4.2.1等比数列及其通项公式（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦等比数列概念、通项公式推导及应用，通过数列实例、科克雪花曲线等情境导入，引导学生观察共同特征，类比等差数列建立新旧知识联系，以学习支架形式构建从具体到抽象的认知脉络。 其亮点在于以类比推理统领教学，通过累加法与累乘法对比推导通项公式，强化逻辑推理素养，结合半衰期计算等实例培养数学建模与应用意识。采用辨析题、对比表格结构化小结知识，辅以多解法练习和定义法证明题，助力学生提升数学抽象与运算能力，也为教师提供环节清晰、资源丰富的教学支持。

4.2.1等比数列 及其通项公式 第四章 数列 学习目标 教学重点：理解等比数列概念，掌握通项公式的推导及应用。 教学难点：辨析等比数列与等差数列的联系与区别，理解公比的限制条件，灵活运用通项公式解题。 理解等比数列概念，明确公比特征； 掌握通项公式推导，能运用公式计算； 体会类比思想，提升抽象与推理能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：等比数列概念提炼； 逻辑推理：通项公式推导逻辑； 数学运算：通项公式相关计算； 直观想象：等比数列特征直观理解。 新知引入 情境1：观察以下数列，看这些数列有什么共同特点： （1）-1的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次为： （2）科克雪花曲线．即将一个边长为１的等边三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作等边三角形，并擦去中间一段，如图，如此继续下去得到图形的每条边的长度依次为： （3）每个图形的边数依次为： ，，，， ① ，，，， ② ，，，， ③ 新知探究 ，，，， ① ，，，， ② ，，，， ③ 思考1：观察以下数列，类比等差数列，看它们有什么共同特点？ 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 新知探究 定义：如果一个数列从第项起，每一项与其前一项的比都等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列。而这个常数叫做等比数列的公比．公比通常用小写字母表示。 问题1：类比等差数列，你能写出等比数列的符号表达式吗?等差数列有等差中项，等比数列有没有类似的结论呢？且 在两个非零实数与中间插入一个数，使，， 成等比数列。根据等比数列的定义，有，从而，即或。这种情形下，，， 均成等比数列。此时，叫做与的等比中项。 新知探究 问题2：你能类比等差数列的通项公式推导，根据等比数列的定义及递推公式推导它的通项公式吗？怎么推？ 等差数列 类比 法一：不完全归纳法 …… 由此归纳等比数列的通项公式可得： 等比数列 新知探究 法二：累加法 …… +） 等差数列 类比 …… 由等比数列的定义 得 个 又，即当时上式也成立. 累乘法 新知探究 等比数列通项公式：首项为，公比为的等比数列的通项公式为： 辨析1：判断正误： (1)等比数列中至少含有三项. ( ) (2)等比数列的首项不能为0，但公比可以为0. ( ) (3)任意两个数都有等比中项. ( ) (4)若，则一定是的等比中项. ( ) (5)等比数列的首项为1，公比为2，则. ( ) (6)数列的通项公式为. ( ) √ √ × × × × 新知探究 问题3：已知等比数列的公比为，能否用的第项表示？ 等比数列{an}的通项公式： 由等比数列的通项公式，得， ①的两边分别除以②的两边，得，即 或 新知探究 等差数列 等比数列 通项公式 推导方法 累加法 累乘法 不完全归纳法 定义式 公差/公比 通项公式 等差/比中项 公差可正、可负、可为零 公比可正、可负、不可为零 典例精讲 例1：设数列为等比数列. （1）已知，公比，求； （2）已知，，求。 解：（1）由等比数列的通项公式，得 （2）设等比数列的公比为，那么 ， 解得 所以， 练习巩固 练习1：在等比数列中， (1)，，求； (2)，,,求. 解：（1）[法一]设首项为，公比为. ∵， 由得，从而，而， 于是， ∴ [法二]设首项为，公比为. ∵， ∴ ∴ 练习巩固 练习1：在等比数列中， (1)，，求； (2)，,,求. 解：（2）[法一]∵，由得，从而， 又，∴ [法二]∵ ∴ 由，知. 由，知. 练习巩固 等比数列通项公式的求法： 1.根据已知条件，建立关于的方程组，求出，后再求出，这是常规方法.（基本量） 2.充分利用各项之间的关系，直接求出后，再求，最后求，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算. 3.等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示： 练习巩固 变式1-1：在等比数列中， (1)若则 (2)若则 (3)若则 【答案】（1）9， （2）， （3）6， 变式1-2：已知是首项为1，公比为3的等比数列，则 【答案】2025 典例精讲 例2：某种放射性物质不断衰变为其他物质，设每经过一年剩余的这种放射性物质是年初的.这种放射性物质的半衰期约为多少？（结果精确到1年） 解：设这种物质最初的质量是1.而经过年，剩余量是，由条件可知，数列是一个等比数列，且，公比，当时，则 在上式两边同时取以10为底的对数，并求解得 答：这种物质的半衰期约为4年。 练习巩固 练习2：等比数列的前三项之和为168，，求与的等比中项. 解：设等比数列首项为，公比为. ∵，∴ 由已知得 即 ∵， ∴由除以，得 ∴. ∴ 设是，的等比中项，则即 ∴与的等比中项是. 练习巩固 等比中项技巧： 1.由等比中项的定义可知，所以只有同号时，的等比中项有两个，异号时，没有等比中项. 2.在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. 3.成等比数列等价于. 练习巩固 变式2-1：等差数列中,公差且成等比数列,则 【答案】 变式2-2：如果，，，，成等比数列，那么( ). . . 【答案】 典例精讲 例3：（1）已知 成等差数列，其公差为。试证明，，成等比数列，并写出其公比. （2）已知正实数 成等比数列，其公比为。试证明，， 成等差数列，并写出其公差 解：（1）因为 成等差数列，所以，从而 所以，，，成等比数列，其公比为 （2）因为正实数 成等比数列，所以。在上式两边同时取以10为底的对数，得 所以，，， 成等差数列，其公差为 练习巩固 证明数列是等比数列的常用的方法： 1.定义法：(为常数且)或(为常数且) 为等比数列. 2.等比中项法：为等比数列. 练习巩固 练习3：若，且.证明：数列是等比数列. 证明：[定义法]∵，∴ 又∵，∴. ∴数列是首项为，公比为2等比数列. [等比中项法]∵，∴ 又∵，∴. ∴. 即,,成等比数列， ∴数列是等比数列. 练习巩固 变式3：数列的前项和，求证：是等比数列，并求出通项公式. 证明：∵∴ ∴ ∴. 又∵. 又由知，知 ∴， ∴是以为首项，为公比的等比数列. 其通项公式. 小结 等差数列 等比数列 通项公式 推导方法 累加法 累乘法 不完全归纳法 定义式 公差/公比 通项公式 等差/比中项 公差可正、可负、可为零 公比可正、可负、不可为零 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 $