第二章 函数及其性质（举一反三综合训练）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

第二章 函数及其性质（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025·陕西商洛·模拟预测）函数的定义域是（    ） A．且 B．且 C． D． 2．（5分）（2025·广东清远·一模）设函数，则函数为（    ） A．奇函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减 C．偶函数，且在单调递增 D．偶函数，且在单调递减 3．（5分）（2025·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（2025·河南·模拟预测）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为衰减系数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ） A．km B．km C．km D．km 5．（5分）（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 7．（5分）（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 8．（5分）（2025·内蒙古乌兰察布·三模）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（2025·四川广安·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 11．（6分）（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）函数是定义在上的奇函数，满足在区间上单调递减，且，则（　　） A． B． C．关于直线对称 D．在上单调递增 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2025·上海金山·一模）函数的定义域为 ． 13．（5分）（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ． 14．（5分）（2025·上海闵行·一模）已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025·四川眉山·一模）计算下列各式的值： (1)； (2). 16．（15分）（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数的图象过点和点． (1)求实数的值； (2)写出的定义域，并求的值域． 17．（15分）（2025·安徽合肥·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. (1)求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； (2)若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 18．（17分）（2025·辽宁沈阳·一模）已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值； (2)用定义法证明的单调性； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 19．（17分）（2025·上海闵行·一模）若定义域为的函数满足：对任意的和，都有，且，就称这个函数是“优美函数”. (1)判断并证明优美函数的奇偶性； (2)若优美函数的值域为，且当时，，判断并证明优美函数的单调性； (3)若题（2）中优美函数还满足，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函数及其性质（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025·陕西商洛·模拟预测）函数的定义域是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【解题思路】求出使式子有意义的自变量的范围即得． 【解答过程】由题意，解得且， 故选：B． 2．（5分）（2025·广东清远·一模）设函数，则函数为（    ） A．奇函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减 C．偶函数，且在单调递增 D．偶函数，且在单调递减 【答案】A 【解题思路】利用函数的奇偶性定义、单调性定义判断即可. 【解答过程】易知的定义域为，且， 所以为奇函数， 因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 故选：A. 3．（5分）（2025·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断. 【解答过程】因为， 又因为对数函数在上单调递增，且， 所以，即. ，，由于，，且函数在上单调递增， 所以，即. 综合以上两个比较结果，可得. 故选：A. 4．（5分）（2025·河南·模拟预测）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为衰减系数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ） A．km B．km C．km D．km 【答案】B 【解题思路】根据题意，列出方程，求出参数衰减系数的值，代入原函数，求出结果即可. 【解答过程】由题意得，即，化简得，解得， 代入得，当时，得， 化简得，两边取对数得，解得. 故选：B. 5．（5分）（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数解析式化简，应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项. 【解答过程】由，可得的定义域为， 且，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B项； ，排除C项； 当时，，排除A项. 故选：D. 6．（5分）（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】C 【解题思路】对于A：令后计算即可判断；对于B：根据奇函数的性质即可判断；对于C：令后计算即可判断；对于D：先通过变形确定函数的周期，然后利用周期来求解． 【解答过程】对于A：令，则， 又，所以，故A错误； 对于B：因为，所以不为奇函数，故B错误； 对于C：令，则， 即，得。由的任意性可知，故C正确； 对于D：令，则， ，则， 所以，可得， 可知是周期为6的周期函数． 所以，故D错误． 故选：C． 7．（5分）（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【解答过程】由题意，函数是定义在上的偶函数，所以， 解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得，所以原不等式解集为. 故选：A. 8．（5分）（2025·内蒙古乌兰察布·三模）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【解答过程】由恰有5个零点， 则关于的方程恰有5个相异实根， 令，问题转化为满足的恰有5个不同的解. 作出函数的图象，如图所示， 由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且， 此时仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有两个相异实根， 而各仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有3个实根， 且各仅有1个实根， 且两实根均小于，则有三个实根，必有， 所以. 又，所以，此时的5个实根互不相等， 即恰有5个零点； 当时，仅有2个相异实根，且， 此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据的解析式，进行相关的运算判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由选项C知，且， ，故D正确. 故选：BCD. 10．（6分）（2025·四川广安·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】由得，由得.对于A，利用作差法判断；对于B，由对数运算法则计算判断；对于C，由基本不等式可得，结合对数运算法则计算判断；对于D，解法一：利用基本不等式“1”的妙用，计算判断，解法二：用权方和不等式计算判断. 【解答过程】由得，由得. 对于A，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，，则，当且仅当时等号成立， 因为，故等号不成立，即， 则，故C正确； 对于D，解法一：易知，， 当且仅当时等号成立，因为，故等号不成立，所以， 解法二：若用权方和不等式，则有，当且仅当时等号成立，因为，故等号不成立，所以，故D正确. 故选：BCD. 11．（6分）（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）函数是定义在上的奇函数，满足在区间上单调递减，且，则（　　） A． B． C．关于直线对称 D．在上单调递增 【答案】AD 【解题思路】利用已知条件迭代可得周期，结合奇函数性质可判断A；利用和奇函数定义可得函数的图象关于对称，结合函数单调性可判断D；求出和的值进行比较可判断C；利用周期性可判断B. 【解答过程】因为，所以， 所以， 故， 所以，所以， 所以，6是函数的一个周期. 对于A，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，正确； 对于C，因为，所以， 又，所以， 所以的图象不关于直线对称，错误； 对于B，因为，， 所以，错误. 对于D，因为， 因为6是的周期，所以，故 所以函数的图象关于对称，又在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增，正确； 故选：AD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2025·上海金山·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【解题思路】根据题意列出一元二次不等式，求解即得函数的定义域. 【解答过程】要使函数有意义，需使， 解得或. 故函数的定义域为. 故答案为：. 13．（5分）（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】根据得到函数是上的奇函数，继而求出时，的解析式并判断在上的单调性，利用奇函数和单调性结合分段函数可得两个不等式组，求解即得. 【解答过程】因为对都有，所以是上的奇函数， 又时，，显然在上单调递增， 故函数在上单调递增， 当时，，则，即； 由，可得， 故得， 则有或， 即或，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．（5分）（2025·上海闵行·一模）已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】由函数图象得到函数零点的关系，然后得到的取值范围.由等量关系化简，利用双勾函数的单调性求出的取值范围，从而得到的取值范围. 【解答过程】函数大致图象如下， 若，且，则 所以 ∵，当且仅当，即时取等号， 当时，，当时，， 由双勾函数的单调性可知， 即， ∴. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025·四川眉山·一模）计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)1 (2) 【解题思路】（1）利用对数的运算法则计算求解； （2）运用指数的运算法则计算每一项，再合并计算求解． 【解答过程】（1）原式 ． （2）原式. 16．（15分）（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数的图象过点和点． (1)求实数的值； (2)写出的定义域，并求的值域． 【答案】(1) (2)的定义域为；值域为. 【解题思路】（1）根据题意列出方程组求解即可； （2）根据法则求出定义域，利用基本不等式求值域. 【解答过程】（1）由，得，，， 上两式联立，解得，. （2）由（1）知，故，得， 所以的定义域为； ，时，， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以的值域为. 17．（15分）（2025·安徽合肥·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. (1)求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； (2)若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】(1)，人； (2)发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大为元. 【解题思路】（1）由题设，有当时，，且，，求值，进而写出其分段函数的形式，再求. （2）由（1）写出解析式，讨论、求最大值即可. 【解答过程】（1）由题设，当时，令， 又发车时间间隔为3分钟时的载客量为333人，10分钟时的载客量为480人， 所以，解得， 所以， 当时，， 所以， 故时，， 所以当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量为人； （2）（2）因为， 所以由（1）可得： 当时，， 当且仅当等号成立， 则时，（元）， 当时，在递减， 则（元） 综上，发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为112元. 18．（17分）（2025·辽宁沈阳·一模）已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值； (2)用定义法证明的单调性； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）利用奇函数性质得，进而解得即可. （2）利用定义法得到函数的单调性即可. （3）利用奇函数性质得，再由单调性得，即，最后利用均值不等式求解参数范围即可. 【解答过程】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，解得， 则，经检验符合题意. （2）由已知得，则， 任取，且令，则 ，得到， 故，则是减函数. （3）由题意得在时恒成立， 因为是单调递减的奇函数， 所以，即在时恒成立， 得到，且令，即恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 得到，得到，即. 19．（17分）（2025·上海闵行·一模）若定义域为的函数满足：对任意的和，都有，且，就称这个函数是“优美函数”. (1)判断并证明优美函数的奇偶性； (2)若优美函数的值域为，且当时，，判断并证明优美函数的单调性； (3)若题（2）中优美函数还满足，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析，在上是严格递增函数； (3). 【解题思路】（1）令，得，令，得证明； （2）解法一：可得，根据题意结合单调性的定义证明；解法二：根据题意整理可得，结合单调性的定义证明； （3）由函数单调性，将问题转化为对恒成立，讨论求解. 【解答过程】（1）的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得，∴， 令，得， ∴， ∴为奇函数. （2）任取，设， 解法一：， 因为，，又，， 所以，， 所以，即， 所以在上是严格递增函数. 解法二：由（1）函数为奇函数，则 任取，且，则，故且. 所以，； 所以，函数在上严格递增. （3）， 则， ， 又不等式对恒成立， 则对恒成立， 又在上严格递增， ∴对恒成立，即对恒成立， 当时，对恒成立， 当时，对恒成立，则，解得， 综上，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $