4.3.2利用递推公式表示数列（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

4.3.2利用递推公式表示数列 第四章 数列 学习目标 教学重点：理解数列递推公式的定义及意义，明确递推公式与通项公式的联系。 教学难点：理解由递推公式推导通项公式的思路构建，实际情境中递推关系的建立。 理解递推公式的概念，明确其刻画数列的方式； 能由递推公式求数列前几项，解决简单递推问题； 体会递推与通项的转化思想，提升抽象与推理能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：递推公式概念提炼； 逻辑推理：递推关系的分析及通项推导； 数学运算：由递推公式求通项； 数学建模：实际问题中递推关系的建立。 新知引入 情境1：图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中, 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项, 这个数列的第项与第项有何关系？. 等比数列，公比为 新知探究 情境2：某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位.写出第排与第排座位数有何关系？ 等差数列，公差为 形如 ，这样，数列的任一项可由其前一项（或前几项）通过一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的一个递推公式。 递推公式也是表示数列的一种方法。有时，数列通项公式不容易被发现，但可通过递推关系来描述。 练习巩固 辨析1：判断正误. (1)可以写出递推公式.( ) (2)2，4，6，8，10，…为正偶数组成的数列，其递推公式为：( ) 【答案】：×，√ 辨析2：(1)情境1中， ，试写出该数列的前5项。 (2)情境2中，，试写出该数列的前5项。 【答案】：（1）1，3，9，27，81； （2）20，22，24，26，28. 新知探究 递推公式 通项公式 项与序号之间的关系 相邻两项之间的关系 （n≥2） 知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了. 数列 练习巩固 练习1：写出各组图的点数构成的数列的递推和通项公式，在括号中填空. 21 13 35 新知探究 1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》.他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题： 如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？ 由此可知，从第1个月开始，每月末的兔子总对数是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，889，144，…. 新知探究 问题1：兔子的对数所组成的数列为1，1，2，3，5，8，13，…这个数列的第项，第项，第项有何关系？ 这是一个由递推公式给出的数列，称为斐波那契数列. 典例精讲 例4：在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点。设这条直线将平面分成了 个部分。 （1）写出数列的一个递推公式； （2）写出数列的一个通项公式。 解：(1)我们先通过观察时的图形来探究的情况。 依次类推：第条直线与前面的条直线都相交，有个交点，这 新知探究 例4：在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点。设这条直线将平面分成了 个部分。 （1）写出数列的一个递推公式； （2）写出数列的一个通项公式。 个交点将第条直线分成段，且每一段将原有的平面部分进一步多分出个部 分，所以是数列的一个递推公式。 （2）由上述递推公式，有，，，，，由上述等式以及，可得 当时，上面的等式也成立。所以，数列的通项公式为 典例精讲 例5：已知数列满足，. （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式. 解：(1)证明：已知递推公式，在上述等式两边同时加1，得 由递推公式，易证， 于是。 故，. 所以，数列是以为首项，以2为公比的等比数列。 典例精讲 例5：已知数列满足，. （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式. 解：(2)因为数列是以为首项，以2为公比的等比数列， 所以，从而， 这就是数列的一个通项公式 小技巧：给出了递推公式求通项公式，常用的方法有两种：一是从特例入手，归纳猜想其通项公式；二是从一般规律入手，其常用方法有迭代法、累加(乘)法等. 练习巩固 练习2：(1)若数列满足，且，则____. 解(1)：∵，∴， 则，. ∴， 即 正一分母 倒一分子 练习巩固 练习2：(2)已知数列满足，，求数列的通项公式. 解(2)：∵，∴，即 则，. ∴， 即∴，即，∴ 正二 倒二 故数列的通项公式是 练习巩固 由递推关系求通项公式的常用方法: 1.归纳法:根据数列的某项和递推公式求出数列的前几项，归纳出通项公式，在解答题中还需给出严格的证明. 2.迭代法、累加法或累乘法:其对应递推关系有以下几种常见类型： （1)常数,或（是可以求和的），使用累加法或迭代法； （2)（为非零常数）,或(是可以求积的），使用累乘法或迭代法. 练习巩固 变式2-1：写出下列各数列 的通项公式： （1）， ； ； （2）, . 解：（1）由题意，得当时， , 所以 . 又 ，满足上式， 所以 . 练习巩固 变式2-1：写出下列各数列 的通项公式： （1）， ； ； （2）, . 解：（2）由题意，知,所以 . 所以 . 又,所以 . 故 . 练习巩固 变式2-2：（1）已知数列满足，，，求通项公式； （2）设数列中，，，求通项公式. 解：（1）∵，∴ 则，. ∴ , 即， ∴ 练习巩固 变式2-2：（1）已知数列满足，，，求通项公式； （2）设数列中，，，求通项公式. 解：（2）∵ ∴，则，，，. ∴， 即 ∴ 练习巩固 变式2-3：（1）在数列中，,，则 ___. 解：由题意，得， 即， ， ， , .将上面5个式子相加，得 . 又 ，所以.故填 . 练习巩固 变式2-3：（2）已知数列满足，其中，则 ( ) . . . . 解：由题意，得，，， , ． 将上述各式两边对应相乘，得 . 又，所以 ． 故选C. 小结 数列的任一项可由其前一项（或前几项）通过一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的一个递推公式。 常数,或 为非零常数）,或 累加法 累乘法 感谢聆听 玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天。坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环。数列寻根属函数，自成一格意盎然。等差等比初学步，登堂入室看来年。 ——张景中 $