础性考查，常出现在小题中，判断命题的真假 全等三角形的性质 能够利用全等三角形的性质进行证明与计算 考查形式多样，但多以解答题为主，主要是利用全等三角形的性质证明线段或角度之间的数量关系 全等三角形的判定 能够准确利用全等三角形的判定定理证明三角形全等 主要在解答题中进行考查，同证明三角形全等，从而利用全等三角形的性质解题 知识点01 三角形中的边、角关系以及命题与证明 1.三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形. 2.三角形的分类： 1）三角形按边分类：三角形 2）三角形按角分类：三角形 3.三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了. 4.三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边。 5.三角形三边关系定理及推论的应用： 1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 6.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 7.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 重要线段 概念 图形 三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）． 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线． 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 知识点02 全等三角形的性质和判定 1.全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 2.全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【注意】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 3.全等三角形的性质： 1）对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． 3）全等三角形的周长相等、面积相等． 4.全等三角形的判定 （1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； （2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； （3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； （4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； （5）对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 易错点： 1. 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形. 2. 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形. 3.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 题型一 三角形三边定理的应用 解｜题｜技｜巧 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；在进行有关的绝对值化简时，先跟据三角形三边关系定理，判断绝对值里面式子的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号。 【典例1】（24-25八年级上·甘肃平凉·期中）已知a，b，c分别为三角形的三边长，化简得 ． 【答案】 【详解】解：a，b，c分别为三角形的三边长， ，， ，， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期中）以下面四组小棒为边长，能围成三角形的是_____组．（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： A、，不能围成三角形，此选项不符合题意； B、，不能围成三角形，此选项不符合题意； C、，能围成三角形，此选项符合题意； D、，不能围成三角形，此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知三角形三边长分别为2，3，x，则写出所有符合条件的整数x的值 【答案】2，3，4 【详解】解：由题意， ∴， ∴整数x的值为2，3，4． 故答案为：2、3、4． 题型二 三角形内角和的应用 解｜题｜技｜巧 三角形内角和是180°。在三角形中求角度时，在已知两个内角的条件下，可以利用内角和定理求解。 【典例1】（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）当三角形中一个内角是另一个内角的2倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，为倍角．如果一个“倍角三角形”中有一个内角为，那么这个“倍角三角形”的倍角的度数是 ． 【答案】或 【详解】解：设倍角为α，被倍角为β，则， ∵三角形内角和为， 若是倍角α，则，第三角为， 所有角均为正数，且，符合条件； 若是被倍角β，则，第三角为， 所有角均为正数，且，符合条件； 若是第三个角，则， 又， 代入得，即， 解得，不符合的条件，故排除； 因此，倍角α的度数为或， 故答案为：或， 【变式2】（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，中，于点D，于点E，若，则 °． 【答案】32 【详解】解：于点D 在中， 故答案为：32． 题型三 与三角形高有关的计算 解｜题｜技｜巧 1.在利用三角形的高求面积时，要准确找出三角形的底和高； 2.在一个三角形中可以用不同的底和高，将三角形的面积表示出来，即用等积法求出三角形的一条高或一条底。 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期中）如图，在中，于点D，，于点F，，则线段与的比值为 ． 【答案】 【详解】解：， 设，则， ， ， 令， 于点D，于点F， ， ， ，即， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，是的两条高线，若，，则与的比为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴ ， ∴与的比为， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在长方形中，，垂足为交于点，连接．写出一对面积相等但不全等的三角形 ． 【答案】和（或和，或和，或和） 【详解】解：四边形是长方形， ， 与，底边为，高为， ， ， ， 与，底边为，高为， ， 与，等底等高， ， 图中能确定面积相等但不全等的三角形共有4对， 即和，和，和，和， 故答案为：和（或和，或和，或和）． 题型四 根据三角形中线求长度 解｜题｜技｜巧 中线与三角形一边的交点是三角形该边的中点，可以利用中点的定义，进行求解线段的长度。 【典例1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，的周长为，是边上的中线，已知，，则的长为 ． 【答案】5 【详解】解：∵是边上的中线， ∴，即， ∵的周长为， ∴， ∴． 故答案为:5． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，分别是的中线和高，，则的长是 ． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故答案为：3 【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知为的中线，的周长为，则的周长为 ． 【答案】22 【详解】解：∵是的中线， ∴. ∵的周长为， ∴. ∵， ∴， ∴的周长为. 故答案为：22. 题型五 根据三角形中线求面积 解｜题｜技｜巧 1.三角形的中线将三角形的面积平均分成2份； 2.三角形的三条中线交于一点，三条中线将三角形的面积平均分成6份。 3.两个三角形底相等，面积之比等于高之比；两个三角形高相等，面积之比等于底边之比。 【典例1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，D为边的中点，E为边的三等分点，线段、交于F，若，则 ． 【答案】 【详解】解：设，， 为边的中点， ∴，，， 为边的三等分点， ∴，， ， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，是边上的中线，点在上，连接，．若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】10 【详解】解：∵是边上的中线， ∴是的中线， ∴， ∴； 故答案为：10． 【变式2】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，点C为直线外一动点，，连接、，点D、E分别是、的中点，连接、相交于点G，当四边形的面积为6时，线段长度的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作交的延长线于H，连接， ∵点D、E分别是、的中点， ∴， ∵点D、E分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：3． 故答案为：3． 题型六 判断命题的真假 解｜题｜技｜巧 1.找准命题中的题设和结论，看由题设是否能推出结论。 2.可以举反例，对于一个命题，只要能举出一个不成立的反例，则该命题是假命题。 【典例1】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角．其中真命题有 ．（填所有真命题的序号） 【答案】③ 【详解】解：①一个角的余角不一定大于这个角， 反例：的余角是，，故①是假命题； ②如果，那么与是对顶角， 反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故②是假命题； ③补角的定义：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角，故③是真命题. 故答案为③ 【变式1】下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【详解】解：A．相等的两个角不一定是对顶角，选项是假命题，不符合题意； B．两直线平行，同旁内角互补，选项是假命题，不符合题意； C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，选项是真命题，不符合题意； D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项是真命题，符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小聪在研究实数a，b，c的关系时得到如下6个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若则；⑤若，则 上述命题中，属于真命题的有 （填写命题的序号）． 【答案】②③⑤ 【详解】解：对于命题①，取反例，，满足，但，，，故命题①为假命题； 对于命题②，由，两边同乘得，再两边加1得，故命题②为真命题； 对于命题③，由得，由于， 当时，两边同除得， 当时前提不成立， 故命题③为真命题； 对于命题④，取反例，，满足且，但，不满足，故命题④为假命题 对于命题⑤，由，不等式可化为，即，因且，故成立，命题⑤为真命题． 故答案为：②③⑤． 题型七 运用全等三角形的性质进行求解和证明 解｜题｜技｜巧 全等三角形对应边相等，对应角相等. 全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． 全等三角形的周长相等、面积相等． 【典例1】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)若，，求的长度； (2)求证：； (3)若，，则_______． 【详解】（1）解：∵，, ∴ ∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵，且， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 【变式1】（25-26八年级上·贵州黔西·期中）如图，已知． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 【变式2】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，，点在同一条直线上，点在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的周长为14，，求的长． 【详解】（1）证明：， ∴， ∵B，C，D，E在同一条直线上， ∴， ∴， ∴； （2）解∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴； （3）解：∵的周长为14， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴． 题型八 利用全等三角形的判定定理证明三角形全等 解｜题｜技｜巧 1.若已知两个三角形有两组角相等，可任意找一组边证明两个三角形全等（ASA或AAS）； 2.若已知两个三角形有两组边相等，可以找这两边的夹角相等证明两个三角形全等（SAS）；也可以找第三组边相等证明两个三角形全等（SSS）； 3.若已知两个三角形有一组边和一组角相等，可以在任意找一组角相等证明两个三角形全等（ASA或AAS）；相等的一组边是相等的一组角的邻边时，也可以找已经相等的一组角的另一组邻边相等证明两个三角形全等（SAS）; 4.注意不能利用SSA和AAA证明两个三角形全等。 【典例1】（25-26八年级上·江西赣州·期中）（1）在中，，，求的度数． （2）如图，已知线段、相交于点E，，．求证：． 【详解】解：（1）在中，，， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：由（1），得， ， 又, ， ． 【变式2】如图，在和中，，若． (1)求证：． (2)求的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴； （2）解：如图所示，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·河南商丘·期末）小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵两根木棒长和， ∴第三边x需满足：，即， 所以，选项中，A、B、D不满足，只有C满足， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江西·期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，可说明，进而得出的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）三角形的三个内角之比为，那么这个三角形的最小内角为 ； 【答案】 【详解】解：设三角形三个角的度数分别为，，， 所以， 解得：， 所以， 即这个三角形的最小内角为． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知：如图，在中，，于D，平分，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在和中，，，与相交于点O．求证：． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·西藏山南·期末）如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】解：∵是的中线，且的面积是1， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，是的平分线，，，垂足分别是E，F．，且，，则的长度是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动 时，． 【答案】3或7 【详解】解：当点在射线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， ∴此时点运动时间为； 当点在射线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴−− ， ∴此时点运动时间为． 综上所述，点运动或时，． 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又∵， ∴ ， 即． 5．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【详解】解：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 4．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形的对角线交于点，．若_________，则． 从①，②，③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】①（答案不唯一） 【详解】解：选择①， ∵， ∴， ∵，且， 在与中， 由， ∴≌， ∴； 故答案为：①． 选择②， ∵， ∴， ∵， 在与中， 由， ∴≌， ∴． 故答案为：②． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $