精品解析：甘肃省张掖市甘州区张掖市第一中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年秋学期期末考试试卷 八年级数学 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 在实数，，，3.14中，无理数是（　　） A. B. C. D. 3.14 2. 要使在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 5. 在某促销活动前期，商场卖鞋商家对市场进行了一次调研，那么商家应最重视鞋码（ ） A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 6. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是环，方差分别是 ，，，，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 在某款游戏的周边制作中，某工厂安排工人制作手办和徽章．已知一共有60名工人参与制作，每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖，设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章，能恰好全部配成套装，下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（6小题，每题4分，共24分） 11. 若，则a的值是_____． 12. 若一组数据的平均数是5，则的值为_____． 13. 已知点与点关于y轴对称，则_______． 14. 已知点，都在直线上，则与大小关系是______． 15. 已知方程组的解满足，则k的值为_____． 16. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 三、解答题（本大题共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）； （2） 18. 解方程组 （1） （2） 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上． （1）在网格中建立平面直角坐标系，使点坐标，点坐标为； （2）在第二象限的格点上找一点，使为等腰三角形，画出三角形，并写出点的坐标． 20. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是． （1）求，的值； （2）求的平方根． 21. 根据下列证明过程填空： 已知：如图，于点D，于点F，交于点G，交的延长线于点E，． 求证：平分，填写证明中的空白． 证明：∵（已知）， ∴（_______）， ∴_______=_______（两直线平行，内错角相等）， _______（_______）． ∵_______（已知）， ∴_______，即平分（_______）． 22. 已知方程组，王芳看错了方程①中的a得到方程组的解为，李明看错了方程②中的b得到方程组的解为，求原方程组的解． 23. 已知：如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝5，AD＝，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积. 24. 为了丰富学生课余生活，某中学开展了丰富多彩的社团活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了40名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图． 选手 测试成绩／分 总评成绩／分 朗诵 写作 个人文艺才能 蓓蓓 92 90 96 ▲ （1）这组学生年龄数据的平均数为________岁，众数为________岁，中位数为________岁． （2）该校参加社团活动的学生共有360名，请估计不高于13岁的人数． （3）七年级有20名学生报名参加学校广播站社团选拔．报名的学生需参加朗诵、写作、个人文艺才能三项测试，再将该三项的测试成绩按的比例计入每人的总评成绩．蓓蓓的三项测试成绩和总评成绩如下表，请你计算蓓蓓的总评成绩． 25. 为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件奖品．小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买4本笔记本和2支钢笔，需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元．求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元？ 26. 暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去中山公园看樱花．甲公司：按日收取固定租金105元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是40元．设每日的租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，其关系如图所示．根据以上信息，解决下列问题： （1）请直接写出，关于的表达式_____； （2）当每日的租车时间为多少小时时，两个公司所需费用相同． 27. 综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为：若，则轴，且线段的长度为． 【知识应用】 （1）若点，，则轴，的长度为________； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如：图1中，点与点之间的折线距离为． 【问题解决】 （2）如图2，已知，若，则________； （3）如图2，已知，，若，则t值为________； （4）如图3，已知，，点P是的边上一点，若，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期期末考试试卷 八年级数学 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 在实数，，，3.14中，无理数是（　　） A. B. C. D. 3.14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：，是整数，3.14是有限小数，它们不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故选：B． 2. 要使在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”解答即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式被开方数为非负数是解题关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质及运算法则，即可一一判定． 【详解】A．，故本选项不符合题意； B.，故本选项符合题意； C.，故本选项不符合题意； D.，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及运算，熟练掌握和运用二次根式的性质及运算法则是解决本题的关键． 4. 如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据象限内点的坐标特征，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：由图可知，这个点在第二象限， 在第一象限， 故A不符合题意； 在第二象限， 故B符合题意； 在第三象限， 故C不符合题意； 在第四象限， 故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了象限内点的坐标特征，熟练掌握象限内点的坐标特征是解本题的关键．象限内点的坐标特征：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）． 5. 在某促销活动前期，商场卖鞋商家对市场进行了一次调研，那么商家应最重视鞋码的（ ） A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出商家最关心的数据． 【详解】解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量， ∴商家更应该关注鞋子尺码的众数． 故选：B 【点睛】此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 6. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是环，方差分别是 ，，，，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的意义可作出判断． 【详解】解：∵平均成绩都相同，， ∴射击成绩最稳定的是甲． 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据由两个一次函数的解析式组成的二元一次方程组的解集为两条直线交点的横纵坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为； 故选A． 8. 如图，下列条件能判定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行，是解答本题的关键．根据平行线的判定作答即可． 【详解】解：A、，不能判定，故本项不符合题意； B、，可判断，不能判定，故本项不符合题意； C、，根据内错角相等，两直线平行能判定，故本项符合题意； D、 ，可判断，不能判定，故本项不符合题意； 故选：C． 9. 在某款游戏的周边制作中，某工厂安排工人制作手办和徽章．已知一共有60名工人参与制作，每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖，设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章，能恰好全部配成套装，下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用； 根据“一共有60名工人参与制作”可得，根据“每人每天能制作手办5个或者徽章8个，且每1个手办要搭配3个徽章进行套装售卖”可得． 【详解】解：设安排x名工人制作手办，y名工人制作徽章， 由题意得：， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，与y轴相交于G， ∵正方形的边在x轴上， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 二、填空题（6小题，每题4分，共24分） 11. 若，则a的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握“若，则是的立方根”是解题的关键． 根据立方根的定义，求满足的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故答案为：． 12. 若一组数据的平均数是5，则的值为_____． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查了平均数的计算，根据平均数的定义，通过列方程求解． 【详解】解：数据个数为5，平均数为5， ∴总和为， 已知数据4，5，6，7的和为， ∴． 故答案为：3． 13. 已知点与点关于y轴对称，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中，轴对称的坐标变换问题，代数式求值． 根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， 因此， 故答案为：6． 14. 已知点，都在直线上，则与的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是灵活利用一次函数的增减性解决问题． 【详解】解：∵中， ∴y随x的增大而减小， ∵点，都在直线上，且． ∴． 故答案为：． 15. 已知方程组的解满足，则k的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】用推出，再根据方程组的解满足，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：， 得：，即， ∵方程组的解满足， ∴， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组，是解题的关键． 16. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形定义，勾股定理，分是以为底边的等腰三角形和是以为底边的等腰三角形两种情况，结合等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】解：当是以为底边的等腰三角形时，则， 由题意得，， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴当时，点P一定在的延长线上， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； 当是以为底边的等腰三角形时，则， ∴； 综上所述，t的值为5或， 故答案为：5或． 三、解答题（本大题共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式展开，然后去括号计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）令，得，再利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ，得 ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 19. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上． （1）在网格中建立平面直角坐标系，使点坐标为，点坐标为； （2）在第二象限的格点上找一点，使为等腰三角形，画出三角形，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）根据已知点的坐标确定原点，再建立坐标系即可； （2）根据等腰三角形的定义和点在第二象限的格点上找到点，满足，可得点坐标； 本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的定义． 【小问1详解】 解：∵点坐标为，点坐标为， ∴坐标系的轴到点2个单位，到点1个单位；轴到点2个单位，到点2个单位，建立平面直角坐标系如图所示． 【小问2详解】 ∵点在第二象限的格点上， ∴， 则点， 如图，即为所求． 20. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是． （1）求，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根和平方根的概念，解题的关键是熟练掌握立方根和平方根的概念． （1）根据一个正数的两个不同的平方根和为0得到方程，即可求解，再根据立方根的定义得到，即可求解； （2）将求解得代入进行求值，再求解平方根． 【小问1详解】 解:根据题意得，， 解得， 的立方根是， ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ， 的平方根是， 的平方根是． 21. 根据下列证明过程填空： 已知：如图，于点D，于点F，交于点G，交的延长线于点E，． 求证：平分，填写证明中的空白． 证明：∵（已知）， ∴（_______）， ∴_______=_______（两直线平行，内错角相等）， _______（_______）． ∵_______（已知）， ∴_______，即平分（_______）． 【答案】平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；；；；两直线平行，同位角相等；；；角平分线定义． 【解析】 【分析】由，可得，由两直线平行，内错角相等可得，由两直线平行，同位角相等可得，又因为，所以，即平分． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（平面内，垂直于同一条直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴，即平分（角平分线定义）． 故答案为：平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；；；；两直线平行，同位角相等；；；角平分线定义． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义．本题关键在于利用平行线的性质证明角相等． 22. 已知方程组，王芳看错了方程①中的a得到方程组的解为，李明看错了方程②中的b得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】原方程组解为 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组错题复原问题．根据没看错的方程和方程的解代入可求得的值，然后还原方程组，根据加减或代入消元法求解即可． 【详解】解：由题意得，解得， ，解得， 代入可得， 解得． 23. 已知：如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝5，AD＝，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积. 【答案】18.5 【解析】 【详解】试题分析：连接AC，先根据勾股定理求出AC的值，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD即可得出结论． 试题解析：如图所示，连接AC， ∵∠B＝90°， 在Rt△ABC中，AC为斜边， ∴，， ∴AC＝5，∵CD＝5，AD＝，∴, ∴，∴△ACD是直角三角形. ∴AC⊥CD，∠ACD＝90°， ∴， ∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD ∴S四边形ABCD＝12.5＋6＝18.5 答：四边形ABCD面积为18.5. 24. 为了丰富学生课余生活，某中学开展了丰富多彩的社团活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了40名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图． 选手 测试成绩／分 总评成绩／分 朗诵 写作 个人文艺才能 蓓蓓 92 90 96 ▲ （1）这组学生年龄数据的平均数为________岁，众数为________岁，中位数为________岁． （2）该校参加社团活动的学生共有360名，请估计不高于13岁的人数． （3）七年级有20名学生报名参加学校广播站社团选拔．报名的学生需参加朗诵、写作、个人文艺才能三项测试，再将该三项的测试成绩按的比例计入每人的总评成绩．蓓蓓的三项测试成绩和总评成绩如下表，请你计算蓓蓓的总评成绩． 【答案】（1）14；15；14 （2）99名 （3）分 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，求平均数，求中位数，求众数和用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可； （2）用360乘以样本中年龄不高于13岁的人数占比即可得到答案； （3）用对应项目的得分乘以其权重求出对应项目的得分，再求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：岁， ∴这组学生年龄数据的平均数为14岁； ∵年龄为15岁的人数最多， ∴众数为15岁； 把这40名学生的年龄按照从小到大的顺序排列，中位数为第20名和第21名的平均数，即中位数为岁； 【小问2详解】 解：名， 答：估计不高于13岁的人数为99名； 【小问3详解】 解：分， 答：蓓蓓的总评成绩为分． 25. 为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件奖品．小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买4本笔记本和2支钢笔，需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元．求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元？ 【答案】 每本笔记本14元，每支钢笔15元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系正确列式是关键． 设每本笔记本x元，每支钢笔y元，由此列方程组求解即可． 【详解】解：设每本笔记本x元，每支钢笔y元， 由题意得，， 解得，， 答：每本笔记本14元，每支钢笔15元． 26. 暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去中山公园看樱花．甲公司：按日收取固定租金105元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是40元．设每日的租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，其关系如图所示．根据以上信息，解决下列问题： （1）请直接写出，关于的表达式_____； （2）当每日的租车时间为多少小时时，两个公司所需费用相同． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象求出函数表达式，并理解题目要求与一次函数图象的关联是解题关键． （1）根据图象，找到对应函数图象上的点，再代入表达式用待定系数法求解即可； （2）两个函数图象的交点的实际意义即为两个公司费用相同时的租车时间，联立两个函数的表达式，求出两个函数图象的交点的横坐标即可． 【小问1详解】 解：由图象及题意，可设，， 代入点，得，解得， ∴； 代入点，得，∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，令，得， 解得， ∴当每日的租车时间为时，两个公司所需费用相同． 27. 综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为：若，则轴，且线段的长度为． 【知识应用】 （1）若点，，则轴，的长度为________； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如：图1中，点与点之间的折线距离为． 【问题解决】 （2）如图2，已知，若，则________； （3）如图2，已知，，若，则t的值为________； （4）如图3，已知，，点P是的边上一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）3；（2）4；（3）2或；（4）或 【解析】 【分析】（1）根据线段长度为，代入数据即可得出结论； （2）根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论； （3）根据两点之间的折线距离公式，可得，即可求解； （4）分三种情况讨论，结合两点之间的折线距离公式，以及一次函数的图象和性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）的长度为， 故答案为：3； （2）∵，， ∴； 故答案为：4； （3）∵，，， ∴， 解得∶ ， 故答案为：2或； （4）设点， 当点P在上时，， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 当点P在上时，， ∵，， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）； 当点P在上时， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴此时点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，一次函数的图象和性质，读懂题意并熟练运用两点间的距离及两点之间的折线距离公式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $