专题04 直角三角形（8重点+20题型+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

专题04 直角三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：直角三角形的性质 ◆1、性质定理：直角三角形的两个锐角互余. ◆2、判定定理：两个锐角互余的三角形是直角三角形. ◆3、定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点， ∴ OB=AO=CO=AC. 知识点二 ：直角三角形的全等 ★利用“HL”判定两个三角形全等 1、文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2、几何语言： ∵∠C=∠C′=90° 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). 【注意】 “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 3、判定两个直角三角形全等的方法： 判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”这五种方法来判定两个直角三角形全等. 知识点三 ：角平分线的性质 一、作已知角的平分线 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. 【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”. 二、角的平分线的性质 ◆1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ◆2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). ◆3、定理的作用：证明线段相等. ◆4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. 3、 角的平分线的判定 知识点四：角平分线的判定 ◆1、判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ◆2、应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. ◆3、定理的作用：判断点是否在角的平分线上. ◆4、角平分线的判定的几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. ★拓展三角形的三条角平分线交于三角形内一点，这个交点叫作三角形的内心,并且这点到三边的距离相等，反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点. 知识点五 ：勾股定理 一、直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，斜边大于直角边； 定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 二、勾股定理 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. ◆1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形； ◆2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边. ◆3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、 b2 = c2 - a2；、、. 【注意】 1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. ◆4、勾股定理的证明： ●通过拼图证明勾股定理的思路： （1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变. （2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式. （3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. 知识点六：勾股定理的逆定理 ●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理. ◆1、用勾股定理判定直角三角形的步骤： ①先确定最长边，算出最长边的平方； ②计算另两边的平方和； ③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形. ◆2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区 别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联 系 两者都与三角形的三边有关系. 知识点七：勾股数 ●勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． ◆1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ◆2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ◆3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… ◆4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤： ①确定是否为三个正整数 a，b，c; ②确定最大数c； ③计算较小两数的平方和是否等于c2; ④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数. 知识点八：勾股定理的实际应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. ◆勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 【题型1 直角三角形两个锐角互余的性质】 高妙技法 直角三角形的性质：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.如果其中有一个锐角是45°，那么另外一个锐角也是45°，这个三角形就是等腰直角三角形. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）在中，，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据直角三角形两个锐角互余得到，结合已知条件，不难求得的度数． 【详解】解：在中，，因此， 又， 将两式相加，得：， 即， 所以， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，中，为中点，，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，从而求出，利用三角形的内角和定理求出的度数，然后相减求解即可． 【详解】解：，为中点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·福建厦门·月考）如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知，求的度数． 【答案】21° 【分析】利用三角形内角和定理可求出，结合角平分线的定义可得出，利用三角形外角性质可求出，再利用直角三角形角性质可求出． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵于E， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义有关计算，对顶角性质，直角三角形两锐角性质，是解题的关键． 【题型2 锐角互余的三角形是直角三角形】 高妙技法 方法一：有一个角为90°的三角形是直角三角形. 方法二：两个锐角互余的三角形是直角三角形. 方法三：两边互相垂直. 【典例1】在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和的应用和直角三角形的判断．根据三角形内角和为，逐一分析各条件是否能推导出三角形中存在一个直角． 【详解】解：①： 由内角和得，解得，故为直角三角形． ②： 总份数为，最大角，故为直角三角形． ③： 变形得，则，故为直角三角形． ④： 设，则．由，解得，故为直角三角形． 综上，四个条件均成立， 故选：D． 【变式1】如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 【题型3 斜边的中线等于斜边的一半】 高妙技法 在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边的中线，从而利用直角三角形斜边中线的性质解决问题. 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点A、B所对应的数字分别为1和9，D为上一点，它对应的数字为5，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查斜边上的中线，根据点在数轴上的位置，得到点为的中点，再根据斜边上的中线，求出的长即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴点为的中点， ∴； 故答案为：4． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，、，点是的中点，，垂足为，交于，、相交于点，则 ． 【答案】60 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线性质、垂直平分线性质及三角形外角定理，解题关键是利用这些性质逐步推导角的度数． 先利用直角三角形斜边中线性质得，推出；再由垂直平分线性质得，推出；接着用三角形外角定理求，最后再次用外角定理得． 【详解】解：在中，，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，是外角， ∴ 在中，是外角， ． 故答案为：60． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知：如图，在中，，点E是边的中点，在图中作点D，使得，且，分别连接，过点A作，垂足为点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键： （1）根据斜边上的中线，得到，等边对等角得到，平行线的性质，得到，进而得到，即可得证； （2）根据等边对等角，得到，等角的余角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵，点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由（1）知：平分， ∴． 【题型4 用HL证全等】 高妙技法 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 【典例1】如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且. 求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，中点定义，垂线定义，由垂直定义可得，又是的中点，所以，然后通过“”证明全等即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知：如图，，垂足分别为点B、E，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，根据等角对等边，得到，利用证明，即可得证． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，，垂足分别为E，F，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）证明即可得到结论； （2）根据得到，由平行线的性质即可得到． 【详解】（1）证明：，， ∴，即都是直角三角形， ∵，， ∴， ∴ （2）证明∵， ∴， ∴． 【题型5 全等的性质与HL的综合】 高妙技法 三角形的全等判定与性质的综合应用主要是用来探究线段、角之间的数量，因此可利用全等三角形的性质解决问题． 【典例1】（25-26八年级上·全国·期中） 如图，在中，于点D，E是上的一点，且． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据条件证明即可得出结论； （2）根据（1）中的结论得出相等的角，然后利用直角三角形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长交于点， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，为的平分线，且于D，于F，连接交AE于点O． (1)若，，求的度数； (2)试判断与的关系？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)垂直平分．理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用角平分线的性质和全等三角形的判定证明线段相等． （1）先由三角形内角和求出，再根据角平分线性质得，结合，在中利用内角和求出． （2）先根据角平分线性质得，证明，得，再结合平分，根据等腰三角形三线合一性质，得出结论 【详解】（1）解：∵，， ∴中． ∵为的平分线， ∴平分． ∴， ∵于D， ∴， ∴在中 ∴， （2）垂直平分．理由如下： ∵为的平分线， ∴平分．． 又∵于D，于F， ∴． ∴， ∴在与中 ∴． ∴． 又∵AE平分∠BAC．． ∴根据等腰三角形三线合一的性质得 垂直平分． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）在中，点是边的中点，点、分别在边、上，且，连接． (1)如图1，是等腰直角三角形，，，求证：； (2)如图2，，是等边三角形，，求证：； 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质；解题的关键是通过构造辅助线实现线段或角的转化，从而构造全等三角形；易错点在于辅助线的合理添加以及图形变换后对应关系的准确识别． （1）在等腰直角三角形中，利用中点构造全等三角形，将分散的线段或角集中到同一个三角形中，结合垂直条件推导角度关系； （2）在等边三角形中，利用三线合一以及角平分线上的点到两边距离相等，构造全等三角形，通过证明三角形全等得到对应边相等． 【详解】（1）证明：连接， ∵，，点是边的中点 ∴， 又∵在四边形中， ， ∴ 又∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ （2） 连接，过点作于，过点作于 ∵点是边的中点，是等边三角形， ∴平分 ∴ 又∵在等腰中， ∴在和中 ∴ 同理可证 ∴ ∴ ∴ 【题型6 尺规作图作角平线】 高妙技法 用尺规作已知角的平分线的步骤： （1）以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于两点； （2）分别以这两点为圆心，以大于这两点间的距离的一半长为半径画弧，两弧交于角内一点； （3）过角的顶点和这个交点作射线，即得已知角的平分线. 【典例1】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据SSS证明三角形全等． 【详解】解：连接，， 由作图得：，，， ≌， ． 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）作图题：如图，已知及定点、，在的内部求作点，使点到直线、的距离相等，且． 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和垂直平分线的作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图分解成基本作图； 作出的平分线；连接，作出的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点即为所求的点P； 【详解】解：如图，点P即为所求． 【变式2】（25-26八年级上·上海普陀·月考）尺规作图：如图，已知的两边上有两点、，连接，找出点使它到点、距离相等的同时，到的两边所在的直线距离也相等． 【答案】见详解 【分析】本题考查了尺规作图，作线段的垂直平分线，作角的平分线，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，正确的尺规作图是解题的关键．作线段的垂直平分线，作的平分线，交于点E，点E就是所求的点． 【详解】解：如图，点E就是所求的点． 【题型7 角平分线的性质定理】 高妙技法 利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法.解决三角形面积的问题时往往要向三角形的边作垂线段，然后利用角平分线的性质来解决. 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．连接，过点O作于点E，作于点F，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：连接，过点O作于点E，作于点F，如图所示： 由，分别平分，，于点，， 故， 故， ， 解得， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）如图，是的角平分线，于点，，则边的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质；作于点，由平分交于点，于点，得，根据，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点， 是的角平分线， 平分交于点， 于点，于点， ， ∵，， 解得： 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定与性质是解题的关键，根据题意易证得，，即可得到，进而可推算出的长． 【详解】解：∵，平分，， ∴， 在与中 ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 【题型8 角平分线的判定定理】 高妙技法 角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 【典例1】如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 【变式1】（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，点是边上一点，且，点在上，且点到、的距离相等，连接交于点F． (1)试判断的形状； (2)请证明你的结论． 【答案】(1)是等腰三角形 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的判定得到，根据三角形的内角和定理推出，进而得到，因此，即可解答． （2）由（1）即可证明． 【详解】（1）解：是等腰三角形． ∵点到、的距离相等， ∴， ∵， ， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形． （2）证明：∵点到、的距离相等， ∴， ∵， ， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 【变式2】（23-24八年级上·上海·期末）已知：如图，点是的边上的一点，过点作，，、为垂足，再过点作，交于点，且． (1)求证：； (2)当点是边的中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，先根据，且可知，再根据 ，即可得出，进而可得出，由等角对等边可知； （2）先根据（1）中可知，由全等三角形的判定定理可得出，再根据全等三角形的性质可得出，，同理证明，得出，推出，由等腰三角形三线合一即可得出． 【详解】（1）证明：连接． ，且， ， 又 ， ， ， ； （2）证明：由（1）可知，， 在与中， ，，， ， ，， 在与中， ，，， ， ， ， 又为的中点， 垂直平分． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定及性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 【题型9 用勾股定理求线段长】 高妙技法 利用勾股定理求直角三角形的边长的步骤：一分，即分清哪条边是斜边，哪条边是直角边；二代，即将已知边长代入a2 + b2 = c2（c为斜边）；三化简求值，若已知的两边可能都是直角边，也可能是直角边与斜边，则应利用分类讨论思想分两种情况讨论. 【典例1】 已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，掌握定理内容并分类讨论是关键；根据4为直角边与斜边两种情况，利用勾股定理即可完成． 【详解】解：当3和4是直角边时， 在直角三角形中，第三边长为； 当3是直角边，4是斜边时， 在直角三角形中，第三边长为； 故选：D． 【变式1】如图，在中，于点，且，，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，解方程等知识，掌握勾股定理内容是解题的关键；在中，由得，利用勾股定理建立方程求得，再在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵由， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：10． 【变式2】如图，在中，， ，是平分线，过点D作于点E，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形面积等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 由，是平分线，是边上的高与中线，得，再根据，联立方程求解即可. 【详解】解：∵，是平分线， ∴是边上的高与中线， ∴，， ∴ ， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型10 利用图形面积之间的关系求图形的面积】 高妙技法 与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上的图形之和等于斜边上的图形的面积. 【典例1】1如图，已知是直角三角形，分别以它的三条边为边向外作正方形，面积分别记为．若，，则的值为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积． 由正方形的面积公式可知，，，在中，由勾股定理得，即，由此可求． 【详解】解：在中，， 由正方形面积公式得，，， ，， ． 故选：C． 【变式1】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与正方形面积公式的综合应用，解题的关键是利用勾股定理建立三个正方形面积的关系，结合已知条件求出相关正方形面积，再根据阴影部分与该正方形的面积关系得出答案． 先由勾股定理得出直角三角形三边平方的关系，即对应正方形面积的关系；将该关系代入已知等式求出目标正方形的面积；最后根据阴影部分面积是目标正方形面积的一半，计算出阴影面积． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 由勾股定理得． ∵ 正方形面积等于边长的平方，且，，， ∴ ． 又∵ ， ∴ 将代入得：． 化简得，解得． ∵ 阴影部分面积等于面积的一半， ∴ 阴影部分面积． 故选：C． 【变式2】有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A． B．2025 C． D．2026 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， ∴“生长”了 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2 ， 同理可得，“生长”了 2 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 3 ， ∴“生长”了 3 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 4 ， ， ∴“生长”了 2025 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2026 ． 故选：D． 【题型11 利用勾股定理解决折叠问题】 高妙技法 利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤:(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角:(2)在图形中找到一个直角三角形然后设图形中某一线段的长为x将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来:(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题. 【典例1】如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点，， ， 在中，， 解得． 即． 故选：C． 【变式1如图所示，在长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则AE的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，在中，，，将边沿翻折，使点C落在延长线上的点D处，折痕与边交于点E，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，根据勾股定理构造方程是解题的关键． 设，则，由折叠可得，，，根据勾股定理在中有，在中有，因此，代入求解得到，从而，，再由线段的和差即可解答． 【详解】解：设，则， 由折叠可得，，， ∵， ∴， ∵在中，， 在中，， ∴， 即，解得， ∴，， ∴． 故选：C 【题型12 勾股定理与网格问题】 高妙技法 正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1，然后应用勾股定理来进行计算. 【典例1】如图是由边长都是1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中，，是网 格中的三个格点，点为线段的中点，连接，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，由网格线的特征得是直角三角形，且，利用勾股定理求出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由网格线的特征得是直角三角形，且， ∵， ∴， ∵点为线段的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故选：C． 【变式2】如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用勾股定理，勾股定理的逆定理逐项判断即刻． 【详解】A、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； B、由勾股定理可求，，，则，由勾股定理逆定理可得，故本选项不符合题意； C、在中，由勾股定理，，故本选项不符合题意； D、在中，由勾股定理，，故本选项符合题意． 故选：． 【题型13 勾股定理的证明】 高妙技法 勾股定理的证明主要是通过拼图，利用面积的关系完成的，拼图常用补拼法和叠合法两种方法，补拼时要无重叠，叠合时要无空隙；而用面积关系验证勾股定理时的关键是要找到一些特殊图形（如直角三角形，正方形等）的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的. 【典例1】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，熟悉勾股定理的证明方法及应用是解题的关键； （1）先计算出梯形的面积，另一方面此梯形还可表示为两条直角边分别为a、b的两个直角三角形的面积与一个等腰直角三角形面积的和，由此即可得出勾股定理； （2）分别在与中，由勾股定理得; ，由此得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）解：在中，; 在中，， 所以， 解得， ∴， ∴． 【变式1】（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为． (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________； ②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________； ③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理； (2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【答案】(1)①，；②，；③； (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，熟练掌握通过图形面积关系验证勾股定理的方法是解题的关键． （1）①通过观察图②，确定大、小正方形的边长；②分别从整体和部分的角度表示大正方形的面积；③根据面积相等得出等式，进而验证勾股定理． （2）计算图③中图形的面积，从不同角度表示后，根据面积相等验证勾股定理． 【详解】（1）解：①大正方形的边长为，小正方形的边长为． ②大正方形的面积可以表示为，也可以表示为． ③由面积相等可得， 展开得， 整理得． （2）解：梯形的面积为，又梯形的面积为， ∴， ∴， 两边同乘得， 整理得，验证了勾股定理． 【变式2】（25-26七年级上·上海徐汇·期中）【阅读材料】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在如图④的网格中，并标出字母所表示的线段． (4)问题解决：如图⑤，直线为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点到引水点的距离为12米，渠岸上点到引水点的距离为5米，且．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并直接写出最短距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)见解析，米 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； （3）画出边长为和的矩形即可； （4）过点A作于点D，根据三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）解：在中，； 在中，； 所以， 解得； （3）解：如图，    由此可得； （4）解：如图，过点A作于点D，的长即为所求．    ∵， ∴根据图①中得到的a，b，c之间的数量关系，得， ∵米，米， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴最短距离为米． 【题型14 以弦图为背景的计算题】 高妙技法 以弦图为背景的计算题主要是利用勾股定理进行计算，有时需要用到面积法. 【典例1】如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为，根据勾股定理可得该直角三角形的斜边长为，然后可得小正方形的边长为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的斜边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴它们的面积比为； 故选D． 【变式1】如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得，进而可得，根据题意即可得出这个风车的外围周长． 【详解】解：如图， 由题意可知，． ， ． ∴这个风车的外围周长是． 故选：B． 【变式2】如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 【详解】解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：B． 【题型15 利用三边关系判定直角三角形】 高妙技法 判断一个三角形时否是直角三角形有两种方法： （1）定义法，利用定义即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断； （2）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系（即a2+b2＝c2）来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方. 【典例1】将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（    ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．4，5，7 D．6，7，10 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握两短边的平方和等于最长边的平方，三条线段能够组成直角三角形，是解题的关键．根据勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：A．，不能组成直角三角形，不符合题意； B．，能组成直角三角形，符合题意； C．，不能组成直角三角形，不符合题意； D．，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式1】以下列各组数为三角形的三边长，不能组成直角三角形的一组是（    ） A．3，4，5 B．，，1 C．5，12，13 D．7，8，9 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是验证每组数中两较短边长的平方和是否等于最长边长的平方． 判断每组数能否组成直角三角形时，先确定每组中的最长边，再分别计算两较短边的平方和与最长边的平方，若两者相等则能组成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：A、本组数中最长边为5，计算两较短边平方和：，最长边平方：，两者相等，能组成直角三角形，此选项不符合题意； B、本组数中最长边为1，计算两较短边平方和：，最长边平方：，两者相等，能组成直角三角形，此选项不符合题意； C、本组数中最长边为13，计算两较短边平方和：，最长边平方：，两者相等，能组成直角三角形，此选项不符合题意； D、本组数中最长边为9，计算两较短边平方和：，最长边平方：，，不能组成直角三角形，此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（   ） A．有一边的中线等于这边的一半 B．三个内角之比为 C．三边之比为 D．三边之比为 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及等边对等角、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据直角三角形的判定，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、如图，中，是中线且， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； B、由题意得，最大的内角度数为， 则三个内角之比为的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C、由题意，设三边长分别为， ∵， ∴三边之比为，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、设三边长分别为， ∵， ∴三边之比为，不可以组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【题型16 利用三边关系判定直角三角形】 高妙技法 不规则图形的面积不能直接求得，往往通过割补转化法将不规则图形的面积割补为规则图形的面积的和与差，本题中通过连线构造出直角三角形，将不规则图形面积转化为两个直角三角形的面积差，利用勾股定理求出各线段的长，从而计算三角形的面积. 【典例1】一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 【变式1】如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，再利用逆定理求出，即可通过面积公式求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，四边形中，，，，，，则四边形 的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 【题型17 勾股定理的逆定理的实际应用】 高妙技法 解答此类问题的关键是应从实际问题入手，将其转化为数学问题，利用勾股定理及其逆定理来解答即可结合. 【典例1】如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 【答案】A 【分析】本题考查方向角，勾股定理逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解∶如图，，， ∴，， ∴， ∴， ∵长的边线为南北向， ∴长的边线方向为东西方向， 故选∶A． 【变式1】如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西方向航行，乙船同时从港口O出发， 沿方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（   ） A．南偏西方向 B．西偏南方向 C．西偏南方向 D．西南方向 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角，连接，根据题意可得：（海里），（海里），（海里），，然后利用勾股定理逆定理得，从而得，再利用平角的定义计算，最后根据方向角的概念可得答案． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：（海里），（海里），（海里），， ∵，即， ∴， ∴， ∴乙船航行的方向是南偏西方向， 故选：A． 【变式2】如图所示，三个村庄A，B，C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价260万元/km，修这条公路的最低造价是多少？ 【分析】首先得出BC2+AB2＝122+52＝169，AC2＝132＝169，然后利用其逆定理得到∠ABC＝90°确定最短距离，然后利用面积相等求得BD的长，最终求得最低造价． 【详解】解：∵BC2+AB2＝122+52＝169， AC2＝132＝169， ∴BC2+AB2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， 当BD⊥AC时BD最短，造价最低． ∵S△ABCAB•BCAC•BD， ∴BD，即BD（km）． ∴260＝1200（万元）． 答：最低造价为1200万元． 【题型18 勾股数】 高妙技法 判断三个数是否为勾股数，关键是看这三个数是否为正整数且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方. 【典例1】下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查勾股数，熟记定义，注意三个数必须是正整数是解题的关键． 根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数解答即可． 【详解】解：A．，不能构成三角形，不符合题意； B．，但不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C．，不是勾股数，不符合题意； D．，是勾股数，符合题意． 故选：D． 【变式1】下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数，必须是正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得． 【详解】解：A、，是勾股数，此选项不符合题意； B、，是勾股数，此选项不符合题意； C、，是勾股数，此选项符合题意； D、不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 【答案】探究1（1）①6，8，10；②见解析；探究2（2）①，；②，，证明见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式． （1）①根据为正整数举例即可； ②通过计算验证给定公式满足勾股定理即可； （2）①根据奇数勾股数的规律，勾的平方减1除以2得股，加1除以2得弦即可； ②由①得出规律，并证明其满足勾股定理即可． 【详解】解： 探究1：（1）①∵3，4，5是一组勾股数， 又为正整数， ∴当时，，，，且， ∴6，8，10也是一组勾股数（答案不唯一） ②证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴a，b，c是一组勾股数 （2）①如果勾为7，则股，弦， 故答案为：；； ②当（，且n为奇数）时，，； 证明：∵，， ∴， ∴该规律合理． 故答案为：；． 【题型19 勾股定理的实际应用】 高妙技法 勾股定理的实际应用主要是通过直角三角形的边长关系来计算距离和角度。 【典例1】如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，即为消防车的高，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：C． 【变式1】[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（　　） A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．将题中条件转化为数学符号语言，可得四边形为长方形，推出，再设，在利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为14.5尺． 故选：D． 【变式2】消防员是城市的守护者．图1是消防员某次消防救援时的工作图，图2是其几何示意图，已知云梯长，云梯底部（点）距离地面，消防车从距离地面高的点处完成救援后，还要从距离地面高的点处进行救援，这时云梯底部需要向楼房靠近多少米？（点在同一水平线上，所有点在同一竖直平面内） 【答案】云梯底部需要向楼房靠近 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理以及梯长保持不变是解题的关键． 利用云梯的长度不变和勾股定理分别求出的长，再利用进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，则． 在中，， 由勾股定理可得． 在中，， 由勾股定理可得． 所以． 答：云梯底部需要向楼房靠近． 【变式3】在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，楼顶处刚好有一根绳子（）垂直落到地面，绳子（）比楼高（）多米．小明想了解楼的高度，于是他把绳子拉开米时（即米），绳子（）刚好举过头顶，小明的身高是米（即米），小明能够求出这栋居民楼的高度，请帮小明写出完整的过程． 【答案】居民楼的高度为米． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将实际问题转化为直角三角形的几何模型，利用勾股定理列方程计算是解题关键． 过点作，则，，设居民楼的实际高度为米，然后对、进行表示，再利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作．可知，． 设居民楼的实际高度为米，根据题意， 绳子的长度为米，米，米， 在中，根据勾股定理： ， 代入已知条件： ， 展开化简： ， ， ， 可得． 答：居民楼的高度为米． 【题型20 勾股定理及逆定理的综合应用】 高妙技法 勾股定理及逆定理的综合应用，首先根据勾股定理的逆定理证得三角形是直角三角形，然后再用勾股定理是解决问题． 【典例1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：延长到G使，连接证，推出，，求出，再根据勾股定理即可证明结论． 【详解】证明：如图：延长到G使，连接，， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数． 小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE＝CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 【分析】（1）如图1，首先证明BE2＝PE2+PB2，得到∠BPE＝90°；证明∠CPE＝45°即可解决问题． （2）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP＝60°；其次证明PQ2+CQ2＝PC2，得到∠PQC＝90°，求出∠AQC＝150°，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE＝90° PC＝EC＝2；BE＝PA＝3； 由勾股定理得：PE2＝22+22＝8； ∵PB2＝1，BE2＝9， ∴BE2＝PE2+PB2， ∴∠BPE＝90°， ∵∠CPE＝45°， ∴∠BPC＝135°． （2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ； 则AP＝AQ，∠PAQ＝60°，QC＝PB＝4； ∴△APQ为等边三角形，∠AQP＝60°，PQ＝PA＝3； ∵PQ2+CQ2＝32+42＝25，PC2＝52＝25， ∴PQ2+CQ2＝PC2， ∴∠PQC＝90°，∠AQC＝60°+90°＝150°， ∴∠APB＝∠AQC＝150°． 【变式2】【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）通过证明即可证明； （2）连接，根据条件证明可得，进而得到，由勾股定理即可证明； （3）延长到T，使，连接，延长交于点J，即可证明，利用全等三角形的性质可得，即可求得． 【详解】（1）证明：∵点是线段，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图，    ∵是等腰三角形，是底边上的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长到T，使，连接，延长交于点J，如图，    ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 1、 选择题 1．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，1， B．6，8，12 C．7，40，41 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据勾股数是三个正整数，且满足两较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、含，不是正整数，不符合定义，故该选项错误； B、，，，不符合定义，故该选项错误； C、，，，不符合定义，故该选项错误； D、，，相等且均为正整数，符合定义，故该选项正确； 故选：D． 2．如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C． 【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°， 则∠CED＝90°﹣40°＝50°， ∵l∥AB， ∴∠1＝∠CED＝50°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和与勾股定理，运用分类分析思想，关键是分别从角和边的角度判断，易错点是对勾股定理的逆定理或角度和为的判定条件理解不透彻；解题思路：分别从角的关系（内角和）和边的关系（勾股定理逆定理）对每个选项逐一分析，判断是否为直角三角形． 【详解】选项A：因为三角形内角和为， ， 所以 ， 则为直角三角形，不符合题意； 选项B：设, ,， 则， 解得， 则, , ， 所以不能判断为直角三角形，符合题意； 选项C：因为 即， 即， 所以为直角三角形，不符合题意； 选项D：因为， 即， 故为直角三角形，不符合题意； 故选B． 4．（25-26八年级上·上海·月考）如图，是的平分线，点是上的一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质与垂线段最短是解题的关键． 过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，进行判断即可． 【详解】解：如图，过点作， 则， ∴， ∵点为直线上的一个动点， ∴当时，最短， ∵是的平分线， ∴当时，， ∴线段的长不可能是2． 故选：A． 5．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（     ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据到角的两边距离相等的点在角平分线上，且某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，即可作答． 【详解】解：设便民服务站所在的位置是点， 点到、的距离相等， 点在的平分线上， 同理，点也在、的平分线上， 点是三个角的平分线的交点， 这个便民服务站应该修在三个角的平分线的交点， 故选：B． 6．（25-26八年级上·上海闵行·月考）下列说法错误的是（    ） A．在角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等 B．到角两边所在直线距离相等的点在这个角的平分线上 C．在中，，D是边的中点，则有 D．在中，若，则 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质、直角三角形的性质等，根据知识点逐一判断即可． 【详解】解：A、角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等，故A正确； B、到角两边所在直线距离相等的点可能不在角的内部，不一定在角平分线上，故B错误； C、在中，，D是中点，则是斜边中线，有，故C正确； D、在中，，则，故D正确． 故选：B． 7．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，数轴上的点表示的数为1，点、、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴M点所表示的数为：． 故选 C． 8．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，如果分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据特殊三角形中边和角之间的关系，判断三角形中角之间的关系． 【详解】解：在中，， ， ， ， ，， ，，故选项B正确； ∵是中斜边上的中线， ∴， ∴， ，故A选项正确； ∵，， ∴，故选项C正确； ∵不一定相等，， ∴不一定成立，故选项D错误． 故选：D． 2、 填空题 9．（25-26八年级上·上海浦东新·月考）如图，在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、，，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线性质、垂直平分线性质及等腰三角形性质，解题关键是利用这些性质将角度关系转化为方程求解． 利用直角三角形斜边中线性质得，故；结合题设，设，则；由垂直平分线性质得，故；在中，，列方程即可解答． 【详解】在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、， ∴D是斜边的中点， ∴，，， 设， ∵， ∴． 在 中，， ∴ 即， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知，，点在边上，，，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，求得是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，取的中点，连接，根据斜边上的中线等于斜边的一半，推导出，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：， ， ，． 如图，取的中点，连接， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·上海·月考）如图，在中，，平分，于点，如果的周长为，长为，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是由角平分线的性质得到边相等． 根据角平分线的性质以及，可得，再证明全等得到，再由三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵在中，，平分，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵的周长为，长为， ∴，即， 可得， ∵，， ∴，即， ∴的周长为． 故答案为：8． 12．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，，，，利用三角形面积公式表示出阴影面积即可得答案． 【详解】解：∵以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，，， ∵，，， ∴阴影部分的面积 ， ∵， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，根据实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系；在中可得，在中可得，则，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴ ∵将进行折叠，使顶点重合 ∴， 设，在中， ∴ 解得： 则 ∴在中， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，，，．则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和求三角形面积， 过点作于点，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，解得，则，再由勾股定理求出的长，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 15．（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，求作点P，使得点P到点的距离相等，且到两边的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线和垂直平分线的尺规作图，角平分线和垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．作的平分线，再作的垂直平分线，两线相交于，利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可判断点满足条件． 【详解】解：如图，点为所求作． 作的平分线，再作的垂直平分线，两线相交于，利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可判断点满足条件． 16．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据的判定方法进行证明即可； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质证得，根据余角的性质求解的度数即可． 【详解】（1）解：在和中， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ． 17．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）可根据“”判断； （2）由，，可判断为等腰直角三角形，则，可得到，再根据得到，然后根据进行计算． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴和是直角三角形． ∵，， ∴； （2）解：，， ， ， ， ∵， ， ． 18．如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 【答案】(1)④；⑤；② (2) 【分析】本题考查面积法验证勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图可知，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，利用图中大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，列出方程可求，再利用完全平方公式求出，则题目可解． 【详解】（1）解：如图所示，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）解：设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， 由题意可知中间小正方形的边长为， ∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， 所以． 由勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， 则一个直角三角形的周长． 19．据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 【答案】(1)受台风影响，理由见解析 (2)受台风影响的时间为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以受台风影响的时间为． 20．（25-26八年级上·上海闵行·月考）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________________________ 则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41；（2）（千米）； 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： 小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 【详解】解：小试牛刀：由图可知： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，    则：，， ， 在中，由勾股定理，得， （千米）， ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，则，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直角三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：直角三角形的性质 ◆1、性质定理：直角三角形的两个锐角互余. ◆2、判定定理：两个锐角互余的三角形是直角三角形. ◆3、定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点， ∴ OB=AO=CO=AC. 知识点二 ：直角三角形的全等 ★利用“HL”判定两个三角形全等 1、文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2、几何语言： ∵∠C=∠C′=90° 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). 【注意】 “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 3、判定两个直角三角形全等的方法： 判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”这五种方法来判定两个直角三角形全等. 知识点三 ：角平分线的性质 一、作已知角的平分线 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. 【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”. 二、角的平分线的性质 ◆1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ◆2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). ◆3、定理的作用：证明线段相等. ◆4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. 3、 角的平分线的判定 知识点四：角平分线的判定 ◆1、判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ◆2、应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. ◆3、定理的作用：判断点是否在角的平分线上. ◆4、角平分线的判定的几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. ★拓展三角形的三条角平分线交于三角形内一点，这个交点叫作三角形的内心,并且这点到三边的距离相等，反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点. 知识点五 ：勾股定理 一、直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，斜边大于直角边； 定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 二、勾股定理 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. ◆1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形； ◆2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边. ◆3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、 b2 = c2 - a2；、、. 【注意】 1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. ◆4、勾股定理的证明： ●通过拼图证明勾股定理的思路： （1）图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不会改变. （2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式. （3）利用等式性质变化验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. 知识点六：勾股定理的逆定理 ●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理. ◆1、用勾股定理判定直角三角形的步骤： ①先确定最长边，算出最长边的平方； ②计算另两边的平方和； ③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形. ◆2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区 别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联 系 两者都与三角形的三边有关系. 知识点七：勾股数 ●勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． ◆1、三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ◆2、一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ◆3、记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… ◆4、判断一组数是否为勾股数的一般步骤： ①确定是否为三个正整数 a，b，c; ②确定最大数c； ③计算较小两数的平方和是否等于c2; ④若相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数. 知识点八：勾股定理的实际应用 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决. ◆勾股定理应用的类型： （1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长； （2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系； （3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决. 【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形. 【题型1 直角三角形两个锐角互余的性质】 高妙技法 直角三角形的性质：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.如果其中有一个锐角是45°，那么另外一个锐角也是45°，这个三角形就是等腰直角三角形. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）在中，，，则的度数为 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，中，为中点，，则 度． 【变式2】（23-24八年级上·福建厦门·月考）如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知，求的度数． 【题型2 锐角互余的三角形是直角三角形】 高妙技法 方法一：有一个角为90°的三角形是直角三角形. 方法二：两个锐角互余的三角形是直角三角形. 方法三：两边互相垂直. 【典例1】在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如图，平分．求证：是直角三角形． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【题型3 斜边的中线等于斜边的一半】 高妙技法 在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边的中线，从而利用直角三角形斜边中线的性质解决问题. 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点A、B所对应的数字分别为1和9，D为上一点，它对应的数字为5，则的长为 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，、，点是的中点，，垂足为，交于，、相交于点，则 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知：如图，在中，，点E是边的中点，在图中作点D，使得，且，分别连接，过点A作，垂足为点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 【题型4 用HL证全等】 高妙技法 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 【典例1】如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、，且. 求证：． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知：如图，，垂足分别为点B、E，，，求证：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，，垂足分别为E，F，，． (1)求证：． (2)求证：． 【题型5 全等的性质与HL的综合】 高妙技法 三角形的全等判定与性质的综合应用主要是用来探究线段、角之间的数量，因此可利用全等三角形的性质解决问题． 【典例1】（25-26八年级上·全国·期中） 如图，在中，于点D，E是上的一点，且． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【变式1】如图，为的平分线，且于D，于F，连接交AE于点O． (1)若，，求的度数； (2)试判断与的关系？并证明你的结论． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）在中，点是边的中点，点、分别在边、上，且，连接． (1)如图1，是等腰直角三角形，，，求证：； (2)如图2，，是等边三角形，，求证：； 【题型6 尺规作图作角平线】 高妙技法 用尺规作已知角的平分线的步骤： （1）以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于两点； （2）分别以这两点为圆心，以大于这两点间的距离的一半长为半径画弧，两弧交于角内一点； （3）过角的顶点和这个交点作射线，即得已知角的平分线. 【典例1】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）作图题：如图，已知及定点、，在的内部求作点，使点到直线、的距离相等，且． 【变式2】（25-26八年级上·上海普陀·月考）尺规作图：如图，已知的两边上有两点、，连接，找出点使它到点、距离相等的同时，到的两边所在的直线距离也相等． 【题型7 角平分线的性质定理】 高妙技法 利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法.解决三角形面积的问题时往往要向三角形的边作垂线段，然后利用角平分线的性质来解决. 【典例1】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）如图，是的角平分线，于点，，则边的长是 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ． 【题型8 角平分线的判定定理】 高妙技法 角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 【典例1】如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【变式1】（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，点是边上一点，且，点在上，且点到、的距离相等，连接交于点F． (1)试判断的形状； (2)请证明你的结论． 【变式2】（23-24八年级上·上海·期末）已知：如图，点是的边上的一点，过点作，，、为垂足，再过点作，交于点，且． (1)求证：； (2)当点是边的中点时，求证：． 【题型9 用勾股定理求线段长】 高妙技法 利用勾股定理求直角三角形的边长的步骤：一分，即分清哪条边是斜边，哪条边是直角边；二代，即将已知边长代入a2 + b2 = c2（c为斜边）；三化简求值，若已知的两边可能都是直角边，也可能是直角边与斜边，则应利用分类讨论思想分两种情况讨论. 【典例1】 已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（ ） A． B． C． D．或 【变式1】如图，在中，于点，且，，，则的长为 ． 【变式2】如图，在中，， ，是平分线，过点D作于点E，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 【题型10 利用图形面积之间的关系求图形的面积】 高妙技法 与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上的图形之和等于斜边上的图形的面积. 【典例1】1如图，已知是直角三角形，分别以它的三条边为边向外作正方形，面积分别记为．若，，则的值为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【变式1】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C． D．10 【变式2】有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A． B．2025 C． D．2026 【题型11 利用勾股定理解决折叠问题】 高妙技法 利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤:(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角:(2)在图形中找到一个直角三角形然后设图形中某一线段的长为x将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来:(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题. 【典例1】如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 【变式1如图所示，在长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则AE的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，将边沿翻折，使点C落在延长线上的点D处，折痕与边交于点E，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【题型12 勾股定理与网格问题】 高妙技法 正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1，然后应用勾股定理来进行计算. 【典例1】如图是由边长都是1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中，，是网 格中的三个格点，点为线段的中点，连接，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式1】如图，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D．则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型13 勾股定理的证明】 高妙技法 勾股定理的证明主要是通过拼图，利用面积的关系完成的，拼图常用补拼法和叠合法两种方法，补拼时要无重叠，叠合时要无空隙；而用面积关系验证勾股定理时的关键是要找到一些特殊图形（如直角三角形，正方形等）的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的. 【典例1】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 【变式1】（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为． (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________； ②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________； ③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理； (2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【变式2】（25-26七年级上·上海徐汇·期中）【阅读材料】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在如图④的网格中，并标出字母所表示的线段． (4)问题解决：如图⑤，直线为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点到引水点的距离为12米，渠岸上点到引水点的距离为5米，且．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并直接写出最短距离． 【题型14 以弦图为背景的计算题】 高妙技法 以弦图为背景的计算题主要是利用勾股定理进行计算，有时需要用到面积法. 【典例1】如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 【题型15 利用三边关系判定直角三角形】 高妙技法 判断一个三角形时否是直角三角形有两种方法： （1）定义法，利用定义即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断； （2）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系（即a2+b2＝c2）来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方. 【典例1】将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（    ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．4，5，7 D．6，7，10 【变式1】以下列各组数为三角形的三边长，不能组成直角三角形的一组是（    ） A．3，4，5 B．，，1 C．5，12，13 D．7，8，9 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（   ） A．有一边的中线等于这边的一半 B．三个内角之比为 C．三边之比为 D．三边之比为 【题型16 利用三边关系判定直角三角形】 高妙技法 不规则图形的面积不能直接求得，往往通过割补转化法将不规则图形的面积割补为规则图形的面积的和与差，本题中通过连线构造出直角三角形，将不规则图形面积转化为两个直角三角形的面积差，利用勾股定理求出各线段的长，从而计算三角形的面积. 【典例1】一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【变式1】如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，四边形中，，，，，，则四边形 的面积为（　　）    A． B． C． D． 【题型17 勾股定理的逆定理的实际应用】 高妙技法 解答此类问题的关键是应从实际问题入手，将其转化为数学问题，利用勾股定理及其逆定理来解答即可结合. 【典例1】如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 【变式1】如图，甲船从港口O出发，以16海里/时的速度向北偏西方向航行，乙船同时从港口O出发， 沿方向以12海里/时的速度航行，航行1小时后，两船相距20海里．则乙船航行的方向是（   ） A．南偏西方向 B．西偏南方向 C．西偏南方向 D．西南方向 【变式2】如图所示，三个村庄A，B，C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价260万元/km，修这条公路的最低造价是多少？ 【题型18 勾股数】 高妙技法 判断三个数是否为勾股数，关键是看这三个数是否为正整数且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方. 【典例1】下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．6，8，10 【变式1】下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 【题型19 勾股定理的实际应用】 高妙技法 勾股定理的实际应用主要是通过直角三角形的边长关系来计算距离和角度。 【典例1】如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式1】[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（　　） A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺 【变式2】消防员是城市的守护者．图1是消防员某次消防救援时的工作图，图2是其几何示意图，已知云梯长，云梯底部（点）距离地面，消防车从距离地面高的点处完成救援后，还要从距离地面高的点处进行救援，这时云梯底部需要向楼房靠近多少米？（点在同一水平线上，所有点在同一竖直平面内） 【变式3】在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，楼顶处刚好有一根绳子（）垂直落到地面，绳子（）比楼高（）多米．小明想了解楼的高度，于是他把绳子拉开米时（即米），绳子（）刚好举过头顶，小明的身高是米（即米），小明能够求出这栋居民楼的高度，请帮小明写出完整的过程． 【题型20 勾股定理及逆定理的综合应用】 高妙技法 勾股定理及逆定理的综合应用，首先根据勾股定理的逆定理证得三角形是直角三角形，然后再用勾股定理是解决问题． 【典例1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 【变式1】（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数． 小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE＝CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 【变式2】【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 1、 选择题 1．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，1， B．6，8，12 C．7，40，41 D．5，12，13 2．如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海·月考）如图，是的平分线，点是上的一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（     ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 6．（25-26八年级上·上海闵行·月考）下列说法错误的是（    ） A．在角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等 B．到角两边所在直线距离相等的点在这个角的平分线上 C．在中，，D是边的中点，则有 D．在中，若，则 7．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，数轴上的点表示的数为1，点、、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，如果分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 9．（25-26八年级上·上海浦东新·月考）如图，在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、，，则的度数为 ． 10．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知，，点在边上，，，那么的度数是 ． 11．（25-26八年级上·上海·月考）如图，在中，，平分，于点，如果的周长为，长为，则的周长为 ． 12．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为 ． 13．（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段 ． 14．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，，，．则的面积为 ． 三、解答题 15．（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，求作点P，使得点P到点的距离相等，且到两边的距离相等． 16．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在和中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且 (1)求证：； (2)若，求的度数． 18．如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 19．据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 20．（25-26八年级上·上海闵行·月考）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________________________ 则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $