4.1.1等差数列及其通项公式（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦等差数列概念、通项公式推导及应用，以《九章算术》“两鼠穿墙”故事导入，从实际问题引出数列定义，再通过月历、罐头层数等实例观察共同特点，抽象出等差数列本质，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于情境导入体现数学眼光观察现实世界，推导公式用迭代法和累加法培养逻辑推理，练习含辨析、典例及变式训练提升数学运算能力。小结系统梳理知识，结尾引诗句渗透文化，学生能直观理解本质，教师可获结构化资源提升教学效率。

4.1.1等差数列 及其通项公式 第四章 数列 学习目标 教学重点：理解等差数列的概念，主卧通项公式的推导及应用。 教学难点：通项公式推导的逻辑理解，灵活运用公式解决问题。 理解等差数列概念，明确本质特征； 掌握通项公式推导，能运用公式计算； 体会递推与通项转化，培养运算与推理能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：等差数列概念提炼； 逻辑推理：通项公式推导逻辑； 数学运算：通项公式相关计算； 直观想象：等差数列特征直观理解。 新知引入 情境：来自我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”章的趣味故事——‘两鼠穿墙’：今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问：何日相逢？各穿几何？ 有一堵墙厚5尺。墙的两面各有一只老鼠，大老鼠第一天打洞1尺，之后每一天打洞的长度都是前一天的两倍.小老鼠第一天也打洞1尺，但之后每一天打洞的长度都是前一天的一半，何时相逢，各打多少尺？ 为研究这一问题，我们把大、小老鼠各打洞多少尺 按天数顺序写出来. 新知引入 天数 ① ② ③ ④ ⑤ ...... 大老鼠 1 2 4 8 16 ...... 小老鼠 1 ...... 在现实生活中，我们经常见到按一定顺序排列起来的一列数，称之为数列。我们将我们将数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第项（通常叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第项，……，排在第位的数称为这个数列的第项，等等． 表示一个数列：； 表示数列中的第项. 新知探究 思考：观察以下数列，看它们有什么共同特点？ 情景1 月历（如图）最后一列数依次为： 3，10，17，24，31 情景2 按一定规律堆放在一起的食品罐头，共堆放7层，从下到上各层的罐头数为： 21，18，15，12，9，6，3 情景3 全国统一的鞋号中，常见的成年女鞋的尺寸（单位：cm）由小至大依次为： 22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26 新知探究 第一组数：3，10，17，24，31 第一组数：21，18，15，12，9，6，3 第一组数：22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 新知探究 定义：如果一个数列从第项起，每一项与其前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。而这个常数叫做等差数列的公差．公差通常用小写字母表示。 问题1：你能结合等差数列的定义写出其符号表达式吗? 从第2项起 同一个常数 新知探究 计算等差中项 的方法 问题2：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为，公差为，根据定义，能求得吗？ 新知探究 设一个等差数列的首项为，公差为，根据定义 d， d， d， …… d， 由此可归纳得，等差数列的通项公式为: ____________. 即； 即； 即； …… 即； 迭代法（不完全归纳法） 累加法 新知探究 等差数列通项公式：首项为，公差为的等差数列的通项公式为： 辨析1：判断正误： (1)一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．( ) (2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．( ) (3)等差数列中除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．( ) (4)若三个数满足，则一定是等差数列．( ) 【答案】×，×，√，√ 练习巩固 辨析2：已知与的等差中项为5，与的等差中项为4，则与的等差中项为_____. 【答案】3 辨析3：已知等差数列的通项公式为，则数列的首项与公差分别是（ ） .1，4 .-1，-4 .4，1 .-4，-1 【答案】 典例精讲 例1：已知等差数列. （1）求该等差数列的第20项； （2）-401是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由。 解：设该等差数列为，由，，得该等差数列的公差.由等差数列的通项公式，得. （1）由上述通项公式可得，该等差数列的第20项为 （2）假设是这个等差数列中的第项，则有， 解得，所以，是这个等差数列的第100项。 练习巩固 练习1：(1)已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项； (2)求等差数列8，5，2，的第20项； (3)已知，，求与； (4)已知，，求. 解：(1)设当时，由的通项公式，可得 . 于是， 把代入通项公式，得 所以，的公差为，首项为3. (2)由已知条件，得 把代入，得 练习巩固 练习1：(2)求等差数列8，5，2，的第20项； (3)已知，，求与； (4)已知，，求. 解：设把代入上式，得 所以，这个数列的第20项是. (3）∵，，∴解得 （4）设数列的公差为.由已知得，解得 ∴∴ 练习巩固 等差数列求解方法： 在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 注： ①在等差数列的五个基本量,,,, 中，知三可求二.计算时需注意等差数列的性质、整体代换及方程思想的应用. ②有些问题，需要先判断数列是等差数列，再进行计算. 典例精讲 例2：假设体育场一角看台的座位从第2排起每一排都比前一排多相等数目的座位。若第3排有10个座位，第9排有28个座位，则第12排有多少个座位？ 解：由题意可知，体育场该角看台每排的座位数成等差数列，设该数列为，其公差为，则，. 由等差数列的通项公式，得 解得 所以， 答：体育场该角看台的第12排有37个座位。 练习巩固 练习2：已知数列的首项，通项(，，为常数)，且，，成等差数列.求，的值. 解：由，得. ① 又，，且， 得，即 ② 将 ②代入①，得.故，. 小技巧： 三数，，成等差数列的条件是(或) 拓展得，在等差数列中，若 练习巩固 变式2：已知等差数列满足，.求数列的通项公式 解：在等差数列中，∵， ∴，. ∴解得或 当时，，. . 当时，，. . 典例精讲 例3：已知是数列的通项公式，其中和均为常数。试判断数列是否为等差数列，并证明你的结论。 分析：为了判断是否为等差数列，可以利用等差数列的定义，只要判断 的值是否为一个与无关的常数即可。 解：任取数列中的相邻两项与，求差得 因为是一个与无关的常数，所以是一个等差数列 练习巩固 练习3：已知数列满足，记.求证：数列是等差数列. 证明：(法一：定义法)∵ ∴为常数(). 又 ∴数列是首项为，公差为的等差数列. 练习巩固 证明：(法二：等差中项法)∵ ∴ ∴ ∴，∴数列是等差数列. 练习3：已知数列满足，记.求证：数列是等差数列. 判定等差数列常用的2种方法： (1)定义法：(常数)()为等差数列. (2)等差中项法：为等差数列. 练习巩固 变式3：已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列. 证明：∵，成等差数列， ∴，即 ∵ ∴成等差数列. 小结 等差数列的概念 1.递推公式 2.通项公式 3.等差中项 ①当时，叫做和的等差中项； ②数列是等差数列； ③若数列是等差数列，当，且时， 感谢聆听 玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天。坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环。数列寻根属函数，自成一格意盎然。等差等比初学步，登堂入室看来年。 ——张景中 根据等差数列的定义有：， 特别地，由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列． 整理得：，即 这时，叫做与的等差中项． $