16.1 二次根式及其性质 课件 2025--2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次根式的概念、双重非负性及两个性质，通过复习平方根和算术平方根导入，结合正方形面积求边长等实际问题引出新知，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生理解概念的现实背景。 其特色在于融入中考考点，通过典例精析判断二次根式、求有意义条件，培养学生的抽象能力和推理意识。用对比表格清晰区分(√a)²与√a²的运算顺序、取值范围和结果，体现数学语言的严谨性。分层练习题含基础、中档及易错点，助力学生提升运算能力，教师可直接使用例题习题，提高教学效率。

沪科版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 16.1 二次根式及其性质 第16章 二次根式 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1 学习目标 1.理解二次根式的概念；掌握二次根式有意义的条件.（重点） 2.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点） 3.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点） 问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 怎么表示它？ 如果 x2 = a (x≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 非负数. 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1) 如图的海报为正方形，若面积为 2 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m． (2) 如图的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 6 m2，则它的宽为_____m． 图 图 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示 2，S，3 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ． ① 根指数都为 2； ② 被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 二次根式的概念及有意义的条件 1 两个必备特征 ① 外貌特征：含有“ ” ② 内在特征：被开方数(式) a ≥0 一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式.“ ”称为二次根号. 注意：a 可以是数，也可以是式. 归纳总结 是 不是 中考考法 7 A 中考考法 8 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： 二次根式的被开方数或式非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 当 a≥0 时， ≥0. 归纳总结 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 典例精析 2.由二次根式的概念可知，的取值范围是 ，即当 时，有意义，是二次根式；当_______时， 无意 义，不是二次根式. 3.(1)___ . D 中考考法 12 4. [苏州期末]若 ，则下列式子一定有意义的是( ) C A. B. C. D. 中考考法 13 例2 实数 x 为何值时下列式子有意义? 解：(1) 要使 有意义，则 x + 3≥0. 解这个不等式，得 x≥-3. 所以当 x≥-3 时， 有意义. (2) 因为 x 为任何实数都有 x2≥0， 所以当 x 为一切实数时， 有意义. 例3 若 ，求 a - b + c 的值. 解： 由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 =0， 解得 a = 2，b = 3，c = 4. 所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3. 归纳总结：若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式及二次根式. 1. 由于 是 2 的算术平方根，根据平方根的意义，应有 ( )² = 2. 类似地，计算： = ， 二次根式的性质 2 5 0 2. 类似地，计算： ， = ， 又如 ，再计算 . = ， 0.5 0 0.5 观察上式，你能得出什么结论呢？ 归纳总结 一般地，有 性质1 ＝a (a≥0). 性质2 a， (a≥0)， -a ，(a＜0). 0，(a≥0)， 例4 计算： ； . 解：(1) (2) 方法一： 方法二： 议一议：如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方，后平方 先平方，后开方 a≥0 a取任何实数 a |a| 意义 表示一个非负数 a 的算术平方根的平方 表示一个实数 a 的平方的算术平方根 核心必知 1.一般地，我们把形如____ 的式子叫做二次根式， 5．实数x为何值时，下列式子有意义？(16分) 解：由题意，知x＋10≥0，所以x≥－10. (2) ； 解：由题意， 知 且 ， 所以 . 中考考法 22 (4) . x为全体实数． 中考考法 例5 先化简，再求值： ，其中 x = 4. 当 x = 4 时，| x－π |＝| 4－π |. ∵ π＜4， ∴ 4－π＞0. ∴ 当 x＝4 时，原式＝4－π. 6.［知识初练］计算： ___. 5 中考考法 25 7.已知,则 的取值范围为_______. 中考考法 26 8.计算： (1) _____； (2) __； (3) ____. 中考考法 27 9. 把下列正数写成一个数的平方的形式. (1)7； 解：原式 . (2)16； 原式 . (3)0.49； 原式 . 中考考法 28 (4) . 原式 . 中考考法 29 10.［知识初练］ 等于( ) C A. B. C.4 D. 【变式题】 已知二次根式的值为4，那么 的值是( ) D A.4 B.16 C. D. 中考考法 30 11.下列计算正确的是( ) A A. B. C. D. 中考考法 31 12. 计算： ________. 运用时，忽略 . 【变式题】 化简： ___. 1 中考考法 32 12.求下列各式的值： (1) ； 解：原式 . (2) ； 原式 . (3) . 原式 . 中考考法 33 2星题 中档练 x>－1且x≠0　 易错点睛：易因考虑不全导致答案不完整而致错. 中考考法 34 2 7 中考考法 35 中考考法 36 17.［数形结合思想］实数和 在数轴上对应点的位置如图 所示，化简 的结果是( ) D A. B. C. D. 中考考法 37 由二次根式的定义可得________≥0，即__________； 由二次根式的非负性可得__________≥0，即__________，所以m＝______. m＋3 m≥－3 －3－m m≤－3 －3 中考考法 38 二次根式 性质 定义 带有二次根号 被开方数为非负数 ＝a (a≥0). 性质1 a，(a≥0)， -a，(a＜0). 0，(a＝0)， 性质2 1．[知识初练]因为5＞0，所以________二次根式；因为－5＜0，所以________二次根式．(填“是”或“不是”) 2．下列式子中，是二次根式的是(　　) A．－ B. C. D. (2)＝|a|＝ 3．[福建中考]若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 符号“”叫作二次根号． (1)； 由题意，知2x－3>0，所以x>. (3)；　 14.(易 错 题 合肥模拟)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________________. 15．[太原期末]当x＝______时，式子＋2取最小值，这个最小值为______. 【变式题】若是整数，则正整数n的最小值为________. 16．提高安全意识，谨防高空坠物，自由落体的公式为h＝gt2(g为重力加速度，g取10 m/s2)，若某物体下落的高度为75 m，则该物体下落的时间是________. s 18.若m＋＝－3，求m的值． 原式可化为＝－3－m， $