专题05 函数的概念与性质（真题研析+真题精炼+模拟探源，全国通用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 聚焦函数概念与性质核心模块，以真题为载体系统提炼性质转化、图象排除等解题方法，构建概念-性质-应用的逻辑链条，强化逻辑推理与数形结合素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数基本性质|6真题+5模拟（典例1）|性质转化法：利用奇偶性、周期性将自变量转化至已知区间计算|从定义出发，推导单调性、奇偶性、周期性判定定理，综合应用于比较大小、解不等式| |函数图象变换|4真题+3模拟（典例2）|排除法：结合奇偶性、特殊点、趋势特征筛选解析式|通过平移/对称变换规律，建立解析式与图象的对应关系，培养识图用图能力| |函数概念与定义域|1真题+1模拟|定义域求解：结合分式、根式等限制条件列不等式组|从函数定义延伸至定义域、解析式求解，奠定性质研究基础|

专题05 函数的概念与性质 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 函数概念与定义域：以函数定义、解析式求解、定义域值域求解为核心，常与不等式、根式、分式题型交汇考查。 函数基本性质：重点考查单调性、奇偶性、周期性的判定与应用，常利用性质比较函数值、求解抽象不等式以及求参数范围。 函数图象变换：聚焦平移、对称、翻折变换规律，依托图象分析函数零点、最值、趋势问题，多结合选择填空压轴考查。 2．素养考向 逻辑推理：通过函数性质判定、抽象函数推理、参数范围求解，考查等价转化与分类讨论思想。 工具应用：依托函数图像数形结合分析单调性、最值、零点问题，体现函数作为刻画变量关系的核心工具性 函数概念与定义域 函数基本性质 2026·全国二卷T8（函数的周期性与奇偶性） 2026·北京卷T5（函数的奇偶性与单调性） 2025·全国一卷T5（函数的周期性与奇偶性） 2024·新课标Ⅰ卷T6（函数的单调性） 2024·新课标Ⅰ卷T8（抽象函数） 2024·天津卷T4（函数的奇偶性） 函数图象变换 2026·天津卷T4（函数的图象） 2025·天津卷T3（函数的图象） 2025·北京卷T4（函数图像的变换） 2024·全国甲卷T7（图象辨析） 1.函数的概念与性质是高考数学核心必考模块，贯穿整张试卷，小题高频考查、大题综合渗透，基础性与综合性兼具。高频考查函数解析式求解、定义域与值域计算，常结合分式、根式、对数结构与不等式交汇命题。重点围绕单调性、奇偶性、周期性三大核心性质出题，多用于比较函数值大小、求解抽象函数不等式、求解参数范围。同时依托函数平移、对称等图象变换，考查识图、用图能力，分析函数零点、趋势与最值问题。 2.整体命题稳中求新，侧重考查数形结合、分类讨论与等价转化思想。试题弱化机械计算，强化对函数本质的理解与灵活应用，常以抽象函数、分段函数为载体设置易错点，是高考区分度的核心板块，后续命题会持续强化性质综合应用与图象可视化解题的考查趋势。 考向一 函数基本性质 典例1．（2026·全国二卷T8）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 微点拨：本题综合偶函数、周期性与分段函数求值；由为偶函数得，结合条件推导函数周期，将所求自变量利用周期性、奇偶性转化到已知解析式的区间内代入计算；解题关键是合理转化自变量，避免直接代负数出错，理清性质之间的推导逻辑。 考向二 函数图象变换 典例2．（2026·天津卷T4）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 微点拨：判断函数解析式常用排除法，依次分析奇偶性、特殊点函数值正负、定义域、增减趋势与极限特征；先判定函数奇偶性排除部分选项，再代入特殊自变量计算函数值匹配图像，结合图像趋势剔除矛盾答案，快速缩小范围得出结果。 考向一 函数的概念与定义域 1.（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 考向二 函数的基本性质 2．（2026·北京卷T5）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·全国一卷T5）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 4.（2024·新课标Ⅰ卷T6）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（2024·新课标Ⅰ卷T8）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6.（2024·天津卷T4）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 考向三 函数图象变换 7.（2025·北京卷T4）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 8.（2025·天津卷T3）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 9.（2024·全国甲卷T7）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·二模）已知函数，则（     ） A． B． C．1 D．e 2．（2026·陕西西安·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 5．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 6．（2026·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的增函数．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 8．（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 9．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 二、多选题 13．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C．当时， D．，不等式恒成立 14．（2026·广东清远·二模）已知函数满足对且，若数列满足，则（   ） A． B． C．数列是等比数列 D． 15．（2026·福建·三模）已知为定义在R上的偶函数，且的图象关于直线对称，当时，，则（    ） A． B． C．关于x的方程恰有3个不同的实数解 D．不等式 的解集为 16．（2026·广西河池·三模）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 三、填空题 17．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数，若，则_________． 18．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足．若，则的值为______． 19．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 20．（2026·河南·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的概念与性质 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 函数概念与定义域：以函数定义、解析式求解、定义域值域求解为核心，常与不等式、根式、分式题型交汇考查。 函数基本性质：重点考查单调性、奇偶性、周期性的判定与应用，常利用性质比较函数值、求解抽象不等式以及求参数范围。 函数图象变换：聚焦平移、对称、翻折变换规律，依托图象分析函数零点、最值、趋势问题，多结合选择填空压轴考查。 2．素养考向 逻辑推理：通过函数性质判定、抽象函数推理、参数范围求解，考查等价转化与分类讨论思想。 工具应用：依托函数图像数形结合分析单调性、最值、零点问题，体现函数作为刻画变量关系的核心工具性 函数概念与定义域 函数基本性质 2026·全国二卷T8（函数的周期性与奇偶性） 2026·北京卷T5（函数的奇偶性与单调性） 2025·全国一卷T5（函数的周期性与奇偶性） 2024·新课标Ⅰ卷T6（函数的单调性） 2024·新课标Ⅰ卷T8（抽象函数） 2024·天津卷T4（函数的奇偶性） 函数图象变换 2026·天津卷T4（函数的图象） 2025·天津卷T3（函数的图象） 2025·北京卷T4（函数图像的变换） 2024·全国甲卷T7（图象辨析） 1.函数的概念与性质是高考数学核心必考模块，贯穿整张试卷，小题高频考查、大题综合渗透，基础性与综合性兼具。高频考查函数解析式求解、定义域与值域计算，常结合分式、根式、对数结构与不等式交汇命题。重点围绕单调性、奇偶性、周期性三大核心性质出题，多用于比较函数值大小、求解抽象函数不等式、求解参数范围。同时依托函数平移、对称等图象变换，考查识图、用图能力，分析函数零点、趋势与最值问题。 2.整体命题稳中求新，侧重考查数形结合、分类讨论与等价转化思想。试题弱化机械计算，强化对函数本质的理解与灵活应用，常以抽象函数、分段函数为载体设置易错点，是高考区分度的核心板块，后续命题会持续强化性质综合应用与图象可视化解题的考查趋势。 考向一 函数基本性质 典例1．（2026·全国二卷T8）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 微点拨：本题综合偶函数、周期性与分段函数求值；由为偶函数得，结合条件推导函数周期，将所求自变量利用周期性、奇偶性转化到已知解析式的区间内代入计算；解题关键是合理转化自变量，避免直接代负数出错，理清性质之间的推导逻辑。 考向二 函数图象变换 典例2．（2026·天津卷T4）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 微点拨：判断函数解析式常用排除法，依次分析奇偶性、特殊点函数值正负、定义域、增减趋势与极限特征；先判定函数奇偶性排除部分选项，再代入特殊自变量计算函数值匹配图像，结合图像趋势剔除矛盾答案，快速缩小范围得出结果。 考向一 函数的概念与定义域 1.（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 考向二 函数的基本性质 2．（2026·北京卷T5）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 3．（2025·全国一卷T5）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知对一切成立， 于是.故选：A 4.（2024·新课标Ⅰ卷T6）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 5.（2024·新课标Ⅰ卷T8）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 6.（2024·天津卷T4）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 考向三 函数图象变换 7.（2025·北京卷T4）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A 【解析】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象， 故选：A. 8.（2025·天津卷T3）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 9.（2024·全国甲卷T7）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D，故选B. 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·二模）已知函数，则（     ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【解析】函数，则，所以. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】为奇函数，，解得， 时，，，符合题意， ． 3．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 4．（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 【答案】A 【解析】因为， 所以要得到的图象，只需要把图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变）. 5．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】因为是偶函数， 所以，即，所以， 因为，，所以，因此在上是减函数，所以， 由，得，所以， 所以时，，解得， 即的解集为. 6．（2026·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的增函数．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是定义在上的增函数， 所以， 所以，解得，即x的取值范围是. 7．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】B 【解析】因为函数满足， 所以，即是以4为周期的函数. 由题意知奇函数的自变量可取0，所以. 又因为当时，，所以，解得， 所以当时，， 所以 . 8．（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【解析】已知是定义在上且周期为的奇函数，所以有， 令，得， 由于是奇函数，有，所以，即，解得， 当时，，由于，所以， 因此，故B正确. 9．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，且定义域为R， 所以为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，D项， 并且在y轴右侧，趋近于0时，，故， 故只有选项满足题意. 10．（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，， 则， 则的图象的对称中心是 11．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，代入题设函数方程得： ， 将代入化简，得递推关系：， 当时，有， 则，，， 故 ， 故，则. 12．（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】D 【解析】因为是奇函数，所以. 由，令，得，故， 由，令，得， 所以，即， 所以，故以4为周期， 由，则，， ，， ，， ，， 所以 . 二、多选题 13．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C．当时， D．，不等式恒成立 【答案】BCD 【解析】对于A选项，， 因为，则，可得，所以，所以A错误； 对于B选项，函数的定义域为，，所以B正确； 对于C选项，，所以C正确； 对于D选项，因为 ，故该函数在单调递减， 又由B知该函数为偶函数，且，即， 所以，所以D正确. 14．（2026·广东清远·二模）已知函数满足对且，若数列满足，则（   ） A． B． C．数列是等比数列 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，令，可得，正确； 对于B，令，则， 由和可得，正确； 对于C，因为，令， 则，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故错误； 对于D，所以. 15．（2026·福建·三模）已知为定义在R上的偶函数，且的图象关于直线对称，当时，，则（    ） A． B． C．关于x的方程恰有3个不同的实数解 D．不等式 的解集为 【答案】BD 【解析】因为为定义在R上的偶函数，所以， 又因为的图象关于直线对称，所以 ， 所以 ，所以A错误； 因为 ，所以 ， 所以B正确； 因为，所以函数是周期为4的周期函数， 当时，，所以在，， 所以当，，结合周期性可知函数恒成立， 对于方程，由于，所以仅当时可能存在解， 当时，，解得或， 当时，由且，可得，所以，解得或3， 当时，，因为，所以无解， 综上所述，关于x的方程恰有4个不同的实数解，所以C错误； 因为，所以 等价于 ，当时，不等式也成立， 但的点只有，这些点也满足 , 解得 ，所以解集为，D正确. 16．（2026·广西河池·三模）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【解析】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 三、填空题 17．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数，若，则_________． 【答案】0或2 【解析】因为恒成立，若， 则，且，可得， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：或. 18．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足．若，则的值为______． 【答案】 【解析】由 ，得 . 所以， 所以函数为周期函数，为函数的一个周期， 又所以. 19．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 【答案】 【解析】已知函数的图象关于点对称， 则对任意有，则 ， 化简得， ，解得， 若，则，与题设矛盾，舍去； 若，则，解得， ． 20．（2026·河南·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 【答案】 【解析】， 即， ，解得， ， 则，解得， 的定义域为， 又因为，， 即函数的取值范围是． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $