8.5 概率帮你做估计（题型专练）数学苏科版九年级下册

8.5 概率帮你做估计 题型一 用频率估计概率 1．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（　　） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 【详解】解：在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P根据频率的稳定性可得：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故本题选：D． 2．（2025·海陵区·一模）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 下列说法正确的是（　　） A．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 B．若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次 C．若抛掷图钉100次，则一定有61次“钉尖不着地” D．若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”的概率为0.8 【详解】解：A．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”不具有等可能性，故选项错误； B．若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次，故选项正确； C．若抛掷图钉100次，则大约有61次“钉尖不着地”，故选项错误； D．若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”8次，由于实验次数较少，不能作为估计概率的情况，故选项错误． 故本题选：B． 3．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小小明随机出的是“石头”的概率为，不合题意； D、袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率，不合题意． 故本题选：B． 4．（2025·盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数n 100 200 400 500 1000 落在《红星照耀中国》区域的次数m 44 92 182 225 b 落在《红星照耀中国》区域的频率 a 0.46 0.455 0.45 0.45 （1）上述表格中a＝　　，b＝　　． （2）画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． （3）假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是　　（结果保留到小数点后两位）． （4）在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是90°，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【详解】解：（1）由题意可得：，b＝1000×0.45＝450， 故本题答案为：0.44，450； （2）如图， （3）从表中频率的变化，可以估计当n很大时，频率将会接近0.45， ∴获得《红星照耀中国》的概率约是0.45， 故本题答案为：0.45； （4）《红星照耀中国》的扇形圆心角的度数约为：0.45×360°＝162°， 360°﹣90°﹣162°＝108°， 答：表示《西游记》区域的扇形圆心角约是108°． 题型二 用频率估计概率——摸球问题（小题） 1．（2025·淮安·校级模拟）在一个不透明的袋子中共装有红球、黄球和蓝球320个，这些球除颜色外都相同．小明每次从中任意摸出一个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是25%，则估计这只袋子中有红球　　个． 【详解】解：设袋中有x个红球． 由题意可得：25%，解得：x＝80． 故本题答案为：80． 2．（2025·盐城·一模）一个不透明的袋子中装有黑球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复180次，其中摸出白球有108次，由此估计袋子中白球的个数为　　． 【详解】解：设袋子中白球有x个， 由题意可得：，解得：x＝12， ∴估计袋子中白球大约有12个． 故本题答案为：12． 3．（2025·扬州·期中）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为估计白球数，小刚向其中放入8个黑球摇匀后，从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中40次摸到黑球，你估计盒中大约有白球　　个． 【详解】解：设盒子里有白球x个， 由题意可得：，解得：x＝32， 经检验：x＝32是分式方程的解． 故本题答案为：32． 4．口袋里有除颜色外其它都相同的5个红球和3个白球． （1）先从袋子里取出m（m≥1）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A．如果事件A是必然事件，则m＝　　；如果事件A是随机事件，则m＝　　； （2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，则m＝　　． 【详解】解：（1）如果事件A是必然事件，则袋子里全是红球， ∴m＝3； 如果事件A是随机事件，则袋子里还剩余白球， ∴m＝1或2， 故本题答案为：3，1或2； （2）由题意可得：，解得：m＝1， 故本题答案为：1． 题型三 标记重捕法估计某个种群的数量 1．（2024·锡山区·校级月考）为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞100条鱼做上标记，然后放回池塘去，经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，小刚又从湖里捕捞200条鱼，发现有15条有标记，那么你估计池塘里有多少条鱼（　　） A．1333 条 B．3000 条 C．300 条 D．1500 条 【详解】解：设池塘中有x条鱼， 由题意可得：200：15＝x：100，解得：x≈1333． 答：估计池塘里大约有1333条鱼． 故本题选：A． 2．（2025·宿城区·期中）《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰．书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为　　石． 【详解】解：设这批米内夹谷约为x石， 由题意可得：，解得：x＝200， ∴这批米内夹谷约为200石． 故本题答案为：200． 3．江豚素有“水中大熊猫”之称，为了解洞庭湖现有江豚数量，考察队先从湖中捕捞10头江豚并做上标记，然后放归湖内．经过一段时间与群体充分混合后，再从中多次捕捞，并算得平均每32头江豚中有2头有标记，则估计洞庭湖现有江豚数量约为　　头． 【详解】解：设洞庭湖现有江豚数量约为x头， 由题意可得：，解得：x＝160， 经检验：x＝160是分式方程的解． 答：估计洞庭湖现有江豚数量约为160头． 故本题答案为：160． 4．（2025·南京·月考）某养殖场原养有500只鸡，其中有100只A类鸡，后该养殖场引入若干只鸡与原有鸡混养，引入的鸡中A类鸡占比50%．此时场主随意抽出100只鸡，发现其中有25只A类鸡．则估算引入鸡共　　只． 【详解】解：设引入的鸡的数量为x只，则A类鸡的数量为50%x只， 由题意可得：25%，解得：x＝100， 经检验：x＝100是分式方程的解， ∴引入的鸡的数量为100只． 故本题答案为：100． 题型四 用频率估计概率——摸球问题（大题） 1．（2024·姑苏区·期末）一个不透明的袋子里装有6个白球，若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，不断重复上面的过程．根据所得数据绘制了如图所示的折线统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）摸到白球的概率约为　　（精确到0.1），黑球的个数为　　； （2）若再将n个相同的白球放进这个不透明的袋子里，大量重复上述试验，则摸出白球的概率约为　　.（用含n的代数式表示） 【详解】解：（1）由图可知：随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在0.20左右摆动． 由频率与概率的关系可知：摸到白球的概率为0.2， ∴黑球的个数＝6÷0.2×（1﹣0.2）＝24（个）， 故本题答案为：0.2，24； （2）．∵将n个相同的白球放进了这个不透明的袋子里． ∴袋中白球的个数为6+n，袋中球的总个数为30+n． ∴摸到白球的频率为， 由频率与概率的关系可得：摸到白球的概率为， 故本题答案为：． 2．（2025·丹阳市·期中）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学实践小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 600 1000 2000 摸到红球的次数m 83 123 b 483 803 1602 摸到红球的频率 a 0.82 0.81 0.805 0.803 0.801 （1）上表中的a＝　　，b＝　　； （2）“摸到红球”的概率的估计值是　　（精确到0.1）； （3）如果袋中有40个红球，那么袋中除了红球外，大约还有　　个其他颜色的小球． 【详解】解：（1）a＝83÷100＝0.83，b＝200×0.81＝162， 故本题答案为：0.83，162； （2）“摸到红球”的概率的估计值是0.8， 故本题答案为：0.8； （3）如果袋中有40个红球，那么袋中除了红球外，其它颜色小球的个数约为40÷0.8﹣40＝10（个）， 故本题答案为：10． 3．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　　（精确到0.01）； （2）试估算盒子里白球有　　个； （3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是　　（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 【详解】解：（1）由表可知：若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25， 故本题答案为：0.25； （2）由题意可得：20×0.25＝5（个）， 故本题答案为：5； （3）①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故符合题意； ②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不合题意； ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故不合题意； ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故符合题意； 故本题答案为：①④． 4．（2023·高新区·期末）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606 摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b （1）按表格数据格式，表中的a＝　　，b＝　　； （2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近　　（精确到0.1）； （3）请推算：摸到红球的概率是　　（精确到0.1）； （4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有　　个． 【详解】解：（1）a＝300×0.41＝123，b＝606÷1500＝0.404， 故本题答案为：123，0.404； （2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4， 故本题答案为：0.4； （3）摸到红球的概率是1﹣0.4＝0.6， 故本题答案为：0.6； （4）设红球有x个， 由题意可得：0.6，解得：x＝15， 故本题答案为：15． 题型五 用频率估计概率——生活类问题 1．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b （1）完成上述表格：a＝　　，b＝　　； （2）这种树苗成活的概率估计值为　　； （3）如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【详解】解：（1）由题意可得：a＝150×0.78＝117，b＝800÷1000＝0.80， 故本题答案为：117，0.80； （2）这种树苗成活的概率估计值为0.80， 故本题答案为：0.80； （3）600÷0.80＝750（棵）， 答：在相同条件下至少需要买750棵树苗． 2．“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 200 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932 合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983 （1）求出表中a＝　　，b＝　　； （2）从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是　　（精确到0.01）； （3）如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 【详解】解：（1）由表中数据计算可得：a＝1964÷2000＝0.982，b＝2949÷3000＝0.983， 故本题答案为：0.982，0.983； （2）随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在0.98附近波动， ∴任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是0.98， 故本题答案为：0.98； （3）用样本数据估计总体可得：49000÷0.98＝50000（顶）， 答：该厂估计要生产50000顶头盔． 3．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n （1）表格中m的值为　　，n的值为　　． （2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率． （3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【详解】解：（1）m＝500×0.95＝475，n＝950÷1000＝0.95， 故本题答案为：475，0.95； （2）1﹣0.95＝0.05， 答：任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05； （3）460×0.05×2＝46（元）， 答：估计要在他奖金中扣除46元． 4．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）完成上述表格：a＝　　，b＝　　； （2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是　　；（结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为P1，得到奖品“贴纸”的概率记为P2，得到“谢谢参与”的概率记为P3，则P1、P2、P3的大小关系是　　．（用“＞”连接） 【详解】解：（1）a＝122÷400＝0.305，b＝500×0.296＝148， 故本题答案为：0.305，148； （2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3， 假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是0.3， 故本题答案为：0.3，0.3； （3）P1，P2，P3， ∴P2＞P1＞P3， 故本题答案为：P2＞P3＞P1． 1．（多选）小明进行投篮练习，共投了20次，已知第一次没投中，总共投中了17次．现依次计算小明投完前n次时的命中率rn（n＝1，2，…，20），则r1＝0，r20＝0.85．在下列数字中，一定会在r1，r2，…，r20中出现的是（　　） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【详解】解：∵第一个没进， ∴若第二个进了，则有r2． 若第二个没进，第三个没进，则有r4，r5，r6． 若第二个没进，第四个没进，则有r3，r4，r5，r6． 若第二个没进，第五个没进，则有r3，r4． 后续情况无需讨论， 由此可见0.5一定会在r1，r2，r3，…r20中出现； ∵0.6， ∴若前五次有三次没进，则r5，r6，r4，…… 由此可见这一种情况中0.6没有出现； ∵0.7， ∴若前10次有一次或二次没进，则r10或， 由此可见这种情况下0.7没有出现； ∵0.8， ∴若前五次只有第一次没进，则r5， 若前五次有二次没进，同时前十次也是二次没进，则r10． 若前五次有二次没进，前十次是三次没进，则r15． 若前五次有三次没进，则r15． 由此可见0.8一定会在r1，r2，r3，…r20中出现． 故本题选：AD． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5 概率帮你做估计 题型一 用频率估计概率 1．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（　　） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 2．（2025·海陵区·一模）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 下列说法正确的是（　　） A．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 B．若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次 C．若抛掷图钉100次，则一定有61次“钉尖不着地” D．若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”的概率为0.8 3．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 4．（2025·盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数n 100 200 400 500 1000 落在《红星照耀中国》区域的次数m 44 92 182 225 b 落在《红星照耀中国》区域的频率 a 0.46 0.455 0.45 0.45 （1）上述表格中a＝　　，b＝　　． （2）画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． （3）假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是　　（结果保留到小数点后两位）． （4）在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是90°，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 题型二 用频率估计概率——摸球问题（小题） 1．（2025·淮安·校级模拟）在一个不透明的袋子中共装有红球、黄球和蓝球320个，这些球除颜色外都相同．小明每次从中任意摸出一个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是25%，则估计这只袋子中有红球　　个． 2．（2025·盐城·一模）一个不透明的袋子中装有黑球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复180次，其中摸出白球有108次，由此估计袋子中白球的个数为　　． 3．（2025·扬州·期中）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为估计白球数，小刚向其中放入8个黑球摇匀后，从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中40次摸到黑球，你估计盒中大约有白球　　个． 4．口袋里有除颜色外其它都相同的5个红球和3个白球． （1）先从袋子里取出m（m≥1）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A．如果事件A是必然事件，则m＝　　；如果事件A是随机事件，则m＝　　； （2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，则m＝　　． 题型三 标记重捕法估计某个种群的数量 1．（2024·锡山区·校级月考）为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞100条鱼做上标记，然后放回池塘去，经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，小刚又从湖里捕捞200条鱼，发现有15条有标记，那么你估计池塘里有多少条鱼（　　） A．1333 条 B．3000 条 C．300 条 D．1500 条 2．（2025·宿城区·期中）《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰．书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为　　石． 3．江豚素有“水中大熊猫”之称，为了解洞庭湖现有江豚数量，考察队先从湖中捕捞10头江豚并做上标记，然后放归湖内．经过一段时间与群体充分混合后，再从中多次捕捞，并算得平均每32头江豚中有2头有标记，则估计洞庭湖现有江豚数量约为　　头． 4．（2025·南京·月考）某养殖场原养有500只鸡，其中有100只A类鸡，后该养殖场引入若干只鸡与原有鸡混养，引入的鸡中A类鸡占比50%．此时场主随意抽出100只鸡，发现其中有25只A类鸡．则估算引入鸡共　　只． 题型四 用频率估计概率——摸球问题（大题） 1．（2024·姑苏区·期末）一个不透明的袋子里装有6个白球，若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，不断重复上面的过程．根据所得数据绘制了如图所示的折线统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）摸到白球的概率约为　　（精确到0.1），黑球的个数为　　； （2）若再将n个相同的白球放进这个不透明的袋子里，大量重复上述试验，则摸出白球的概率约为　　.（用含n的代数式表示） 2．（2025·丹阳市·期中）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学实践小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 600 1000 2000 摸到红球的次数m 83 123 b 483 803 1602 摸到红球的频率 a 0.82 0.81 0.805 0.803 0.801 （1）上表中的a＝　　，b＝　　； （2）“摸到红球”的概率的估计值是　　（精确到0.1）； （3）如果袋中有40个红球，那么袋中除了红球外，大约还有　　个其他颜色的小球． 3．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　　（精确到0.01）； （2）试估算盒子里白球有　　个； （3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是　　（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 4．（2023·高新区·期末）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606 摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b （1）按表格数据格式，表中的a＝　　，b＝　　； （2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近　　（精确到0.1）； （3）请推算：摸到红球的概率是　　（精确到0.1）； （4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有　　个． 题型五 用频率估计概率——生活类问题 1．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 b （1）完成上述表格：a＝　　，b＝　　； （2）这种树苗成活的概率估计值为　　； （3）如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 2．“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 200 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932 合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983 （1）求出表中a＝　　，b＝　　； （2）从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是　　（精确到0.01）； （3）如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 3．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n （1）表格中m的值为　　，n的值为　　． （2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率． （3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 4．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）完成上述表格：a＝　　，b＝　　； （2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是　　；（结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为P1，得到奖品“贴纸”的概率记为P2，得到“谢谢参与”的概率记为P3，则P1、P2、P3的大小关系是　　．（用“＞”连接） 1．（多选）小明进行投篮练习，共投了20次，已知第一次没投中，总共投中了17次．现依次计算小明投完前n次时的命中率rn（n＝1，2，…，20），则r1＝0，r20＝0.85．在下列数字中，一定会在r1，r2，…，r20中出现的是（　　） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $