专题02 函数与一次函数（5重点+32题型+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材沪科版

专题02 函数与一次函数 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：函数的相关概念 1、变量与常量 ◆常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量. ◆变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做常量. 2、函数 ◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，如果对于 x在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说y 是 x 的函数，其中 x是自变量.如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值. 3、函数的表示方法 （1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. （2）解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫解析法，其中的数学式子叫做函数表达式（或函数解析式） （3）图象法：一般地,对于一个函数,如果把自变量x与函数y的每对对应值作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出相应的点,这些点所组成的图形,就是这个函数的图象:用图象来表示两个变量问的函数关系的方法,叫作图象法. 4、描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 知识点二 ：正比函数的图象与性质 1、正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 2、正比例函数的图象： 正比例函数y=k x(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线. 3、正比例函数的性质： 正比例函数y＝k x（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝k x． 当k＞0时，直线y＝k x依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝k x依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． 越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快. 知识点三：一次函数的图象与性质 1、一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 2、一次函数图象的画法： 两点法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝k x+b． 【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． ②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． 3、一次函数的性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快. 4、一次函数图象与系数的关系 直线y＝k x+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点. 当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝k x+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、四象限； 5、一次函数图象的平移 将直线y＝k x（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝k x+b． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 【注意】①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； 知识点四 ：一次函数的应用 1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题. 2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤： （1） 审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系； （2） 设自变量：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量； （3） 列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式； （4） 解决问：利用函数解析式或图象的性质解决问题； （5） 得出结果. 知识点五 ：一次函数的方程、不等式的关系 1、一次函数与一元一次方程的关系 从“数”的角度看: 求ax+b＝0（a≠0）的解就是函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值. 从“形”的角度看：求ax+b＝0（a≠0）的解就是直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标. 2、一次函数与二元一次方程（组）的关系 从“数”的角度看：解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看：解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标. 3、一次函数与一元一次不等式（组）的关系 从“数”的角度看：就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【题型1变量与常量的识别】 高妙技法 1. 常量：数值不变（如单价、固定系数）；变量：数值变化（如质量、金额）；2. 结合场景判断（如匀速运动中速度是常量）。 【典例1】若等腰三角形底边长为a，底边上的高为h，则该三角形的面积．若h为定长，则（   ） A．S，a是变量 B．S，h是常量 C．h，a是变量 D．S，a是常量 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知半径是R的圆，周长，下列说法正确的是（    ） A．C，，R是变量，2是常量 B．C是变量，2，，R是常量 C．R是变量，，C是常量 D．C，R是变量，2，是常量 【变式2】某人加工个零件，若用表示工作效率，用表示时间，下列判断正确的是（    ） A．和，都是常量 B．和都是变量 C．和都是变量 D．和都是变量 【题型2 函数的识别】 高妙技法 1. 核心：x 每一个值对应唯一 y；2. 图象判断：作垂直 x 轴的直线，与图象仅一个交点；3. 关系式排除 “y²=x” 这类多值情况。 【典例1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，y不是x的函数的是（　　） A．B．C．D． 【变式1】下列各式中，y不是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】有下列5个等式：①；②；③；④；⑤．其中表示是的函数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型3 求函数的自变量取值范围】 高妙技法 1. 分式：分母≠0（如 y=1/(x+3)→x≠-3）； 2. 二次根式：被开方数≥0（如 y=√(2x-4)→x≥2）； 3. 综合类：同时满足分式、根式条件（如 - 2≤x≤2 且 x≠1）。 【典例1】函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·上海青浦·月考）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【变式2】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 求函数的值】 高妙技法 1. 直接代入：已知 x 代入解析式算 y（如 y=-2x+3，x=-1 时 y=5）；2. 分段函数：先判 x 所属区间，再代入对应解析式；3. 程序类：按 x 范围选表达式计算。 【典例1】变量与的关系式为，当时，的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 【变式1】摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足，其中F表示华氏度（℉），C表示摄氏度（℃），那么将35℃转换为华氏度为（   ） A．95℉ B．86℉ C．77℉ D．90℉ 【变式2】已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【题型5 列函数解析式】 高妙技法 1. 找等量关系（如总运费 = A 地运费 + B 地运费）；2. 设自变量（如调运台数 x），表函数（如总运费 y）；3. 化简为 y=kx+b 或分段形式。 【典例1】油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一农户要建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用米长的建筑材料围成．为方便进出，在边上留一扇米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是 A． B． C． D． 【变式2】某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量（千克）与收入（元）的关系如下表： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 则收入（元）与卖出的苹果质量（千克）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【题型6 实际问题中函数图象】 高妙技法 1. 分析变化：容器粗→水面上升慢，细则快；2. 抓关键节点：初始状态（空缸水位 0）、转折点（砸缸后水位骤降）；3. 匹配趋势：上升 / 下降 / 水平段对应实际变化 【典例1】将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图像能大致表示水的深度和注水时间之间关系的是（   ） A．B．C．D． 【变式2】小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（    ） A．B．C． D． 【题型7 由图象中获取信息解决问题】 高妙技法 1. 读横纵轴含义（如 x = 时间，y = 距离）；2. 找特殊点：最高点（离家最远）、x 轴交点（返回时间）；3. 算速度：路程差 ÷ 时间差（如返程速度 = 30km÷3h=10km/h）。 【典例1】（24-25八年级下·上海金山·月考）如图是车辆行驶过程中油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的函数图象．从图象中得到的正确的信息是（    ） A．汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油升 B．汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油升 C．汽车行驶了小时后，停留了小时，然后再行驶小时，直至油用完 D．汽车行驶前剩余油量为升，至油全部用完共行驶了小时 【变式1】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）台风影响着人们的生产和生活．从函数角度研究地面风速随着离台风中心距离（即台风半径）变化而变化的规律，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系中画出了如图所示的函数图像，并在图中标注了该台风的12级、10级和7级风圈半径．例如当离台风中心的距离约为时，地面风速衰减至，此时为12级风圈半径．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（    ） A．越靠近台风中心位置，风速越大 B．距台风中心处，风速达到最大值 C．10级风圈半径约为 D．在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减． 【变式2】（24-25八年级下·上海普陀·期末）甲、乙两车沿着相同路线从地前往地，两车行驶的路程与甲车出发后的时间的对应关系如图所示，那么下列结论中错误的是（    ） A．甲车的平均速度为 B．乙车的平均速度为 C．在甲车出发2小时后两车相遇 D．乙比甲车先到达地 【题型8 函数的三种表示方法】 高妙技法 1. 列表法：找数据规律；2. 解析法：设 y=kx+b，代入表格数据求系数；3. 图象法：描点连线，或由图象反推解析式。 【典例1】通过地理知识学习我们知道：“随着距离地面越高，温度越低”，某地距离地面高度与温度的关系如下面表格所示： 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（） 20 14 8 2 请根据上面表格，回答下列问题： (1)如果用表示距离地面的高度，用来表示温度，那么随着的变化，如何变化？ (2)当高空温度是时，此时距离地面_____千米． (3)请你写出与的函数表达式，并求出当千米时，此时温度的值． 【变式1】在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 28 30 32 34 36 38 （1）本题反映的是弹簧的长度y与所挂物体的质量x这两个变量之间的关系，其中自变量是 ，函数是 ． （2）当所悬挂重物为6kg时，弹簧的长度为　 cm；不挂重物时，弹簧的长度为　 cm． （3）请直接写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式，并计算若弹簧的长度为46cm时，所挂重物的质量是多少kg？（在弹簧的允许范围内） 【变式2】西安的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到西安的历史文化底蕴和地方特色．某店为了减少“送你一个长安”金花茯砖茶的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15盒．该文创产品降价金额x（元）与日销量y（盒）之间的关系如下表： 降价金额（x/元） 10 30 40 50 60 日销量（y/盒） 60 90 105 120 135 (1)上表中，自变量是________，函数是________； (2)可以估计降价前的日销量是________盒； (3)若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量． 【题型9动点运动问题与函数图象】 高妙技法 1. 分阶段：动点在不同边（如 AB、BC）时，面积 y 的变化规律；2. 算临界值：确定 x 范围； 3. 匹配图象：面积不变则水平，线性变化则为线段。 【典例1】如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 【变式2】如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型10 正比例函数的识别】 高妙技法 1. 形式：y=kx（k≠0），无常数项（如 y=4x 是，y=3x-1 不是）；2. 排除：x 次数≠1（如 y=2x²）、分母含 x（如 y=4/x）的情况。 【典例1】（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数中，属于正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】下列函数中，是的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型11 由正比例函数的定义求参】 高妙技法 1. 条件：x 次数 = 1，系数≠0，常数项 = 0（如 y=(k+1) x+b-2 是正比例函数→k+1≠0 且 b-2=0）； 2. 解方程组求参数（如 k²-4=0 且 k+2≠0→k=2）。 【典例1】52．（25-26八年级上·广西梧州·期中）若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若函数（为常数）是正比例函数，则关于的一次函数不经过的象限是（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】若是正比例函数，则的值是 ． 【题型12 正比例函数的图象】 高妙技法 1. 定象限：k>0 过一、三象限，k<0 过二、四象限；2. 找关键点：必过 (0,0) 和 (1,k)； 3. k越大，直线越陡. 【典例1】在平面直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【变式1】正比例函数的图象是（   ） A．B．C． D． 【变式2】已知，则其在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【题型13 利用正比例函数性质比较函数值大小】 高妙技法 1. 判增减性：k>0 时 y 随 x 增大而增大，k<0 时相反； 2. 比自变量：x1<x2，k>0 则 y1<y2，k<0 则 y1>y2（如 y=-5x，x=-3<2→y1=15>y2=-10）。 【典例1】（24-25七年级上·上海·月考）已知正比例函数的图像经过点和点，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】，是正比例函数图象上的两个点，则，的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 【变式2】已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【题型14 利用正比例函数的性质求参】 高妙技法 1. 由增减性定 k：y 随 x 增大而增大→k>0，反之 k<0；2. 由象限定 k：过二、四象限→k<0（如 y=(m-2) x→m-2<0→m<2）。 【典例1】若正比例函数经过第一、三象限，则k的可能值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 【变式1】正比例函数的图象经过一，三象限，则m可能是（   ） A．2 B．1 C． D．0 【变式2】已知正比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【题型15 一次函数的识别】 高妙技法 1. 形式：y=kx+b（k≠0），x 次数 = 1，整式（如 y=50-0.1x 是，y=1/x 不是）；2. 正比例函数是一次函数的特殊情况（b=0），反之不成立。 【典例1】（24-25八年级下·上海·月考）下列关于的函数是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·上海宝山·期中）下列函数中是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·上海金山·月考）下列关于变量x、y的关系式中，y关于x是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型16 由一次函数的定义求参】 高妙技法 1. 系数条件：x 系数 k≠0，x 次数 = 1（如 y=(a-1) x+1→a-1≠0）；2. 结合性质：y 随 x 增大而减小→k<0（如 a-1<0→a<1）。 【典例1】已知函数是关于的一次函数，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【变式1】已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【变式2】若关于的函数为一次函数，则值为 ． 【题型17 一次函数的图象】 高妙技法 1. 定象限：k>0,b>0→一、二、三象限（按 k、b 符号判断）； 2. 两点法画：找 (0,b) 和 (-b/k,0)； 3. 平行：k 相等则两直线平行（如 y=2x+3 与 y=2x-1）。 【典例1】已知一次函数，则该函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1】平面直角坐标系中点和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B．C．D． 【题型18 利用一次函数性质比较函数值大小】 高妙技法 1. 判增减性：k>0 时 y 随 x 增大而增大，k<0 时相反； 2. 比自变量：x1<x2，k>0→y1<y2，k<0→y1>y2； 3. 结合 x 与 - b/k（x 轴交点）的关系判断。 【典例1】若点，都在一次函数的图象上，则与大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【变式1】已知点都在直线上，则的大小关系 (    ) A． B． C． D．不能确定 【变式2】已知点，，都在一次函数的图象上，则a，b，c的值的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型19 利用一次例函数的性质求参】 高妙技法 1. 由象限定 k、b：过一、二、四象限→k<0 且 b>0（如 y=(2-k) x-2k+6→2<k<3）； 2. 由增减性定 k：y 随 x 增大而增大→k>0，反之 k<0。 【典例1】若一次函数中，的值随着值的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【题型20 一次函数的性质】 高妙技法 当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 【典例1】关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．函数的图象必经过点 B．函数的图象经过第一、二、三象限 C．若点在该函数图象上，则 D．直线是由直线沿轴向下平移1个单位长度得到的 【变式1】关于一次函数的图像，下列结论正确的是（   ） A．图像与轴的交点坐标为 B．若点、点在函数图像上，则 C．图像经过第二、三、四象限 D．点在图像上 【变式2】如图，直线与轴交于点，下列说法正确的是（  ） A．， B．直线不经过第四象限 C．关于的方程的解为 D．若，是直线上的两点，若，则 【题型21 一次函数的平移】 高妙技法 1. 口诀：“上加下减，左加右减”（如 y=2x+2 向下移 2→y=2x；向左移 2→y=2 (x+2)+2）；2. 平移后过某点，列方程求参数（如下移后为正比例函数→常数项 = 0）。 【典例1】在平面直角坐标系中，若将一次函数向上平移个单位长度后，恰好经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，若将一次函数的图像向下平移m个单位长度后，恰好得到一次函数的图像，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】将正比例函数的图象向上平移3个单位长度，则所得的函数图象与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型22 待定系数法求一次函数解析式】 高妙技法 1. 设解析式：正比例函数设 y=kx，一次函数设 y=kx+b；2. 代点求参：代入两点坐标，解方程组求 k、b；3. 验证：代入第三点检验。 【典例1】已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求m的值； 【变式1】已知一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求这个一次函数的图象与轴的交点坐标． 【变式2】已知与成正比例，且当时，． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值； (3)若函数值y的取值范围是，求x的取值范围． 【题型23 一次函数的实际应用---工程问题】 高妙技法 1. 设变量：时间 x，剩余工作量 y；2. 求解析式：设 y=kx+b，代入两点求系数（如 y=-180x+3600）；3. 求目标值：令 y=0（完成工作），解 x。 【典例1】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）智能科技在各行各业有着广泛的应用．现有一辆无人快递车需派送某快递站内400件快递，刚开始以每小时50件的速度进行派送，派送250件后，由于电量不足派送速度变慢，结果10小时完成了派送任务．无人快递车的派送件数（件）与计时时间（小时）之间的关系如图所示． (1)填空：_________； (2)求当速度放缓后，无人快递车的派送件数（件）与计时时间（小时）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【变式1】（24-25八年级下·上海崇明·期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费． 【变式2】某物流公司引进两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，种机器人也开始搬运，如图，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求关于的函数解析式； (2)如果、两种机器人连续搬运5个小时，那么种机器人比种机器人多搬运了多少千克？ 【题型24 一次函数的实际应用---行程问题】 高妙技法 1. 分对象列解析式（如轿车去程 y=90x，返程 y=-90x+225）； 2. 找相遇点：联立两解析式；3. 算时间 / 距离：用解析式求特殊值（如货车到乙地时 x=2）。 【典例1】李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 【变式1】（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求乙比甲早几分钟到达终点？ 【变式2】（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系，请根据图像解答下列问题： (1)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (2)求线段对应的函数表达式； (3)在轿车行进过程中，货车行驶多少时间，两车相距15千米 【题型25 一次函数的实际应用---销售问题】 高妙技法 1. 列解析式：销量 y=kx+b，利润 =（售价 - 进价）× 销量； 2. 求目标值：如售价 x=20 时，算销量和利润； 3. 3. 分段计价：超过部分打折（如 x>10 斤，y=4x+10）。 【典例1】某车间计划生产甲，乙两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 甲种产品 乙种产品 成本（万元／件） 2 5 利润（万元／件） 1 2 (1)若车间计划获利14万元，问甲，乙两种产品应分别生产多少件？ (2)若车间计划投入资金不多于41万元，且获利多于14万元，问车间有哪几种生产方案？并求出获得最大利润时的方案？ 【变式1】（24-25八年级下·上海松江·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【变式2】2025年11月28日，北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元． (1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？ 【题型26 一次函数的实际应用---方案选择问题】 高妙技法 1. 列不同方案解析式（如 A 超市 y1=80x+1280，B 超市 y2=100x+1100）； 2. 比大小选方案：解 y1<y2、y1=y2、y1>y2，定 x 范围； 3. 结合限制条件（如 B 型≥1.2A 型） 【典例1】某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【变式1】某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表．甲、乙印刷社收费（元）与印制数（张）的函数关系如下表： 甲印刷社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数之间的函数关系式，并说明宣传单张数为600时选择哪家印刷社比较划算． 【变式2】“谷雨前后，种瓜种豆”是一句广泛流传的农谚，此时春耕春播进入了关键期．琪琪家计划在某一天（一天以24小时计）租用播种机播种花生．现有两家农机公司可提供播种机租赁，按播种机租赁时间计费，每小时的租赁费标价都是40元，他们的优惠方案如下： 甲公司：按标价的8折租赁； 乙公司：一次性租赁时间不超过4小时的，按标价租赁；若超过4小时，则超过4小时的部分按标价的七折租赁． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租赁时间为小时，租用甲公司的播种机每日所需费用为元，租用乙公司的播种机每日所需费用为元，分别求出，与x之间的关系式； (2)当播种机的租赁时间为多少小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同？ (3)琪琪家一次性拿出480元用于租赁播种机，选择哪家公司，能使租赁的时间更长？ 【题型27 一次函数与一元一次方程】 高妙技法 4. 数的角度：ax+b=0 的解是 y=ax+b 中 y=0 时 x 的值； 5. 形的角度：解是直线与 x 轴交点的横坐标； 3. 找近似解：交点在两数之间，解就在该区间。 【典例1】如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 【题型28 一次函数与一元一次不等式】 高妙技法 1. 数的角度：ax+b>0 的解是 y=ax+b 中 y>0 时 x 的范围； 2. 形的角度：解是直线在 x 轴上方（或下方）的 x 值； 3. 读图象：直接找满足条件的 x 区间（如 x<0 时 y>3）。 【典例1】一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是(        ) A． B． C． D． 【变式1】一次函数的图象经过点和，则当 时，．（  ） A． B． C． D． 【变式2】若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【题型29 一次函数与二元一次方程（组）】 高妙技法 1. 方程组的解：两直线交点的坐标（如交于 (2,-1)，则解为 x=2,y=-1）； 2. 方程与直线：二元一次方程对应一条直线，直线上点的坐标是方程的解。 【典例1】一次函数与的图象交于如图点，则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，随的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤的值每增加1，的值增加．其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【题型30 由一次函数图象求图形面积问题】 高妙技法 解决一次函数与图象面积问题的关键是掌握割补法、铅垂法（宽高法）和坐标轴结合法**，根据图形是否与坐标轴重合选择最合适的策略 【典例1】（24-25八年级下·上海·月考）直线与直线的图像交于点， (1)求这两条直线的函数关系式； (2)求这两条直线与轴围成的三角形的面积． 【变式1】（22-23八年级下·上海浦东新·月考）已知一次函数的图像经过点，且与正比例函数交于点， (1)求点坐标，及一次函数解析式． (2)已知此一次函数图像与轴交于点，求的面积． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，过点的直线：与直线：相交于点． (1)m的值为_______； (2)求直线的函数表达式； (3)求的面积． 【题型31已知图形的面积求一次函数的解析式】 高妙技法 先抓一次函数解析式核心（待定系数法），再把面积条件转化为坐标 / 线段长度，联立求解，全程围绕 “坐标→线段→面积” 的转化关系解题，步骤固定，易掌握。 【典例1】如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求和的值； (2)已知点在轴上，且的面积为4，求直线的解析式． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与x轴，y轴交于A、C两点，直线（b是常数）与x轴交于点B且经过点C． (1)______，______． (2)在直线上是否存在点P，使得？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】如图，直线与轴交于点、与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的表达式． (2)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【题型32一次函数的综合运用】 高妙技法 1. 求解析式：用待定系数法，代入已知点； 2. 算面积：找底和高（如△ABC 中，BC 为底，A 的横坐标为高）； 3. 求最值：将 y1-y2 表为一次函数，按范围找最值。 【典例1】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P．    (1)求点P的坐标； (2)一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数与正比例函数的解析式； (2)请直接写出当时，的取值范围； (3)是第二象限内一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 【变式2】（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知一次函数的图像经过点，与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且． (1)求m的值； (2)点D在x轴上，且的面积是3，求点D的坐标． (3)在（2）的条件下，且点D在x轴正半轴上，设点E为x轴上一动点，当时，求点E的坐标． 一、选择题 1．下列各图中，变量y是变量x的函数是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数（为常数，且）是正比例函数，则当时，的值为（   ） A．1 B．2 C． D．5 3．已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点，均在直线上，若 ，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 5．已知与成正比，当时，，那么当时，的值为（   ） A．4 B． C．6 D． 6．（22-23八年级下·新疆·月考）一次函数的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（25-26八年级上·全国·期末）直线l与x轴相交于点，且与直线平行，则直线l的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 8．小张和小王去爬山，小王先出发一段时间后小张再出发，途中小张追上了小王并最终先爬到山顶，两人所爬的高度（米）与小张出发后的时间（分）的函数关系如图所示，下列结论： ①山的高度是米； ②表示的是小王爬山的情况，表示的是小张爬山的情况； ③小张爬山的速度是小王爬山的速度的2倍； ④小王比小张先出发分钟． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．（25-26九年级上·上海浦东新·月考）如果，那么 ． 10．（24-25八年级上·陕西西安·月考）若关于的方程的解为，则直线一定经过点 ． 11．（24-25八年级上·上海·月考）如图，二元一次方程组的解是 ． 12．（25-26九年级上·上海宝山·月考）一个游泳池在排水口匀速放水．假设池中剩余水量V（立方米）与放水时间t（分钟）是一次函数关系．已知放水10分钟时，剩余水量为240立方米；放水20分钟时，剩余水量为180立方米．那么游泳池的初始水量是 立方米． 13．如图，一次函数与正比例函数相交于点，与轴交于点，则 ． 三、解答题 13．根据下列条件求函数表达式 (1)已知一次函数的图象经过点，，求这个一次函数的表达式． (2)已知一次函数的图象过点，并且是由一次函数的图象平移得到的，求该一次函数的表达式． 14．一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数最大值与最小值的差为4，求此一次函数的表达式． 15．（24-25七年级上·上海·月考）甲乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像如图所示，线段表示甲机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像；线段表示乙机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像．根据图像信息回答下列问题． (1)甲种机器人比乙种机器人早开始工作___________小时； (2)甲种机器人每小时工作量是___________吨； (3)直线的表达式为___________； (4)如果乙种机器人工作了5小时，那么它完成的工作量是___________吨． 16．（24-25八年级下·上海松江·期末）小明家附近有、两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数和，收费（元）与骑行时间（分钟）的关系如图所示．已知小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为． (1)当时，求品牌收费方式与骑行时间的函数解析式． (2)小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？ (3)当骑行时间为多少时，两种品牌的收费相差2元？ 17．（24-25八年级下·上海·期中）“双十一”甲、乙两家商店为招揽顾客推出优惠活动；甲商店所购商品全按原价打八折；乙商店所购商品接原价每满200元减50元．设顾客在甲、乙两家商店购买商品原价都为元， (1)请直接写出当时，顾客在乙商店实际付款金额元与原价元之间函数关系式为_____． (2)若顾客购买原价在350元以下的商品时，如果分别选择甲、乙两家商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求的值． (3)若顾客购买原价在600元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点， B，直线 分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且 ，直线与直线交于点． (1)求直线与 的函数表达式． (2)求的面积． (3)根据图像写出关于x的不等式 的解集． (4)在直线 上是否存在一点 P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数与一次函数 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：函数的相关概念 1、变量与常量 ◆常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量. ◆变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做常量. 2、函数 ◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，如果对于 x在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说y 是 x 的函数，其中 x是自变量.如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a时的函数值. 3、函数的表示方法 （1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. （2）解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫解析法，其中的数学式子叫做函数表达式（或函数解析式） （3）图象法：一般地,对于一个函数,如果把自变量x与函数y的每对对应值作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出相应的点,这些点所组成的图形,就是这个函数的图象:用图象来表示两个变量问的函数关系的方法,叫作图象法. 4、描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 知识点二 ：正比函数的图象与性质 1、正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 2、正比例函数的图象： 正比例函数y=k x(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线. 3、正比例函数的性质： 正比例函数y＝k x（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝k x． 当k＞0时，直线y＝k x依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝k x依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． 越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快. 知识点三：一次函数的图象与性质 1、一次函数的概念：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 2、一次函数图象的画法： 两点法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝k x+b． 【注意】①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． ②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． 3、一次函数的性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 越大,y随x的增大而增大( 或减小)的速度越快. 4、一次函数图象与系数的关系 直线y＝k x+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点. 当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝k x+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝k x+b的图象在一、二、四象限； 5、一次函数图象的平移 将直线y＝k x（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝k x+b． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 【注意】①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； 知识点四 ：一次函数的应用 1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题. 2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤： （1） 审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系； （2） 设自变量：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量； （3） 列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式； （4） 解决问：利用函数解析式或图象的性质解决问题； （5） 得出结果. 知识点五 ：一次函数的方程、不等式的关系 1、一次函数与一元一次方程的关系 从“数”的角度看: 求ax+b＝0（a≠0）的解就是函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值. 从“形”的角度看：求ax+b＝0（a≠0）的解就是直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标. 2、一次函数与二元一次方程（组）的关系 从“数”的角度看：解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看：解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标. 3、一次函数与一元一次不等式（组）的关系 从“数”的角度看：就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【题型1变量与常量的识别】 高妙技法 1. 常量：数值不变（如单价、固定系数）；变量：数值变化（如质量、金额）；2. 结合场景判断（如匀速运动中速度是常量）。 【典例1】若等腰三角形底边长为a，底边上的高为h，则该三角形的面积．若h为定长，则（   ） A．S，a是变量 B．S，h是常量 C．h，a是变量 D．S，a是常量 【答案】A 【分析】本题考查了变量与常量的定义，根据变量与常量的定义，结合等腰三角形的底边长为，底边上的高为定长，且面积公式为，进行分析各量的变化情况，即可作答． 【详解】解：依题意，是定长，故为常量； 底边未限定为固定值，可以变化，故为变量； 则面积随的变化而变化（中为常量），故也是变量， 故选：A 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知半径是R的圆，周长，下列说法正确的是（    ） A．C，，R是变量，2是常量 B．C是变量，2，，R是常量 C．R是变量，，C是常量 D．C，R是变量，2，是常量 【答案】D 【分析】本题考查的是变量和常量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． 根据变量和常量的概念解答即可． 【详解】解：在半径是的圆的周长中，、是变量，2、是常量， 故选：D． 【变式2】某人加工个零件，若用表示工作效率，用表示时间，下列判断正确的是（    ） A．和，都是常量 B．和都是变量 C．和都是变量 D．和都是变量 【答案】C 【分析】利用效率等于工作量除以工作时间得到，然后利用变量和常量的定义对各选项进行判断． 【详解】解：由题意得，，其中是常量，和都是变量， 故选C． 【点睛】本题考查了变量和常量的定义．在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量． 【题型2 函数的识别】 高妙技法 1. 核心：x 每一个值对应唯一 y；2. 图象判断：作垂直 x 轴的直线，与图象仅一个交点；3. 关系式排除 “y²=x” 这类多值情况。 【典例1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，y不是x的函数的是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的识别，根据函数的定义，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，进行判断即可． 【详解】解：A，B，C选项，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义，故选项均不符合题意； D选项，除原点外，对于x的每一个取值，y有两个值，不符合函数的定义，故本选项符合题意． 故选D． 【变式1】下列各式中，y不是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的定义. 对应两个变量、，若对于任意的的确定值，都有唯一的值与之对应，那么就叫做的函数，据此求解即可． 【详解】解：在，和中，对于任意的x的确定值，y都有唯一的值与之对应，符合函数的定义； 在中，对于任意的正数x，y都有两个值与之对应，不符合函数的定义， 故选：B． 【变式2】有下列5个等式：①；②；③；④；⑤．其中表示是的函数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键．函数定义的核心是“唯一确定性”，即每个自变量对应唯一因变量．注意平方根函数通常取非负值，定义域受限但不影响函数关系．判断每个等式是否表示是的函数，依据是对于每一个的值，是否有唯一确定的值与之对应，解答即可． 【详解】解：对于① ：∵ 对于每一个，都有唯一值，∴ 是函数． 对于② ：∵ 对于某些（如），有两个值（），∴ 不是函数． 对于③ ：∵ 对于每一个，有两个可能值（或），∴ 不是函数． 对于④ ：∵ 对于每一个，唯一，但有两个值（正负），∴ 不是函数． 对于⑤ ：∵ 对于，有唯一值（算术平方根），∴ 是函数． 综上，只有①和⑤是函数，共2个． 故选：A． 【题型3 求函数的自变量取值范围】 高妙技法 1. 分式：分母≠0（如 y=1/(x+3)→x≠-3）； 2. 二次根式：被开方数≥0（如 y=√(2x-4)→x≥2）； 3. 综合类：同时满足分式、根式条件（如 - 2≤x≤2 且 x≠1）。 【典例1】函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量取值范围，解题的关键在于明确分式有意义的条件． 函数的分母不能为零，可得求解的值即可． 【详解】解：∵分母， ∴，解得． ∴自变量的取值范围是． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级下·上海青浦·月考）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查函数的自变量取值范围；熟练掌握函数的自变量取值范围是解题的关键； 根据题意，要使函数有意义，求解即可． 【详解】解：根据题意，要使函数有意义， 需满足： 解得： 故选：B． 【变式2】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，分式的分母不为0，即可求得自变量x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得， 故选：C． 【题型4 求函数的值】 高妙技法 1. 直接代入：已知 x 代入解析式算 y（如 y=-2x+3，x=-1 时 y=5）；2. 分段函数：先判 x 所属区间，再代入对应解析式；3. 程序类：按 x 范围选表达式计算。 【典例1】变量与的关系式为，当时，的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握相关知识是解决问题的关键．将 代入关系式直接计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：A． 【变式1】摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足，其中F表示华氏度（℉），C表示摄氏度（℃），那么将35℃转换为华氏度为（   ） A．95℉ B．86℉ C．77℉ D．90℉ 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，将摄氏度代入转换公式并直接计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 35℃转换为华氏度为95°F． 故选：A． 【变式2】已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解．将分别代入和中，即可求出的值，结合的取值范围即可得解． 【详解】解：当时，， 解得： 所以不合题意，舍去； 当时，， 解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为． 故选：B． 【题型5 列函数解析式】 高妙技法 1. 找等量关系（如总运费 = A 地运费 + B 地运费）；2. 设自变量（如调运台数 x），表函数（如总运费 y）；3. 化简为 y=kx+b 或分段形式。 【典例1】油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数解析式，理解题意是解答的关键． 先求出油量减少的速度为，再根据初始油量，列出函数解析式，再根据流完需1小时即可得t取值范围． 【详解】解：∵ 油匀速流出， ∴ 流出的油量， ∴ 剩余油量． ∵ 流完需， ∴ t的取值范围为． 故选：A． 【变式1】如图，一农户要建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用米长的建筑材料围成．为方便进出，在边上留一扇米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列函数关系式，根据几何关系可得，从而得到答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 故选：C． 【变式2】某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量（千克）与收入（元）的关系如下表： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 则收入（元）与卖出的苹果质量（千克）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数表达式的判断，观察收入y与质量x之间的关系，进而可以得到答案． 【详解】解：表格整理为： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 由表格可知，质量每增加1千克，收入就增加2.1元， 故，经验证，符合表格中数据， 故选：C． 【题型6 实际问题中函数图象】 高妙技法 1. 分析变化：容器粗→水面上升慢，细则快；2. 抓关键节点：初始状态（空缸水位 0）、转折点（砸缸后水位骤降）；3. 匹配趋势：上升 / 下降 / 水平段对应实际变化 【典例1】将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象的识别，理解题意是解决本题的关键． 根据温度计上升到一定的温度后不变，据此可得答案． 【详解】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件， 故选：C． 【变式1】某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图像能大致表示水的深度和注水时间之间关系的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系为先快后慢． 【详解】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，每一段h随t的增大而增大，增大的速度是先快后慢． 故选C． 【变式2】小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，根据题目中的语句得到父亲与儿子离家距离的变化过程是解答本题的关键．由题意得，父亲离家的距离在这个过程中分为 3 段，从家到车站，距离变远，即随的增大而增大；在车站等待的时候，距离不变，即图象与轴平行；父子一起回家，距离变近，即随的增大而减小．父亲先到车站，那么离家的距离将不再变化，说明父亲行走的函数图象肯定先与轴平行．儿子离家的距离也分为 3 段，从学校到车站，距离变近，即随的增大而减小；在车站与父亲“细端详”，停留了一小段时间，即图象与轴平行；父子一起回家，距离变近，即随的增大而减小，即可解答． 【详解】解：根据题意可知，父亲离家的距离在这个过程中分为3段，先远后不变最后到家；儿子离家的路程也分为3段，先离家越来越近，再停止，最后到家． 故选：A． 【题型7 由图象中获取信息解决问题】 高妙技法 1. 读横纵轴含义（如 x = 时间，y = 距离）；2. 找特殊点：最高点（离家最远）、x 轴交点（返回时间）；3. 算速度：路程差 ÷ 时间差（如返程速度 = 30km÷3h=10km/h）。 【典例1】（24-25八年级下·上海金山·月考）如图是车辆行驶过程中油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的函数图象．从图象中得到的正确的信息是（    ） A．汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油升 B．汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油升 C．汽车行驶了小时后，停留了小时，然后再行驶小时，直至油用完 D．汽车行驶前剩余油量为升，至油全部用完共行驶了小时 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，通过函数图象分析即可求解，明确题意，获取信息是解题的关键． 【详解】解：、汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油（升），原选项不符合题意； 、汽车行驶前剩余油量为升，行驶时每小时耗油（升），原选项不符合题意； 、汽车行驶了小时后，停留了小时，然后再行驶小时，直至油用完，原选项符合题意； 、汽车行驶前剩余油量为升，至油全部用完共行驶了（小时），原选项不符合题意； 故选：． 【变式1】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）台风影响着人们的生产和生活．从函数角度研究地面风速随着离台风中心距离（即台风半径）变化而变化的规律，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系中画出了如图所示的函数图像，并在图中标注了该台风的12级、10级和7级风圈半径．例如当离台风中心的距离约为时，地面风速衰减至，此时为12级风圈半径．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（    ） A．越靠近台风中心位置，风速越大 B．距台风中心处，风速达到最大值 C．10级风圈半径约为 D．在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的实际应用，解题的关键是准确理解函数图象所反映的风速与台风半径的关系． 根据函数图象，分析每个选项中风速与台风半径的关系是否正确即可． 【详解】解：A、根据所给直角坐标系，不能判断越靠近台风中心位置，风速越大，选项说法错误，不符合题意； B、距台风中心处，风速没有达到最大值，选项说法错误，不符合题意； C、10级风圈半径不是，选项说法错误，不符合题意； D、在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·上海普陀·期末）甲、乙两车沿着相同路线从地前往地，两车行驶的路程与甲车出发后的时间的对应关系如图所示，那么下列结论中错误的是（    ） A．甲车的平均速度为 B．乙车的平均速度为 C．在甲车出发2小时后两车相遇 D．乙比甲车先到达地 【答案】C 【分析】本题考查实际问题的函数图象，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． 根据图象中的信息逐项求解即可． 【详解】由图象可得，甲车的平均速度为，故A正确； 乙车的平均速度为，故B正确； 根据题意得， 解得， ∴在甲车出发2.5小时后两车相遇，故C错误； 由图象可得，乙比甲车先到达地，故D正确； 故选：C． 【题型8 函数的三种表示方法】 高妙技法 1. 列表法：找数据规律；2. 解析法：设 y=kx+b，代入表格数据求系数；3. 图象法：描点连线，或由图象反推解析式。 【典例1】通过地理知识学习我们知道：“随着距离地面越高，温度越低”，某地距离地面高度与温度的关系如下面表格所示： 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（） 20 14 8 2 请根据上面表格，回答下列问题： (1)如果用表示距离地面的高度，用来表示温度，那么随着的变化，如何变化？ (2)当高空温度是时，此时距离地面_____千米． (3)请你写出与的函数表达式，并求出当千米时，此时温度的值． 【答案】(1)随着的升高，在降低 (2)3 (3)， 【分析】本题主要考查函数的表格表示法的识别能力，函数的表示法有：解析式法，图象法，表格法，都需要熟悉并熟练掌握． （1）根据表格数据，距离地面越远，温度越低，所以随着h的升高，t在降低； （2）根据表格求解即可； （3）根据规律，高度每升高1千米，温度降低求解即可． 【详解】（1）解：随着的升高，在降低． （2）解：由表格可知，当高空温度是，此时距离地面3千米． （3）解：∵根据表格可得，高度每升高1千米，温度降低， ∴， 当千米时，℃； 【变式1】在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 28 30 32 34 36 38 （1）本题反映的是弹簧的长度y与所挂物体的质量x这两个变量之间的关系，其中自变量是 ，函数是 ． （2）当所悬挂重物为6kg时，弹簧的长度为　 cm；不挂重物时，弹簧的长度为　 cm． （3）请直接写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式，并计算若弹簧的长度为46cm时，所挂重物的质量是多少kg？（在弹簧的允许范围内） 【答案】（1）x，y；（2）40，28；（3）y=2x+28，9kg 【分析】（1）根据自变量与函数的定义解答即可； （2）由表格可知：不挂重物时，弹簧的长度为28cm，重物每增加1kg，弹簧长度增加2cm，据此可求当所悬挂重物为6kg时弹簧的长度； （3）根据（2）中分析可写出函数关系式，把y=46代入中求得的函数关系式，求出x的值即可； 【详解】解：（1）上述表格反映了弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量x是自变量，弹簧的长度y是函数． （2）由表格可知不挂重物时，弹簧的长度为28cm， ∵重物每增加1kg，弹簧长度增加2cm， ∴当所悬挂重物为6kg时，弹簧的长度为38+2=40cm； （3）∵重物每增加1kg，弹簧长度增加2cm， ∴y=2x+28， 把y=46代入y=2x+28， 得出：46=2x+28， ∴x=9， 所以，弹簧的长度为46cm时，此时所挂重物的质量是9kg． 【点睛】本题主要考查了函数关系式和常量与变量的知识，解答本题的关键在于熟读题意并求出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式． 【变式2】西安的非遗文创产品丰富多样，这些非遗文创产品不仅具有艺术价值和收藏价值，还能让人深刻感受到西安的历史文化底蕴和地方特色．某店为了减少“送你一个长安”金花茯砖茶的积压，采取降价销售，其原价是每盒265元，市场调查发现，每降价10元，日销量增加15盒．该文创产品降价金额x（元）与日销量y（盒）之间的关系如下表： 降价金额（x/元） 10 30 40 50 60 日销量（y/盒） 60 90 105 120 135 (1)上表中，自变量是________，函数是________； (2)可以估计降价前的日销量是________盒； (3)若该文创产品的售价是185元，求该文创产品的日销量． 【答案】(1)降价金额x，日销量y (2)45 (3)165盒 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键； （1）根据函数的定义“在变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，其中x是自变量，y是函数”进行求解即可； （2）根据表格可直接进行求解； （3）根据（2）及题意可列式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是降价金额x，函数是日销量y； 故答案为降价金额x，日销量y； （2）解：由表格可知：估计降价前的日销量是（盒）； 故答案为45； （3）解：由题意得：（盒）； 答：该文创产品的日销量为165盒． 【题型9动点运动问题与函数图象】 高妙技法 1. 分阶段：动点在不同边（如 AB、BC）时，面积 y 的变化规律；2. 算临界值：确定 x 范围； 3. 匹配图象：面积不变则水平，线性变化则为线段。 【典例1】如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，熟练掌握函数图象表示的意义是解题的关键，根据动点从点出发，首先在上运动，此时随的增加而增大，当点在上运动时，不变，当点在上运动时，随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：点在上运动，即时，随着的增大而增大， 点在上运动，即时，， 当点在上运动，即时，随着的增大而减小， 故选：A． 【变式1】如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象问题与三角形面积的求法等知识点，要求学生能够根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 根据题意，分析P的运动路线，分2个阶段分别讨论，可分别得处的值，进而可得的面积，即可得出答案． 【详解】解：根据图2可知当点P在上运动时，的面积不变，与面积相等；且不变的面积是在； 可知当时，点P恰好到点C处，此时P点运动3秒，即； 同理可得 ∴． 故选C． 【变式2】如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题和坐标系．路线为，将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论． 【详解】解：坐标系中对应点运动到B点， ，故B选项正确，符合题意； ，即， 解得：，故A选项错误，不符合题意； 对应的段， ， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∴所用时间为， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【题型10 正比例函数的识别】 高妙技法 1. 形式：y=kx（k≠0），无常数项（如 y=4x 是，y=3x-1 不是）；2. 排除：x 次数≠1（如 y=2x²）、分母含 x（如 y=4/x）的情况。 【典例1】（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：D． 【变式1】下列函数中，属于正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握形式为是正比例函数成为解题的关键． 根据正比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：正比例函数定义为 ，则 A．有常数项1，不是正比例函数，不符合题意； B．是反比例函数，不是正比例函数，不符合题意； C．符合形式，且 k = -3 ≠ 0，是正比例函数，符合题意； D．是二次函数，不是正比例函数，不符合题意． 故选C． 【变式2】下列函数中，是的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数，正比例函数定义为形如（为常数且）的函数，据此判断各选项． 【详解】A．含常数项，不是正比例函数； B．中的次数为2，不是正比例函数； C．即（），是正比例函数； D．中的次数为，不是正比例函数； 故选：C． 【题型11 由正比例函数的定义求参】 高妙技法 1. 条件：x 次数 = 1，系数≠0，常数项 = 0（如 y=(k+1) x+b-2 是正比例函数→k+1≠0 且 b-2=0）； 2. 解方程组求参数（如 k²-4=0 且 k+2≠0→k=2）。 【典例1】52．（25-26八年级上·广西梧州·期中）若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数，正比例函数的形式为，即一次项系数不为零且常数项为零，据此求解即可． 【详解】∵函数是正比例函数， ∴且 解得且 ∴． 故选：C． 【变式1】若函数（为常数）是正比例函数，则关于的一次函数不经过的象限是（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的定义，判断一次函数经过的象限，先根据正比例函数的定义，求出的值，进而确定一次函数的解析式，进行判断即可． 【详解】解：∵函数（为常数）是正比例函数， ∴， ∴， ∴关于的一次函数为， ∴一次函数的图像过一，三，四象限，不经过第二象限； 故选：B． 【变式2】若是正比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，代数式求值． 根据正比例函数的定义，函数形式应为 （），因此 的指数为1，系数不为0，常数项为0． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴ 解得 ， 故答案为：． 【题型12 正比例函数的图象】 高妙技法 1. 定象限：k>0 过一、三象限，k<0 过二、四象限；2. 找关键点：必过 (0,0) 和 (1,k)； 3. k越大，直线越陡. 【典例1】在平面直角坐标系中，函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象，熟练掌握是解决本题的关键． 根据题意得到函数的图象经过原点、第一、三象限，即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数的图象经过原点、第一、三象限， 故选：A． 【变式1】正比例函数的图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题目主要考查了正比例函数的图象和性质，关键理解正比例函数的定义，正比例函数的一般形式．斜率的正负对函数图象的影响；当时，函数图象是一条经过原点且从左下到右上的直线；当时，函数图象是一条经过原点且从左上到右下的直线；函数图象经过的点的确定，即可解答． 【详解】解：∵函数，即， ∵， ∴函数图象是一条从左上到右下的直线， ∵函数经过原点， ∴当时，， 即：点也在函数图象上， ∴函数的图象是一条从左上到右下的直线，经过原点和点， 观察选项，选项D符合这个描述． 故选：D． 【变式2】已知，则其在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象，掌握正比例函数的图象是解题的关键；当时，在第三象限；当时，在第四象限；由此即可判断． 【详解】解：当时，在第三象限；当时，在第四象限； 故函数的图象在第三、四象限， 故选：D． 【题型13 利用正比例函数性质比较函数值大小】 高妙技法 1. 判增减性：k>0 时 y 随 x 增大而增大，k<0 时相反； 2. 比自变量：x1<x2，k>0 则 y1<y2，k<0 则 y1>y2（如 y=-5x，x=-3<2→y1=15>y2=-10）。 【典例1】（24-25七年级上·上海·月考）已知正比例函数的图像经过点和点，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知当时，随的增大而减小是解题的关键． 根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：在中， ∵， ∴正比例函数中，随的增大而减小， ， ， 故选：A． 【变式1】，是正比例函数图象上的两个点，则，的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的性质，关键是根据系数正负判断函数的增减性． 根据正比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵在函数中，， ∴， ∴随的增大而增大． ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义和性质，设经过原点的直线解析式为，代入点C求出的值，再利用正比例函数的性质求出，，比较大小即可得出结论． 【详解】解：设经过原点的直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， 当时，； 当时，； ∵ ∴， 故选：B． 【题型14 利用正比例函数的性质求参】 高妙技法 1. 由增减性定 k：y 随 x 增大而增大→k>0，反之 k<0；2. 由象限定 k：过二、四象限→k<0（如 y=(m-2) x→m-2<0→m<2）。 【典例1】若正比例函数经过第一、三象限，则k的可能值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，根据题意，得出，据此进行计算即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为正比例函数经过第一、三象限， 所以， 解得， 显然只有D选项符合题意． 故选：D 【变式1】正比例函数的图象经过一，三象限，则m可能是（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，求不等式的解集，掌握正比例函数的图象所在象限判定比例系数的符号，求不等式的解集的方法是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象经过一，三象限， ∴， 解得，， ∴只有A选项符合题意， 故选：A． 【变式2】已知正比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质． 将点的坐标代入正比例函数解析式计算即可． 【详解】解：∵点在函数上， ∴， ∴． 故选：D． 【题型15 一次函数的识别】 高妙技法 1. 形式：y=kx+b（k≠0），x 次数 = 1，整式（如 y=50-0.1x 是，y=1/x 不是）；2. 正比例函数是一次函数的特殊情况（b=0），反之不成立。 【典例1】（24-25八年级下·上海·月考）下列关于的函数是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据一次函数的一般形式：，为常数且，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．是一次函数，故符合题意； B．在中，因为没有指明、为常数，且，所以不一定是一次函数，故不符合题意； C．不是一次函数，故不符合题意； D．不是一次函数，故不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·上海宝山·期中）下列函数中是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据一次函数的定义逐一验证即可． 【详解】解：A：，该函数含分式，不符合一次函数的形式，故该选项不符合题意； B：，未明确，故该选项不符合题意； C：，该函数符合一次函数的标准形式，故该选项符合题意； D：，该函数最高次数为2，不符合一次函数的定义，故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·上海金山·月考）下列关于变量x、y的关系式中，y关于x是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了一次函数的定义，形如为常数)的函数，叫一次函数．根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.是常数函数，不是一次函数，故本选项不符合题意； B.，不是一次函数，故本选项不符合题意； C.，不是一次函数，故本选项不符合题意； D.是一次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 【题型16 由一次函数的定义求参】 高妙技法 1. 系数条件：x 系数 k≠0，x 次数 = 1（如 y=(a-1) x+1→a-1≠0）；2. 结合性质：y 随 x 增大而减小→k<0（如 a-1<0→a<1）。 【典例1】已知函数是关于的一次函数，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数．根据一次函数的定义，x的指数必须为1，且系数不为零求解即可．． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴，且， ∴． 故选：C． 【变式1】已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，x的指数必须为1，且系数不能为0，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ ∴， 解得m的值为， 故选：A． 【变式2】若关于的函数为一次函数，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据平方根的定义解方程．根据一次函数的定义，函数表达式中的自变量指数必须为1，且系数不为零． 【详解】由一次函数的定义，需满足指数部分且系数部分． 解方程， 得， 即或． 当时，系数，不符合一次项系数不为零的要求； 当时，系数，符合要求． 故答案为：． 【题型17 一次函数的图象】 高妙技法 1. 定象限：k>0,b>0→一、二、三象限（按 k、b 符号判断）； 2. 两点法画：找 (0,b) 和 (-b/k,0)； 3. 平行：k 相等则两直线平行（如 y=2x+3 与 y=2x-1）。 【典例1】已知一次函数，则该函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握一次函数为常数，的图象性质． 根据一次函数中和的符号，确定函数图象经过的象限，从而选出正确选项． 【详解】解：因为，所以函数图象从左到右呈上升趋势，经过第一、三象限， 又因为，所以函数图象与轴的交点在轴负半轴上， 综上，该一次函数的图象经过第一、三、四象限，观察选项，只有选项B符合． 故选：B． 【变式1】平面直角坐标系中点和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标和一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 先根据平面直角坐标系中点在那个象限，确定是正数还是负数，再根据一次函数的图象和性质判断即可． 【详解】解：A：∵点在第四象限， ∴，， ∴一次函数的图象随着的增大而增大，当的值为0时，图象交于轴的负半轴， ∴A选项图象符合； B：∵点在第二象限， ∴，， ∴一次函数的图象随着的增大而减小，当的值为0时，图象交于轴的正半轴， ∴B选项图象不符合； C：∵点在第一象限， ∴，， ∴一次函数的图象随着的增大而增大，当的值为0时，图象交于轴的正半轴， ∴C选项图象不符合； D：∵点在第四象限， ∴，， ∴一次函数的图象随着的增大而增大，当的值为0时，图象交于轴的负半轴， ∴D选项图象不符合； 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，分析一次项系数与常数项判断一次函数的大致图象是解题的关键． 首先通过分析一次项系数与常数项的符号，再逐一验证选项是否符合图象特征即可． 【详解】解：对于A：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故A错误； 对于B：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象相符合，故B正确； 对于C：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故C错误； 对于D：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故D错误； 故选：B． 【题型18 利用一次函数性质比较函数值大小】 高妙技法 1. 判增减性：k>0 时 y 随 x 增大而增大，k<0 时相反； 2. 比自变量：x1<x2，k>0→y1<y2，k<0→y1>y2； 3. 结合 x 与 - b/k（x 轴交点）的关系判断。 【典例1】若点，都在一次函数的图象上，则与大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由可得中随的增大而增大，然后通过性质即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴中随的增大而增大， 又∵， ∴， 故选：． 【变式1】已知点都在直线上，则的大小关系 (    ) A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象的增减性，关键是熟练应用； 根据，随的增大而减小即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小 ∵ 点 ， ， 在直线 上， ∴ ∴ ． 故选：A． 【变式2】已知点，，都在一次函数的图象上，则a，b，c的值的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较一次函数值的大小，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 通过计算一次函数在各点处的函数值，得到，，的具体数值，然后比较大小． 【详解】解：∵点在函数上， ∴． ∵点在函数上， ∴． ∵点在函数上， ∴． ∴， 即． 故选：B． 【题型19 利用一次例函数的性质求参】 高妙技法 1. 由象限定 k、b：过一、二、四象限→k<0 且 b>0（如 y=(2-k) x-2k+6→2<k<3）； 2. 由增减性定 k：y 随 x 增大而增大→k>0，反之 k<0。 【典例1】若一次函数中，的值随着值的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的性质，由一次函数中，的值随着值的增大而增大，可得自变量系数大于0，进而可得出m的范围． 【详解】解：∵一次函数中，的值随着值的增大而增大， ∴． 故选：A． 【变式1】关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性和图象与坐标轴的交点特征是解题的关键．根据一次函数的增减性得到，再根据图象与轴的交点的位置得到，进而求出实数的取值范围． 【详解】随的增大而减小， ，即． 图象与轴的交点在轴下方， 当时，，即． 的取值范围是且，即． 故选：． 【变式2】已知关于的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质．分类讨论：时，y随x的增大而增大，所以当时，y有最大值7，然后把代入函数关系式可计算出对应a的值；时，y随x的增大而减小，所以当时，y有最大值7，然后把代入函数关系式可计算对应a的值． 【详解】解：①时，y随x的增大而增大， 则当时，y有最大值7，把代入函数关系式得， 解得； ②时，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值7，把代入函数关系式得， 解得， 所以或， 故选：D． 【题型20 一次函数的性质】 高妙技法 当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 【典例1】关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．函数的图象必经过点 B．函数的图象经过第一、二、三象限 C．若点在该函数图象上，则 D．直线是由直线沿轴向下平移1个单位长度得到的 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质， 根据一次函数的性质逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 对于一次函数 ， 当 时，，故图象不经过点，A错误，不符合题意； ∵ ，， ∴ 图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，B错误，不符合题意； ∵ 当 时，； 当 时，， ∴ ，C错误，不符合题意； ∵ 直线 向下平移1个单位长度得到 ，D正确，符合题意. 故选：D． 【变式1】关于一次函数的图像，下列结论正确的是（   ） A．图像与轴的交点坐标为 B．若点、点在函数图像上，则 C．图像经过第二、三、四象限 D．点在图像上 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，根据函数解析式逐项判断即可． 【详解】解：函数为 ， 对于A：令 ，则 ， 解得，与轴交点为 ，不是 ，故不符合题意； 对于B：点 在图像上，则 ；点 在图像上，则 ；，故，故不符合题意； 对于C：，，图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故不符合题意； 对于D：当 时，，故点 在图像上，故符合题意． 故选D． 【变式2】如图，直线与轴交于点，下列说法正确的是（  ） A．， B．直线不经过第四象限 C．关于的方程的解为 D．若，是直线上的两点，若，则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，由直线与坐标轴交点求方程的解．由直线的图象可知，即可判断A；又可得出，即得出直线经过第一、二、四象限，可判断B；进而由一次函数的性质可判断D；由直线与坐标轴交点的横坐标即为其相关一元一次方程的解，可判断C． 【详解】解：由图象可知直线经过第一、二、三象限，且与y轴的交点位于x轴上方， ∴， ∴，故A错误，不符合题意； 又∵，， ∴直线经过第一、二、四象限，故B错误，不符合题意； ∵直线与x轴交于点， ∴关于x的方程的解为，故C正确，符合题意； ∵直线经过第一、二、三象限， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴，故D错误，不符合题意． 故选：C． 【题型21 一次函数的平移】 高妙技法 1. 口诀：“上加下减，左加右减”（如 y=2x+2 向下移 2→y=2x；向左移 2→y=2 (x+2)+2）；2. 平移后过某点，列方程求参数（如下移后为正比例函数→常数项 = 0）。 【典例1】在平面直角坐标系中，若将一次函数向上平移个单位长度后，恰好经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图像的平移，一次函数图像上点的坐标特征，根据一次函数图像的平移规律求出平移后的函数解析式，再把点代入计算即可求解，掌握一次函数图像的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵将一次函数向上平移个单位，得新函数为， ∵新函数经过点， ∴， 解得， 故选：． 【变式1】在平面直角坐标系中，若将一次函数的图像向下平移m个单位长度后，恰好得到一次函数的图像，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减． 根据一次函数图像平移的规则，向下平移m个单位，常数项减少m，从而建立方程求解． 【详解】解：将向下平移个单位后，得到， ∵平移后得到， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】将正比例函数的图象向上平移3个单位长度，则所得的函数图象与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的平移和坐标轴的交点问题，将函数图象向上平移3个单位，新函数解析式为，再求与x轴交点，即令解方程． 【详解】解：∵将向上平移3个单位， ∴新函数为， 令，则， ∴， ∴． ∴交点坐标为， 故选C 【题型22 待定系数法求一次函数解析式】 高妙技法 1. 设解析式：正比例函数设 y=kx，一次函数设 y=kx+b；2. 代点求参：代入两点坐标，解方程组求 k、b；3. 验证：代入第三点检验。 【典例1】已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点坐标代入函数解析式得到方程组，解方程组即可得到函数表达式； （2）由于点在该函数图象上，将其坐标代入表达式解方程即可求出参数值． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得： ， 解得： ∴一次函数的表达式为：； （2）解：将点代入， 得：， 解得：． 【变式1】已知一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求这个一次函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、直角坐标系、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． （1）设一次函数为，结合题意，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案； （2）根据一次函数的性质，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：设一次函数为， ∵图象经过和， ∴， 解得： ， ∴一次函数表达式为； （2）根据（1）的结论， 当时，， ∴， ∴一次函数与x轴交点坐标． 【变式2】已知与成正比例，且当时，． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值； (3)若函数值y的取值范围是，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的增减性，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）由题意设，代入时，求出，写出与之间的函数表达式； （2）当时代入解析式，求的值； （3）分别求出当和时，对应的x的值，然后利用一次函数的增减性求得的取值范围． 【详解】（1）解：设， 当时，． ， ， 则， ； （2）解：当时， ； （3）解：当时， ， 当时， ， 一次函数， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，． 【题型23 一次函数的实际应用---工程问题】 高妙技法 1. 设变量：时间 x，剩余工作量 y；2. 求解析式：设 y=kx+b，代入两点求系数（如 y=-180x+3600）；3. 求目标值：令 y=0（完成工作），解 x。 【典例1】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）智能科技在各行各业有着广泛的应用．现有一辆无人快递车需派送某快递站内400件快递，刚开始以每小时50件的速度进行派送，派送250件后，由于电量不足派送速度变慢，结果10小时完成了派送任务．无人快递车的派送件数（件）与计时时间（小时）之间的关系如图所示． (1)填空：_________； (2)求当速度放缓后，无人快递车的派送件数（件）与计时时间（小时）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，正确理解题意是解题的关键． （1）每小时50件的速度进行派送，一共派送250件，据此可求出a的值； （2）根据（1）所求可得点A的坐标，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：设， 将代入得：，解得 【变式1】（24-25八年级下·上海崇明·期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费． 【答案】(1)y关于x的函数关系式为 (2)现计划平均每天的修建费为万元． 【分析】本题考查的是一次函数的应用，分式方程的应用； （1）设y关于x的函数关系式为，再把，代入计算即可； （2）设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天．根据题意，得，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：设y关于x的函数关系式为， 根据题意，得， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为； （2）解： 设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天． 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， ∴， ∴， 答：现计划平均每天的修建费为万元． 【变式2】某物流公司引进两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，种机器人也开始搬运，如图，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求关于的函数解析式； (2)如果、两种机器人连续搬运5个小时，那么种机器人比种机器人多搬运了多少千克？ 【答案】(1) (2)150 【分析】本题考查了一次函数的应用、函数图象以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是求出解析式． （1）设关于的函数解析式为，把E、P的坐标代入即可得到结论； （2）设关于的函数解析式为，把P的坐标代入即可得到的表达式，令，代入，令，代入，两者相减即可得到结论． 【详解】（1）设关于的函数解析式为（）， 由线段过点和点， 得， 解得， 所以关于的函数解析式为； （2）设关于的函数解析式为（）， 由题意，得，即， ∴； 当时，（千克）， 当时，（千克）， （千克）． 答：如果、两种机器人各连续搬运5小时，那么种机器人比种机器人多搬运了150千克． 【题型24 一次函数的实际应用---行程问题】 高妙技法 1. 分对象列解析式（如轿车去程 y=90x，返程 y=-90x+225）； 2. 找相遇点：联立两解析式；3. 算时间 / 距离：用解析式求特殊值（如货车到乙地时 x=2）。 【典例1】李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 【答案】(1)880 (2) (3)小时 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用函数图象中的关键信息是关键． （1）依据题意，由货车从工厂去目的地送一批物资，结合图象可以得解； （2）依据题意，货车的速度为（千米小时），从而，又令，求出可得自变量的取值范围； （3）依据题意得，，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：货车从工厂去目的地送一批物资， 当时，就是表示工厂距目的地的路程，即为880千米． 故答案为：880； （2）解：货车的速度为（千米小时）， 则， 当时，解得， 关于的函数解析式为． （3）解：， 解得：． 即运输过程中，当货车显示加油提醒时，是小时． 【变式1】（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求乙比甲早几分钟到达终点？ 【答案】(1) (2)6分钟 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确掌握分析函数图象是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，分别计算出相遇后，到达终点甲和乙所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 设线段的表达式为：， 把，代入得： ， 解得：， 即线段的表达式为：， （2）解：线段可知：甲的速度为：（米/分）， 乙的步行速度为：（米/分）， 在B处甲乙相遇时，与出发点的距离为：（米）， 与终点的距离为：（米）， 相遇后，到达终点甲所用的时间为：（分）， 相遇后，到达终点乙所用的时间为：（分），（分）， 答：乙比甲早6分钟到达终点． 【变式2】（24-25八年级下·上海·期中）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系，请根据图像解答下列问题： (1)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； (2)求线段对应的函数表达式； (3)在轿车行进过程中，货车行驶多少时间，两车相距15千米 【答案】(1)270千米 (2) (3)2.1小时或2.7小时 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）由图象易得货车的速度为60千米/小时，然后问题可求解； （2）设线段对应的函数表达式是，然后把点，点代入求解即可； （3）由题意易得当时，两车之间的距离为70千米，由图象可得，线段对应的函数解析式为，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由图象可得， 货车的速度为（千米/小时）， 则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是（千米）， 即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米； （2）解：设线段对应的函数表达式是， ∵点，点， ∴， 解得， 即线段对应的函数表达式是； （3）解：当时，两车之间的距离为：， ∵， ∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在之间， 由图象可得，线段对应的函数解析式为， 则， 解得或， ∵轿车比货车晚出发1.5小时，（小时），（小时）， ∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米， 答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米． 【题型25 一次函数的实际应用---销售问题】 高妙技法 1. 列解析式：销量 y=kx+b，利润 =（售价 - 进价）× 销量； 2. 求目标值：如售价 x=20 时，算销量和利润； 3. 3. 分段计价：超过部分打折（如 x>10 斤，y=4x+10）。 【典例1】某车间计划生产甲，乙两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： 甲种产品 乙种产品 成本（万元／件） 2 5 利润（万元／件） 1 2 (1)若车间计划获利14万元，问甲，乙两种产品应分别生产多少件？ (2)若车间计划投入资金不多于41万元，且获利多于14万元，问车间有哪几种生产方案？并求出获得最大利润时的方案？ 【答案】(1)甲种产品生产6件，乙种产品生产4件 (2)生产方案有：甲生产3件乙生产7件，甲生产4件乙生产6件，甲生产5件乙生产5件； 获得最大利润时的方案是甲生产3件乙生产7件，利润17万元 【分析】本题考查了一次函数、一元一次不等式组以及一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设生产甲种产品件，则生产乙种产品有件，根据计划获利14万元，即两种产品共获利14万元，即可列方程求解； （2）根据总成本不超过41万元和总利润大于14万元列不等式组，求出x的取值范围，得到整数解即为生产方案，然后设利润为y，建立y关于x的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设生产甲种产品x件，则生产乙种产品件， 由题意得， 解得：， 则（件） 所以甲种产品生产6件，乙种产品生产4件； （2）解：设应生产甲种产品x件，则生产乙种产品有件，由题意有： ， 解得：， ∵为整数， ∴或4或5， ∴生产方案有：甲生产3件乙生产7件，甲生产4件乙生产6件，甲生产5件乙生产5件； 设总利润为y万元 由题意得，， ∵ ∴y随x的增大而减小，即可得，甲产品生产越少，获利越大， 所以当甲生产3件乙生产7件时可获得最大利润，其最大利润为（万元）． 【变式1】（24-25八年级下·上海松江·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）依据题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）依据题意，先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1）由题意，设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双， ∴， 又∵， ∴， ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：∵中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为：（元），此时B型皮鞋为：（双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是224000元． 【变式2】2025年11月28日，北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元． (1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元 (2)应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，最少资金是2160元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的表达式，是解题的关键． （1）设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元，根据购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设应购买个“冰墩墩”， 投入资金是元．根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解，根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，设计可行方案进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元． 根据题意，得，解得． ∴购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元； （2）设应购买个“冰墩墩”，则“马墩墩”应购买个，投入资金是元． 根据题意，得，即． ∵， ∴随的增大而减小． 又∵，解得， ∴当时，取得最小值，最小值为． ∴． ∴应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，资金最少，最少资金是2160元． 【题型26 一次函数的实际应用---方案选择问题】 高妙技法 1. 列不同方案解析式（如 A 超市 y1=80x+1280，B 超市 y2=100x+1100）； 2. 比大小选方案：解 y1<y2、y1=y2、y1>y2，定 x 范围； 3. 结合限制条件（如 B 型≥1.2A 型） 【典例1】某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)选方案二更优惠，理由见解析． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式： （1）根据两种优惠方案，列出关系式即可； （2）求出时的值，比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；； （2）选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠． 【变式1】某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表．甲、乙印刷社收费（元）与印制数（张）的函数关系如下表： 甲印刷社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数之间的函数关系式，并说明宣传单张数为600时选择哪家印刷社比较划算． 【答案】(1)在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张 (2)，，选择甲印刷社划算 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的实际应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，找出题目蕴含的数量关系解决问题． （1）通过设未知数，利用数量和费用关系列方程组求解； （2）先分别建立甲、乙的费用函数，然后将分别代入求解比较即可．． 【详解】（1）解：设甲、乙两家印刷各印了、张宣传单， ， 解得， 答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张； （2）根据题意得，， 当时， 当时， ∴， 当时， ∵ ∴选择甲印刷社划算． 【变式2】“谷雨前后，种瓜种豆”是一句广泛流传的农谚，此时春耕春播进入了关键期．琪琪家计划在某一天（一天以24小时计）租用播种机播种花生．现有两家农机公司可提供播种机租赁，按播种机租赁时间计费，每小时的租赁费标价都是40元，他们的优惠方案如下： 甲公司：按标价的8折租赁； 乙公司：一次性租赁时间不超过4小时的，按标价租赁；若超过4小时，则超过4小时的部分按标价的七折租赁． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租赁时间为小时，租用甲公司的播种机每日所需费用为元，租用乙公司的播种机每日所需费用为元，分别求出，与x之间的关系式； (2)当播种机的租赁时间为多少小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同？ (3)琪琪家一次性拿出480元用于租赁播种机，选择哪家公司，能使租赁的时间更长？ 【答案】(1)；当时，；当时， (2)12小时 (3)乙公司，能使租赁的时间更长 【分析】本题考查了一次函数的表达式，方程的应用及函数值的计算与比较． （1）根据题意分别列出与x的关系式和与x的关系式，需注意分情况讨论； （2）由于两家公司提供的方案所需租赁费用相同，列出方程，解得x的值即为播种机的租赁的时间； （3）一次性用480元租赁播种机时，租赁时间一定超过4小时，将代入到和中，通过比较选择出租赁时间更长的公司即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，； 当时，． （2）解：∵两家公司提供的方案所需租赁费用相同， 根据题意，得，解得， ∴当播种机的租赁时间为12小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同． （3）解：由题可得，一次性用480元租赁播种机时，租赁时间一定超过4小时， 在中，当时，， 在中，当时，， ∵， ∴选择乙公司，能使租赁的时间更长． 【题型27 一次函数与一元一次方程】 高妙技法 4. 数的角度：ax+b=0 的解是 y=ax+b 中 y=0 时 x 的值； 5. 形的角度：解是直线与 x 轴交点的横坐标； 3. 找近似解：交点在两数之间，解就在该区间。 【典例1】如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：点， ∴方程的解是； 故选：B． 【变式1】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意可求出点，将点代入一次函数得，则关于的方程的解是． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， ， 解得， 点， 将点代入一次函数得， 关于的方程的解是， 故选：C． 【变式2】如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴方程的解是， 故选：D． 【题型28 一次函数与一元一次不等式】 高妙技法 1. 数的角度：ax+b>0 的解是 y=ax+b 中 y>0 时 x 的范围； 2. 形的角度：解是直线在 x 轴上方（或下方）的 x 值； 3. 读图象：直接找满足条件的 x 区间（如 x<0 时 y>3）。 【典例1】一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是(        ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解答本题的关键．依据题意，由函数图象直接写出不等式解集即可． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数与轴的交点坐标为， 不等式的解集是． 故选：A． 【变式1】一次函数的图象经过点和，则当 时，．（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性、一次函数与不等式等知识点，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 由一次函数的增减性可得，再根据一次函数的图象即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴y随x的增大而减小， ∴． 又∵一次函数的图象经过点， ∴当时，． 故选A． 【变式2】若函数和函数的图象如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，以及利用函数图象来求解不等式的解集，解决本题的关键在于利用函数图象的交点坐标来确定不等式的解集． 先根据点A在函数上求解出x的值，再结合图象求解不等式即可． 【详解】解：已知交点在函数的图象上， ∴，可得， 即交点的坐标为． 由图象可知，关于的不等式的解集为函数在函数上方的部分包含交点， 即， ∴关于的不等式的解集是． 故选：C． 【题型29 一次函数与二元一次方程（组）】 高妙技法 1. 方程组的解：两直线交点的坐标（如交于 (2,-1)，则解为 x=2,y=-1）； 2. 方程与直线：二元一次方程对应一条直线，直线上点的坐标是方程的解。 【典例1】一次函数与的图象交于如图点，则关于的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个一次函数的图象交于点，得方程组的解为，把代入解析式中确定m的值即可． 本题考查了直线交点坐标与方程组解的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：根据两个一次函数的图象交于点， 得方程组的解为， 把代入解析式，得， 解得． 故方程组的解为， 故选：C． 【变式1】如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 先求交点坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解． 【详解】解：把代入，得， 点A的坐标为， 又一次函数与的图象相交于点A， 方程组的解为． 故选A． 【变式2】一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，随的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤的值每增加1，的值增加．其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是关键．根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①由图象可知：函数中，随x的增大而减小； 故①正确； ②由图象可知：，，，， ∴，， ∴， 故②正确； ③由图象可知：，，故函数的图象不经过第一象限； 故③正确； ④由图象可知，两函数图象交点的横坐标为3，，故，故④正确； ⑤当时，， 当时，， ∴， ∴x的值每增加1，的值增加， 故⑤错误． 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：C． 【题型30 由一次函数图象求图形面积问题】 高妙技法 解决一次函数与图象面积问题的关键是掌握割补法、铅垂法（宽高法）和坐标轴结合法**，根据图形是否与坐标轴重合选择最合适的策略 【典例1】（24-25八年级下·上海·月考）直线与直线的图像交于点， (1)求这两条直线的函数关系式； (2)求这两条直线与轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，两个一次函数的交点与对应二元一次方程组的解的关系，一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）将点代入直线与直线中，求出、的值，即可得解； （2）根据直线的解析式画出大致图象，联立两直线，求出交点坐标，再求出直线与轴的交点坐标，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：直线与直线的图像交于点， 将点代入直线与直线中，得： ，， 解得：，， 这两条直线的函数关系式为，； （2）解：如图所示，设直线与轴的交点为，两直线交点为， 联立两直线， 解得：， 交点， 在直线中，令，得， ， 这两条直线与轴围成的三角形的面积． 【变式1】（22-23八年级下·上海浦东新·月考）已知一次函数的图像经过点，且与正比例函数交于点， (1)求点坐标，及一次函数解析式． (2)已知此一次函数图像与轴交于点，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）已知正比例函数经过点，可求得，，又因为一次函数的图像经过点，点，则，解方程求出、的值，即可得到一次函数的解析式； （2）由题意可知，得到，已知，，代入数值计算即可求得的面积． 【详解】（1）∵正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴， 又∵一次函数的图像经过点，点， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为： （2）由（1）可知：一次函数解析式为：， ∵一次函数图像与轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴的面积为 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，熟练掌握对应的解题方法是正确解题的关键． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，过点的直线：与直线：相交于点． (1)m的值为_______； (2)求直线的函数表达式； (3)求的面积． 【答案】(1)2 (2) (3)3 【分析】（1）由直线：过点，代入即可求解； （2）由直线：过点，点，用待定系数法求解析式即可； （3）由直线：可求出点，利用三角形面积即可求解． 【详解】（1）解：直线：过点， ， ． （2）解：直线：过点，点， ，解得， ． （3）解：当时，， ，， ． 【点睛】本题考查了一次函数用待定系数法求解析式，一次函数与几何的综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【题型31已知图形的面积求一次函数的解析式】 高妙技法 先抓一次函数解析式核心（待定系数法），再把面积条件转化为坐标 / 线段长度，联立求解，全程围绕 “坐标→线段→面积” 的转化关系解题，步骤固定，易掌握。 【典例1】如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求和的值； (2)已知点在轴上，且的面积为4，求直线的解析式． 【答案】(1)的值为4，b的值为5； (2)或． 【分析】本题主要考查了一次函数与三角形综合，熟练掌握一次函数的图象和性质、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式是解决问题的关键． （1）先根据点在直线上，求出，得到，再根据在直线上求出b的值； （2）根据的面积为4，和点可求得，根据点B的坐标可求得或，再根据两种情况采用待定系数法求出解析式即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ， 把代入得：， 解得， 的值为4，b的值为5； （2）的面积为4， ，即， ， 在中，令得， ， 或， 设直线的解析式为， 当时，得， 解得：，， 直线的解析式为； 当时，得， 解得：，， 直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与x轴，y轴交于A、C两点，直线（b是常数）与x轴交于点B且经过点C． (1)______，______． (2)在直线上是否存在点P，使得？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；9 (2)存在；点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点算法，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式，熟练掌握一次函数与坐标轴交点算法、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积公式是解题的关键． （1）先计算直线与x轴、y轴交点A、C的坐标，再根据直线经过C计算出b，从而得直线表达式，再计算直线与x轴交点B的坐标，最后根据A、B的坐标计算出； （2）由，结合计算出点P的纵坐标，再根据直线的表达式计算出点P的横坐标，进而得出点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， 点C的坐标为， 将代入，得， ， 将代入，得， 点B的坐标为， 将代入，得， 点A的坐标为， ， 故答案为：；9． （2）解：存在； ， ， 解得， 点P在直线上， 当时，；当时，， 点P的坐标为或． 【变式2】如图，直线与轴交于点、与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的表达式． (2)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先计算，后代入解析式，求直线的解析式即可； （2）根据，得到，根据解析式，设，得到点M到y轴的距离为，继而得到，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，根据面积求点的坐标，熟练掌握待定系数法，图象过点的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：直线与轴交于点、与轴交于点，与直线交于点． 故， 故， 把代入解析式， 得， 解得， 故直线的解析式为； （2）解：根据直线得，，， 故，点C到y轴的距离为， ∴， ∴， 根据解析式，设， ∴点M到y轴的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时， 故点； 当时， 故点； 综上所述，存在这样的点M使得，且或． 【题型32一次函数的综合运用】 高妙技法 1. 求解析式：用待定系数法，代入已知点； 2. 算面积：找底和高（如△ABC 中，BC 为底，A 的横坐标为高）； 3. 求最值：将 y1-y2 表为一次函数，按范围找最值。 【典例1】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P．    (1)求点P的坐标； (2)一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入，求得，即可求解； （2）先求出直线与坐标轴的交点坐标：，，从而求得，，不规则设直线直线与直线相交于，根据 ，则，解得：， 把代入，得，则有，解之即可求得k值． （3）先根据平移性质求得直线l解析式为，过点A作于E，根据等腰三角形的性质求得，则点A的纵坐标为2，把代入，得，解得：，即可得出点A坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴直线经过定点． （2）解：令，则， ∴， ∴， 令，则，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线与直线相交于，如图， ∵直线将的面积平分， ∴ ∴， 解得：， 把代入，得， ∴， 解得：． （3）解：由（2）知：， 直线向上平移2个单位后得到直线l， 则直线l解析式为， 如图，过点A作于E， ∵，， ∴ ∴点A的纵坐标为2， 把代入，得， 解得：， ∴点A的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两直线交点，坐标与图形，直线与坐标围砀三角形面积，一次函数图象平移，等腰三角形的性质．熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数与正比例函数的解析式； (2)请直接写出当时，的取值范围； (3)是第二象限内一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1)正比例函数，一次函数 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数，全等三角形的判定与性质； （1），代入可求一次函数关系式，代入可求正比例函数关系式； （2）根据函数图象，写出在上方时，的取值范围； （3）分两种情况：①点在第二象限，，；②点在第二象限，，，利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：，代入得： ，解得， 一次函数关系式为， 代入得： ，解得， 正比例函数关系式为； （2）根据函数图象可得，当时，； （3）解：对于一次函数， 当时，，即，， ， ， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在第二象限，，时， 过点作轴于点， 则， ， ， ， ， 在和中，， ∴， ，， ， ； ②如图，当点在第二象限，，时， 过点作轴于点， 则， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴，， ， ， 综上，点的坐标为或． 【变式2】（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知一次函数的图像经过点，与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且． (1)求m的值； (2)点D在x轴上，且的面积是3，求点D的坐标． (3)在（2）的条件下，且点D在x轴正半轴上，设点E为x轴上一动点，当时，求点E的坐标． 【答案】(1)4 (2)点D的坐标为或 (3)或 【分析】（1）由函数解析式得C的坐标为，由得，则B的坐标为，即可求得直线的解析式，再令求出y的值即可得m的值； （2）设点D的坐标为，由，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）分以下两种情况：①当E在D左侧时，由得，利用待定系数法分别求出直线和直线的解析式，即可得解；②当E在D右侧时，设与相交于点F，设，由得，利用待定系数法分别求出直线和直线的解析式，并用含n的代数式表示出点F，再由，根据勾股定理得出关于n的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴、y轴分别相交于B、C两点， ∴C的坐标为， ∵， ∴， ∴B的坐标为， 代入解析式中：， 解得， ∴一次函数解析式为：， ∵一次函数的图像经过点， ∴； （2）解：∵， ∴点， 设点D的坐标为， ∴ ∵，， ∴ ， 整理得 解得或， ∴点D的坐标为或； （3）解：分以下两种情况： ①当E在D左侧时， ∵， ∴， ∵点，点D的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵C的坐标为， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴点E的坐标为； ②当E在D右侧时，设与相交于点F，设， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，代入C、E坐标得：， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵点F同时在直线、上， ∴， 解得， ∴F的坐标为：， ∴， ∴， 解得：或（舍去）． 点E的坐标为． 综上所述，点E的坐标为：或． 【点睛】本体是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线相交或平行问题，勾股定理，平行线的判定等，解题的关键是熟练掌握相关知识及分类讨论思想在解题过程中的运用． 一、选择题 1．下列各图中，变量y是变量x的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的意义，函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．根据函数的意义即可求出答案． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有A正确． 故选：A． 2．已知函数（为常数，且）是正比例函数，则当时，的值为（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求函数值等知识．根据正比例函数的定义，得到，求出，得到函数为，把代入函数即可求解． 【详解】解：∵ 函数 是正比例函数， ∴， ∴ ∴函数为， ∴当时，． 故选：C 3．已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，只需将各点的坐标代入函数解析式，进行验证是否满足方程，即可作答． 【详解】解：A、当时，，与点的纵坐标一致，故在图象上； B、当时，，故点不在图象上； C、当时，，故点不在图象上； D、当时，，故点不在图象上； 故选：A． 4．在平面直角坐标系中，点，均在直线上，若 ，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键 根据题意可知，随的增大而增大，因此，直线经过第一、第三象限，当时，当时，逐项判断即可 【详解】解：根据题意得，点，均在直线上，且， ， 则随的增大而增大， 因此，直线经过第一、第三象限，且对于有，对于有, 选项A、将点，代入得，与矛盾，则不可能在直线上； 选项B、将点，代入得，解得，则不可能在直线上； 选项C、将点，代入得，解得，则可能在直线上； 选项D、将点，代入得，则不可能在直线上； 故选：C． 5．已知与成正比，当时，，那么当时，的值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键，根据与成正比，设，利用已知条件求，再代入求解． 【详解】解：∵与成正比， ∴ 设， 当时，， ∴ 解得：， ∴， ∴当时，即， 解得：． 故选：D． 6．（22-23八年级下·新疆·月考）一次函数的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，y随x的增大而增大时，，由常数项，可得它的图象经过第一、二、三象限，由此可解． 【详解】解：一次函数的函数值y随x的增大而增大， ， 函数图象与轴的交点坐标为， 图象经过第一、二、三象限， 它的图象不经过的象限是第四象限， 故选：D． 7．（25-26八年级上·全国·期末）直线l与x轴相交于点，且与直线平行，则直线l的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．设直线l的函数表达式为，由平行得，再将点代入求解即可． 【详解】解：设直线l的函数表达式为， ∵直线l与平行， ∴， 又∵直线l过点， ∴， 解得， ∴直线l的函数表达式为． 故选：A． 8．小张和小王去爬山，小王先出发一段时间后小张再出发，途中小张追上了小王并最终先爬到山顶，两人所爬的高度（米）与小张出发后的时间（分）的函数关系如图所示，下列结论： ①山的高度是米； ②表示的是小王爬山的情况，表示的是小张爬山的情况； ③小张爬山的速度是小王爬山的速度的2倍； ④小王比小张先出发分钟． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确识图．根据函数图象逐项判断即可． 【详解】解：由图象可得：山的高度是米，故①正确； 表示的是小张爬山的情况，表示的是小王爬山的情况，故②错误； 小张爬山的速度是（米分），小王爬山的速度是（米分）， 小张爬山的速度是小王的2倍，故③正确； 由图象可得，小王比小张先走米，所需时间是（分钟）， 小王比小张先出发分钟．故④正确． 正确的有①③④三个， 故选：C． 二、填空题 9．（25-26九年级上·上海浦东新·月考）如果，那么 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了求函数值，将代入函数表达式计算求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：11． 10．（24-25八年级上·陕西西安·月考）若关于的方程的解为，则直线一定经过点 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据方程可知当，，从而可判断直线经过点． 【详解】解：由方程可知：当时，， 故将代入直线，得， ∴直线的图象一定经过点． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海·月考）如图，二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一次函数的关系，理解两个一次函数的交点坐标就是二元一次方程组的解是解题的关键．两个一次函数的交点坐标就是二元一次方程组的解，从而可得答案． 【详解】解：∵与图象交点为， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·上海宝山·月考）一个游泳池在排水口匀速放水．假设池中剩余水量V（立方米）与放水时间t（分钟）是一次函数关系．已知放水10分钟时，剩余水量为240立方米；放水20分钟时，剩余水量为180立方米．那么游泳池的初始水量是 立方米． 【答案】300 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．用待定系数法求出存水量V与放水时间t之间的一次函数关系式，然后再把代入函数关系式，求出V的值，即可得出答案． 【详解】解：设剩余水量V与放水时间t之间的一次函数关系式为：，把点，代入函数关系式得： ， 解得：， ∴一次函数关系式为， 把代入得：， ∴游泳池的初始水量是300立方米． 故答案为：300． 13．如图，一次函数与正比例函数相交于点，与轴交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数，由可得，当时，，求出，联立，解得，即，然后通过即可求解，解题的关键掌握一次函数与正比例函数性质． 【详解】解：由可得，当时，， ∴， ∴， 联立， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．根据下列条件求函数表达式 (1)已知一次函数的图象经过点，，求这个一次函数的表达式． (2)已知一次函数的图象过点，并且是由一次函数的图象平移得到的，求该一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的表达式求解，涉及到待定系数法求一次函数表达式以及一次函数平移的性质． （1）利用待定系数法，设一次函数为，将点坐标代入一次函数解析式列出方程组求解即可； （2）由平移性质得斜率相同，则该一次函数表达式为，再代入点坐标求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设一次函数为， 一次函数的图象经过点，， ， 解得， 这个一次函数的表达式为； （2）一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的， ，则该一次函数表达式为， 函数图象过点， ， 解得， 该一次函数的表达式为． 14．一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数最大值与最小值的差为4，求此一次函数的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为7 (2)一次函数解析式为或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，即可求解； （2）分和两种情况，根据一次函数的增减性求出最大值与最小值，根据函数最大值与最小值的差为4列出方程，求解得到k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①∵点在一次函数的图象上 ∴， 解得； ②当时，该一次函数为， ∴， ∴P随x的增大而减小， ∵ ∴当时，P的值最大，为． （2）解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， ∵ ∴当时，y取得最小值，为 当时，y取得最大值，为， ∵函数最大值与最小值的差为4， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， ∵ ∴当时，y取得最大值，为 当时，y取得最小值，为， ∵函数最大值与最小值的差为4， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 15．（24-25七年级上·上海·月考）甲乙两种机器人根据电脑程序工作时各自工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像如图所示，线段表示甲机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像；线段表示乙机器人的工作量（吨）关于工作时间（小时）的函数图像．根据图像信息回答下列问题． (1)甲种机器人比乙种机器人早开始工作___________小时； (2)甲种机器人每小时工作量是___________吨； (3)直线的表达式为___________； (4)如果乙种机器人工作了5小时，那么它完成的工作量是___________吨． 【答案】(1)3 (2)5 (3) (4)50 【分析】（1）根据，判定甲种机器人比乙种机器人早开始工作3小时； （2）甲种机器人每小时工作量是吨/小时； （3）设直线的表达式为，把代入解析式解答即可； （4）根据题意，得，解得，于是得到工作量相等时位置，设直线的解析式，把和分别代入解析式，得，解答即可． 本题考查了一次函数的应用，准确识别函数图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据，得甲种机器人比乙种机器人早开始工作3小时， 故答案为：3． （2）解：甲种机器人每小时工作量是吨， 故答案为：5． （3）解：设直线的表达式为，把代入解析式，得 ， 解得， 故， 故答案为：． （4）解：根据题意，得， 解得，于是得到工作量相等时位置， 设直线的解析式， 把和分别代入解析式，得， 解得， 故直线的解析式， 当时，， 解得， 故乙机器人的工作效率为（吨/小时）． 故5小时的工作量为（吨）， 故答案为：50． 16．（24-25八年级下·上海松江·期末）小明家附近有、两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数和，收费（元）与骑行时间（分钟）的关系如图所示．已知小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为． (1)当时，求品牌收费方式与骑行时间的函数解析式． (2)小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？ (3)当骑行时间为多少时，两种品牌的收费相差2元？ 【答案】(1) (2)B品牌 (3)10或30 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出的函数解析式，然后把代入、，求出、，最后比较即可求解； （3）分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， （2）解：设， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入 ，得，， ∵， ∴小明选择B品牌的共享单车更省钱； （3）解：当时， 根据题意，得， 解得， 当时， 根据题意，得， 解得（舍去）， 当时， 根据题意，得， 解得， 综上，当骑行时间为10或30时，两种品牌的收费相差2元 17．（24-25八年级下·上海·期中）“双十一”甲、乙两家商店为招揽顾客推出优惠活动；甲商店所购商品全按原价打八折；乙商店所购商品接原价每满200元减50元．设顾客在甲、乙两家商店购买商品原价都为元， (1)请直接写出当时，顾客在乙商店实际付款金额元与原价元之间函数关系式为_____． (2)若顾客购买原价在350元以下的商品时，如果分别选择甲、乙两家商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求的值． (3)若顾客购买原价在600元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，或当时，选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算 【分析】本题主要考查不等式，函数关系的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）根据乙家优惠活动计算即可； （2）根据题意，分别得到甲家付款金额，乙家付款金额，由此列式求解即可； （3）根据两家的优惠方法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：乙商店所购商品接原价每满200元减50元，购买商品原价为元，， ∴； （2）解：顾客购买原价在350元以下的商品， ∴在甲家付款金额为元，在乙家付款金额为元， ∴， 解得，， ∴顾客购买原价为元； （3）解：顾客购买原价在600元以下的商品， ∴在甲家付款金额为元， 当时，在乙家付款金额为元， 当时，在乙家付款金额为元， 当时，在乙家付款金额为元， ①∵，即在乙家付款大于甲家付款， ∴，不符合题意； ②当时，， 解得，， ∴； ③当时，， 解得，， ∴； 综上所述，当时，或当时，选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算． 18． 如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点， B，直线 分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且 ，直线与直线交于点． (1)求直线与 的函数表达式． (2)求的面积． (3)根据图像写出关于x的不等式 的解集． (4)在直线 上是否存在一点 P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线函数表达式为；直线函数表达式为； (2) (3) (4)点坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，分类讨论是解题的关键． （1）由点和点坐标可求出直线函数表达式，再求出点坐标，根据点和点坐标可求出直线函数表达式； （2）分别求出点和点坐标，进而根据面积公式求解即可； （3）根据图象即可解答； （4）分类讨论，点在点上方和下方，然后表示出的面积，再根据面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得：， ∴直线函数表达式为； 由题可知， ， 将代入得，， 解得：， ∴直线函数表达式为； （2）解：令，得， ∴， 令，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， ∴关于x的不等式 的解集是． （4）解：当点在点上方时，如图， 此时， ， 解得：（负值已舍去）， 此时， ； 当点在点下方时，如图， 此时， ， 解得：（正值舍去）， 此时， ； 综上，满足题意的点坐标为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $