精品解析：吉林省松原市宁江区吉林油田第十二中学2025—2026学年上学期期末质量检测 九年级数学试卷

吉林油田第十二中学2025—2026学年度第一学期期末质量检测 初三数学试卷 （试卷满分120分，时间120分钟） 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个符合题意，每小题3分，共18分） 1. 如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形． 【详解】解：粮仓主视图上部视图为等腰三角形，下部视图为矩形． 故选：A． 【点睛】本题考查简单组合几何体的三视图，解题关键是掌握主视图是从正面看到的图形． 2. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似比的性质可知，用点的坐标分别乘以即可求解． 【详解】解：点，相似比为， ∴点的对应点的坐标是，即，或者，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键． 3. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是掌握以上两个定理．假设圆的圆心为点，连接，利用垂径定理得出，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图，假设圆的圆心为点，连接， 根据题意得，，， ∴， 根据勾股定理得，， ∴． 故选：B． 4. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为（ ）． A. 10 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．在中，利用勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，在中，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：，，， ， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ，，， ， ， 故选：C． 5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个实数根得到，进行求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，即， 解得：； 故选B． 6. 抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的对称性可得结论． 【详解】解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0）， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， ∴，解得x=3, 此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则k的值是______． 【答案】-2 【解析】 【分析】知道方程的一根，把x=2代入方程中，即可求出未知量k． 【详解】解：将x=2代入一元二次方程x2-x+k=0， 可得：4-2+k=0， 解得k=-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题，是待定系数法的应用． 8. 小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处竖立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为________ 米. 【答案】10 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解． 详解】∵=，即=，∴楼高=10米． 故答案为10． 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 9. 如图，是的内切圆，若，则的度数为___． 【答案】130 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0），B在⊙A上，BD是⊙A的一条弦．则sin∠OBD＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接CD，由C、D坐标可得OC、OD的长，利用勾股定理可求出CD的长，根据圆周角定理可得∠OBD＝∠OCD，根据正弦的定义求出∠OCD的正弦值即可得答案. 【详解】连接CD， ∵D（0，3），C（4，0）， ∴OD＝3，OC＝4， ∴CD＝5， ∵∠OBD和∠OCD是所对的圆周角， ∴∠OBD＝∠OCD， ∴sin∠OBD＝sin∠OCD＝＝， 故答案为： 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义，根据圆周角定理得出∠OBD＝∠OCD是解题关键. 11. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作轴于点B，延长至点C，连接．，．则当时，x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数的性质以及交点问题，勾股定理的性质，解题的关键是求出点A的横坐标． 先根据勾股定理求出的长，再求出点A的横坐标，由交点坐标的意义、数形结合的思想就可解决问题． 【详解】解：轴， ， 在中，， ， 因为点A在图象上，所以点A的横坐标是， 当时，可知正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， 所以， 故答案为：． 三、解答题（共11小题，共87分） 12. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先进行二次根式化简、求三角函数值、绝对值化简，再计算． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了包含二次根式、三角函数值、绝对值实数运算，解题关键是准确的进行二次根式化简，知道特殊角三角函数值． 13. 在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A、B、C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法． （1）参与者小刚被分到C组的概率是________． （2）求参与者小刚和小利被分配到同一组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式即可求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：随机分配到A、B、C三组， 小刚被分到C组的概率是； 【小问2详解】 画树状图如下： 由图可知共有9种等可能性的情况，其中小刚和小利被分配到同一组的情况有3种， 小刚和小利被分到同一组概率为． 14. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）． （2）当电流不超过时，求电阻的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意得，解不等式即可求解； 本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为，把代入得，， ∴这个反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵电流不超过， ∴，即， 解得． 15. 如图，球的飞行路线是一条抛物线，球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有关系：． （1）球经过多少秒飞行高度达到？ （2）求球从飞出到落地所需要的时间； （3）球经过多少秒飞行高度达到最高． 【答案】（1）球经过秒或秒飞行高度达到 （2）球从飞出到落地所需要的时间为秒 （3）球飞行秒时，飞行高度达到最高 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用、解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质和一元二次方程的解法是解答的关键． （1）由解一元二次方程即可解答； （2）由解一元二次方程即可解答； （3）对函数解析式配方为顶点式即可得到结果． 【小问1详解】 解：令，则， 解得：，， ∴球经过秒或秒飞行高度达到； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：，， ∴球从飞出到落地所需要的时间为秒； 【小问3详解】 解：， ∴当时，球的飞行高度达到最高， 即球飞行秒时，飞行高度达到最高． 16. 图①、图②均是边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点均在格点上． （1）在图①中的线段上作点P，使点P为线段的中点． （2）在图②中的线段上作点Q，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）取格点C，D，连接交于点P，即可； （2）取格点E，F，连接交于点Q，即可． 【小问1详解】 解：如图，点P即为所求； 【小问2详解】 解：点Q即为所求． 理由：由作法得：， ∴， ∴． 17. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）是的切线，理由见详解 （2）图中阴影部分面积为： 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定，扇形面积的计算，掌握切线的判定方法，扇形面积的计算方法是关键． （1）如图所示，连接，可证，得到，结合切线的判定即可求解； （2）根据题意得到，，，，由阴影部分的面积代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：是的切线，理由如下， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又是圆的半径， ∴是的切线； 小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ， ∴图中阴影部分的面积为． 18. 为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格某种药品经过连续两次降价后，由每盒元下调至元，已知每次下降的百分率相同． （1）求这种药品每次降价的百分率是多少？ （2）已知这种药品的成本为元，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？ 【答案】（1）；（2）不亏本，见解析 【解析】 【分析】（1）设这种药品每次降价的百分率是，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，求解即可得出结论； （2）根据经过连续三次降价后的价格=经过连续两次降价后的价格×(1-20%)，即可求出再次降价后的价格，将其与100元进行比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为， 依题意，得： ， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这种药品每次降价的百分率是20%； （2）128×(1-20%)=102.4， ∵102.4＞100， ∴按此降价幅度再一次降价，药厂不会亏本． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点 A，拉紧摆线将摆球拉至点 B 处，，当摆球运动至点C时，（所有点都在同一平面内） 实验图示 根据以上信息，解决下列问题： （1）求摆线的长； （2）求 的长． （结果精确到，参考数据： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）在中解直角三角形即可； （2）先求出，再求出，最后由即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，； ∴； 【小问2详解】 解：∵，，； ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为． 20. 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展教学活动．如图1，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和，并且量得，． 操作发现： （1）将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，判断四边形的形状，并证明； （2）创新小组将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使、、三点在同一条直线上，得到如图所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接、，得到四边形，发现它是正方形，请你证明这个结论； 实践探究： （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点，与相交于点，如图所示，连接，求的值． 【答案】（1）菱形，证明见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形、菱形和正方形的判定方法，结合图形的变化以及三角函数， （1）根据可以得到,再结合可以得到,而已知可以得到四边形为平行四边形，由于旋转，所以,从而得到四边形为菱形； （2）根据可以得到四边形为平行四边形，而，所以四边形为菱形,那么只需要再证明一个直角即可，当、、三点共线时:，而根据旋转的性质，,可以得到： ,从而证到四边形为正方形； （3）结合第二问可以得到,所以要求，就可以分别求出和得长度，由题意可以得到,那么，结合三角函数分别就可以分别求出和； 【详解】解：（1）在如图1中，是矩形的对角线， ，， ． 在如图中，由旋转知，，， ． ， ， ． ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． （）是的中点， '． ， 四边形是平行四边形． 由旋转知，， 平行四边形是菱形． 由旋转知，， ， ， ， 菱形是正方形． （）在中，，， ，，， ． 由（）结合平移知，， 在中，， ， ． 在中，， ． 在中，． 21. 如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿折线向终点运动；同时点从点出发，以相同的速度沿折线向终点运动，连接，过点作的平行线，并截取，且点在点的右侧，以、为邻边作，设与菱形重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． （1）当点N与点B重合时，x的值为______； （2）求的长（用含x的代数式表示）； （3）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当点与点重合时，可知，可证是等边三角形，则，即可得出答案； （2）当，由（1）知，当时，可知是等边三角形，分别求的长； （3）当时，可知等于四边形的面积；当时，设与的交点为，，当时，由图2可知，分别代入计算即可． 【小问1详解】 解：当点与点重合时，可知， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 当，由（1）知， 当时，可知是等边三角形， ， ； 【小问3详解】 当时，可知等于四边形的面积， ， 当时，设与的交点为， 由题意知：，为等边三角形， ， 当时，由图2可知， 综上， 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的面积计算等知识，根据点的位置运用分类讨论思想是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标． （2）当轴时，求的值． （3）连接，，当时，的值为 ． （4）将抛物线在点和点之间的部分记为图像，当图像的最大值和最小值的差为1时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为，抛物线顶点坐标为 （2）的值为或 （3） （4）当或时，的最大值和最小值之差为1 【解析】 【分析】（1）直接代入求解即可； （2）当平行于轴时，，据此列方程求解即可； （3）根据两点之间距离公式，再由勾股定理列方程求解即可得到答案； （4）根据题意，由二次函数图象与性质分类讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ，解得， 抛物线的解析式为， ， 抛物线顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当平行于轴时，， 点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为， ， 解得或， 的值为或； 【小问3详解】 解：连接，， ，，， ，，， 当时，则由勾股定理可得， ，解得； 【小问4详解】 解：由题意可知，， ， 对称轴为，最大值为， 当时，最高点为顶点，最低点为，则，解得或（舍）； 当时，最高点为顶点，最低点为，则； 当时，最高点为点，最低点为，则，解得， 当时，最高点为点，最低点为，则，解得或（舍）， 综合上述，当或时，的最大值和最小值之差为1． 【点睛】本题考查了二次函数几何综合；涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，解一元二次方程等知识点，解题的关键是分类讨论思想的运用，正确的作出图象． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林油田第十二中学2025—2026学年度第一学期期末质量检测 初三数学试卷 （试卷满分120分，时间120分钟） 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个符合题意，每小题3分，共18分） 1. 如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为（ ）． A. 10 B. 8 C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则k的值是______． 8. 小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处竖立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为________ 米. 9. 如图，是的内切圆，若，则的度数为___． 10. 如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0），B在⊙A上，BD是⊙A的一条弦．则sin∠OBD＝_____． 11. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作轴于点B，延长至点C，连接．，．则当时，x的取值范围是________． 三、解答题（共11小题，共87分） 12. 计算： 13. 在“健康中国2030”与“体重管理年”行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A、B、C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法． （1）参与者小刚被分到C组的概率是________． （2）求参与者小刚和小利被分配到同一组的概率． 14. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）． （2）当电流不超过时，求电阻的取值范围． 15. 如图，球的飞行路线是一条抛物线，球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有关系：． （1）球经过多少秒飞行高度达到？ （2）求球从飞出到落地所需要的时间； （3）球经过多少秒飞行高度达到最高． 16. 图①、图②均是边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点均在格点上． （1）在图①中线段上作点P，使点P为线段的中点． （2）在图②中的线段上作点Q，使． 17. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交于点，连接． （1）判断与位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 18. 为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格某种药品经过连续两次降价后，由每盒元下调至元，已知每次下降的百分率相同． （1）求这种药品每次降价的百分率是多少？ （2）已知这种药品的成本为元，若按此降价幅度再一次降价，药厂是否亏本？ 19. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时位置为点 A，拉紧摆线将摆球拉至点 B 处，，当摆球运动至点C时，（所有点都在同一平面内） 实验图示 根据以上信息，解决下列问题： （1）求摆线的长； （2）求 的长． （结果精确到，参考数据： 20. 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展教学活动．如图1，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和，并且量得，． 操作发现： （1）将图1中以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，判断四边形的形状，并证明； （2）创新小组将图1中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使、、三点在同一条直线上，得到如图所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接、，得到四边形，发现它是正方形，请你证明这个结论； 实践探究： （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点，与相交于点，如图所示，连接，求的值． 21. 如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿折线向终点运动；同时点从点出发，以相同的速度沿折线向终点运动，连接，过点作的平行线，并截取，且点在点的右侧，以、为邻边作，设与菱形重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． （1）当点N与点B重合时，x的值为______； （2）求的长（用含x的代数式表示）； （3）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标． （2）当轴时，求的值． （3）连接，，当时，的值为 ． （4）将抛物线在点和点之间的部分记为图像，当图像的最大值和最小值的差为1时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $