精品解析：辽宁省抚顺市新宾满族自治县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025~2026学年度第一学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分120分 ※注意事项：考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各项是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将0.0000000142用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 6. 如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状不会改变，其中的数学道理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 直角三角形两锐角互余 7. 如图，，要使，还需添加一个条件是（　　） A B. C. D. 8. 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是(　　) A. 13 cm B. 6.5 cm C. 30 cm D. 6cm 9. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A B. C D. 10. 如图，在中，和的平分线相交于点交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③；④若，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 12. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 13. 如图，若，且，，则的长为______ 14. 如图，在中，，，将其折叠，使点A落在边CB上的点处，折痕为CD，则_______． 15. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，则的周长为___________． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知点，，． （1）在如图所示的平面直角坐标系中指出点，，三点，并顺次连接，，； （2）请画出关于轴的对称图形； （3）请求出的面积． 19. 如图，中，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 20. 如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？ （2）计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？ 22. 【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如： （此处可看作在原式上添加“”，也可看作将3拆分为“”） 【解决问题】 （1）若 ， 则______，______； （2）请仿照示例方法，对多项式进行因式分解； （3）已知，请说明：． 23. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分120分 ※注意事项：考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、B、C选项中的数学符号都不能找到一条直线，使数学符号沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的数学符号能找到一条直线，数学符号沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键． 2. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，逐一判断各选项分母是否含有字母即可． 【详解】解：选项A：分母为2，是常数，不是分式； 选项B：分母为4，是常数，不是分式； 选项C：分母为4，是常数，不是分式； 选项D：分母为，含有字母x，是分式； 故选：D． 3. 下列各项是最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查最简分式的定义，解题的关键是判断分子分母是否有公因式． 最简分式是指分子和分母没有公因式分式,通过检查每个选项是否可约分，即可判断． 【详解】解：选项A：，分子4和分母有公因数4，可约分为，不是最简分式； 选项B：，分子和分母有公因式b，可约分为，不是最简分式； 选项C：，分子y和分母没有公因式，是最简分式。 选项D：， ，与分子有公因式，可约分为，不是最简分式； 故选：C． 4. 下列各式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，分别利用公式法以及提取公因式法分解因式判断得出即可． 【详解】解：A、，原选项分解因式错误，故不符合题意； B、，原选项分解因式错误，故不符合题意； C、，分解因式正确，故符合题意； D、，原选项分解因式错误，故不符合题意； 故选：C． 5. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将0.0000000142用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示数，先确定a，n，再写成的形式，其中，n为负整数． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 6. 如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状不会改变，其中的数学道理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 直角三角形两锐角互余 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状不会改变，其中的数学道理是三角形的稳定性， 故选：． 7. 如图，，要使，还需添加一个条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，易得，又公共，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件． 【详解】解：∵， ∴， 又公共边， 当时，无法证明，故A不符合题意； 当时，利用SAS证明，故B符合题意； 当时，无法证明，故C不符合题意； 当时，无法证明，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 8. 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是(　　) A. 13 cm B. 6.5 cm C 30 cm D. 6cm 【答案】B 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得AD=BD，利用等腰三角形的性质得∠DAE=∠B=15°且AD=BD=13cm，再利用外角的性质得∠ADC=30°，解直角三角形即可得AC的值． 【详解】解：∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D（已知） ∴AD=BD（线段垂直平分线的性质） ∴∠DAE=∠B=15°且AD=BD=13cm（等腰三角形的性质） ∴∠ADC=30°（外角性质） ∴ 故选B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质等知识；得到∠ADC=30°是正确解答本题的关键． 9. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 10. 如图，在中，和的平分线相交于点交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③；④若，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质，由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，进而判定①；根据得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点H，使，利用证明可得，利用可证明得，进而可判定②；没有条件证明②；作于H，于M，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判断④，即可得． 【详解】解：∵和的平分线，相交于点， ∴，， ∴ = = =， 故①正确； ∵， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③不一定成立，故③错误 如图所示，作于H，于M， ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴ = =， 故④正确； 综上，①②④正确， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 【答案】81 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的运算，熟练掌握幂运算的法则是关键． 利用同底数幂相乘的法则，将指数相加，再代入已知条件计算． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，， ∵ ， ∴． 故答案为：81． 12. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据若分式有意义则分式的分母不等于0列式计算即可． 【详解】根据题意得，，解得．故答案为． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，可以从以下三个方面理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 13. 如图，若，且，，则的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据，可得，，即可求解． 【详解】解：，，， ，， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，将其折叠，使点A落在边CB上的点处，折痕为CD，则_______． 【答案】20 【解析】 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出，根据折叠的性质可得，再利用三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵折叠后点A落在边CB上的点处，折痕为CD， ∴， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题考查折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，掌握折叠前后对应角相等是解题的关键． 15. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，则的周长为___________． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图．由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：26． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． （1）先去分母，将原方程化为整式方程，再求解整式方程，最后检验即可； （2）先去分母，将原方程化为整式方程，再求解整式方程，最后检验即可． 【小问1详解】 解： 检验，当时， ∴ 【小问2详解】 解： 检验，当时，，即是增根 ∴原方程无解 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，再将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 已知点，，． （1）在如图所示的平面直角坐标系中指出点，，三点，并顺次连接，，； （2）请画出关于轴的对称图形； （3）请求出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，轴对称图形的作法，三角形面积的运算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）先将，，三点的位置标出，再连线，即可求解； （2）根据轴对称的性质描点作图，即可求解； （3）利用割补法运算，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：如图所示． 【小问3详解】 解：． 19. 如图，在中，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角结合三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 20. 如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）2 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定． （1）可直接利用证明； （2）根据三角形全等的性质可以得到，再由，利用线段之间和差关系即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ， 在和中 ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 21. 某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？ （2）计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？ 【答案】（1）每件甲种商品的价格为48元，每件乙种商品的价格为40元 （2）最多可购买50件甲种商品 【解析】 【分析】（1）设每件乙种商品的价格为元，每件甲种商品的价格为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设购买件甲种商品，则购买件乙种商品，根据题意，列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 设每件乙种商品的价格为元，每件甲种商品的价格为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：每件甲种商品的价格为元，每件乙种商品的价格为元． 【小问2详解】 设购买件甲种商品，则购买件乙种商品， 依题意得：， 解得：， ∴m的最大值为50． 答：最多可购买50件甲种商品． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． 22. 【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如： （此处可看作在原式上添加“”，也可看作将3拆分为“”） 【解决问题】 （1）若 ， 则______，______； （2）请仿照示例方法，对多项式进行因式分解； （3）已知，请说明：． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据题意可知，则，即可求解； （2）根据题目要求，将常数项转化，先用完全平方公式，再用平方差公式，即可求解； （3）等式两边同时乘以2，得，整理为，再根据平方具有非负性，即可求证． 【小问1详解】 解：根据题意可知 故 解得． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 证明：等式两边同时乘以2，得 整理为 平方具有非负性， ， ． 23. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键． （1）由题意易得，，然后根据“”可证三角形全等； （2）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质可进行求解； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $