专题06相交线与平行线（7大知识点+12大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材苏科版

专题06相交线与平行线 （7大知识点+12大考点+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：对顶角与邻补角 1.对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． 2.邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 3.对顶角的性质：对顶角相等． 4.邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． 5.提示：邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 知识点2 ：垂直、垂线段 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （4）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 知识点3 ：同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 知识点4 ：平行及平行公理 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 知识点5 ：平行线的判定 （1）判定定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．  （2）判定定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．  （3 ）判定定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）判定方法4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）判定方法5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 知识点6 ：平行线的性质 性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 性质定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 性质定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 知识点7 ：平行线的性质与判定综合题解题方法 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 【考点1】对顶角与邻补角 【例1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，解决本题的关键是要熟练运用角平分线的定义和邻补角的性质进行计算，根据角平分线定义求出，再根据邻补角互补即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查对顶角的性质和角平分线的定义，牢记对顶角的性质和角平分线的定义是解题的关键． 根据对顶角的性质可证得，根据角平分线的定义可求得的度数，再根据即可求得． 【详解】直线、相交于点，， ． 平分， ． ． 故选：B. 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线相交于点平分．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差倍分关系，对顶角的性质，邻补角的性质，先证明，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴． ∴， 故答案是：． 3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，点O在直线上，平分，，则的度数是 ． 【答案】80 【分析】本题考查了角平分线、邻补角，熟练掌握角平分线的运算是解题关键． 先根据角平分线的定义可得，再根据邻补角的定义即可得． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∴． 故答案为：80 【考点2】垂线段 【例2】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为C，若，则点A到的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查点到直线的距离，此题关键是理解点A到BC的距离是从点A向BC作垂线，所得的垂线段．根据点到直线的距离即可判断． 【详解】解：∵，垂足为C． ∴点A到的距离，即. 故答案为：4 【变式训练】 4．（20-21七年级上·江苏镇江·期末）下列三个日常现象：其中可以用“垂线段最短”来解释的是 ．（填序号） 【答案】① 【分析】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键． 根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论． 【详解】解：可以用“垂线段最短”来解释①， 可以“两点之间线段最短” 来解释②， 可以用“两点确定一条直线” 来解释③， 故答案为：①． 5．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 【答案】5 【分析】此题考查了垂线段最短．根据垂线段最短求出的最小值，再根据题意得到的最大值，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，当运动到点E时，根据垂线段最短可知此时取最小值，， 当运动到点C时，根据题意可知此时取最大值，， ∴的最大值与最小值相差， 故答案为：5 6．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，点在直线上，，垂足为，，则线段的长是点到直线 的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，进行判断即可，熟练掌握点到直线的距离是解此题的关键． 【详解】解：， 线段的长是点到直线的距离， 故答案为：． 【考点3】相交线中角的有关计算 【例3】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线、相交于点，平分，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，垂直的定义，对顶角性质等知识； （1）先根据角平分线的定义得出，再根据对顶角相等得出答案； （2）先求出，再得出，进而根据平角的定义得出答案． 【详解】（1）解：平分，， ， ； （2）解：，， ， ． 【变式训练】 7．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，直线，相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，直线，相交于点，分别在的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：______． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是互余的含义，平角的定义，角平分线的含义，垂直的定义，对顶角的性质，角的和差运算． （1）由可得，，结合角平分线可得，进一步可得答案． （2）先求解，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴的余角为． （2）解：，， ， ， ， ， ． 9．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图所示，直线与直线交于点O，射线在内部，是的平分线，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂线、角平分线的定义以及角的计算、解一元一次方程，解决本题的关键是熟练运用这些知识点建立等量关系式． （1）先求，再求即可求出答案； （2）设，根据题意列出方程式，再根据补角的定义即可解决问题， 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，则． ∵， ∴， ． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点4】平行线及平行公理 【例4】（22-23七年级·河南郑州·期中）如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行公理可得答案． 【详解】解：由图可得，过直线外一点，能且只能画出一条平行线， 这反映了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查平行公理，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 【变式训练】 10．（24-25七年级·江苏无锡·期末）用反证法证明：已知a，b，c是同一平面内的三条不同直线，如果，a与c相交，那么b与c相交．应先假设（    ） A．a与b相交 B．a与c平行 C．b与c垂直 D．b与c平行 【答案】D 【分析】此题考查反证法，使用反证法时，需假设结论不成立，据此求解即可． 【详解】∵用反证法证明：已知a，b，c是同一平面内的三条不同直线，如果，a与c相交，那么b与c相交． ∴应先假设b与c平行． 故选：D． 11．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）下列说法中：①不相交的两条直线叫做平行线；②若线段与线段没有交点，则；③两点确定一条直线，④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中说法正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了直线的性质，平行线和相交线的定义，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握定义，根据定义逐项进行判断即可． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故①说法错误； ②在同一平面内，若线段所在的直线与线段所在的直线没有交点，则．故②说法错误； ③两点确定一条直线，故③说法正确； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到该直线的距离．故④说法错误． 综上所述，正确的有③． 故选：A． 12．（22-23七年级·湖南永州·期末）在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ． 【答案】（或垂直） 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：（或垂直）． 【点睛】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． 【考点5】垂线与平行的作图问题 【例5】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题． (1)过点画的平行线，并标出平行线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为点； (3)连接，，则的面积为______． (4)比较大小： ______填、或，理由：______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【分析】本题考查作图应用与设计作图、平行线的判定与性质、三角形的面积、垂线段最短，熟练掌握题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质画图即可； （2）根据垂线的定义画图即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可； （4）根据垂线段最短可得答案． 【详解】（1）解：如图直线所示． （2）如图直线所示． （3）根据图像，可知的面积为． （4）， ，理由为，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 【变式训练】 13．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)射线，线段 (4)，点到直线的距离，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线的定义及点到直线的距离，熟练掌握垂线的定义及点到直线的距离是解题的关键； （1）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （2）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （3）根据点到直线的距离可进行求解； （4）根据点到直线的距离，垂线段最短可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：线段的长度是点到射线的距离，线段的长度是点到直线的距离； 故答案为射线，线段； （4）解：由图可知：，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为，点到直线的距离，垂线段最短． 14．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）在如图所示的的方格纸中，每个小正方形的边长为，点A、B、C均为格点（格点是指每个小正方形的顶点）． (1)按下列要求画图： ①标出格点，使，并画出直线； ②标出格点，使，并画出直线； (2)计算的面积为 ； (3)若直线交于点，比较大小；线段 线段（填“”，“”、“”），理由是 ． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了平行线、垂线的作法、三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）①直接利用网格得出的平行线即可；②直接利用网格结合垂线的作法即可解答； （2）割补法以及三角形的面积公式解答即可． （3）根据点到直线的距离垂线最短即可解答． 【详解】（1）解：①如图：直线即为所求； ②如图：直线即为所求． （2）解：的面积为：． （3）解：∵于点， ∴（垂线段最短）． 故答案为：，垂线段最短． 15．（25-26七年级上·江苏·期末）如图，已知是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中画图并标注相关字母． (1)画线段； (2)画直线； (3)过点画的垂线，垂足为； (4)在直线上找一点，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了直线、线段、射线，利用直线、线段、垂线的定义是解题关键． （1）如图，用直尺连接点，点即为线段； （2）如图，连接并向两端延长即为要求作的直线； （3）根据垂线的定义，可得答案， （4）根据线段的性质，连接与交于点，即可得到答案． 【详解】（1）解：画线段，如图： （2）解：画直线，如图： （3）解：过点画的垂线，垂足为，如图： （4）解：在直线上找一点，使得最小，如图： 【考点6】同位角、内错角、同旁内角 【例6】．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，写出图中的一对同旁内角 ． 【答案】与 【分析】本题考查了同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．同旁内角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案． 【详解】解：在之间的右侧的与是同旁内角， 故答案为：与． 【变式训练】 16．（24-25七年级·贵州遵义·期末）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了内错角的定义，正确记忆内错角的定义是解决本题的关键．根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成” “形作答． 【详解】解：的内错角是 故选：D． 17．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了角的位置关系，熟悉掌握位置关系是解题的关键． 根据位置关系逐一判断即可． 【详解】解：A：与是同位角，故A错误； B：与是内错角，故B错误； C：与没有位置关系，故C错误； D：与是同旁内角，故D正确； 故选：D． 18．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图：与构成同旁内角的角有 个． 【答案】3 【分析】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义．根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 【详解】解：能与构成同旁内角的角有、、，共3个． 故答案为：3． 【考点7】平行线的判定 【例7】（23-24七年级·江苏南京·期末） 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴，故②不符合题意； ③∵， ∴，故③符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【变式训练】 19．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，我们经常这样过直线外一点画已知直线的平行线，其依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是结合图形准确分析平行线的判定方法．根据画图的方法，利用了同位角相等，两直线平行的方法作已知直线的平行线． 【详解】解：如图， 由作图可得， 根据同位角相等，两直线平行得到所作的为已知直线的平行线． 故选：A 20．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，能使的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定， 根据平行线的判定逐项分析即可解答． 【详解】解：A、，能判断，故符合题意； B、，能判断，不能判断，故不符合题意； C、，能判断，不能判断，故不符合题意； D、，不能判断，故不符合题意． 故选：A． 21．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤，能判定的有 （填序号） 【答案】①③④ 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ，故①符合题意； ， ，故②不符合题意； ， ，故③符合题意； ， ，故④符合题意； 由，不能判定，故⑤不符合题意； 综上所述：能判定的有①③④， 故答案为：①③④． 【考点8】平行线的性质 【例8】（25-26七年级·全国·课后作业）如图，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及邻补角的定义，掌握两直线平行，内错角相等、邻补角之和为是解题的关键． 由，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，再根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解： 与是邻补角 故答案为：． 【变式训练】 22．（24-25七年级·江苏南京·期末）如图，若，则下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等，或两直线平行，内错角相等，或两直线平行，同旁内角互补，且结合选项的情况进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C 23．（22-23七年级·陕西西安·期末）如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． 【答案】130 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据，得出，最后根据平行线的性质，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 24．（24-25七年级上·江苏徐州·月考）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点，分别落在点处，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，进行求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∵ ∴ 由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【考点9】平行线性质的应用 【例9】（23-24七年级·江苏南京·月考）一大门的栏杆如图所示，垂直地面于点A，平行于地面，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．过B作，则．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：过B作， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 25．（23-24七年级·广西百色·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角，则第二次的拐角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等，可知，进而得出结果． 【详解】解：如图， ∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴， ∴， 故选：C． 26．（23-24七年级·广东清远·期中）为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2的数学问题：已知，，．则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形的外角的性质；直接利用平行线的性质得出，进而利用三角形的外角得出答案； 【详解】如图所示：延长交于点， ，， ， ， ， ， ．    故答案为：． 27．（24-25七年级·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 【考点10】利用平行线探究角之间的关系 【例10】（24-25七年级·浙江绍兴·期中）数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知，其中、分别为、的平分线，且相交于点．若， ，则和间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 故答案为：． 【变式训练】 28．（2012七年级·江苏·学业考试）如图，已知，连接得到，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 由得，由得，整理可得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 29．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 30．（24-25七年级·江苏泰州·期中）如图，已知，点是直线与外一点，连接．过点作的角平分线，过点作的角平分线，过作交直线于点，则 ．（可用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，可得出，即可证明，，根据角平分线的定义得出，根据得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴． 【考点11】平行线的性质与判定 【例11】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，是边上的高，垂足为D点，点P在边上，连接，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）根据题意可知，结合，得出，根据内错角相等，两直线平行得出结论； （2）利用三角形内角和求出的度数，再利用角平分线定义得到，利用两直线平行同旁内角互补即可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： 是边上的高线， ， ， 又， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 【变式训练】 31．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，已知平分，． (1)与怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解题的关键在于灵活运用角平分线的定义和平行线的判定定理与性质定理． （1）由平分，可得，满足内错角相等，进而得出与的位置关系； （2）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据第一问的结论得到，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分， ， ， ， ； （2）平分，， ， ， ， ， ． 32．（21-22七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是找出角度之间的数量关系，熟练掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的判定和性质求解，即可得到答案； （2）由角平分线的定义，得到，根据平行线的性质，得出，再利用角平分线的定义，即可求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：平分， ， ， ，， ， ， ， 平分， ． 33．（21-22七年级·云南曲靖·期末）如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据可得，然后根据，可证明，即可得出结果； （2）首先推导出，，然后依据平分，得到，利用，得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 【考点12】平行线综合问题 【例12】（22-23七年级·湖北武汉·月考）已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，则可得，再设，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）延长交于点，先根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质即可得证； （3）过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，，，再根据角平分线的定义、等量代换可得，然后根据可得，最后根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 设， ∵比的2倍少， ∴，即， ∴， ∴． （2）证明：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 34．（24-25七年级·江苏宿迁·期末）如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”． (1)如图1，形中，若，，则________°； (2)如图2，形中，若，，则________°； (3)如图3，连接形中两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由； (4)在（3）的条件下，当点在射线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系． 【答案】(1)60 (2)60； (3)，理由见解析； (4)或． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． （）过作，利用平行线的性质计算即可求解； （）设与交于点，利用平行线的性质和外角性质即可求解； （）过点作交于点，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得，结合（）的结论可求解； （）可分两种情况：当当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解； 【详解】（1）解：过作， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴， 故答案为：60； （2）如图，设与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：60； （3）解：，理由如下： 过点作交于点， ∴， 则，， ∴ ∴， 由（）可得， ∵， ∴， ∴； （4）如图，当，位于两侧时， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 即； 当，，三点共线时，， ∴； 当，位于同侧时， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 即， 综上，或． 35．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：过点B作， ∴___________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）， ∴___________， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线、之间的点，连接、、、，平分，平分，设，，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、，平分，平分，，已知，试探究的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质和判定填空作答即可． （2）因为平分，平分，所以，，根据（1）的，，进行角的等量代换，即可作答． （3）先根据平分，平分，所以，，因为，得，再结合以及（1）的结论进行角的等量代换，即可作答． 【解答】（1）证明：过点B作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，平行于同一直线的两直线平行，； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴由（1）可得，， ∴； ∴的度数为． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴由（1）可得． ∴ ． ∴， ∴． 36．（22-23七年级·湖北武汉·月考）已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，则可得，再设，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）延长交于点，先根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质即可得证； （3）过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，，，再根据角平分线的定义、等量代换可得，然后根据可得，最后根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 设， ∵比的2倍少， ∴，即， ∴， ∴． （2）证明：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识．根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可． 【详解】解：A、跳远测量成绩用到的是“垂线段最短”； B、两钉子固定木条用到的是两点确定一条直线； C、木板上弹墨线用到的是两点确定一条直线； D、弯曲河道改直用到的是两点之间，线段最短； 故选：A． 2．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．根据点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：如图： 符合条件的直线共有4条； 故选：D． 3．（24-25七年级·山东聊城·开学考试）a，b，c是三条直线，如果，那么（　　） A． B． C． D．以上全不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行公理， 根据平行公理及推论求解即可． 【详解】解：∵， ∴. 故选：B． 4．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离． 根据高的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴点B到的距离是线段的长度． 故选：C． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质，对折前后角相等，可得，再由平行线的性质解答即可． 本题考查图形的翻折变换，平行线的性质．熟练掌握轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D 6．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴， ∴能判断的条件有①④，共2个 故选：B． 7．（24-25七年级·陕西咸阳·期末）如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，结合已知条件证明正确；内错角相等，两直线平行，证明正确；由两直线平行，同位角相等，证明正确；不能证明，可得答案． 【详解】解： ， ． ， ，故正确； ， ，故正确； ， ． ， ，故正确； 不能证明， 故答案为：B 8．（24-25七年级·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 9．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图所示的5个角中，与 是同位角． 【答案】 【分析】本题主要考查了同位角的定义，熟练掌握同位角的位置特征（截线同旁、被截直线同侧）是解题的关键．根据同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角），判断与符合同位角位置关系的角． 【详解】解：∵同位角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁且在被截直线同侧的角，直线、被直线所截，与在截线同旁，且分别在直线、的同侧， ∴与是同位角， 故答案为：． 10．（22-23七年级·陕西榆林·期末）如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的三个判定定理添加即可． 【详解】解：添加， 由同位角相等两直线平行，即可得； 故答案为：（答案不唯一）． 11．（25-26七年级上·四川内江·月考）如图所示，直线，相交于点O，，，，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线的性质（两直线垂直则夹角为）与对顶角的性质（对顶角相等），熟练运用这两个性质是解决此类角度计算问题的关键．先依据垂线的性质确定直角（），再通过角度差求出，结合对顶角相等得到，最后利用角度和求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）将一个长方形纸片折叠成图所示的图形，若，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质和平角的定义，解题的关键是利用折叠前后对应角相等，结合平角为来建立角度关系；易错点是忽略折叠后对应角相等的条件，或不能正确识别平角所包含的角；根据折叠的性质，找出与相等的角，再观察这些角是否构成平角，最后利用平角定义列式计算的度数． 【详解】解：延长，如图， 由长方形纸片可得，， ， 由折叠得， 则 故答案为． 14．（24-25七年级·陕西安康·期末）如图，直线被直线所截，平分交于点F，平分交于点E，，则的度数为 ． 【答案】90 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．根据角平分线的定义，推出，进而得到，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵平分交于点F，平分交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90 15．（24-25七年级·江苏泰州·月考）如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解答此题的关键． 设，，根据角平分线的定义得，，，，再根据得，，，由此可得，，然后根据可求出，据此即可求出的度数． 【详解】解：设交于点，过作，如图： 设，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ，，， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（24-25七年级·江苏无锡·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点、分别落在、处，且经过点，交于点，连接，平分．若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】此题重点考查平行线的性质、翻折变换的性质、角平分线的定义等知识，由平分，得，则，所以，由得，因为，所以，由得，求得，于是得到问题的答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠得，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，一辆汽车在直线形公路上由A向B行驶，点C，D分别是位于公路两侧的村庄，设汽车行驶到点E时，离村庄C最近，行驶到点F时，离村庄D最近． (1)请你在上分别画出E，F两点的位置； (2)如果在公路上有一个点P到村庄C和村庄D的距离之和最短，请在公路上画出点P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂线段最短；两点之间，线段最短； （1）根据垂线段最短，分别过点C、D向直线作垂线即可； （2）根据两点之间，线段最短，连接与直线的交点即为点P． 【详解】（1）解：点E，F的位置如图所示： （2）点P的位置如图所示． 18．（24-25七年级·陕西宝鸡·月考）如图，已知，平分，且，求证：．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：平分（已知）， （角平分线的定义）． （已知）， （___________）， ___________（等量代换）． （已知）， ___________（同旁内角互补，两直线平行）， ___________（___________）， （等量代换）． 【答案】两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，内错角相等． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 由角平分线的定义，结合平行线的性质，可得，由，可得，根据平行线的性质，可得，等量代换即可证得结论． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为： 两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，内错角相等． 19．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线相交于点．平分，． (1)的度数为___________．； (2)若，则是否平分？并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见详解； 【分析】本题考查角平分线、对顶角，角的和差运算，掌握角平分线的定义，理解对顶角相等是正确解答的关键． （1）根据对顶角的性质求出，再根据角平分线的定义即可求出； （2）根据角的和差运算，和邻补角求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵与互为对顶角, ∴ ∵平分 ∴， 故答案为：． （2）解：平分， 理由：由（1）得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 则平分． 20．（23-24七年级·辽宁丹东·期末）如图，在中，点E，F分别在，边上，点M，N在边上，连接，交于点D，，，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)过程见详解 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质及三角形的外角性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据对顶角相等结合题意推出，即可判定;根据平行线的性质等量代换得出，据此即可判定． （2）利用三角形的外角性质即可求出． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ． （2）解：，， , , ． 21．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，平分交于点D，过点C作，且交的延长线于点E，点F在的延长线上，且． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再结合题意得出，即可得出结果； （2）由平行线的性质并结合题意可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分交于点D， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 22．（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 即． （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 23．（23-24七年级·江苏淮安·期中）【问题情境】 是锐角三角形，点D在线段的延长线上，过点D作直线，点E在线段上（点E不与点A，B，D重合），连接，过点E作交直线m于点F（点F不与点D重合）． 【问题初探】如图1，点E在线段上时，＝ °； 【类比研究】当点E在线段上时，探究与之间满足的数量关系．请在备用图中画出符合条件的图形，并说明理由； 【深入探究】若与的角平分线所在直线相交于点O，试探究的度数，并直接写出你的探究结果． 【答案】【问题初探】90；【类比研究】或；【深入探究】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角与外角的性质等知识点，熟练通过平行线的性质和三角形内角和为进行角度计算和整体代换是解题关键． 【问题初探】通过平行线的性质，得到，再通过，得到，利用和的内角和即可计算出结果（也可过点E构造平行线，利用内错角求出结果）． 【类比研究】同【问题初探】，通过平行线的性质，得到的一个内角与的一个内角的关系，再借助得到两个三角形中另外一个内角的关系，利用内角和即可计算出结果． 【深入探究】同【类比研究】的方法，观察图象，通过三角形外角的性质和三角形的内角和，构建与【类比研究】和【问题初探】中的结论之间的关系（不同情况关系不同），即可计算出结果． 【详解】解：【问题初探】∵， ∴． ∴． ∵直线， ∴． ∴． 【类比研究】分两种情况讨论． 第一种：，画出符合条件的图形如图所示，理由如下： ∵， ∴，即． ∵直线， ∴． ∵， ∴． ∴． 第二种：，画出符合条件的图形如图所示，理由如下： ∵， ∴． ∵直线， ∴，即． 又， ∴． 【深入探究】由之前的研究可知，共分三种情况： 第一种：点E在线段上，画出图形如图所示，过点O作． ∵， ∴． ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∴． 第二种：点E在线段上，画出图形其示意图如图所示，延长交于点P． ∵是的平分线， 由对顶角相等，得． ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． 第三种：点E在线段上，画出图形其示意图如图所示，与交于点P． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵， ∴． 综上，． 24．（24-25七年级·四川德阳·期中）已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则 ； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 【答案】(1)65 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【详解】（1）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06相交线与平行线 （7大知识点+12大考点+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：对顶角与邻补角 1.对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． 2.邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 3.对顶角的性质：对顶角相等． 4.邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． 5.提示：邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 知识点2 ：垂直、垂线段 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （4）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 知识点3 ：同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）注意：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 知识点4 ：平行及平行公理 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 知识点5 ：平行线的判定 （1）判定定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．  （2）判定定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．  （3 ）判定定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）判定方法4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）判定方法5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 知识点6 ：平行线的性质 性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 性质定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 性质定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 知识点7 ：平行线的性质与判定综合题解题方法 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 【考点1】对顶角与邻补角 【例1】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点平分，则 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线相交于点平分．若，则的度数为 ． 3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，点O在直线上，平分，，则的度数是 ． 【考点2】垂线段 【例2】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为C，若，则点A到的距离为 ． 【变式训练】 4．（20-21七年级上·江苏镇江·期末）下列三个日常现象：其中可以用“垂线段最短”来解释的是 ．（填序号） 5．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 6．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，点在直线上，，垂足为，，则线段的长是点到直线 的距离． 【考点3】相交线中角的有关计算 【例3】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线、相交于点，平分，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式训练】 7．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，直线，相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 8．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，直线，相交于点，分别在的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：______． (2)若，求的度数． 9．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图所示，直线与直线交于点O，射线在内部，是的平分线，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【考点4】平行线及平行公理 【例4】（22-23七年级·河南郑州·期中）如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ． 【变式训练】 10．（24-25七年级·江苏无锡·期末）用反证法证明：已知a，b，c是同一平面内的三条不同直线，如果，a与c相交，那么b与c相交．应先假设（    ） A．a与b相交 B．a与c平行 C．b与c垂直 D．b与c平行 11．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）下列说法中：①不相交的两条直线叫做平行线；②若线段与线段没有交点，则；③两点确定一条直线，④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中说法正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（22-23七年级·湖南永州·期末）在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ． 【考点5】垂线与平行的作图问题 【例5】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题． (1)过点画的平行线，并标出平行线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为点； (3)连接，，则的面积为______． (4)比较大小： ______填、或，理由：______． 【变式训练】 13．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 14．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）在如图所示的的方格纸中，每个小正方形的边长为，点A、B、C均为格点（格点是指每个小正方形的顶点）． (1)按下列要求画图： ①标出格点，使，并画出直线； ②标出格点，使，并画出直线； (2)计算的面积为 ； (3)若直线交于点，比较大小；线段 线段（填“”，“”、“”），理由是 ． 15．（25-26七年级上·江苏·期末）如图，已知是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中画图并标注相关字母． (1)画线段； (2)画直线； (3)过点画的垂线，垂足为； (4)在直线上找一点，使得最小． 【考点6】同位角、内错角、同旁内角 【例6】．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，写出图中的一对同旁内角 ． 【变式训练】 16．（24-25七年级·贵州遵义·期末）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 18．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图：与构成同旁内角的角有 个． 【考点7】平行线的判定 【例7】（23-24七年级·江苏南京·期末） 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 【变式训练】 19．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，我们经常这样过直线外一点画已知直线的平行线，其依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线平行，同位角相等 20．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，能使的条件是（　　） A． B． C． D． 21．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，下列条件中：①；②；③；④；⑤，能判定的有 （填序号） 【考点8】平行线的性质 【例8】（25-26七年级·全国·课后作业）如图，，，则的度数为 ． 【变式训练】 22．（24-25七年级·江苏南京·期末）如图，若，则下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 23．（22-23七年级·陕西西安·期末）如图，点在CB的延长线上，，则的度数为 ． （第23题） （第24题） 24．（24-25七年级上·江苏徐州·月考）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点，分别落在点处，若，则的度数是 ． 【考点9】平行线性质的应用 【例9】（23-24七年级·江苏南京·月考）一大门的栏杆如图所示，垂直地面于点A，平行于地面，则 ． 【变式训练】 25．（23-24七年级·广西百色·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角，则第二次的拐角度数是（    ） A． B． C． D． （第25题） （第26题） 27．（23-24七年级·广东清远·期中）为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2的数学问题：已知，，．则的度数为 ． 27．（24-25七年级·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 【考点10】利用平行线探究角之间的关系 【例10】（24-25七年级·浙江绍兴·期中）数学课上同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动，如图所示，已知，其中、分别为、的平分线，且相交于点．若， ，则和间的数量关系为 ． 【变式训练】 28．（2012七年级·江苏·学业考试）如图，已知，连接得到，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级·江苏泰州·期中）如图，已知，点是直线与外一点，连接．过点作的角平分线，过点作的角平分线，过作交直线于点，则 ．（可用含的式子表示） 【考点11】平行线的性质与判定 【例11】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，是边上的高，垂足为D点，点P在边上，连接，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【变式训练】 31．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，已知平分，． (1)与怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，，求的度数． 32．（21-22七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，平分，且，求的度数． 33．（21-22七年级·云南曲靖·期末）如图，已知：，． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【考点12】平行线综合问题 【例12】（22-23七年级·湖北武汉·月考）已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 【变式训练】 34．（24-25七年级·江苏宿迁·期末）如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”． (1)如图1，形中，若，，则________°； (2)如图2，形中，若，，则________°； (3)如图3，连接形中两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由； (4)在（3）的条件下，当点在射线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系． 35．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：过点B作， ∴___________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）， ∴___________， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线、之间的点，连接、、、，平分，平分，设，，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、，平分，平分，，已知，试探究的度数． 36．（22-23七年级·湖北武汉·月考）已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．B．C． D． 2．（25-26七年级上·江苏镇江·月考）如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（24-25七年级·山东聊城·开学考试）a，b，c是三条直线，如果，那么（　　） A． B． C． D．以上全不对 4．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 （第4题） （第5题） （第6题） 5．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则（　　） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25七年级·陕西咸阳·期末）如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． （第7题） （第8题） （第9题） 8．（24-25七年级·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图所示的5个角中，与 是同位角． 10．（22-23七年级·陕西榆林·期末）如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） （第10题） （第11题） （第12题） 11．（25-26七年级上·四川内江·月考）如图所示，直线，相交于点O，，，，的度数为 ． 12．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ． 13．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）将一个长方形纸片折叠成图所示的图形，若，则的度数为 （第13题） （第14题） （第15题） 14．（24-25七年级·陕西安康·期末）如图，直线被直线所截，平分交于点F，平分交于点E，，则的度数为 ． 15．（24-25七年级·江苏泰州·月考）如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是 ． 16．（24-25七年级·江苏无锡·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点、分别落在、处，且经过点，交于点，连接，平分．若，，则的度数是 ． 三、解答题 17．（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，一辆汽车在直线形公路上由A向B行驶，点C，D分别是位于公路两侧的村庄，设汽车行驶到点E时，离村庄C最近，行驶到点F时，离村庄D最近． (1)请你在上分别画出E，F两点的位置； (2)如果在公路上有一个点P到村庄C和村庄D的距离之和最短，请在公路上画出点P． 18．（24-25七年级·陕西宝鸡·月考）如图，已知，平分，且，求证：．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：平分（已知）， （角平分线的定义）． （已知）， （___________）， ___________（等量代换）． （已知）， ___________（同旁内角互补，两直线平行）， ___________（___________）， （等量代换）． 19．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线相交于点．平分，． (1)的度数为___________．； (2)若，则是否平分？并说明理由． 20．（23-24七年级·辽宁丹东·期末）如图，在中，点E，F分别在，边上，点M，N在边上，连接，交于点D，，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，平分交于点D，过点C作，且交的延长线于点E，点F在的延长线上，且． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 22．（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 23．（23-24七年级·江苏淮安·期中）【问题情境】 是锐角三角形，点D在线段的延长线上，过点D作直线，点E在线段上（点E不与点A，B，D重合），连接，过点E作交直线m于点F（点F不与点D重合）． 【问题初探】如图1，点E在线段上时，＝ °； 【类比研究】当点E在线段上时，探究与之间满足的数量关系．请在备用图中画出符合条件的图形，并说明理由； 【深入探究】若与的角平分线所在直线相交于点O，试探究的度数，并直接写出你的探究结果． 24．（24-25七年级·四川德阳·期中）已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则 ； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $