专题02代数式（8大知识点+18大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材苏科版

专题02代数式（8大知识点+18大考点+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：代数式 1.代数式的定义：是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可以表示为一个或多个项的和，每个项由系数、字母和字母的指数组成 2.代数式的书写规范： （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示； （3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写． 3.代数式的值： 当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有直接代入法、整体代入法、间接求值法等。 知识点2：整式的有关概念 1． 单项式的有关概念 （1）由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． （2）单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式的有关概念： （1）几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．在多项式中，不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （2）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． （3）多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 3．整式：单项式和多项式统称为整式． 知识点3 ：同类项与合并同类项 1． 同类项： （1）所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． （2）辨别同类项要把准“两相同，两无关”：“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； “两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2． 合并同类项： （1）把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 知识点4 ：去括号与添括号 1. 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 2.去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． 3添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 知识点5：整式的加减 1. 整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．整式的加减实质上就是合并同类项． 2.整式的加减步骤及注意问题 （1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 知识点6：整式的化简求值 (1)直接代入法：当已知整式中字母的值时，可以直接把字母的值代入化简后的整式中求值，注意化简 整式时去括号的顺序 (2)整体代入法：当题目中的几个字母存在某种关系，且不易求出各个字母的值时，可考虑把字母之 间的关系等式整体代入化简后的整式中求值 知识点7：整式的加减的应用 整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 知识点8：数字或图形的变化规律 （1）认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 【考点1】代数式的书写规则 例1．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】 1．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·青海西宁·期中）有下列五个式子：①；②；③(不等于)；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级上·湖南永州·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，其中符合用字母表示数的书写要求的是 ．（填序号） 【考点2】列代数式 例2．（2022七年级上·浙江·专题练习）某品牌电脑原价n元，降价后又降低m元，该电脑现价（单位：元）为（ ）元 A． B． C． D． 【变式训练】 4．（2025六年级上·湖南长沙·专题练习）一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，这个两位数用含有字母的式子表示是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 6．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）在“手拉手活动”中，小明为捐助某贫困山区的一名同学，现已存款800元，他计划今后每月存款50元，n月后存款总数是 元（用含n的代数式表示）． 【考点3】单项式的有关概念 例3．（25-26七年级上·广西钦州·期中）单项式的系数与次数分别是（    ） A．， 3 B．， 4 C．5， 4 D．5， 3 【变式训练】 7．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）的系数和次数分别是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）是六次单项式，则m的值为 ． 9．（25-26七年级上·海南海口·月考）请写出一个含有字母和，且系数为，次数为3的单项式： ． 【考点4】单项式的变化规律 例4．（25-26七年级上·广西崇左·月考）以下是一组按规律排列的多项式：，，，……，其中第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 10．（24-25七年级上·云南红河·期末）观察下列代数式的排列规律：，，，，…，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 11．（22-23七年级上·广东江门·期末）一组按规律排列的单项式：，，，，，根据其中的规律，第10个单项式是（   ）． A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）观察下列单项式：，则第2025个单项式是 ． 【考点5】多项式的有关概念 例5．（25-26七年级上·吉林四平·月考）整式的项数和次数分别是（    ） A．4，6 B．4，10 C．5，6 D．5，10 【变式训练】 13．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）对于多项式，下列说法错误的是（    ） A．它的项分别是 B．最高次项的系数是 C．它的常数项是 D．它是三次三项式 14．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）多项式的最高次项的系数是 ． 15．（25-26七年级上·广东惠州·期中）多项式是 次 项式． 【考点6】多项式的字母求值问题 例6．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知多项式是六次四项式，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】 16．（24-25七年级上·吉林·期末）若关于x的多项式中不含三次项和一次项，则（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 17．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知多项式是关于，的四次三项式，的值是（    ） A．6 B．3 C． D．或3 18．（2025七年级上·山东聊城·专题练习）如果多项式是关于x的二次二项式，m，n为常数，则 ． 【考点7】多项式的降（升）幂排列问题 例7．（25-26七年级上·河南南阳·期中）多项式 按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 19．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）把多项式按x进行降幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·黑龙江伊春·月考）已知多项式，按照y的降幂排列为 ． 21．（25-26七年级上·四川乐山·期中）多项式按字母a的降幂排列是 ． 【考点8】同类项 例8．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如果与是同类项，那么a，b的值分别是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 22．（25-26七年级上·河南周口·月考）下列各组单项式中，是同类项的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 23．（25-26七年级上·福建南平·期中）已知与是同类项，则代数式的值为（   ） A．0 B． C．1 D．7 24．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若单项式与的差仍是单项式，则 ． 【考点9】合并同类项 例9．（25-26七年级上·山东德州·期中）多项式化简后不含项，则为 ． 【变式训练】 25．（25-26七年级上·全国·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 26．（25-26七年级上·山西太原·月考）若与能合并同类项，则的值是 ． 27．（25-26七年级上·全国·期中）如果关于x的代数式的值与x无关，则的值为 ． 【考点10】去括号与添括号 例10．（25-26七年级上·江苏·期中）化简： ． 【变式训练】 28．（25-26七年级上·广西崇左·月考）化简结果正确的是(        ) A． B． C． D． 29．（25-26七年级上·山西太原·月考）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 30．（25-26七年级上·全国·期末）已知，，则 ． 【考点11】整式的加减 例11．（25-26七年级上·广东茂名·期中）已知：，． (1)计算的值； (2)若单项式与是同类项，求的值． 【变式训练】 31．（25-26七年级上·福建南平·期中）化简： (1)； (2)． 32．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期中）化简 (1) (2) 33．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知：，． (1)求（用含的代数式表示）： (2)比较与的大小，并说明理由． 【考点12】整式的化简求值 例12．（25-26七年级上·河南焦作·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练】 34．（25-26七年级上·全国·期中）先化简再求值，，其中，． 35．（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）先化简，再求值：，其中，． 36．（25-26七年级上·福建南平·期中）先化简，再求值：，其中． 【考点13】整式加减的无关性问题 例13．（25-26七年级上·广东汕尾·月考）已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)若的值与a无关，求b的值． 【变式训练】 37．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知两个多项式A和B，其中，当某同学计算时，把误看成，结果求出答案 (1)求多项式A． (2)若值与n的取值无关，求m的值． 38．（25-26七年级上·四川达州·期中）已知代数式．． (1)化简：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 39．（25-26七年级上·广东中山·期中）已知多项式， (1)求； (2)若的值与y无关，求x的值． 【考点14】代数式求值 例14．（25-26七年级上·广东河源·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则_____； 我们将作为一个整体代入，则原式 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值； (4)当时，代数式的值为m，求当时，代数式的值． 【变式训练】 40．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 41．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知，则代数式的值为 ． 42．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）如果代数式，那么代数式的值是 ． 【考点15】整式加减的应用 例15．（25-26七年级上·河南洛阳·月考）已知，若的值与的取值无关，则，．所以当时，的值与的取值无关． (1)已知，． ①请用含，的式子表示； ②若的值与的取值无关，求的值； (2)7张如图1的小长方形，长为2，宽为1，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，则的值是__________，此时的值是__________． 【变式训练】 43．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图是用铝合金条制作的A，B两种造型的长方形窗框，窗框的长都是y米，宽都是x米． (1)制作一个A型窗框需要铝合金条_______米，制作一个B型窗框需要铝合金条_______米； (2)制作A，B两种造型的长方形窗框各一个，请通过计算说明哪种造型的窗框更节约材料； (3)请用代数式表示制作3个A型窗框和2个B型窗框所需的铝合金条长度，并求出当，时所需的铝合金条长度． 44．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 45．（25-26七年级上·浙江台州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节水的目的，该市自来水收费价格见表格（水费按月结算）： 每月用水量 单价（元/立方米） 不超过8立方米的部分 2.5 超过8立方米的部分 3 (1)若某户居民2月份用水6立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民3月份共用水12立方米，则应收水费多少元？ (3)若某户居民4月份共用水x立方米，则应收水费多少元？（用含的式子表示） 【考点16】数字的变化规律 例16．（24-25七年级上·江苏常州·期中）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 将有序数对表示第m行，从左至右第n个数，如表示自然数11． (1)观察每一行的最后一个数，然后请写出第6行的最后一个自然数：_____；有序数对表示的自然数是____； (2)表示自然数2024的有序数对是____； (3)分别记第1行的自然数的个数为，前2行所有自然数的个数为，前3行所有自然数的个数为，以此类推，前行所有自然数的个数为，则____． 【变式训练】 46．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为4，则第2025次输出的结果为（   ） A． B． C．2 D． 47．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ； (2)请用含n的式子表示第n（n正整数）个等式． (3)求的值． 48．（25-26七年级上·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 代数推理的魅力 一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除． 若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为，，，则通常记这个三位数为．于是： ． 显然能被3整除，因此如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 问题解决： (1)下列三位数中，不能被3整除的是________． A．123    B．235    C．357    D．555 (2)参照材料中的方法，说明一个四位数，若它的所有数位上的数字之和能被3整除，则这个四位数能被3整除． (3)拓展：若表示一个四位数，当时，这个四位数能被11整除．请你直接写出的值．（至少写出2个） 【考点17】图形的变化规律 例17．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）如图是一组有规律的图形，第1个图形中有5个梅花图案，第2个图形中有8个梅花图案，第3个图形中有11个梅花图案，……，按照这样的规律画下去． (1)第4个图形中梅花图案的个数为_________； (2)①第n个图形中梅花图案的个数为_________（用含n的代数式表示）； ②在①的条件下，求出第50个图形中梅花图案的个数； (3)如果某个图形中有2027个梅花图案，这是第几个图形？ 【变式训练】 49．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物,如图所示的是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．图1中有1个碳原子和4个氢原子；图2中有2个碳原子和6个氢原子；图3中有3个碳原子和8个氢原子……按照这一规律，则图的分子结构模型中碳原子个数是 ，氢原子的个数是 ． 50．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图所示，由若干个点组成的正方形图形，每条边上的点数为（），每个图形的总点数为． …… (1)写出与之间的关系： （用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)按此规律，总点数的值能为吗？若能，请求出此时每条边上的点数；若不能，请说明理由． 51．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）阅读材料：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形（长方形），接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去．我们可以利用图形展示的规律将累加式进行化简： 例如：由于，所以． 完成解答： ①类比上面推理将累加式化简为______； ②利用上面的解题方法化简累加式______； ③化简累加式：． 【考点18】新定义问题 例18．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）日常生活中每星期都有7天，所以我们定义：若，则称与为“完美星期数”，例如：因为，我们就说6和1是“完美星期数”，请根据以上材料，回答下列问题： (1)与_____是“完美星期数”， 与_____是“完美星期数”；（用含的代数式表示） (2)若，请你通过计算判断与是否为“完美星期数”； (3)已知，且与为“完美星期数”，求与的值． 【变式训练】 52．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是．例如： (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，请你计算当时，的值． 53．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“皖韵数”．例如三位数352，因为，所以它是“皖韵数”．设一个“皖韵数”的百位、十位、个位数字分别为x，y，z． (1)写出x与y，z之间的等量关系式：________； (2)若一个三位数是“皖韵数”，求m的值； (3)请判断任意一个“皖韵数”是否都能被11整除？并说明理由． 54．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，我们把这样的四位正整数叫作“四位对称数”，如1331，7007等都是“四位对称数”． (1)请写出一个“四位对称数”：____________； (2)小明研究“四位对称数”时，提出一个猜想：将一个“四位对称数”减去其各位数字之和，所得的结果能够被9整除．小明的猜想是否正确？设一个“四位对称数”千位数字为x，十位数字为y，请通过推理加以判断、说明． 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）单项式的系数和次数分别是（   ） A．和4 B．和6 C．和2 D．4和6 2．（25-26七年级上·江苏常州·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·广东中山·期中）某商店举办促销活动，促销的方式是将原价为元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义的描述，正确的是（    ） A．原价打七折后再减去元 B．原价减去元后再打七折 C．原价减去元后再打三折 D．原价打三折后再减元 4．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）在很小的时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数（各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指），则数到时对应的指头是（  ） A．大拇指 B．中指 C．无名指 D．小指 5．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图，长方形是由4块小长方形拼成，其中②③两长方形的形状与大小完全相同，且长与宽的差为3，则小长方形④与小长方形①的周长的差是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 6．（25-26七年级上·江苏南通·期中）关于代数式的最值，下列说法正确的是（） A．最小值是0 B．最小值是3 C．最小值是 D．无最大值 二、填空题 7．（25-26七年级上·江苏南通·期中）整式的次数是 ． 8．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）写出一个同时满足以下三个条件的单项式： 系数是负数； 次数是； 至少含有个字母； 这个单项式可以是： ． 9．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）加法交换律：“交换两个加数的位置，和不变”，用字母可以表示为．有理数的减法法则：“减去一个数，等于加上这个数的相反数”．用字母表示这一法则，可表示为 ． 10．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若，则代数式的值为 ． 11．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则 ． 12．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知时，代数式的值是2，当时，代数式的值为 ． 13．（24-25七年级上·陕西安康·月考）某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案.如图，第1个图案由4个组成，第2个图案由7个组成，第3个图案由10个组成，⋯，按此规律排列下去，第个图案中的个数为 ．（用含的代数式表示） 14．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）观察按下列规则排成的一列数： ，，，，，，，，，，，…在这列数中，从左起第个数记为，当时，则 ． 三、解答题 15．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）化简： (1) (2) 16．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中为的倒数，为的相反数． 17．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）有理数在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：___________0，___________0，___________0． (2)化简：． 18．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一根总长为（其中，）的铁丝，围成一个三边长分别为，，的三角形后，仍有剩余． (1)围成的三角形的周长为______（用含字母a，b的式子表示）； (2)若剩余的铁丝长度为，求围成的三角形的周长． 19．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）已知代数式：，； (1)若，求代数式； (2)在（）的条件下，若，，求代数式的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 20．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 例如，，类似地，我们把看成一个整体， 则． 【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题： （1）化简的结果是 ． （2）化简求值：，其中． 【拓展探索】 （3）已知 求 的值． 21．（25-26七年级上·江苏南通·期中）某校11月份体育节，准备订购一批篮球和排球，采购员调查发现篮球每个售价为150元，排球每个售价为50元．现有甲、乙两家门店提供了各自的优惠方案． 甲店：买一个篮球送一个排球； 乙店：篮球和排球都按定价的付款． 已知要购买篮球50个，排球x个 (1)若在甲店购买，则需付款______元；若在乙店购买，则需付款______元；（用含x的代数式表示） (2)当时，在哪家店购买较为合算？ (3)当时，你认为还有更省钱的购买方案吗？如果没有，请说明理由；如果有，请写出你的购买方案，并计算需要付款的金额． 22．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）魔术师说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以4，再减去你原来所想的那个数的一半，我可以知道你计算的结果是2．” (1)如果设魔术师任意想的那个数为x，请你帮助魔术师说明上述结论的正确性； (2)在（1）中，得到的代数式化简后结果为2，它不含有x，我们称之为“与x无关”．试解决下列“无关”类问题： ①多项式的值（    ）； A．仅与x的大小无关                    B．仅与y的大小无关 C．与x、y的大小都无关                D．与x、y的大小都有关 ②三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c．设图1中阴影部分周长为m，图2阴影部分周长之和为n，试判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关，请说明理由；若无关，求出的值． 23．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数形结合是重要的数学思想，通过数与形的相互转化，利用“以形助数”或“以数解形”，将抽象的数量关系与直观的图形结合起来解决问题．下面借助数形结合思想进行探究． (1)小明观察图1、2分别得到等式：，． ①从小明的观察视角，写出图3所对应的等式____________； ②运用发现的规律简便计算：； (2)小亮观察图1、2分别得到等式：，． ①从小亮的观察视角，写出图3所对应的等式____________； ②运用发现的规律解决下面实际问题： 学校举办“阶梯队列表演”，队列从第1排1人，第2排2人，第3排3人，…，依次增加到第m排m人，再从第排开始，每排人数比前一排少1人，直到最后1排1人．现有100名学生参与表演，恰好能排成这样的“阶梯队列”，求m的值． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02代数式（8大知识点+18大考点+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：代数式 1.代数式的定义：是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可以表示为一个或多个项的和，每个项由系数、字母和字母的指数组成 2.代数式的书写规范： （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示； （3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； （5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写． 3.代数式的值： 当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有直接代入法、整体代入法、间接求值法等。 知识点2：整式的有关概念 1． 单项式的有关概念 （1）由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． （2）单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式的有关概念： （1）几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．在多项式中，不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （2）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． （3）多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 3．整式：单项式和多项式统称为整式． 知识点3 ：同类项与合并同类项 1． 同类项： （1）所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． （2）辨别同类项要把准“两相同，两无关”：“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； “两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2． 合并同类项： （1）把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 知识点4 ：去括号与添括号 1. 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 2.去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． 3添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 知识点5：整式的加减 1. 整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．整式的加减实质上就是合并同类项． 2.整式的加减步骤及注意问题 （1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 知识点6：整式的化简求值 (1)直接代入法：当已知整式中字母的值时，可以直接把字母的值代入化简后的整式中求值，注意化简 整式时去括号的顺序 (2)整体代入法：当题目中的几个字母存在某种关系，且不易求出各个字母的值时，可考虑把字母之 间的关系等式整体代入化简后的整式中求值 知识点7：整式的加减的应用 整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 知识点8：数字或图形的变化规律 （1）认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 【考点1】代数式的书写规则 例1．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了代数式的书写，根据书写规则，代数式书写中分数应为假分数而非带分数，不能出现除号，单位名称前面的代数式不是单项式要加括号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案，掌握代数式的书写规则是解题的关键． 【详解】解： 符合代数式书写要求； 含有除号，应改为，不符合要求； 符合要求； 符合要求； 系数为带分数，应改为，不符合要求， 符合要求的有 、、，共个， 故选：B． 【变式训练】 1．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了代数式规范书写的能力，关键是能准确理解并运用该知识． 代数式书写规则要求数字与字母相乘时数字写在字母前且乘号省略，除法写成分数形式，带分数写为假分数，据此求解即可． 【详解】A中为假分数形式且乘号省略，符合规则； B中乘号未省略且数字未在前，应写为，不符合规则； C中为带分数形式，应写为，不符合规则； D中使用除号，应写为，不符合规则； 故选：A． 2．（25-26七年级上·青海西宁·期中）有下列五个式子：①；②；③(不等于)；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查代数式的表示，熟练掌握代数式的书写要求是解题关键． 根据代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式，判断各项． 【详解】解：①应写为，不符合书写格式； ③应写为，不符合书写格式； ④应写为，不符合书写格式； 而②和⑤符合书写格式； 不符合的有3个． 故选：C． 3．（25-26七年级上·湖南永州·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，其中符合用字母表示数的书写要求的是 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了代数式书写方法，解题关键是掌握代数式书写方法． 根据代数式书写方法，对所给的式子逐一分析，再作出判断． 【详解】解∶中数字1与字母相乘时，应省略1直接写成y，故①不符合书写要求； 中带分数应化为假分数，故②不符合书写要求； 中数字与字母相乘时乘号省略、数字写在字母前面，且无带分数，故③符合书写要求； 中字母与分数相乘时应将数字写在前面，即写成，故④不符合书写要求； 中数字与字母相乘时乘号应省略，即写成，故⑤不符合书写要求． 因此，符合书写要求的只有③． 故答案为：③． 【考点2】列代数式 例2．（2022七年级上·浙江·专题练习）某品牌电脑原价n元，降价后又降低m元，该电脑现价（单位：元）为（ ）元 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，理清降价顺序是解题关键． 根据题意，先计算降价后的价格，再减去降低的m元即可得到现价． 【详解】解：原价为n元，降价后价格为元， 又降低m元，现价为元． 故选：C． 【变式训练】 4．（2025六年级上·湖南长沙·专题练习）一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是，这个两位数用含有字母的式子表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式表示．根据十位数字a表示a个十，即；个位数字b表示b个一，即为b，再求和即可表示出该两位数． 【详解】解：∵十位数字a表示a个十，即；个位数字b表示b个一，即为b， ∴这个两位数为． 故选：B． 5．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 【答案】A 【分析】本题考查匀速进水问题．熟练掌握：总水量 = 原有水量 + 进水总量，进水总量 = 进水速度 × 时间，是解题的关键． 泳池总水量由原有水量和进水量组成，进水量为进水速率乘以时间． 【详解】∵原有水量为20立方米，进水速率为a立方米/小时，时间为t小时， ∴进水量为立方米， ∴总水量为立方米． 故选：A． 6．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）在“手拉手活动”中，小明为捐助某贫困山区的一名同学，现已存款800元，他计划今后每月存款50元，n月后存款总数是 元（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查的是列代数式，掌握列代数式的方法是解题的关键． 由现有存款800元，加上n个月的存款元，从而可得答案． 【详解】解：小明已存款800元，他计划今后每月存款50元，n月后存款总数是：元． 故答案为． 【考点3】单项式的有关概念 例3．（25-26七年级上·广西钦州·期中）单项式的系数与次数分别是（    ） A．， 3 B．， 4 C．5， 4 D．5， 3 【答案】B 【分析】本题考查了单项式系数和次数的定义，根据单项式系数和次数的定义，系数是数字部分，次数是所有字母的指数之和． 【详解】解：∵单项式中，数字因数是， ∴系数为． 又∵字母x的指数是1，y的指数是3， ∴次数为． ∴系数与次数分别是和4． 故选：B． 【变式训练】 7．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）的系数和次数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数判断，准确分析判断是解题的关键．根据单项式的系数和次数的定义判断即可． 【详解】解：由题可知单项式的系数为，次数为； 故选：D． 8．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）是六次单项式，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了单项式的次数，牢记次数的定义是解题的关键．本题根据单项式次数的定义，即所有字母的指数之和等于6进行求解即可 ． 【详解】解：单项式的次数是的指数与的指数之和，即， 由题意得， 解得． 故答案为：2． 9．（25-26七年级上·海南海口·月考）请写出一个含有字母和，且系数为，次数为3的单项式： ． 【答案】（或，写一个即可） 【分析】本题考查单项式的相关概念；根据单项式的系数和次数的定义，系数是数字因数，次数是所有字母的指数之和，因此需构造一个系数为、次数为且含有字母和的单项式. 【详解】解：单项式的系数为，次数为，且必须含有字母和，因此字母和的指数之和为， ∴、符合题意. 故答案为：（或，写一个即可）. 【考点4】单项式的变化规律 例4．（25-26七年级上·广西崇左·月考）以下是一组按规律排列的多项式：，，，……，其中第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的规律问题． 通过观察给定多项式的规律，发现x的指数与序号n相同，y的系数是且为负号，因此第n个多项式为． 【详解】解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 以此类推，第n个多项式为． 故选：D． 【变式训练】 10．（24-25七年级上·云南红河·期末）观察下列代数式的排列规律：，，，，…，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了单项式的规律，要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律．本题中，系数变化规律是，字母变化规律是，据此即可求解． 【详解】解：因为第一个单项式是； 第二个单项式是； 第三个单项式是， 第四个单项式是 …， 所以第n个单项式是． 故选：A． 11．（22-23七年级上·广东江门·期末）一组按规律排列的单项式：，，，，，根据其中的规律，第10个单项式是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式找规律，细心观察每一项系数和次数的变化是关键． 观察符号、系数和指数的规律，然后推断出第10项即可． 【详解】解：观察规律得，第n个单项式的符号规律：n为奇数时正，n为偶数时负；系数的绝对值为；指数为n； 由此推断第10个单项式：为偶数，符号负；系数的绝对值；指数为10；故为． 故选：A． 12．（25-26七年级上·河南驻马店·月考）观察下列单项式：，则第2025个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探究，总结归纳出单项式的规律是解答本题的关键； 观察单项式序列的符号、系数和指数变化规律：符号正负交替，系数为偶数序列，指数与项数相同，由此归纳第个单项式的表达式； 【详解】解：给定单项式序列：，，，，，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 由此类推，第个单项式为， ∴第2025个单项式是． 故答案为：． 【考点5】多项式的有关概念 例5．（25-26七年级上·吉林四平·月考）整式的项数和次数分别是（    ） A．4，6 B．4，10 C．5，6 D．5，10 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式的项数和次数，熟练掌握多项式次数的定义，是解题的关键．先合并同类项确定项数，再计算各项次数取最高值即可． 【详解】解：∵整式中无同类项， ∴项数为4， 各项次数：为0，为3，为，为1， ∴最高次数为6， 故项数和次数分别为4和6． 故选：A． 【变式训练】 13．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）对于多项式，下列说法错误的是（    ） A．它的项分别是 B．最高次项的系数是 C．它的常数项是 D．它是三次三项式 【答案】A 【分析】本题考查了多项式，根据多项式的有关概念逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、多项式的项分别是，该选项说法错误，符合题意； 、多项式的最高次项是，它的系数为，该选项说法正确，不符合题意； 、多项式的常数项是，该选项说法正确，不符合题意； 、多项式是三次三项式，该选项说法正确，不符合题意； 故选：． 14．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）多项式的最高次项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的有关定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据多项式的定义，最高次项是次数最高的项，系数是该项的数字因数，据此作答即可． 【详解】多项式中，项的次数为2，项的次数为3，项为常数项，次数为0， 因此最高次项是，其系数为． 故答案为． 15．（25-26七年级上·广东惠州·期中）多项式是 次 项式． 【答案】 三 三 【分析】本题主要考查多项式的次数与项数，熟练掌握多项式的次数与项数是解题的关键；计算多项式中各项的次数和项数，确定最高次数和总项数即可． 【详解】解：多项式的项包括（次数为）、（次数为）和（次数为0），最高次数为3，项数为3，因此是三次三项式． 故答案为三；三． 【考点6】多项式的字母求值问题 例6．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知多项式是六次四项式，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数定义，解题的关键是明确多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数． 根据多项式是六次四项式，确定次数最高的项为，再根据该项次数为6列方程求解m． 【详解】解：∵多项式是六次四项式， ∴最高次项的次数为6， ∴； ∴， 故选：D． 【变式训练】 16．（24-25七年级上·吉林·期末）若关于x的多项式中不含三次项和一次项，则（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的项与系数的概念，熟练掌握“多项式不含某次项时，该项的系数为0”是解题的关键．根据多项式不含某次项则对应项系数为0，求出a、b的值，再计算． 【详解】解：∵多项式不含三次项， ∴， ∴． ∵多项式不含一次项， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 17．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知多项式是关于，的四次三项式，的值是（    ） A．6 B．3 C． D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式为四次三项式，需满足第一项系数非零且次数为4，其他项次数较低．通过计算各项次数，结合条件求解m． 【详解】解：∵多项式为四次三项式， ∴第一项系数，即． 第一项次数为， 第二项次数为， 第三项次数为． ∵最高次数为4， ∴， 解得，即或． 但， ∴． 故选：C． 18．（2025七年级上·山东聊城·专题练习）如果多项式是关于x的二次二项式，m，n为常数，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查多项式的次数与项数，熟练掌握多项式的次数与项数是解题的关键；根据二次二项式的定义，多项式最高次数为2且只有两项，因此需使最高次项次数为2并消除多余项，然后问题可求解． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次二项式， ∴， ∴， ∴； 故答案为1． 【考点7】多项式的降（升）幂排列问题 例7．（25-26七年级上·河南南阳·期中）多项式 按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的升幂排列，解题的关键是确定多项式各项中的次数．按的次数由低到高排列各项，然后对比选项即可． 【详解】解：按的升幂排列（次数由低到高）为：．     故选：C． 【变式训练】 19．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）把多项式按x进行降幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将多项式进行降幂排列． 根据题意，将各项按的指数从大到小排序即可． 【详解】原多项式为 ∵各项按的指数从大到小排序为，，，，， ∴把多项式按x进行降幂排列为． 故选：A． 20．（25-26七年级上·黑龙江伊春·月考）已知多项式，按照y的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，解题关键是确定各项中字母的次数，并按的次数从高到低排列各项；对于次数相同的项，按字母的降幂排列，使常数项在最后． 【详解】解：把多项式按y的降幂排列为， ． 故答案为：． 21．（25-26七年级上·四川乐山·期中）多项式按字母a的降幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式按字母降幂排列的方法，熟练掌握“按某一字母的降幂排列是指按该字母的指数从高到低排列多项式的各项”是解题的关键．按字母 的降幂排列，即按 的指数从高到低重新排列多项式即可． 【详解】解：多项式按字母a的降幂排列是． 故答案为：． 【考点8】同类项 例8．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如果与是同类项，那么a，b的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项”，熟记同类项的定义是解题关键．根据同类项的定义可得，，据此解答即可得． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式训练】 22．（25-26七年级上·河南周口·月考）下列各组单项式中，是同类项的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的判断，所含字母相同且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、与所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，二者不是同类项，不符合题意； B、与所含字母相同，相同字母的指数也相同，二者是同类项，符合题意； C、与所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，二者不是同类项，不符合题意； D、与所含字母不都相同，二者不是同类项，不符合题意； 故选：B． 23．（25-26七年级上·福建南平·期中）已知与是同类项，则代数式的值为（   ） A．0 B． C．1 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项的定义和代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， 故选：D． 24．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）若单项式与的差仍是单项式，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了单项式的概念、同类项的性质，代数式求值． 根据同类项的定义，两个单项式的差仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相同，据此求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：由于单项式与的差仍是单项式， ∴它们是同类项， ∴x的指数相等，即；y的指数相等，即， 代入得：． 故答案为：5． 【考点9】合并同类项 例9．（25-26七年级上·山东德州·期中）多项式化简后不含项，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，题目设计巧妙，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 根据多项式不含项，则项的系数之和为零． 【详解】中不含项， ， ； 故答案是：． 【变式训练】 25．（25-26七年级上·全国·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意． 故选A． 26．（25-26七年级上·山西太原·月考）若与能合并同类项，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：由于两个单项式能合并同类项， 则x的指数相等：，解得； y的指数相等：，解得， 则， 所以． 故答案为：． 27．（25-26七年级上·全国·期中）如果关于x的代数式的值与x无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，正确理解的系数为零是解题的关键． 代数式的值与x无关，则所有含x的项的系数必须为零，据此解答即可． 【详解】解：原式， 令和的系数为零，得，即， 令，即， 代入得：， 故答案为：． 【考点10】去括号与添括号 例10．（25-26七年级上·江苏·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了去括号和合并同类项的法则，准确的计算是解决本题的关键． 先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式训练】 28．（25-26七年级上·广西崇左·月考）化简结果正确的是(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号，根据去括号法则即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 29．（25-26七年级上·山西太原·月考）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查去括号法则，括号前是负号时，去掉括号后括号内各项都要变号；括号前是正数或负系数时，需用系数乘以括号内各项． 【详解】解： 去括号法则：括号前是负号，括号内各项变号；括号前有系数，需用系数乘以括号内各项， 选项A：，但右边为 ，不符合题意； 选项B：，右边匹配，符合题意； 选项C：，但右边为 ，不符合题意； 选项D：，但右边为 ，不符合题意； 故选B． 30．（25-26七年级上·全国·期末）已知，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了去括号和添括号法则，以及整体代入法求代数式的值． 将原式去括号并重新组合，利用已知条件代入求值即可． 【详解】解：， 当时， 原式． 故答案为：． 【考点11】整式的加减 例11．（25-26七年级上·广东茂名·期中）已知：，． (1)计算的值； (2)若单项式与是同类项，求的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、同类项的定义，熟练掌握去括号、合并同类项法则及同类项的字母相同且相同字母的指数相等的性质是解题的关键． （1）将和代入，去括号后合并同类项； （2）根据同类项定义列方程求出、的值，再代入（1）的结果计算． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：单项式与是同类项， ， ， ． 【变式训练】 31．（25-26七年级上·福建南平·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，合并同类项，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）根据合并同类项的运算法则求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期中）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，涉及去括号、合并同类项，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先去小括号，合并同类项，再去中括号，合并同类项即可； （2）先去括号然后合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 33．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知：，． (1)求（用含的代数式表示）： (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键； （1）把A代入进行求解即可； （2）由题意可计算，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：由（1）可得： ， ∵， ∴， ∴， 即． 【考点12】整式的化简求值 例12．（25-26七年级上·河南焦作·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先去括号，再合并同类项，然后代数计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【变式训练】 34．（25-26七年级上·全国·期中）先化简再求值，，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减运算的化简求值，先去括号，再合并同类项，得出，然后把，分别代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵，， ∴． 35．（25-26七年级上·湖南岳阳·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】本题考查了整式的化简求值．先化简，再将，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式； 36．（25-26七年级上·福建南平·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【考点13】整式加减的无关性问题 例13．（25-26七年级上·广东汕尾·月考）已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)若的值与a无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减以及整式加减中的无关型问题，掌握运算法则并正确计算是解题的关键 （1）由的结果为得：，利用整式减法进行计算即可； （2）先化简求出，的值与a无关，可列，然后解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵的值与a无关， ∴， ∴． 【变式训练】 37．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知两个多项式A和B，其中，当某同学计算时，把误看成，结果求出答案 (1)求多项式A． (2)若值与n的取值无关，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式加减运算、整式加减运算中无关型问题，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据求得A； （2）先根据（1）中的值，求出，将含n的项合并，并使n的系数等于0，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，, ， ； （2），， ， 值与n的取值无关， ， ． 38．（25-26七年级上·四川达州·期中）已知代数式．． (1)化简：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了整式的运算． （1）先化简表达式，得到，再代入和的表达式计算； （2）先计算，得到，由于其值与无关，令的系数为零，即，求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 39．（25-26七年级上·广东中山·期中）已知多项式， (1)求； (2)若的值与y无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可． （2）根据，可得，求出的值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：，的值与无关， ， 解得． 【考点14】代数式求值 例14．（25-26七年级上·广东河源·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则_____； 我们将作为一个整体代入，则原式 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值； (4)当时，代数式的值为m，求当时，代数式的值． 【答案】(1)2026 (2) (3)11 (4) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握利用整体代入法求代数式的值． （1）根据已知条件求出，再代入所求代数式进行计算即可； （2）把所求式子化成含有的形式，再整体代入进行计算即可； （3）把所求式子化成含有的形式，再整体代入进行计算即可； （4）把代入，求出，再把代入所求式子进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：2026； （2）， ， ； （3）， ； （4）当时，代数式的值为m， ， ， 当时， ． 【变式训练】 40．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握整体代入法，是解题的关键．根据已知条件求出的值，然后整体代入所求代数式，求出结果即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴当时， ． 故选：C． 41．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件将所求代数式变形，然后整体代入求值即可． 本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【详解】解：当时，原式 故答案为： 42．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）如果代数式，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】该题考查了代数式求值，根据已知条件求出的值，然后将目标代数式变形，整体代入求值． 【详解】解：由 ，得 ， 所以 ． 故答案为：． 【考点15】整式加减的应用 例15．（25-26七年级上·河南洛阳·月考）已知，若的值与的取值无关，则，．所以当时，的值与的取值无关． (1)已知，． ①请用含，的式子表示； ②若的值与的取值无关，求的值； (2)7张如图1的小长方形，长为2，宽为1，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，则的值是__________，此时的值是__________． 【答案】(1)①② (2)，6 【分析】本题考查一元一次方程的应用，代数式求值，整式的加减—化简求值，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）①根据题意列式计算即可； ②将①中式子整理后根据题意得到关于x的方程，解方程即可； （2）先由题意，数形结合得到大长方形的宽，设，则，代入，再由材料中的解法直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴ ； ② ， ∵的值与a的取值无关， ∴， 解得：； （2）解：由图可知，大长方形的宽， 设， 则， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， 由题意可得：， 解得， 此时． 【变式训练】 43．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图是用铝合金条制作的A，B两种造型的长方形窗框，窗框的长都是y米，宽都是x米． (1)制作一个A型窗框需要铝合金条_______米，制作一个B型窗框需要铝合金条_______米； (2)制作A，B两种造型的长方形窗框各一个，请通过计算说明哪种造型的窗框更节约材料； (3)请用代数式表示制作3个A型窗框和2个B型窗框所需的铝合金条长度，并求出当，时所需的铝合金条长度． 【答案】(1) (2)A型窗框更节约材料 (3)米，当，时，制作3个A型窗框和2个B型窗框所需的铝合金条长度为米 【分析】本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据图形可直接进行求解； （2）由（1）可得，然后进行求解即可； （3）由（1）可得总长度为米，然后代值进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：制作一个A型窗框需要铝合金条米；制作一个B型窗框需要铝合金条米； 故答案为； （2）解：由（1）可得：， 所以． 所以A型窗框更节约材料． （3）解：制作3个A型窗框和2个B型窗框所需的铝合金条长度为： （米）． 当，时，制作3个A型窗框和2个B型窗框所需的铝合金条长度为（米）． 44．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 【答案】(1)方案一：（元），方案二：（元） (2)方案二便宜 (3)时，两种方案的费用相同 【分析】本题考查列代数式、代数式求值、整式的加减应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据两种优惠方案结合实际费用等于数量×单价列出代数式即可； （2）将a、b值分别代入（1）中代数式中求解，进而比较大小做出判断即可； （3）将a代入（1）中得到关于b的代数式，得到关于b的方程，解方程求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： 方案一：（元）， 方案二：（元）； （2）解：当，时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ， 方案二便宜； （3）解：当时，方案一：（元），方案二：（元）， ∵当时，两种方案的费用相同， ∴， 解得：， 时，两种方案的费用相同. 45．（25-26七年级上·浙江台州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来达到节水的目的，该市自来水收费价格见表格（水费按月结算）： 每月用水量 单价（元/立方米） 不超过8立方米的部分 2.5 超过8立方米的部分 3 (1)若某户居民2月份用水6立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民3月份共用水12立方米，则应收水费多少元？ (3)若某户居民4月份共用水x立方米，则应收水费多少元？（用含的式子表示） 【答案】(1)该户居民2月份用水6立方米，则应收水费15元 (2)该户居民3月份用水12立方米，则应收水费32元 (3)该户居民4月份共用水立方米，当时，应收水费元，当时，应收水费元 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和列出相应的代数式是解答本题的关键． （1）根据自来水收费价格按照每月用水量分段进行计算即可； （2）根据自来水收费价格按照每月用水量分段进行计算即可； （3）利用用水量的范围确定单价分段计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，水费（元）， 答：该户居民2月份用水6立方米，则应收水费15元； （2）解：由题意得，水费（元）， 答：该户居民3月份用水12立方米，则应收水费32元； （3）解：当时，则应收水费（元）， 当时，则应收水费（元）， 答：该户居民4月份共用水立方米，当时，应收水费元，当时，应收水费元． 【考点16】数字的变化规律 例16．（24-25七年级上·江苏常州·期中）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 将有序数对表示第m行，从左至右第n个数，如表示自然数11． (1)观察每一行的最后一个数，然后请写出第6行的最后一个自然数：_____；有序数对表示的自然数是____； (2)表示自然数2024的有序数对是____； (3)分别记第1行的自然数的个数为，前2行所有自然数的个数为，前3行所有自然数的个数为，以此类推，前行所有自然数的个数为，则____． 【答案】(1)36，111 (2) (3) 【分析】（1）首先根据题意得到每一行数字，第一行第一个数字，每一行最后一个数字的规律，再利用规律求出第6行的最后一个自然数和有序数对表示的自然数即可； （2）首先发现在2024的附近，所以2024一定在第45行，再利用推导的规律表示自然数2024的有序数对即可； （3）首先利用规律将，，，，表示出来，再代入进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第一行有1个数字，是1； 第二行有3个数字，第一个数字是2，最后一个数字是4； 第三行有5个数字，第一个数字是5，最后一个数字是9； 第四行有7个数字，第一个数字是10，最后一个数字是16； 第五行有9个数字，第一个数字是17，最后一个数字是25； …… ∴可以得到：第n行有个数字，第一个数字是，最后一个数字是； ∴第6行的最后一个自然数为， ∵有序数对表示的是第11行第11个数字， ∴第11行有21个数字，第一个数字是101，最后一个数字是121， ∴第11行第11个数字是111； 故答案为：36，111； （2）解：由（1）得：第45行有89个数字，最后一个数字是2025， ∴2024是第45行倒数第2个数字，即为第45行第88个数字， ∴表示自然数2024的有序数对是， 故答案为： （3）解：由（1）得：第n行有个数字， ∴第一行有1个数字，第二行有3个数字，第三行有5个数字，第四行有7个数字，第五行有9个数字，第六行有11个数字， ∴，，，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对数阵规律的观察与应用，整式运算和找规律等知识点，根据数阵找到对应的规律是解题的关键． 【变式训练】 46．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为4，则第2025次输出的结果为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律，代数式求值，将的值代入按照指定的运算进行多次计算后，由每次运算的结果所呈现的规律进行解答即可． 【详解】解：根据所提供运算程序可得， 第1次输入，则第1次输出的结果为， 第2次输入，则第2次输出的结果为， 第3次输入，则第3次输出的结果为， 第4次输入，则第4次输出的结果为， 第5次输入，则第5次输出的结果为， 第6次输入，则第6次输出的结果为， 第7次输入，则第7次输出的结果为， 第8次输入，则第8次输出的结果为， ， ∴从第三次开始，结果按，，的顺序循环出现， ， 第2025次输出的结果为． 故选：A． 47．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ； (2)请用含n的式子表示第n（n正整数）个等式． (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的运算，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干给出的式子写出第5个等式即可； （2）根据题干给出的式子得出规律，写出第n（n正整数）个等式即可； （3）根据（2）中得出的规律结合有理数的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：； 故答案为：；； （2）解：由题意可得：用含n的式子表示第n（n正整数）个等式为； （3）解： ． 48．（25-26七年级上·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 代数推理的魅力 一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除． 若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为，，，则通常记这个三位数为．于是： ． 显然能被3整除，因此如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 问题解决： (1)下列三位数中，不能被3整除的是________． A．123    B．235    C．357    D．555 (2)参照材料中的方法，说明一个四位数，若它的所有数位上的数字之和能被3整除，则这个四位数能被3整除． (3)拓展：若表示一个四位数，当时，这个四位数能被11整除．请你直接写出的值．（至少写出2个） 【答案】(1)B (2)见解析 (3)答案不唯一，是11的倍数即可．例如：0，11，等 【分析】本题考查了三位数和四位数的表示方法和整除的特征，解题的关键是能够将三位数或四位数进行变形，通过拆分和组合，找出能被3整除的部分，从而得出判断其能否被3整除的规律． （1）根据各数位上的数字和能否被3整除进行判断即可； （2）设四位数的千位、百位、十位、个位数字分别为，则该四位数可表示为，即，将其进一步变形整理，得出与三位数能被3整除的数字特征即可； （3）根据能被11整除的数的特征是“奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数”回答即可． 【详解】（1）解： A. ，6能被3整除，故123能被3整除，此选项不符合题意； B. ，10不能被3整除，故235不能被3整除，此选项符合题意； C. ，15能被3整除，故357能被3整除，此选项不符合题意； D. ，15能被3整除，故555能被3整除，此选项不符合题意． 故选：B； （2）解：设四位数的千位、百位、十位、个位数字分别为，则该四位数可表示为，即， 将其变形为： 显然能被3整除， 若能被3整除，则能被3整除，即该四位数能被3整除． （3）原理：能被11整除的数的特征是“奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数”．对于四位数，奇数位（个位、百位）数字和为，偶数位（十位、千位）数字和为，根据能被11整除的数的特征，其奇数位与偶数位数字和的差应为11的倍数，即是11的倍数，因此可以是0、11、等． 【考点17】图形的变化规律 例17．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）如图是一组有规律的图形，第1个图形中有5个梅花图案，第2个图形中有8个梅花图案，第3个图形中有11个梅花图案，……，按照这样的规律画下去． (1)第4个图形中梅花图案的个数为_________； (2)①第n个图形中梅花图案的个数为_________（用含n的代数式表示）； ②在①的条件下，求出第50个图形中梅花图案的个数； (3)如果某个图形中有2027个梅花图案，这是第几个图形？ 【答案】(1)14 (2)①；②152个 (3)这是第675个图形 【分析】本题考查了图形规律探究，一元一次方程的应用；熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据题意数出前几个图案的数量； （2）①根据规律得出第n个图案的基本图形数量； ②将代入①中的代数式，即可得到第50个图形中梅花图案数； （3）根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：第1个图案由5个基本图形组成， 第2个图案由8个基本图形组成， 第3个图案由11个基本图形组成， 第4个图案由14个基本图形组成， 故答案为：14； （2）解：①由题意可得第1个图形中梅花图案的个数为， 第2个图形中梅花图案的个数为， 第3个图形中梅花图案的个数为， ……， 所以第n个图形中梅花图案的个数为． 故答案为：； ②当时，（个）， 所以第50个图形中有152个梅花图案； （3）解：由题意得， 解得， 所以n的值为675． 【变式训练】 49．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物,如图所示的是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．图1中有1个碳原子和4个氢原子；图2中有2个碳原子和6个氢原子；图3中有3个碳原子和8个氢原子……按照这一规律，则图的分子结构模型中碳原子个数是 ，氢原子的个数是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查图形变化的规律．根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中碳原子个数为1，氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中碳原子个数为2，氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中碳原子个数为3，氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子结构模型中碳原子个数为4，氢原子的个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中碳原子个数为n，氢原子的个数为个， 故答案为：，． 50．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图所示，由若干个点组成的正方形图形，每条边上的点数为（），每个图形的总点数为． …… (1)写出与之间的关系： （用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)按此规律，总点数的值能为吗？若能，请求出此时每条边上的点数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)56 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形规律的探究与代数式的应用，熟练掌握从图形中抽象出数量关系、利用代数式进行计算与方程求解是解题的关键． （1）通过观察图形，每条边点数为，正方形有4条边，但顶点的点会重复计算，因此总点数； （2）将代入第(1)题得到的关系式计算； （3）假设，代入关系式解方程，判断是否为大于1的整数． 【详解】（1）解：当时，； ； ； ； ∴， 故答案为：； （2）解：当时，； （3）解：假设，则， ， 因为表示每条边上的点数，应为大于1的整数，而不是整数， 所以总点数不能为98． 51．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）阅读材料：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形（长方形），接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去．我们可以利用图形展示的规律将累加式进行化简： 例如：由于，所以． 完成解答： ①类比上面推理将累加式化简为______； ②利用上面的解题方法化简累加式______； ③化简累加式：． 【答案】①；②；③ 【分析】本题考查图形和数字规律； ①参考例题解题过程，得到，据此求解即可； ②参考例题解题过程，先计算，进而即可得解； ③根据，结合前面两问的结果计算即可． 【详解】解：①类比上面推理得到， ∴， 故答案为：； ② ， ∴， 故答案为：； ③∵， ∴ ． 【考点18】新定义问题 例18．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）日常生活中每星期都有7天，所以我们定义：若，则称与为“完美星期数”，例如：因为，我们就说6和1是“完美星期数”，请根据以上材料，回答下列问题： (1)与_____是“完美星期数”， 与_____是“完美星期数”；（用含的代数式表示） (2)若，请你通过计算判断与是否为“完美星期数”； (3)已知，且与为“完美星期数”，求与的值． 【答案】(1)9； (2)p与q不是“完美星期数” (3)， 【分析】本题考查了新定义，整式的加减混合运算的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“完美星期数”进行列式计算，即可作答． （2）根据“完美星期数”进行列式计算，得出，即可作答． （3）根据“完美星期数”进行列式计算，先整理，则，，即可作答． 【详解】（1）解：，， 故答案为：9；； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴p与q不是“完美星期数”． （3）解：∵， ∴ ∵与为“完美星期数”， ∴， ∴，， ∴，． 【变式训练】 52.（24-25七年级上·甘肃白银·期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是．例如： (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，请你计算当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算及代数式的值，解题的关键是理解题中所给新定义运算； （1）根据题中所给新定义运算可直接进行求解； （2）先根据绝对值与偶次幂的非负性得出，然后根据题中所给新定义运算进行化简，最后代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴ ． 53．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“皖韵数”．例如三位数352，因为，所以它是“皖韵数”．设一个“皖韵数”的百位、十位、个位数字分别为x，y，z． (1)写出x与y，z之间的等量关系式：________； (2)若一个三位数是“皖韵数”，求m的值； (3)请判断任意一个“皖韵数”是否都能被11整除？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)都能被11整除，见解析 【分析】本题考查列代数式，整式加减的实际应用，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，列出等量关系即可； （2）根据新定义，列式计算即可； （3）根据（1）中的结论，结合三位数的表示方法，列出代数式进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意，， ∴； （3）解：都能被11整除，理由如下： ∵， ∴ ； 故任意一个“皖韵数”都能被11整除． 54．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，我们把这样的四位正整数叫作“四位对称数”，如1331，7007等都是“四位对称数”． (1)请写出一个“四位对称数”：____________； (2)小明研究“四位对称数”时，提出一个猜想：将一个“四位对称数”减去其各位数字之和，所得的结果能够被9整除．小明的猜想是否正确？设一个“四位对称数”千位数字为x，十位数字为y，请通过推理加以判断、说明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查整式加减的应用； （1）根据“四位对称数”的定义求解即可； （2）设一个“四位对称数”千位数字为x，十位数字为y，则个位数字为x，百位数字为y，则四位对称数为，各位数字之和为，再求出将一个“四位对称数”减去其各位数字之和所得的结果即可． 【详解】（1）解：∵一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，我们把这样的四位正整数叫作“四位对称数”， ∴1221是“四位对称数”， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：设一个“四位对称数”千位数字为x，十位数字为y，则个位数字为x，百位数字为y， ∴该四位对称数为， 各位数字之和为， ∴四位对称数减去各位数字之和为， ∵， ∴能被9整除，能被9整除， ∴能被9整除， 因此，小明的猜想正确． 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）单项式的系数和次数分别是（   ） A．和4 B．和6 C．和2 D．4和6 【答案】B 【分析】本题考查单项式的系数和次数，掌握相关知识是解决问题的关键．单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数之和． 【详解】解：∵ 单项式 的数字因数为 ，∴ 系数为 ． 又∵ 的指数为 2， 的指数为 4，∴ 次数为 ． ∴ 系数和次数分别是 和 6． 故选：B． 2．（25-26七年级上·江苏常州·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，根据合并同类项法则逐一排除即可，解题的关键是熟记合并同类项的法则． 【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，不符合题意； 、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算正确，符合题意； 故选：． 3．（25-26七年级上·广东中山·期中）某商店举办促销活动，促销的方式是将原价为元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义的描述，正确的是（    ） A．原价打七折后再减去元 B．原价减去元后再打七折 C．原价减去元后再打三折 D．原价打三折后再减元 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的实际意义，根据代数式结合折扣的含义进行解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵原价为元， ∴ 表示原价打七折， ∴ 代数式 表示原价打七折后再减去元， 故选：． 4．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）在很小的时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数（各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指），则数到时对应的指头是（  ） A．大拇指 B．中指 C．无名指 D．小指 【答案】A 【分析】本题考查了规律类问题的探究，处理此类问题，要仔细观察、认真分析，发现规律，最后要注意验证所找出的规律． 【详解】解：由图可知，大拇指对应的数依次是，，，，， 小拇指对应的数依次是，，，，， ， 数到时对应的指头是大拇指． 故选：A． 5．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图，长方形是由4块小长方形拼成，其中②③两长方形的形状与大小完全相同，且长与宽的差为3，则小长方形④与小长方形①的周长的差是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式．熟练掌握长方形周长公式，整式的加减，是解题的关键． 设长方形②③的宽为x，则长为，设，，得长方形①的宽为x，长为，长方形④的宽为，长为，即可计算长方形④与长方形①的周长差． 【详解】解：∵②③两长方形的形状与大小完全相同，且长与宽的差为3， ∴设它们的宽为x，则长为：， ∴， 设，如图， 则， ∴长方形①的宽为x，长为， 长方形④的宽为，长为， ∴长方形④与长方形①的周长差为 ． 故选：D． 6．（25-26七年级上·江苏南通·期中）关于代数式的最值，下列说法正确的是（） A．最小值是0 B．最小值是3 C．最小值是 D．无最大值 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的意义表示到的距离与的距离的差，进而分类讨论绝对值符号，化简代数式，并分析各段取值范围，得出最值． 【详解】解：表示到的距离与的距离的差， ①当时，，， ∴ ②当时，，， ∴ ∴ ③当时，，， ∴ 综上所述，当时，有最小值为 故选：C． 二、填空题 7．（25-26七年级上·江苏南通·期中）整式的次数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是多项式的次数的含义，根据多项式次数的定义，多项式的次数是最高次项的次数． 【详解】解：整式中，项的次数是 2，项的次数是 3． 因此，最高次数为 3， ∴整式的次数是． 故答案为 3． 8．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）写出一个同时满足以下三个条件的单项式： 系数是负数； 次数是； 至少含有个字母； 这个单项式可以是： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．理解单项式的系数、次数的意义是正确解答的关键． 根据单项式的系数、次数的意义进行解答即可． 【详解】解：符合条件的单项式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）加法交换律：“交换两个加数的位置，和不变”，用字母可以表示为．有理数的减法法则：“减去一个数，等于加上这个数的相反数”．用字母表示这一法则，可表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用字表示运算法则，解题的关键是掌握理解题意，列出法则． 根据有理数减法法则“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，直接用字母表示这一法则． 【详解】解：有理数减法法则规定，减去一个数等价于加上这个数的相反数， 设被减数为，减数为，则的相反数为，因此法则用字母表示为， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若，则代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，将代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：9． 11．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的加减中无关型问题，先求两个多项式的差，根据差不含二次项，得出二次项系数为零，解出m和n，再计算即可． 【详解】解： ∵多项式与的差不含二次项， ∴和， 解得， ∴， 故答案为：1． 12．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知时，代数式的值是2，当时，代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式求值，掌握代数式求值的方法是关键． 直接将代入得出，进而将代入得出答案即可． 【详解】解：根据题意可知，， ， 当时， 原式 ． 故答案为：1． 13．（24-25七年级上·陕西安康·月考）某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案.如图，第1个图案由4个组成，第2个图案由7个组成，第3个图案由10个组成，⋯，按此规律排列下去，第个图案中的个数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查的是图形类的规律探究，掌握探究的方法是解本题的关键，先计算前面3个图形中基础图形的数量，发现规律，再总结规律即可． 【详解】解：因为第1个图案由4个基础图形组成， 第2个图案由7个基础图形组成，即， 第3个图案由10个基础图形组成，， 所以第个图案中基础图形的个数为． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）观察按下列规则排成的一列数： ，，，，，，，，，，，…在这列数中，从左起第个数记为，当时，则 ． 【答案】47 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，解题的关键是找出规律． 通过观察数列的分组规律，每组中分数的分子与分母之和为定值，且每组数的个数与组号相同，根据此规律进行求解即可． 【详解】解：数列的分组规则为：第组中分子与分母之和为，且该组有个数， 分数的分子与分母之和为，故属于第组， 第组的数依次为、、、…、，其中是第个数， 前组的总数为， 因此，， 故答案为：47． 三、解答题 15．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟知整式的加减运算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中为的倒数，为的相反数． 【答案】， 【分析】本题考查的知识点是倒数、相反数的定义、整式的化简求值，解题关键是熟练掌握互为倒数和互为相反数的定义、去括号法则和合并同类项法则． 先根据互为倒数和互为相反数的定义，求出，，再根据去括号法则和合并同类项法则化简，最后把，的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 为的倒数，为的相反数， ，， ∴原式， ， ， ． 17．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）有理数在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：___________0，___________0，___________0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的加减运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的意义及有理数的加减运算是解题的关键； （1）由数轴可知，且，然后问题可求解； （2）根据（1）中结论及绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，且， ∴； 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知： ． 18．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）一根总长为（其中，）的铁丝，围成一个三边长分别为，，的三角形后，仍有剩余． (1)围成的三角形的周长为______（用含字母a，b的式子表示）； (2)若剩余的铁丝长度为，求围成的三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将三条边求和，然后合并同类项计算即可； （2）剩余铁丝的长度总长三角形的周长，然后求出剩余铁丝的长度是，因为剩余的铁丝长度为，求出，代入求出三角形的周长即可． 本题考查了整式的加减、列代数式，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 【详解】（1）解： 答：围成的三角形的周长为 故答案为： （2）解： ， 即， 所以， 答：围成的三角形的周长为 19．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）已知代数式：，； (1)若，求代数式； (2)在（）的条件下，若，，求代数式的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由已知得，再把代入计算即可求解； （）把，代入（）中的结果计算即可； （）求出的值，再根据的值与的取值无关得到关于项的系数为，列出关于的方程解答即可求解； 本题考查了整式的加减化简求值，整式的加减无关型问题，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：当，时， 原式 ； （3）解： ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 20．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 例如，，类似地，我们把看成一个整体， 则． 【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题： （1）化简的结果是 ． （2）化简求值：，其中． 【拓展探索】 （3）已知 求 的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握合并同类项和去括号的运算法则是关键． （1）把看作一个整体，利用合并同类项的运算法则进行化简； （2）分别将和看作一个整体，利用合并同类项的运算法则进行化简，然后利用整体思想代入求值； （3）将原式变形后，利用整体思想代入求值． 【详解】解：（1）， ， ； 故答案是： （2）， ； 故答案是： （3）， ， ， ； 故答案是：． 21．（25-26七年级上·江苏南通·期中）某校11月份体育节，准备订购一批篮球和排球，采购员调查发现篮球每个售价为150元，排球每个售价为50元．现有甲、乙两家门店提供了各自的优惠方案． 甲店：买一个篮球送一个排球； 乙店：篮球和排球都按定价的付款． 已知要购买篮球50个，排球x个 (1)若在甲店购买，则需付款______元；若在乙店购买，则需付款______元；（用含x的代数式表示） (2)当时，在哪家店购买较为合算？ (3)当时，你认为还有更省钱的购买方案吗？如果没有，请说明理由；如果有，请写出你的购买方案，并计算需要付款的金额． 【答案】(1)， (2)当时，在甲店购买较为合算 (3)有，在甲店购买50个篮球，在乙店购买30个排球时需付金额最少，为8700元 【分析】根据两家所给优惠方式，分别表示甲，乙两家店所需费用即可； 将代入中的代数式进行计算即可； 将两家店联合起来购买，计算出所需金额即可． 本题主要考查了列代数式及代数式求值，能根据所给两店的优惠方式，分别表示出所需费用是解题的关键． 【详解】（1）由题知， 在甲店购买时，所需费用为：元； 在乙店购买时，所需费用为：元． 故答案为：，； （2）当时， 元， 元， 因为， 所以在甲店购买较为合算； （3）有，理由如下： 在甲店购买50个篮球，费用为元，同时送了50个排球， 在乙店购买30个排球，费用为元， 则元，且， 所以在甲店购买50个篮球，在乙店购买30个排球时需付金额最少，为8700元． 22．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）魔术师说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以4，再减去你原来所想的那个数的一半，我可以知道你计算的结果是2．” (1)如果设魔术师任意想的那个数为x，请你帮助魔术师说明上述结论的正确性； (2)在（1）中，得到的代数式化简后结果为2，它不含有x，我们称之为“与x无关”．试解决下列“无关”类问题： ①多项式的值（    ）； A．仅与x的大小无关                    B．仅与y的大小无关 C．与x、y的大小都无关                D．与x、y的大小都有关 ②三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c．设图1中阴影部分周长为m，图2阴影部分周长之和为n，试判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关，请说明理由；若无关，求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①C；②无关， 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，熟练掌握整式的加减步骤是解题的关键． （1）按照魔术师的步骤进行运算，即可得出结论； （2）①去括号，合并同类项后，即可得出结论； ②利用长方形的周长公式，可用含，，的代数式表示出，，二者作差后，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 上述的结论正确； （2）解：① ， 多项式的值与、的大小都无关． 故选：C； ②无关，， 根据题意得：长方形的长为，宽为， ，， ， 的值与正方形、、的边长无关，的值为0． 23．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数形结合是重要的数学思想，通过数与形的相互转化，利用“以形助数”或“以数解形”，将抽象的数量关系与直观的图形结合起来解决问题．下面借助数形结合思想进行探究． (1)小明观察图1、2分别得到等式：，． ①从小明的观察视角，写出图3所对应的等式____________； ②运用发现的规律简便计算：； (2)小亮观察图1、2分别得到等式：，． ①从小亮的观察视角，写出图3所对应的等式____________； ②运用发现的规律解决下面实际问题： 学校举办“阶梯队列表演”，队列从第1排1人，第2排2人，第3排3人，…，依次增加到第m排m人，再从第排开始，每排人数比前一排少1人，直到最后1排1人．现有100名学生参与表演，恰好能排成这样的“阶梯队列”，求m的值． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】本题主要考查了图形规律类探索，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）①根据题意写出图3所对应的等式即可； ②由规律得到，，代入计算即可； （2）①根据题意写出图3所对应的等式即可； ②由规律得到，据此计算即可． 【详解】（1）解：①图1得到等式：， 图2得到等式： 从小明的观察视角，图3所对应的等式：； ②由规律得到，， ∴ ； （2）解：①小亮观察图1得到等式：， 小亮观察图2得到等式：， 从小亮的观察视角，写出图3所对应的等式：， ②由题意得： 因为是正整数，所以 所以 所以． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $