精品解析：浙江省绍兴初中教育集团2025-2026学年上学期九年级数学月考试题

绍初教育集团二○二五第一学期九年级数学 一、选择题（每题5分，共40分） 1. 把写成比例式，写错的是( ) A. B. C. D. 2. 如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 在比例尺是1∶38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7 cm，则它的实际长度约为(　　) A. 266 km B. 26.6 km C. 2.66 km D. 0.266 km 4. 如图，在平行四边形中，，若，则（ ） A. 27 B. 18 C. 9 D. 3 5. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH 6. 如图，梯形中，E、F分别为、两腰上的点，且．若，，且梯形与梯形相似，则与的比值为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　） A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm 8. 如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点将沿折叠，点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论：①垂直平分；②平分；③；④．其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每题5分，共30分） 9. 已知，则______． 10. ，，，为重心，则________． 11. 如图，小明在A时测得垂直于地面的树影长为5米，B时又测得该树的影长为15米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_______米．（结果保留根号） 12. 已知和均为直角三角形，其中．若两直角三角形相似，则的长为________． 13. 如图，D是BC上一点，E是AB上一点，AD、CE交于点P，且AE∶EB＝3∶2，CP∶CE＝5∶6，那么DB∶CD＝__________. 14. 如图，在中，是边上一点，．则的值为________． 三、解答题（第15题12分，第16题12分，第17题12分，第18题14分，共50分） 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 16. 如图，在中，D为上一点，．求的长． 17. 四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． （1）若，求的长； （2）如果，求证：． 18. 如图，四边形中，平分，，为的中点，与交于点 （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绍初教育集团二○二五第一学期九年级数学 一、选择题（每题5分，共40分） 1. 把写成比例式，写错的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质及应用，解题的关键是利用“比例式中两内项之积等于两外项之积”，将每个选项的比例式转化为乘积式，与已知条件对比，判断其正确性． 根据比例基本性质，对每个选项分别计算“两内项之积”和“两外项之积”；若积等于，则该比例式正确；若积不等于，则该比例式错误． 【详解】解：根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，逐一分析选项： A、对于，内项为和，外项为和，则内项积，外项积； ∵， ∴此比例式正确，该选项不符合题意． B、对于，内项为和，外项为和，则内项积，外项积； ∵， ∴此比例式正确，该选项不符合题意． C、对于，内项为和，外项为和，则内项积，外项积； ∵， ∴此比例式正确，该选项不符合题意． D、对于，内项为和，外项为和，则内项积，外项积； 不一定相等 ∴此比例式错误，该选项符合题意． 故选：D． 2. 如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∴，， 故只有选项B是错误的； 故选B． 3. 在比例尺是1∶38000的黄浦江交通游览图上，某隧道长约7 cm，则它的实际长度约为(　　) A. 266 km B. 26.6 km C. 2.66 km D. 0.266 km 【答案】C 【解析】 【详解】设该隧道实际长度为xcm，则由题意可得： ，解得：（cm） 266000cm=2.66km． 故选C． 4. 如图，在平行四边形中，，若，则（ ） A. 27 B. 18 C. 9 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查学生对相似三角形的判定与性质、三角形的面积、平行四边形的性质等知识点的理解与掌握．解决本题的关键是掌握相似三角形面积比是相似比的平方． 根据是平行四边形，推出，相似比等于．由相似三角形面积比是相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：， ， 是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 5. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形． 【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中， ∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形． 6. 如图，梯形中，E、F分别为、两腰上的点，且．若，，且梯形与梯形相似，则与的比值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个梯形相似，则对应边的比相等，即可求解． 【详解】解：∵梯形∽梯形，且， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，正确理解性质得出是解题关键． 7. 如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　） A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可． 详解：连接OB， ∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm． 在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2 解得：OE=3， ∴OB=3+2=5， ∴EC=5+3=8． 在Rt△EBC中，BC=． ∵OF⊥BC， ∴∠OFC=∠CEB=90°． ∵∠C=∠C， ∴△OFC∽△BEC， ∴，即， 解得：OF=． 故选D． 点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长． 8. 如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点将沿折叠，点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论：①垂直平分；②平分；③；④．其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF；易求得∠BFE＝∠BFN，则可得BF⊥EN；证明∠EFM＝∠EBF即可证明；易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可证明． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF， 由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°， 即FM⊥BE，CF⊥BC， ∵BF平分∠EBC， ∴CF＝MF， ∴DF＝CF，在△DEF与△CFN中， ∴△DFE≌△CFN， ∴EF＝FN， ∵∠BFM＝90°−∠EBF，∠BFC＝90°−∠CBF， ∴∠BFM＝∠BFC， ∴BF平分∠MFC；故②正确； ∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN， ∴∠BFE＝∠BFN， ∵∠BFE＋∠BFN＝180°， ∴∠BFE＝90°， 即BF⊥EN， ∴BF垂直平分EN，故①正确； ∵∠BFE＝∠D＝∠FME＝90°， ∴∠EFM＋∠FEM＝∠FEM＋∠FBE＝90°， ∴∠EFM＝∠EBF， ∵∠DFE＝∠EFM， ∴∠DFE＝∠FBE， ∴；故③正确； ∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF， ∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM， ∴BE＝3EM， ∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF； 故④正确． 综上所述：①②③④都正确， 故答案选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断．此题难度适中，证得△DFE≌△CFN是解题的关键． 二、填空题（每题5分，共30分） 9. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，由已知比例关系，设参数表示a和b，代入所求分式计算． 【详解】解：设（），则 ，， ∴， 故答案为：． 10. ，，，为重心，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点； 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为. 也考查了直角三角形斜边上的中线性质．根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据重心的性质求出的长即可. 【详解】解：如图， ∵为的重心， ∴是的中线，， ， ， ， 故答案为：. 11. 如图，小明在A时测得垂直于地面的树影长为5米，B时又测得该树的影长为15米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_______米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的相似在实际生活中的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，画出示意图，可得，进而可得，代入数据可得答案． 【详解】解：如图，根据题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得： ， ∴树的高度为米， 故答案为：． 12. 已知和均为直角三角形，其中．若两直角三角形相似，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和分类，勾股定理．注意分类讨论思想的运用． 先利用勾股定理计算出，再分类讨论：当时，则；当时，则；然后利用比例性质分别计算出的长． 【详解】解：∵． ， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得， 即的长为或． 故答案为：或． 13. 如图，D是BC上一点，E是AB上一点，AD、CE交于点P，且AE∶EB＝3∶2，CP∶CE＝5∶6，那么DB∶CD＝__________. 【答案】1：3 【解析】 【分析】过E点作EF∥BC，根据平行线间的对应线段成比例知EF∶BD＝3∶5，EF∶CD=3∶15，即可求出DB∶CD的值. 【详解】过E点作EF∥BC，交AD于F. ∵AE∶EB＝3∶2，CP∶CE＝5∶6， ∴EF∶BD＝3∶(3＋2)＝3∶5，EF∶CD＝(6－5)∶5＝1∶5＝3∶15， ∴DB∶CD＝5∶15＝1∶3. 【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线. 14. 如图，在中，是边上一点，．则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．延长到，使得．设．利用相似三角形的性质，勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得． 设． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 解得：或（舍弃）． ， 故答案为：． 三、解答题（第15题12分，第16题12分，第17题12分，第18题14分，共50分） 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） 解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下： 则即为所求． （2） 解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下： 则即为所求． （3）是，Q点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可． 本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵、、，、、． ∴直线为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得 故Q点的坐标为． 故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为． 16. 如图，在中，D为上一点，．求的长． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． 根据证明，则，求出的值，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 17. 四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． （1）若，求的长； （2）如果，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，由平行线分线段成比例定理得，继而得到，根据平行四边形性质得，推出，可得结论； （2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证． 【小问1详解】 解：如图，连接交于点， ∵点和点分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键． 18. 如图，四边形中，平分，，为的中点，与交于点 （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1） ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2） ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形，直角三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定． （1）根据平分，则，根据，相似三角形的判定，即可； （2）根据直角三角形的性质，点为的中点，则，等边对等角，，再根据平行线的判定，即可； （3）过点作，根据，，推出；设，，根据全等三角形的判定和性质，则，则，，；根据勾股定理，得，解出，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解法一：过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 解法二： ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $