专题01 有理数及其运算（10大知识点+19大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材苏科版

专题01 有理数及其运算（10大知识点+19大考点+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 正数和负数 1. 正数与负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 2. 相反意义的量 （1）具有相反意义的重一带有具体的数，重如上升3m和下降7m; (2)具有相反意义的量必须是成对出现的，单独一个量不能表示具有相反意义的量； 知识点02 有理数计分类 1.定义：任何有理数都可以写成(m,n是整数，其中m≠0)的形式.，整数和分数统称为有理数。 所有的分数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数或无限循环小数都可以化为分数 2.有理数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： 知识点03 数轴 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2.点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 3.数轴上的点：表示正有理数的点在原点的右边，表示负有理数的点在原点的左边，0用原点表示. 知识点04相反数与绝对值 1.相反数定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 2.相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。 3.绝对值定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 4.绝对值的性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数 绝对值具有非负性，即如果|a十b|十|m十n|=0,那么a十b=0,且m十n=0. 5.绝对值的几何意义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.求一个数的绝对值就是求在数轴 上表示该数的点到原点的距离. 知识点05 有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则：同为正数或同为负数时，绝对值大的数大；正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 知识点06 有理数的加法与减法 1.有理数的加法 （1）有理数的加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）有理数的加法运算律 加法交换律：有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变 ，用字母表示为：a+b=b+a 加法结合律：有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变，用字母表示为(a+b)+c=a+(b+c) （3）有理数的加法运算律中的“五法”：“相反数结合法”；“同号结合法”；“同分母结合法”：“凑整法”“同形结合法” 2.有理数的减法： 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． 3. 有理数的加减混合运算 根据有理数的减法法则，首先把其中的减法运算转化为加法运算，从而把加减混合运算转化为连加运算， 然后利用加法运算法则或加法运算律进行运算 知识点07 有理数的乘法与除法 1.乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． 2.乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘,交换因数的位置,积相等，即ab=ba （2）乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等，即(ab)c=a(bc) （3）分配律：一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加，即a(b+c)=ab+ac 3.除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． 知识点08 有理数的乘方 1.有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂；②在中，a叫 做底数，n叫做指数 2.乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 知识点9有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 知识点10 科学记数法 科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法． 【考点1】正数和负数 【例1】（25-26七年级上·四川资阳·期中）在 ，， ， 0 ， 中，负数的个数有 （   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了负数的定义，绝对值的化简； 先化简各数，再根据负数的定义进行判断． 【详解】解：∵，， ∴，是负数，有2个， 故选：A． 【变式训练】 1．（25-26七年级上·甘肃平凉·期中）下面四个数中，是负数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，根据小于的数是负数比较每个选项与零的大小关系，即可判断是否为负数． 【详解】解：负数定义是小于零的数，且，，，， 只有A选项是负数， 故选：A． 2．（24-25七年级上·云南红河·期末）在下列各数，7，，，，，0，中，负数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查有理数分类，负数定义等．根据题意逐一计算每个表达式的值，判断是否为负数，负数指小于零的数． 【详解】解：∵ ， ， ， ， （2025为奇数）， 而，，既非正也非负， ∴ 负数有5个， 故选：C． 3．（25-26七年级上·福建宁德·期中）在地理学中使用海平面作为高度的一种衡量标准，珠穆朗玛峰被称为世界第一高峰，高于海平面约，记作，那么死海洼地低于海平面约，记作 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量； 根据正负数的定义，以海平面为基准，高于海平面记为正数，低于海平面记为负数即可解答． 【详解】解：死海洼地低于海平面，因此应记作负数，即． 故答案为：． 【考点2】有理数的分类 【例2】（24-25七年级上·山西临汾·期中）下列各数中既是负数又是分数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，需要找出既是负数又是分数的数，负数指小于零的数，分数指非整数的有理数． 【详解】解：A．是负数但不是分数，故A不符合题意； B．是分数但不是负数，故B不符合题意； C．是分数但不是负数，故C不符合题意； D．既是负数又是分数，故D符合题意． 故选：D． 【变式训练】 4．（25-26七年级上·广东阳江·月考）下列各数：，0，，，0.3，其中有理数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数，熟练掌握有理数是整数与分数的统称是解题的关键；因此此题可根据有理数的定义进行求解即可． 【详解】解：下列各数：，0，，，0.3，其中有理数有，0，，0.3，共4个； 故选B． 5．（25-26七年级上·河南新乡·期中）在，0，，，2025，，，10中，非负整数有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的分类，根据非负整数是包括0和正整数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，都是非负整数； ，，，都不是非负整数； 即非负整数有4个， 故答案为：4 6．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在，，1，0，，，，，23，中， 整数是 ； 正有理数是 ； 负有理数是 ． 【答案】 ，1，0，23 ，1，，，23 ，， 【分析】本题考查了整数、正有理数、负有理数的概念，解题的关键是明确各数集的定义，区分有理数与无理数． 依据整数（正整数、0、负整数）、正有理数（正的整数、分数、有限/无限循环小数）、负有理数（负的整数、分数、有限/无限循环小数）的定义，逐一筛选所给数． 【详解】解：①整数是：； ②正有理数是：； ③负有理数是：． 故答案为：①；②；③． 【考点3】用数轴上的点表示有理数 【例3】（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）如图，点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，根据数轴确定点表示的数的取值范围是解题的关键． 由数轴点位于和之间即可判断． 【详解】解：由数轴上点位置可知，，选项A、B、C、D中只有C符合条件， 故选：C． 【变式训练】 7．（25-26·山东淄博·期中）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ）． A．0.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点与有理数的对应关系及有理数的大小比较．先观察数轴，确定手掌遮挡的点所在的位置区间，从图中可以看到，手掌遮挡的点在和之间，所以这个点表示的数x满足，再逐一分析各个选项是否符合不等式，直到选择出正确的选项即可． 【详解】解：设手掌遮挡住的点表示的数为x，则手掌遮挡住的点在、的两点之间， 则， 则表示的数可能是． 故选：C． 8．（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上一点P表示的数是x，则表示的数是的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查数轴上数的表示与相反数的几何意义，解题的关键是确定点表示的数的范围，进而分析的范围． 先判断点表示的数的范围，再计算的范围，结合数轴上点的位置确定对应点． 【详解】解：由数轴可知，点在与0之间，即：， 将不等式两边同时乘以，得：， 观察数轴： 点表示，不满足； 点在与之间，不满足； 点在0与1之间，不满足； 点在0与2之间，满足． 故选：D． 9．（25-26七年级上·江西上饶·期中）如图，数轴上A，B，C三点，若点A与点B相距2个单位，点B与点C相距2个单位，且点A表示整数1，则点C表示的数是 ． 【答案】5或1或 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． 根据点A表示整数1，点A与点B相距2个单位求出点B表示的数，再根据点B与点C相距2个单位即可求出点C表示的数． 【详解】解：点A表示整数1，点A与点B相距2个单位， 点B表示的数是或， 点B与点C相距2个单位， 当点B表示的数是3时，点C表示的数是或； 当点B表示的数是时，点C表示的数是或； 综上，点C表示的数是5或1或 【考点4】数轴上两点间的距离 【例4】（24-25七年级上·贵州贵阳·月考）在数轴上有三个点A、B、C，且点A到点B的距离是5个单位长度，若点B表示的数是，点C表示的数是，则点A到点C的距离为 ． 【答案】2或8 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 根据点B表示的数和点A到点B的距离，求出点A表示的数有两种可能，再结合点C表示的数，计算点A到点C的距离 【详解】解：∵点B表示的数为，点A到点B的距离为个单位长度， 因此点A表示的数为或． 又∵点C表示的数为2， 故点A到点C的距离为或． 故答案为2或8 【变式训练】 10．（24-25七年级上·山西临汾·期中）如图，数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6．将点A在数轴上移动2个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．先求出点A表示的数，然后分两种情况求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6， ∴点A表示的数为：， 当点A在数轴上向右移动2个单位长度得到点时，点C表示的数为：； 当点A在数轴上向左移动2个单位长度得到点时，点C表示的数为：； 故选：C． 11．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）数轴上的点沿数轴向右移动7个单位后到达点，且点到原点的距离为1，若数轴上的点到点和到原点的距离相等，则点表示的数是（   ） A．3或4 B．或 C．或4 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数，结合点C到点A和到原点距离相等，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ 点B到原点的距离为1， ∴ 点B表示的数为1或， ∵ 点A向右移动7个单位到达点B， ∴ 点A表示的数为或， ∵ 点C到点A和到原点的距离相等， ∴ 点C表示的数为 或， 点表示的数是或， 故选：． 12．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，数轴上、两点表示的数分别为8、，在、之间取一点，将数轴沿点向左对折，点的对应点落在射线上，该对应点与点的距离是4，则点表示的数为 ． 【答案】或3/3或 【分析】本题考查数轴对折问题，设点A的对应点为，分点在点B左侧与右侧两种情况，先求出点表示的数，再根据中点公式求出点表示的数． 【详解】解：设点A的对应点为，分两种情况： 当点在点B左侧时，点表示的数为：， 点A表示的数为8， 点表示的数为：； 当点在点B右侧时，点表示的数为：， 点A表示的数为8， 点表示的数为：； 综上可知，点表示的数为或3， 故答案为：或3． 【考点5】根据点在数轴上的位置判断式子的符号 【例5】（25-26七年级上·江苏常州·期中）已知a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，根据数轴上a、b的位置可以判定a与b大小与符号，然后据此解答． 【详解】解：由数轴知， ，，， ，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项错误； ，故D选项正确； 故选：D． 【变式训练】 13．（25-26七年级上·湖南常德·期中）如图，数轴上的两点表示的数分别为，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负，由数轴可得，进而可判断各选项． 【详解】解：结合已知数轴得，且， ∴，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 14．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知在数轴上的位置如图所示，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的有关知识，掌握有理数与数轴上点的对应关系是解决问题的关键．由在数轴上的位置得，且，据此逐项判断． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，故选项A正确，不符合题意； ，故选项B正确，不符合题意； ，故选项C错误，符合题意； ，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 15．（25-26七年级上·江苏南通·月考）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)用“”、“”或“”填空：________，________； (2)用“”将，，连接起来（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，相反数的意义，数轴上两点距离，利用数形结合法解答是解题的关键． （1）根据相反数的几何意义在数轴上表示出，即可解答； （2）减法法则结合，，在数轴上的位置解答即可． 【详解】（1）解：如图， ∴． 故答案为：，； （2）解：如图， ∵ ∴． 【考点6】求一个数的相反数、绝对值 【例6】（25-26七年级上·浙江杭州·月考）的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数及绝对值的定义，关键是根据定义进行计算； 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数；根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：的相反数是，绝对值是； 故答案为：，. 【变式训练】 16．（25-26七年级上·四川泸州·期中）的相反数是（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，由此即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 17．（2025·江西抚州·二模）的相反数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的绝对值和相反数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先计算绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数算出的值，最后再求相反数． 【详解】解： ， ， 的相反数为， ∴的相反数为2025； 故选：B． 18．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）2025的相反数是 ，2的绝对值是 ，的倒数是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查相反数、绝对值和倒数的概念，根据定义直接求解即可． 【详解】解：2025的相反数是；； 的倒数是， 故答案为：；2；． 【考点7】绝对值的非负性 【例7】（25-26·山东东营·期中）与互为相反数， ． 【答案】8 【分析】本题考查了相反数的定义，有理数的混合运算，绝对值的非负性，平方的非负性． 根据互为相反数的定义，两个数的和为零，结合平方和绝对值的非负性，求出a和b的值，再代入计算． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴． ∵，， ∴且． 解得，． 则． 故答案为：8． 【变式训练】 19．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）若与互为相反数，则的值是（   ） A． B．36 C．18 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数和有理数的乘方运算，利用两个绝对值互为相反数，且绝对值非负，则两数均为0是解题的关键． 首先根据两个绝对值互为相反数，且绝对值非负的已知条件，得到两数均为0，进而解出a和b的值，最后计算的值即可． 【详解】∵与互为相反数，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 20．（25-26七年级上·辽宁抚顺·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方数非负性，绝对值非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一项都等于0列式是解题的关键． 根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ， 解得：， ， 故选：D． 21．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据平方和绝对值的非负性，求出a和b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点8】带有字母的绝对值化简问题 【例8】（25-26七年级上·江西上饶·期中）已知，则式子：（  ） A．3 B．或1 C．或3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了乘法法则，绝对值的定义，分类讨论是解题的关键； 由可知a、b、c全为正数或两个负数一个正数，根据分类讨论的思想以及绝对值分别计算式子值即可． 【详解】∵， ∴a、b、c同为正或两负一正． 当，，时， ，，， ∴原式． 当a、b、c中有两个负数一个正数时，不妨设, 则，，， ∴原式． 其他两负一正情况同理，和均为． ∴式子的值为3或． 故选：C． 【变式训练】 22．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）a，b为非零有理数，则的值为（　　） A．3 B． C．3或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义、有理数的除法，解决本题的关键是确定的符号．分别讨论的正负，再根据有理数的除法，即可解答． 【详解】解：当且时，原式； 当且时，原式； 当且时，原式； 当且时，原式． 的值为3或． 故选：C． 23．（25-26七年级上·全国·月考）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了数轴与绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的数，绝对值化简，整式的加减，是解本题的关键． 根据数轴上点的位置判断出绝对值里面式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据数轴得：，， ∴，， ∴原式 ． 故答案为：． 24．（25-26七年级上·重庆万州·期中）按下列要求解答： (1)已知，化简：； (2)若、、在数轴上对应位置如图所示，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有数轴判断式子的正负，化简绝对值，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）根据题意判断出，，再化简求值即可； （2）先根据数轴上字母的位置判断出，再得到，，，从而化简求出结果即可． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：由数轴可知：， ，，， ． 【考点9】有理数的大小比较 【例9】（25-26七年级上·全国·课后作业）请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，求解绝对值； （1）先求解两数的绝对值，再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案； （2）先化简各数，再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）， ∵，，， ∴． 【变式训练】 25．（22-23·山东泰安·期末）以下有理数中最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 计算每个选项的数值，然后比较大小，找出最小的数即可． 【详解】解：∵ A: ， B: ， C: ， D: ， ∴， ∴D的值最小， 故选：D． 26．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）比较大小： （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小，据此即可求解． 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为：． 27．（2025七年级上·全国·专题练习）请分别写出一个符合下面条件的有理数a： (1) ； (2) ； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)1 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的大小比较，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，分析是符合，即可作答． （2）理解题意，分析是符合，即可作答． （3）理解题意，分析是符合，即可作答． （2）理解题意，分析是符合，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，当时， 则， 即符合； （2）解：依题意，当时， 则， 即符合； （3）解：依题意，当时， 则， 即符合； （4）解：依题意，当时， 则， 即符合； 【考点10】有理数的加减 【例10】（24-25七年级上·贵州贵阳·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2)2 【分析】本题主要考查有理数加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式运用有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式先计算绝对值和去括号，然后再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 28．（25-26七年级上·广西崇左·期中）某地一天中的最高气温是，最低气温是，则该地这天的最大温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的减法，温差是最高气温与最低气温的差值，直接计算即可． 【详解】解：∵最高气温为，最低气温为， ∴温差=最高气温-最低气温， 故答案为：C． 29．（25-26七年级上·福建宁德·期中）已知，且，则的值等于（    ） A．1或 B．5或 C．5或 D．或1 【答案】A 【分析】此题主要考查了绝对值的性质，由可得 ，；结合可知x 与 y 异号，分两种情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴ x 与 y 异号， 当时，，则 ， 当 时，，则， ∴的值为1或． 故选：A． 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，解题关键是通过通分、运用加法交换律和结合律对式子分组，简化计算过程． （1）通分后，分组结合同分母数计算． （2）通分后，按顺序或分组计算． （3）统一小数为分数，通分后分组结合计算． （4）拆分带分数，整数与分数部分分别分组计算． 【详解】（1） ． （2） ． （3） （4） ． 【考点11】有理数的乘除 【例11】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多个有理数相乘的乘法法则，掌握法则是解题的关键． 先将小数化为分数，带分数转化为假分数，再确定积的符号，运用乘法交换律和结合律进行简便运算即可求解． 【详解】解： 故答案为： 【变式训练】 31．（25-26七年级上·河南安阳·月考）学完有理数的运算之后，小丁做了以下四道计算题：①；②；③；④．请你帮他检查一下，他一共做对了（   ） A．1题 B．2题 C．3题 D．4题 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方、减法及除法运算，需逐一验证各计算题的正确性． 【详解】解：①∵（2025为奇数），而原式计算为，错误； ②∵，而原式计算为，错误； ③∵，恒成立，正确； ④∵，正确． ∴他一共做对了2题． 故选：B． 32．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为 ． （2）计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法法则（除以一个数等于乘它的倒数），涉及知识点：倒数的定义、有理数的混合运算． （1）根据有理数除法的意义，是的倒数； （2）先计算，再求结果的倒数，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴． （2） ， ． 故答案为：，． 33．（25-26七年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【考点12】有理数的乘方 【例12】（25-26七年级上·安徽宣城·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，通过提取 简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可． 【详解】解：∵ ， 又∵ （指数2025为奇数）， ∴ 原式． 故选：C 【变式训练】 34．（25-26·上海普陀·月考）乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算．等价于先计算五分之一的五次方，再取负，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：乘法运算可以表示为， 故选：D． 35．（24-25·上海·月考）某种细胞，每过20分钟便由1个分裂成2个，2个这种细胞，经过1小时，能分裂成 个． 【答案】16 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．先求出细胞每20分钟分裂一次，1小时共分裂3轮，再根据每过20分钟便由1个分裂成2个列式计算即可得． 【详解】解：∵每过20分钟细胞分裂一次， ∴经过1小时，分裂轮数为（轮）， ∵某种细胞，每过20分钟便由1个分裂成2个， ∴2个这种细胞，经过1小时，能分裂成（个）， 故答案为：16． 36．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）是最小的正整数，是最大的负整数．的相反数仍然为是倒数等于本身的数． (1)填空：_______，_______，_______，_______； (2)试求的值． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的分类，相反数，绝对值的定义，代数式的求值，熟练掌握有理数的分类和绝对值的性质是解题的关键． （1）首先依据实数的分类以及绝对值的性质求得的值； （2）接下来，将的值代入求解即可． 【详解】（1）解：是最小的正整数，是最大的负整数，的相反数仍然为是倒数等于本身的数， ． 故答案为：，，，； （2）当时， ； 当时， ． 【考点13】科学记数法 【例13】（2017·云南·中考真题）作为世界文化遗产的长城，其总长大约为．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的定义表示即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式训练】 37．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）2025年11月5日，我国首艘电磁弹射型航空母舰——福建舰，在海南三亚某军港正式交接入列，舷号18，标志着中国海军迈入“三航母”时代，福建舰的满载排水量为80000余吨．80000这个数用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 38．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）白银，别称铜城，是甘肃省辖地级市，是大兰州经济区的核心区和兰白经济圈的副中心．截至2020年，全市辖2个区、3个县，总面积为21200平方公里，21200用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的一般形式是解决本题的关键． 将21200用科学记数法表示，标准形式为，其中，n为整数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴21200用科学记数法表示为． 故选C． 39．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．据了解，长征二号F遥二十一运载火箭发射时，携带的推进剂总量约450000千克，将数据450000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．将450000用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可作答． 【详解】解：将450000用科学记数法表示为， 故答案为：． 【考点14】有理数的混合运算 【例14】（25-26七年级上·河南焦作·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)16 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）利用有理数的乘法分配律求解即可； （2）先计算乘方和绝对值，然后计算乘法，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式训练】 40．（2025七年级上·全国·专题练习）计算； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用乘法分配律计算即可； （2）根据有理数的运算法则计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： 41．（24-25七年级上·云南红河·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，有理数的四则混合运算，乘法分配律，熟练掌握含乘方的有理数混合运算及乘法分配律是解题的关键． （1）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可； （2）先算乘方及绝对值化简，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 42．（22-23·山东泰安·期末）计算： (1) (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先去括号，再按照有理数加减混合运算法则即可求解． （2）按照有理数乘除混合运算法则即可求解． （3）先计算乘方，去绝对值，再按照有理数四则混合运算法则即可求解． （4）先按照乘法分配律的逆运算，再按照有理数四则混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【考点15】有理数的运算与实际问题 【例15】（25-26七年级上·四川资阳·期中）云云的爸爸驾驶一辆汽车从地出发，若以为原点，向东为正，向西为负，他的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)该汽车最后停在何处？距离地多少千米？ (2)已知这种汽车每千米消耗的油量为升，问这辆汽车这次消耗汽油多少升？ 【答案】(1)该汽车最后停在地的西边，距离地千米 (2)升 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，正数和负数，绝对值的意义，掌握有理数混合运算的法则是解题的关键． （1）将这些数相加，如果是正数，则在地的东方；如果是负数，则在地的西方； （2）将这些数的绝对值相加，即得出他所行驶的路程，再乘以每千米耗油量即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴该汽车最后停在地的西边，距离地千米； （2）解：∵这种汽车每千米消耗的油量为升， ∴ （升）， ∴这辆汽车这次消耗汽油升． 【变式训练】 43．（25-26七年级上·广东河源·期中）某自行车厂一周计划生产1050辆自行车，平均每天生产150辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (2)该厂实行计件工资制，每辆车50元，超额完成任务每辆奖10元，少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)26辆 (2)53040元 【分析】本题考查正负号的应用，有理数混合运算的实际应用： （1）产量最多的一天是星期六，最少的一天是星期五，根据有理数的减法法则计算即可； （2）先计算出一周产量，得出超产还是减产，按照工资计算方式即可求解． 【详解】（1）解：（辆）， 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆； （2）解：一周总产量为：（辆）， 超产：（辆）， （元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是53040元． 44．（25-26·山东东营·期中）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下：，，，，，，，．（注：向西记作“”，向东记作“”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)送完第几个乘客时距离A处最远？ (3)公司规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【答案】(1)将乘客送到目的地时，他在A东边，距离A处4千米 (2)送完第四个乘客距离A处最远 (3)100元 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正负数的实际应用： （1）把所给的行程计算相加，若结果为正数，则在A地东边，距离为计算的结果，若结果为负数，则在A地西边，距离为计算的结果的绝对值，若为0，则回到A地； （2）求出每次送完乘客时与A处的距离，进而比较即可； （3）求出每次的收车费，相加即可. 【详解】（1）解： 所以将乘客送到目的地时，他在A处东边，距离A处4千米； （2）解：由题意可知 ；；；；；；； 即送完第一个乘客距离A处2千米， 送完第二个乘客距离A处3千米， 送完第三个乘客距离A处0千米， 送完第四个乘客距离A处6千米， 送完第五个乘客距离A处3千米， 送完第六个乘客距离A处1千米， 送完第七个乘客距离A处3千米， 送完第八个乘客距离A处4千米， 所以在送完第四个乘客距离A处最远． （3）解： （元） 45．（25-26七年级上·重庆南川·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.5元，请计算小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)这七天一共行驶了 (2)这7天的行驶费用比原来节省146元 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，理解题意，正确计算是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）分别计算汽油车和新能源汽车的行驶费用，再求费用差． 【详解】（1）解：， 答：这七天一共行驶了400千米． （2）解：汽油车费用：（元）， 新能源汽车费用：（元）， 节省费用：（元）， 答：这7天的行驶费用比原来节省146元． 【考点16】有理数的运算与程序流程图 【例16】（25-26七年级上·河北衡水·期中）某数学编程机器人执行以下运算程序：输入一个有理数，按从左到右的顺序依次进行运算，最终输出结果，其中“#”表示运算过程中一个未知的有理数． (1)若输入的是2，表示的数为2，求输出结果； (2)若输入的是，且输出的为7，直接写出#表示的数； (3)若输出的为0，用含的代数式表示#． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出算式和方程． （1）根据题意代入相应的值运算即可； （2）设#表示的数为m，根据题意得出相应的方程求解即可； （3）根据题意得出与#相应的方程求解即可； 【详解】（1）输入的数是2，#表示的数为2， ； （2）设#表示的有理数为m， 根据题意得， 解得 ∴#表示的数为； （3）根据题意得，， 解得 ∴#表示的有理数为． 【变式训练】 46．（24-25七年级上·广东揭阳·期中）如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，…，这样下去，第次计算输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律，通过计算探索出输出结果的循环规律是解题的关键； 通过计算发现，每次输出的结果循环出现，则可知第次计算输出的结果与第次计算输出的结果相同，由此求解即可． 【详解】解：第一次计算输出的结果是， 第二次计算输出的结果是， 第三次计算输出的结果是， 第四次计算输出的结果是， 第五次计算输出的结果是， 第六次计算输出的结果是， 第七次计算输出的结果是， 第八次计算输出的结果是， 第九次计算输出的结果是， 第十次计算输出的结果是，…， ∴从第二次开始，每次输出的结果循环出现， ， ∴第次计算输出的结果是， 故选：A． 47．（25-26七年级上·山西晋中·期中）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数a，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数． (1)若“●”表示3，输入数为，求计算结果； (2)若“●”表示的数为最大的负整数，当计算结果为2时，求输入的数a的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，程序框图中的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解程序框图的计算顺序． （1）将“●”表示3代入程序框图中的运算程序进行计算即可； （2）先确定“●”表示的数为，再由题意得方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：由题意得：“●”表示的数为 ， 解得：． 48．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小亮输入1，3这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)当小亮输入数时，求出输出的结果； (3)若小亮操作时输出结果是2，请你判断：小亮输入的正整数有可能是（   ）． A．　B．　C．　D． 【答案】(1)1， (2)0 (3)A 【分析】本题考查程序流程图（数值转换机）的理解与应用，有理数的运算，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据流程图，分别将输入值1和3按照流程计算即可； （2）将输入值按照流程图逐步计算； （2）设输入正整数为，减5至不大于2后的数记为，则之后取相反数并判断：由题意，若，则输出为，若，则输出为，根据输出为2，分类讨论并结合选项判断即可． 【详解】（1）解：当输入为1时， ，取相反数得， 非正，取绝对值得1， 故输出为1； 当输入为3时，， 执行， ，取相反数得2， 2为正，取倒数得， 故输出为． 故答案为：1， ； （2）解：当输入为时，， ， ， ， 取相反数得0， 0非正，取绝对值得0， 故输出为0； （3）解：设输入正整数为，减5至不大于2后的数记为，则之后取相反数并判断： 若，由题意则输出为， 若，由题意则输出为． 由题意输出为2： 若，则，即经过数次减5后等于2，故（为非负整数）． 若，则，解得，不是整数，舍去． ∴输入满足， 选项中的数除以5的余数分别为： ， ， ， ， 只有满足条件． 故选：A． 【考点17】有理数的运算与规律探究问题 【例17】（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）观察下列各式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，猜想的末位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查数字规律探索，找到循环周期并计算余数是解题关键．观察3的幂次方的末位数字，发现每4次循环一次，循环顺序为，计算2025除以4的余数，根据余数即可确定末位数字． 【详解】解：因为，，，，，，，……， 所以发现规律为的末位数字按照的顺序进行循环， 因为 ， 所以的末位数字是3． 故选：B 【变式训练】 49．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了乘方运算中末位数字的周期性规律，解题的关键是找出末位数字的循环周期，再通过指数除以周期求余数确定结果． 观察已知算式的末位数字，发现其以2、4、8、6为一个循环周期；用指数2026除以周期4，根据余数判断对应的末位数字． 【详解】解：观察算式可得，的末位数字依次为2、4、8、6，以4为循环周期；，余数为2； 余数为2对应循环周期中的第2个数字4，即的末位数字是4； 故选：C． 50．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）观察下列三行数： ，4，，16，，64，…① ，…② ，…③ (1)第①②③行中的第7个数分别为__________，__________，__________； (2)分别取第①②③行中的第10个数，计算这三个数的和； (3)分别取第①②③行中的第n个数，依次记为a，b，c，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2562 (3)2 【分析】（1）第①行中，，，，，由此判断第n个数为，计算时的值即可； 第②行中，，，，，由此判断第n个数为，计算时的值即可； 第③行中，，，，，由此判断第n个数为，计算时的值即可； （2）根据探索的结论，分别取第①②③行中的值，再求和即可； （3）根据探索的结论，解答即可． 本题考查了有理数的规律探索，有理数的运算，求代数式的值，熟练掌握规律的探索，运算是解题的关键． 【详解】（1）解：第①行中，，，，， 故第n个数为， 当时，； 第②行中，，，，， 故第n个数为， 当时，； 第③行中，，，，， 故第n个数为， 当时，； 故答案为：． （2）解：当时， ；，， 故三个数的和为：． （3）解：根据题意，得，，， 故 ． 51．（25-26七年级上·广东惠州·期中）（1）观察并补全下面的算式： ___________；___________；___________； ___________；___________；___________． （2）算式___________． （3）计算：． 【答案】（1），，，，，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数的混合运算、数字规律等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）由（1）可知，再进行计算即可； （3）仿照（2）的计算方法求解即可． 【详解】解：（1）；；； ；； 故答案为：；；；；；． （2）由（1）可知，，， 即， ∴ ； （3） ． 【考点18】有理数的运算与新定义问题 【例18】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，，，…，． (1)填空：_____，是一个_____（填“正”或“负”）数． (2)计算：． (3)当时，的值为多少？ 【答案】(1)，正 (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的乘方，偶数个负数相乘的积是正数得出答案即可； （2）根据乘方的意义，可得，，根据有理数的加法，可得答案； （3）根据乘方的意义，可得，，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：（1），是一个正数； （2）； （3） ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，掌握乘方的意义，判定负数乘方的计算结果是解决问题的关键. 【变式训练】 52．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是．例如： (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，请你计算当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算及代数式的值，解题的关键是理解题中所给新定义运算； （1）根据题中所给新定义运算可直接进行求解； （2）先根据绝对值与偶次幂的非负性得出，然后根据题中所给新定义运算进行化简，最后代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴ ． 53．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)若，，请你分别求出m、n的值； (2)试计算的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）利用绝对值的定义及相反数的定义求得m，n的值即可； （2）结合（1）中所求结果，根据定义的新运算列式计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 解得：； （2）解：，， ． 54．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）材料1：一般地，个相同因数相乘记为，如，此时3叫做以2为底的8的对数，记为（即：） （1）计算： ； ； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，……，在这种规定下： （2）求出满足该等式的的值； （3）当为 时，． 【答案】（1）3；；（2）或；（3）或 【分析】（1）根据材料示例计算可得； （2）根据材料定义的运算，化简后解含绝对值的方程即可求得； （3）综合两个材料中的定义，化简后得到方程，可理解为求数轴上一点x到和6的距离之和为18，由和6两个点将数轴分为三部分，当x分别位于这三个区域时将方程去绝对值后进行解方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； ； （2）， ， 化简得：， 即或， ∴或． （3）由得： ， 即， 当时，可得， 当时，可得， 则当时，原方程可化为：，解得：； 当时，原方程可化为：，则此时方程无解； 当时，原方程可化为：，解得； 故当x为或11时，符合题意． 【点睛】本题考查对给材料定义运算的学习和理解，目的在于考查学生的学习能力，解题的关键要理解清楚题目中所定义的运算并进行应用． 【考点19】数轴上的动点综合问题 【例19】（25-26七年级上·广东中山·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础， 【操作探究】如图，在数轴上，点M表示，点N在点M的右边，且距M点40个单位长度，P、Q是数轴上的动点． （1）直接写出点N所表示的数______； （2）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，经过多少秒时，P、Q两点相距4个单位长度？ 【深入思考】 （3）我们进一步研究，的几何意义是在数轴上的数x对应的点与原点的距离，即若任意点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为我们也可以探究出数轴上A、B两点之间的距离 ①数轴上表示x和3的两点之间的距离为4，那么x的值是______； ②表示的是数轴上表示x的点到表示和5的两点的距离之和，若有最小值，请求出最小值． 【答案】（1）30   （2） 秒或22秒  （3）①或7；②的最小值为9 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．绝对值以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用点表示的数点表示的数线段的长度，即可求出结论； （2）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）①解关于的含绝对值符号的一元一次方程，即可得出结论； ②分，及三种情况，求出的取值范围或值，此题得解． 【详解】解：（1）根据题意得：点N所表示的为． 故答案为：30； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或 答：经过18秒或22秒时，P、Q两点相距4个单位长度； （3）①根据题意得：， 即或， 解得：或， 的值是或 故答案为：或7； ②当时，； 当时，； 当时，， 的最小值为． 【变式训练】 55．（25-26七年级上·重庆·期中）数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，推出开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：， 故选：C． 56．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，已知点在数轴上表示的数分别为和10．若数轴上有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为． (1)线段的长度为______． (2)若为线段的中点，为线段的中点，当点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由． (3)若当点从点出发的同时，有一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． ①在运动过程中，点表示的数为______，点表示的数为______．（用含的代数式表示） ②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？ 【答案】(1) (2)当点在线段上运动时，线段的长度不发生变化，理由见解析 (3)①；；②6秒或秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）运动时，点P表示的数为，再根据两点中点计算公式分别表示出点M和点N表示的数，进而可求出线段的长，据此可得结论； （3）①用点A表示的数加上点P运动的路程即为点P表示的数，用点B表示的数减去点Q运动的路程即为点Q表示的数，再根据点与点相距3个单位长度建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在数轴上表示的数分别为和10， ∴； （2）解：当点在线段上运动时，线段的长度不发生变化，理由如下： 由题意得，运动时，点P表示的数为， ∵为线段的中点，为线段的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， ∴当点在线段上运动时，线段的长度不发生变化； （3）解：①由题意得，在运动过程中，点表示的数为，点表示的数为； ②由题意得，， ∴， ∴或， 解得或， ∴运动6秒或秒时，点与点相距3个单位长度． 57．（25-26七年级上·江苏南通·月考）已知数轴上点表示的数为是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______；当点运动到的中点时，它所表示的数是________． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点追上点？当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ (3)若点P到点A，B的距离之和为12，则点P叫做A，B的“幸福中心”，若点P从数字10出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，经过多少秒时，点P是点A和点B的“幸福中心”？ 【答案】(1)，1 (2)当点运动秒时，点追上点；当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度 (3)经过秒或秒时，点P是点A和点B的“幸福中心” 【分析】（1）根据两点间的距离为，即可确定点表示的数；利用,可确定点运动到的中点时它所表示的数； （2）根据题意，可知当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，当点追上点时，可有，求解即可获得答案；当点与点间的距离为个单位长度时，可有，整理并求解即可； （3）结合题意，可知经过秒时，点P表示的数为，然后分点P在点右侧，点P在线段上以及点P在点左侧三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，数轴上点表示的数为是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为， 则点表示的数是， ∵, ∴当点运动到的中点时，它所表示的数是1． 故答案为：，1； （2）解：根据题意，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 则运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 当点追上点时，可有， 解得（秒），即当点运动秒时，点追上点； 当点与点间的距离为个单位长度时， 可有，整理可得， ∴或， 解得或， 即当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度； （3）解：若点P从数字10出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 则经过秒时，点P表示的数为， 当时，即点P在点右侧， 则两点之间的距离为，两点之间的距离为， 若点P到点A，B的距离之和为12， 则有，解得（秒）； 当时，即点P在线段上， 则两点之间的距离为，两点之间的距离为， 此阶段可有， 即点P到点A，B的距离之和为10，不合题意； 当时，即点P在点左侧， 则两点之间的距离为，两点之间的距离为， 若点P到点A，B的距离之和为12， 则有，解得（秒）． 综上所述，经过秒或秒时，点P是点A和点B的“幸福中心”． 1．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，零上温度记为正数，零下温度记为负数，据此求解即可． 【详解】∵冰箱冷藏室的温度零上，记作， ∴冷冻室的温度零下，应记作． 故选：D． 2．（25-26七年级上·江苏南通·期中）下列数：15，，，7，，，12，，中，整数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握整数的定义，是解题的关键．根据有理数的分类方法，进行解答即可． 【详解】解：15，，，7，，，12，，中，整数有：15，，7，，12，共5个． 故选：C． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期中）已知a是一个有理数，若，则数a为（    ） A．正有理数 B．0 C．负有理数 D．非零有理数 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 根据0的相反数是0判断即可． 【详解】解：∵已知a是一个有理数，若，即数a与它的相反数相等， ∴数a为0． 故选：B． 4．（24-25七年级上·贵州贵阳·月考）有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据数轴确定a、b的正负和大致取值范围，再分别分析每个选项． 本题考查根据数轴判断有理数的性质及大小关系，解题的关键是依据数轴上点的位置确定a、b的正负性与绝对值大小关系． 【详解】解：由数轴可知在和之间，所以且，在1和2之间，所以且， 故选项A、B选项判断正确，是负数，则是正数，且到原点的距离小于到原点的距离，所以，C选项判断正确； 到原点的距离小于到原点的距离，根据绝对值的几何意义，可得，D选项判断错误，符合题意． 故选：D． 5．（24-25七年级上·云南红河·期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下面关系中，对的个数为（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴和有理数，由数轴可得，，再根据有理数的运算法则逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴①③④正确，②错误， ∴正确的个数为个， 故选：C． 6．（25-26七年级上·四川德阳·期中）下列关于有理数的说法中，正确的说法的个数是（　　） ①只有正数的绝对值等于它本身； ②的底数是； ③若互为相反数，且，则； ④若是有理数，则不可能是负数； ⑤除以一个数，等于乘这个数的倒数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的相关概念，以及有理数的运算． 逐一判断每个说法的正误即可． 【详解】解：①∵的绝对值等于它本身，但不是正数，∴①错误； ②∵的底数是，不是，∴②错误； ③∵、互为相反数，∴，又∵，∴，∴，∴③正确； ④当时，；当时，，∴，不可能是负数，∴④正确； ⑤∵除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数，∴⑤错误； 综上，正确说法的个数是2个． 故选：A． 7．（25-26七年级上·江苏南通·期中）在电子工程中，数字电路中使用的是二进制系统，而采用六进制编码的数字也慢慢用于电子设备的编程中．现用二进制记数法表示正整数，例如：，记作，，记作，六进制记数法表示正整数，例如：，记作，则等于六进制中的数为（    ） A．121 B．203 C．113 D．135 【答案】C 【分析】本题考查不同记数制之间的转换，解答本题的关键是明确二进制数转化为十进制数和十进制数转化为六进制数的方法． 先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为六进制数． 【详解】解： ， 故选：C． 8．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）两位同学玩猜数游戏，规则如下：（1）第一位同学默想一个的整数并记住；（2）第二位同学对第一位同学默想的数提出一个猜想，第一位同学比较这个数和自己心中所想数的大小，然后回答“大了”“小了”或者“相等”，若相等则说明第二位同学猜中；（3）若第二位同学没有猜中，则根据第一位同学的回答，调整猜想；（4）重复步骤（2）（3），直到猜中．自由活动课上，小刚和小明玩这个游戏，其中小明按要求选好一个数后，小刚至多猜（    ）次可以一定猜出此数． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的应用，根据题意，每次猜测后范围可减半，设小刚猜次，只需使得即可，再根据有理数乘方的运算法则计算比较即可． 【详解】解：设小刚猜次， ∵总数为2025，每次猜测后范围可减半， ∴只需使得， ∵， ∴小刚至多猜11次可以一定猜出此数． 故选：C． 二、填空题 9．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）年国庆中秋假期，泰州市共接待游客人，比去年同期增长，其中用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示一个较大的数，将数字用科学记数法表示，需要将其写成的形式，其中，为整数．通过移动小数点的位置，确定和的值． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）在数轴上与原点的距离不大于4的所有整数点表示的数的和是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，有理数的加法运算．根据绝对值的几何意义，在数轴上与原点的距离不大于4的整数点表示的数为所有绝对值小于或等于4的整数，即从到4的整数，由于这些数关于原点对称，其和为零，即可作答． 【详解】解：∵在数轴上与原点的距离不大于4的整数点， ∴满足条件的整数有：， 则， 故答案为：0． 11．（25-26七年级上·福建宁德·期中）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，正确理解运算法则是解题的关键．根据新定义列出算式，按照有理数混合运算法则计算即可． 根据新运算规则，将a和b的值代入公式计算即可解答． 【详解】根据新运算定义，， 将，代入，得 ， 故答案为：15． 12．（25-26七年级上·江西抚州·期中）如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序框图的代数式求值，根据题意确定代数式是解题的关键．由题意知，代数式为，将代入求解即可． 【详解】解：由题意知，代数式为， 当时，原式， 故答案为：． 13．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）老师让大家写出三个互不相等的有理数，小聪写出的是1，，a，小明写出的是0，，b，老师说两人写的数字完全一样．则字母a表示的有理数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是有理数的有关运算，由小明的数中有0，可得小聪的数中必有0．又由分数有意义，可得分母．因此只能是，即．由于小聪的数中有1，可得小明的数中必有1．因此或．再求解即可． 【详解】解：由题意，小聪写的三个数是1，，a，小明写的三个数是0，，b，且两组数完全相同． 因为小明的数中有0， 所以小聪的数中必有0． 又因为分数有意义， 所以分母． 因此只能是，即． 因为小聪的数中有1， 所以小明的数中必有1． 因此或． 若，将代入得，即，此式不成立，故舍去． 所以只能是． 将代入得，解得． 检验：当时，小聪的数为，小明的数为，两组数相同且互不相等，符合题意． 故． 故答案为：． 三、解答题 14．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算及加减乘除运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键； （1）根据有理数的加减混合运算可进行求解； （2）根据有理数的乘除运算可进行求解； （3）先算乘方，然后再根据有理数的乘法分配律可进行求解； （4）先算乘方，然后再进行有理数的运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 15．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）中考当天，出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送学生，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下(单位∶)∶，，，，，． (1)将最后一名学生送到目的地时，小王距出发地多少千米？方向如何？ (2)在接送学生过程中，小王最远处离出发点多远？ (3)若汽车耗油量为，则当天耗油多少升？ 【答案】(1)距出发地千米，方向为东； (2)小王最远处离出发点千米； (3)当天耗油升． 【分析】本题考查正负数和有理数的混合运算，能够根据题意列出式子是解题的关键． (1) 求出各个数的和，依据结果的正负即可判断； (2)依次计算每次行驶后的位置，比较各位置绝对值大小即可； (3) 求出汽车行驶的总路程，根据题意列出式子再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得向东为正，将所有行程相加： （千米）， 距出发地千米，方向为东； （2）每次行驶后的位置为：，，，，，， 因为绝对值最大的为， 所以小王最远处离出发点千米； （3）总路程绝对值之和为：（千米） ， 油耗量：（升）， 所以当天耗油升． 16．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 【答案】(1)； (2)5 (3)1001000 【分析】本题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）当时，取得最小值5． （3）由题意得出当时，的值最小． 【详解】（1）解：表示数轴上数x与数两点间的距离， 故答案为：； （2）解：可理解为数轴上表示数  ��  的点到表示数和 2的点的距离之和，当点  ��  位于点数 和 2之间（含端点）时，该距离之和最小，最小值为点数和点2之间的距离，当时，取得最小值5． 故答案为：5； （3）解：表示数轴上x所对应的点到1、2、3、…、2001所对应的点的距离之和， 当时，距离之和最小， 最小值为： . 17．（24-25七年级上·山东济南·月考）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_____（请填序号）． ①，； ②，． (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴， ①是“隔一数对” ②∵， ∴ ∴②不是“隔一数对” 故答案为：① （2）原式 （3）原式 18．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1) (2) (3)当在之间时，点表示的数为，；当在点左边时，点P表示的数为， 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）分两种情况讨论：当在之间时，，点表示的数为，此时；当在点左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：①当在之间时，， 点表示的数为：， 此时； ②当在点左边时，， 点P表示的数为：， 此时． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数及其运算（10大知识点+19大考点+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 正数和负数 1. 正数与负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 2. 相反意义的量 （1）具有相反意义的重一带有具体的数，重如上升3m和下降7m; (2)具有相反意义的量必须是成对出现的，单独一个量不能表示具有相反意义的量； 知识点02 有理数计分类 1.定义：任何有理数都可以写成(m,n是整数，其中m≠0)的形式.，整数和分数统称为有理数。 所有的分数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数或无限循环小数都可以化为分数 2.有理数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： 知识点03 数轴 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2.点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 3.数轴上的点：表示正有理数的点在原点的右边，表示负有理数的点在原点的左边，0用原点表示. 知识点04相反数与绝对值 1.相反数定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 2.相反数的性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。 3.绝对值定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 4.绝对值的性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数 绝对值具有非负性，即如果|a十b|十|m十n|=0,那么a十b=0,且m十n=0. 5.绝对值的几何意义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.求一个数的绝对值就是求在数轴 上表示该数的点到原点的距离. 知识点05 有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则：同为正数或同为负数时，绝对值大的数大；正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 知识点06 有理数的加法与减法 1.有理数的加法 （1）有理数的加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）有理数的加法运算律 加法交换律：有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变 ，用字母表示为：a+b=b+a 加法结合律：有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变，用字母表示为(a+b)+c=a+(b+c) （3）有理数的加法运算律中的“五法”：“相反数结合法”；“同号结合法”；“同分母结合法”：“凑整法”“同形结合法” 2.有理数的减法： 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． 3. 有理数的加减混合运算 根据有理数的减法法则，首先把其中的减法运算转化为加法运算，从而把加减混合运算转化为连加运算， 然后利用加法运算法则或加法运算律进行运算 知识点07 有理数的乘法与除法 1.乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． 2.乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘,交换因数的位置,积相等，即ab=ba （2）乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等，即(ab)c=a(bc) （3）分配律：一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加，即a(b+c)=ab+ac 3.除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． 知识点08 有理数的乘方 1.有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂；②在中，a叫 做底数，n叫做指数 2.乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 知识点9有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 知识点10 科学记数法 科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法． 【考点1】正数和负数 【例1】（25-26七年级上·四川资阳·期中）在 ，， ， 0 ， 中，负数的个数有 （   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】 1．（25-26七年级上·甘肃平凉·期中）下面四个数中，是负数的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南红河·期末）在下列各数，7，，，，，0，中，负数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（25-26七年级上·福建宁德·期中）在地理学中使用海平面作为高度的一种衡量标准，珠穆朗玛峰被称为世界第一高峰，高于海平面约，记作，那么死海洼地低于海平面约，记作 ． 【考点2】有理数的分类 【例2】（24-25七年级上·山西临汾·期中）下列各数中既是负数又是分数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 4．（25-26七年级上·广东阳江·月考）下列各数：，0，，，0.3，其中有理数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．（25-26七年级上·河南新乡·期中）在，0，，，2025，，，10中，非负整数有 个． 6．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在，，1，0，，，，，23，中， 整数是 ； 正有理数是 ； 负有理数是 ． 【考点3】用数轴上的点表示有理数 【例3】（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）如图，点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 7．（25-26·山东淄博·期中）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ）． A．0.5 B． C． D． 8．（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上一点P表示的数是x，则表示的数是的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 9．（25-26七年级上·江西上饶·期中）如图，数轴上A，B，C三点，若点A与点B相距2个单位，点B与点C相距2个单位，且点A表示整数1，则点C表示的数是 ． 【考点4】数轴上两点间的距离 【例4】（24-25七年级上·贵州贵阳·月考）在数轴上有三个点A、B、C，且点A到点B的距离是5个单位长度，若点B表示的数是，点C表示的数是，则点A到点C的距离为 ． 【变式训练】 10．（24-25七年级上·山西临汾·期中）如图，数轴上点，表示的数到原点的距离相等，且点A，点B之间的距离为6．将点A在数轴上移动2个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 11．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）数轴上的点沿数轴向右移动7个单位后到达点，且点到原点的距离为1，若数轴上的点到点和到原点的距离相等，则点表示的数是（   ） A．3或4 B．或 C．或4 D．3或 12．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，数轴上、两点表示的数分别为8、，在、之间取一点，将数轴沿点向左对折，点的对应点落在射线上，该对应点与点的距离是4，则点表示的数为 ． 【考点5】根据点在数轴上的位置判断式子的符号 【例5】（25-26七年级上·江苏常州·期中）已知a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 13．（25-26七年级上·湖南常德·期中）如图，数轴上的两点表示的数分别为，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知在数轴上的位置如图所示，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级上·江苏南通·月考）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)用“”、“”或“”填空：________，________； (2)用“”将，，连接起来（直接写出结果）． 【考点6】求一个数的相反数、绝对值 【例6】（25-26七年级上·浙江杭州·月考）的相反数是 ，绝对值是 ． 【变式训练】 16．（25-26七年级上·四川泸州·期中）的相反数是（ ） A． B． C． D．2 17．（2025·江西抚州·二模）的相反数为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）2025的相反数是 ，2的绝对值是 ，的倒数是 ． 【考点7】绝对值的非负性 【例7】（25-26·山东东营·期中）与互为相反数， ． 【变式训练】 19．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）若与互为相反数，则的值是（   ） A． B．36 C．18 D． 20．（25-26七年级上·辽宁抚顺·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若，则 ． 【考点8】带有字母的绝对值化简问题 【例8】（25-26七年级上·江西上饶·期中）已知，则式子：（  ） A．3 B．或1 C．或3 D．1 【变式训练】 22．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）a，b为非零有理数，则的值为（　　） A．3 B． C．3或 D． 23．（25-26七年级上·全国·月考）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 24．（25-26七年级上·重庆万州·期中）按下列要求解答： (1)已知，化简：； (2)若、、在数轴上对应位置如图所示，化简：． 【考点9】有理数的大小比较 【例9】（25-26七年级上·全国·课后作业）请比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和． 【变式训练】 25．（22-23·山东泰安·期末）以下有理数中最小的数是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）比较大小： （填“”、“”或“”） 27．（2025七年级上·全国·专题练习）请分别写出一个符合下面条件的有理数a： (1) ； (2) ； (3)； (4)． 【考点10】有理数的加减 【例10】（24-25七年级上·贵州贵阳·月考）计算： (1) (2) 【变式训练】 28．（25-26七年级上·广西崇左·期中）某地一天中的最高气温是，最低气温是，则该地这天的最大温差是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26七年级上·福建宁德·期中）已知，且，则的值等于（    ） A．1或 B．5或 C．5或 D．或1 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点11】有理数的乘除 【例11】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： ． 【变式训练】 31．（25-26七年级上·河南安阳·月考）学完有理数的运算之后，小丁做了以下四道计算题：①；②；③；④．请你帮他检查一下，他一共做对了（   ） A．1题 B．2题 C．3题 D．4题 32．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为 ． （2）计算的值为 ． 33．（25-26七年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【考点12】有理数的乘方 【例12】（25-26七年级上·安徽宣城·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 34．（25-26·上海普陀·月考）乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25·上海·月考）某种细胞，每过20分钟便由1个分裂成2个，2个这种细胞，经过1小时，能分裂成 个． 36．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）是最小的正整数，是最大的负整数．的相反数仍然为是倒数等于本身的数． (1)填空：_______，_______，_______，_______； (2)试求的值． 【考点13】科学记数法 【例13】（2017·云南·中考真题）作为世界文化遗产的长城，其总长大约为．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 37．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）2025年11月5日，我国首艘电磁弹射型航空母舰——福建舰，在海南三亚某军港正式交接入列，舷号18，标志着中国海军迈入“三航母”时代，福建舰的满载排水量为80000余吨．80000这个数用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）白银，别称铜城，是甘肃省辖地级市，是大兰州经济区的核心区和兰白经济圈的副中心．截至2020年，全市辖2个区、3个县，总面积为21200平方公里，21200用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 39．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．据了解，长征二号F遥二十一运载火箭发射时，携带的推进剂总量约450000千克，将数据450000用科学记数法表示为 ． 【考点14】有理数的混合运算 【例14】（25-26七年级上·河南焦作·期中）计算： (1) (2) 【变式训练】 40．（2025七年级上·全国·专题练习）计算； (1)； (2)． 41．（24-25七年级上·云南红河·期末）计算： (1)； (2)． 42．（22-23·山东泰安·期末）计算： (1) (2)； (3)； (4)． 【考点15】有理数的运算与实际问题 【例15】（25-26七年级上·四川资阳·期中）云云的爸爸驾驶一辆汽车从地出发，若以为原点，向东为正，向西为负，他的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)该汽车最后停在何处？距离地多少千米？ (2)已知这种汽车每千米消耗的油量为升，问这辆汽车这次消耗汽油多少升？ 【变式训练】 43．（25-26七年级上·广东河源·期中）某自行车厂一周计划生产1050辆自行车，平均每天生产150辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (2)该厂实行计件工资制，每辆车50元，超额完成任务每辆奖10元，少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 44．（25-26·山东东营·期中）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下：，，，，，，，．（注：向西记作“”，向东记作“”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)送完第几个乘客时距离A处最远？ (3)公司规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 45．（25-26七年级上·重庆南川·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.5元，请计算小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【考点16】有理数的运算与程序流程图 【例16】（25-26七年级上·河北衡水·期中）某数学编程机器人执行以下运算程序：输入一个有理数，按从左到右的顺序依次进行运算，最终输出结果，其中“#”表示运算过程中一个未知的有理数． (1)若输入的是2，表示的数为2，求输出结果； (2)若输入的是，且输出的为7，直接写出#表示的数； (3)若输出的为0，用含的代数式表示#． 【变式训练】 46．（24-25七年级上·广东揭阳·期中）如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，…，这样下去，第次计算输出的结果是（   ） A． B． C． D． 47．（25-26七年级上·山西晋中·期中）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数a，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数． (1)若“●”表示3，输入数为，求计算结果； (2)若“●”表示的数为最大的负整数，当计算结果为2时，求输入的数a的值． 48．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小亮输入1，3这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)当小亮输入数时，求出输出的结果； (3)若小亮操作时输出结果是2，请你判断：小亮输入的正整数有可能是（   ）． A．　B．　C．　D． 【考点17】有理数的运算与规律探究问题 【例17】（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）观察下列各式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，猜想的末位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【变式训练】 49．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 50．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）观察下列三行数： ，4，，16，，64，…① ，…② ，…③ (1)第①②③行中的第7个数分别为__________，__________，__________； (2)分别取第①②③行中的第10个数，计算这三个数的和； (3)分别取第①②③行中的第n个数，依次记为a，b，c，直接写出的值． 51．（25-26七年级上·广东惠州·期中）（1）观察并补全下面的算式： ___________；___________；___________； ___________；___________；___________． （2）算式___________． （3）计算：． 【考点18】有理数的运算与新定义问题 【例18】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，，，…，． (1)填空：_____，是一个_____（填“正”或“负”）数． (2)计算：． (3)当时，的值为多少？ 【变式训练】 52．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是．例如： (1)按照这个规定，请你计算的值． (2)按照这个规定，请你计算当时，的值． 53．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)若，，请你分别求出m、n的值； (2)试计算的值． 54．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）材料1：一般地，个相同因数相乘记为，如，此时3叫做以2为底的8的对数，记为（即：） （1）计算： ； ； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，……，在这种规定下： （2）求出满足该等式的的值； （3）当为 时，． 【考点19】数轴上的动点综合问题 【例19】（25-26七年级上·广东中山·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础， 【操作探究】如图，在数轴上，点M表示，点N在点M的右边，且距M点40个单位长度，P、Q是数轴上的动点． （1）直接写出点N所表示的数______； （2）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，经过多少秒时，P、Q两点相距4个单位长度？ 【深入思考】 （3）我们进一步研究，的几何意义是在数轴上的数x对应的点与原点的距离，即若任意点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为我们也可以探究出数轴上A、B两点之间的距离 ①数轴上表示x和3的两点之间的距离为4，那么x的值是______； ②表示的是数轴上表示x的点到表示和5的两点的距离之和，若有最小值，请求出最小值． 【变式训练】 55．（25-26七年级上·重庆·期中）数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 56．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，已知点在数轴上表示的数分别为和10．若数轴上有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为． (1)线段的长度为______． (2)若为线段的中点，为线段的中点，当点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由． (3)若当点从点出发的同时，有一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． ①在运动过程中，点表示的数为______，点表示的数为______．（用含的代数式表示） ②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？ 57．（25-26七年级上·江苏南通·月考）已知数轴上点表示的数为是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______；当点运动到的中点时，它所表示的数是________． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点追上点？当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ (3)若点P到点A，B的距离之和为12，则点P叫做A，B的“幸福中心”，若点P从数字10出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，经过多少秒时，点P是点A和点B的“幸福中心”？ 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏南通·期中）下列数：15，，，7，，，12，，中，整数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（25-26七年级上·江苏南通·期中）已知a是一个有理数，若，则数a为（    ） A．正有理数 B．0 C．负有理数 D．非零有理数 4．（24-25七年级上·贵州贵阳·月考）有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·云南红河·期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下面关系中，对的个数为（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26七年级上·四川德阳·期中）下列关于有理数的说法中，正确的说法的个数是（　　） ①只有正数的绝对值等于它本身； ②的底数是； ③若互为相反数，且，则； ④若是有理数，则不可能是负数； ⑤除以一个数，等于乘这个数的倒数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（25-26七年级上·江苏南通·期中）在电子工程中，数字电路中使用的是二进制系统，而采用六进制编码的数字也慢慢用于电子设备的编程中．现用二进制记数法表示正整数，例如：，记作，，记作，六进制记数法表示正整数，例如：，记作，则等于六进制中的数为（    ） A．121 B．203 C．113 D．135 8．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）两位同学玩猜数游戏，规则如下：（1）第一位同学默想一个的整数并记住；（2）第二位同学对第一位同学默想的数提出一个猜想，第一位同学比较这个数和自己心中所想数的大小，然后回答“大了”“小了”或者“相等”，若相等则说明第二位同学猜中；（3）若第二位同学没有猜中，则根据第一位同学的回答，调整猜想；（4）重复步骤（2）（3），直到猜中．自由活动课上，小刚和小明玩这个游戏，其中小明按要求选好一个数后，小刚至多猜（    ）次可以一定猜出此数． A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题 9．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）年国庆中秋假期，泰州市共接待游客人，比去年同期增长，其中用科学记数法表示为 ． 10．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）在数轴上与原点的距离不大于4的所有整数点表示的数的和是 ． 11．（25-26七年级上·福建宁德·期中）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如，则的值为 ． 12．（25-26七年级上·江西抚州·期中）如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为 ． 13．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）老师让大家写出三个互不相等的有理数，小聪写出的是1，，a，小明写出的是0，，b，老师说两人写的数字完全一样．则字母a表示的有理数是 ． 三、解答题 14．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）计算： (1)； (2)； (3) (4) 15．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）中考当天，出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送学生，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下(单位∶)∶，，，，，． (1)将最后一名学生送到目的地时，小王距出发地多少千米？方向如何？ (2)在接送学生过程中，小王最远处离出发点多远？ (3)若汽车耗油量为，则当天耗油多少升？ 16．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 17．（24-25七年级上·山东济南·月考）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_____（请填序号）． ①，； ②，． (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 18．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $