16.1.2二次根式的性质 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 16.1.2二次根式的性质 第16章 二次根式 16.1.2 二次根式的性质练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础题（每题15分，共30分） 1. 利用二次根式性质计算：①$$(\sqrt{6})^2$$ ②$$\sqrt{7^2}$$ ③$$\sqrt{(-9)^2}$$ 解析：核心考查二次根式两大基础性质：$$(\sqrt{a})^2 = a$$（$$a \geq 0$$），$$\sqrt{a^2} = |a|$$，注意区分两者的应用场景。 解：①由$$(\sqrt{a})^2 = a$$，得$$(\sqrt{6})^2 = 6$$；②由$$\sqrt{a^2} = |a|$$，得$$\sqrt{7^2} = |7| = 7$$；③$$\sqrt{(-9)^2} = |-9| = 9$$。 2. 化简：$$\sqrt{12}$$ 和 $$\sqrt{(-4)^2}$$ 解析：巩固二次根式性质：$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$$（$$a\geq0,b\geq0$$），$$\sqrt{a^2}=|a|$$。 解：$$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$$；$$\sqrt{(-4)^2}=|-4|=4$$。 二、中档题（每题20分，共40分） 3. 已知$$x < 1$$，利用二次根式性质化简：$$\sqrt{(x-1)^2} + \sqrt{(x+2)^2}$$ 解析：进阶考点，结合取值范围化简，核心是利用$$\sqrt{a^2} = |a|$$，根据字母取值判断绝对值内式子的符号，再去掉绝对值。 解：由$$\sqrt{a^2} = |a|$$，得原式$$= |x-1| + |x+2|$$；∵$$x < 1$$，∴$$x-1 < 0$$，$$x+2$$恒为正（无论x取何值，x+2>-1，结合二次根式有意义，x≥-2）；∴原式$$= (1 - x) + (x + 2) = 3$$。 4. 利用二次根式性质计算：$$(\sqrt{5})^2 - \sqrt{25} + \sqrt{(-\frac{1}{2})^2}$$ 解析：考查二次根式核心性质，区分$$(\sqrt{a})^2=a$$（$$a\geq0$$）与$$\sqrt{a^2}=|a|$$。 解：原式=5 - 5 + $$\left| -\frac{1}{2} \right|$$ = 0 + $$\frac{1}{2}$$ = $$\frac{1}{2}$$。 三、拓展题（30分） 5. 已知$$\sqrt{x-2} + \sqrt{(y+3)^2} = 0$$，利用二次根式性质求$$x^2 - y^2$$的值。 解析：拓展应用，结合二次根式非负性（$$\sqrt{a} \geq 0$$）和$$\sqrt{a^2} = |a| \geq 0$$，两个非负数和为0则均为0，再结合性质求解。 解：由题意得$$\sqrt{x-2} = 0$$，$$\sqrt{(y+3)^2} = 0$$；由$$(\sqrt{a})^2 = a$$得$$x-2 = 0$$，解得x=2；由$$\sqrt{a^2} = |a|$$得$$|y+3| = 0$$，解得y=-3；则$$x^2 - y^2 = 2^2 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5$$。 总结：本节重点考查二次根式核心性质，关键是熟练掌握$$(\sqrt{a})^2 = a$$、$$\sqrt{a^2} = |a|$$的应用，结合取值范围化简时注意判断符号，确保解题准确。 探究导入 问题1：如图，一块正方形的方巾，面积为 a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？ 又∵面积为 a. 正方形的边长为 . 用边长表示正方形的面积为 . ∴ . 这个式子对所有的二次根式都成立吗？ a > 0 问题2：验证问题1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？ a(a≥0) 1 2 4 … 1 2 … ( )2 1 2 4 … 算术 平方根 平方运算 推进新课 计算： 观 察 把上述计算结论推广到一般，并用字母表示： 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 性质1 5 0 练一练 求下列各式的值： 【教材P4练习 T1】 （1） ；（2） ；（3） ；（4） . 2 0.8 –1.3 注意负号的位置！ 类似地，计算： 观 察 0.5 0 又如 ，再计算： – (–0.5) 性质2 一般地，有 根据上式你能确定 的化简结果吗？ 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 思 考 与 的区别有哪些？ 运算顺序 先开方，后平方 先平方，后开方 取值范围 a  0 任何实数 运算结果 a |a| 表示意义 表示非负数 a 的算术平方根的平方 实数 a 的平方的算术平方根 例 2 计算： （1） ；（2） ；（3） . 解：（1） （2）方法一 方法二 （3） 练一练 求下列各式的值： 【教材P4练习 T2】 （1） ；（2） ；（3） ；（4） . 0.2 –2 –2 注意负号的位置！ 例 3 先化简，再求值： ，其中 x = 4. 解： 当 x = 4 时， ∵π < 4，∴ 4 – π > 0. ∴当 x = 4 时，原式 = 4 – π. 练一练 先化简，再求值： 【教材P4练习 T3】 ，其中 x = 4. 解： 当 x = 4 时， ∴当 x = 4 时，原式 = 1. 随堂练习 2. 当 1 < x < 3 时， 的值为（ ）. A. 3 B. – 3 C. 1 D. – 1 1. 化简 的结果是（ ）. A. ±4 B. ±2 C. 4 D. – 4 C D 3. 已知 a，b，c为三角形的三边长，化简： 解：由三角形两边之和大于第三边得： a + b – c > 0，a + c – b > 0. ∴ =a + b – c + (a + c) – b = 2a. 已知 a 为实数，求 的值. 解：由题意可知，要使式子有意义，则 – a2 ≥ 0. 拓展提升 又∵a2 ≥ 0，∴ a2 = 0，∴ a = 0. = 2 – 3 + 0 = –1. 是 不是 中考考法 16 2.由二次根式的概念可知，的取值范围是 ，即当 时，有意义，是二次根式；当_______时， 无意 义，不是二次根式. 3.(1)___ . D 中考考法 18 4. [苏州期末]若 ，则下列式子一定有意义的是( ) C A. B. C. D. 中考考法 19 核心必知 1.一般地，我们把形如____ 的式子叫做二次根式， 5．实数x为何值时，下列式子有意义？(16分) 解：由题意，知x＋10≥0，所以x≥－10. (2) ； 解：由题意， 知 且 ， 所以 . 中考考法 21 (4) . x为全体实数． 中考考法 6.［知识初练］计算： ___. 5 中考考法 23 7.已知,则 的取值范围为_______. 中考考法 24 8.计算： (1) _____； (2) __； (3) ____. 中考考法 25 课堂小结 性质1 性质2 1．[知识初练]因为5＞0，所以________二次根式；因为－5＜0，所以________二次根式．(填“是”或“不是”) (2)＝|a|＝ 3．[福建中考]若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 符号“”叫作二次根号． (1)； 由题意，知2x－3>0，所以x>. (3)；　 $