精品解析：吉林省吉林市舒兰县2025-2026学年 上学期九年级数学期末质量检测

2025—2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 数学试题共8页，包括三道大题，共22道小题． 全卷满分120分，考试时间为120分钟． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球．从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 4. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　） A. y=3（x+2）2﹣1 B. y=3（x﹣2）2+1 C. y=3（x﹣2）2﹣1 D. y=3（x+2）2+1 5. 如图， 为 的直径，已知圆周角 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 如图，底边AB长为2等腰直角△OAB的边OB在x轴上，将△OAB绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（ ） A. （1，﹣） B. （1，﹣1） C. （，﹣） D. （，﹣1） 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知点与点关于原点对称，则_____． 8. 反比例函数的图象经过第一、三象限，则常数的取值范围是_______________． 9. 如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与直线的位置关系是______．（填“相交”“相切”或“相离”） 10. 把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字、、．自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作，把第二次转动停止后指针指向的数字的倍记作，以长度分别为、、的三条线段能构成三角形的概率为_____．（注：长度单位一致） 11. 中，，，．把它沿边所在的直线旋转一周，所得到的几何体的表面积为______． 三、解答题（12－14每小题6分，15－17每小题7分，18－19每小题8分，20－21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 判断一元二次方程根的情况． 13. 已知与成反比例，并且当时，，求出关于的函数解析式，并计算当时，的值． 14. 如图，在长，宽的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为绿化带，已知绿化带的面积为，求所修建道路的宽度． 15. 如图，在中，D，E分别为，边上的点，．已知，，，求的长． 16. 已知二次函数的图象的顶点坐标且图象过点，求该函数的解析式． 17. 学习圆的知识后，小明同学做了如下的实践应用操作：如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径，弦，请你计算求出直尺的宽度． 18. 如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是三张牛年生肖邮票，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票的概率． 19. 已知：如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与一次函数的图象交于点和点． （1）求这两个函数的表达式； （2）如果点与点关于轴对称，求的面积． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从点B开始沿边向终点A以1cm/s的速度移动；点Q从点A开始沿边向终点O以1cm/s的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动，若P、Q同时出发，运动时间为t（s）． （1）用含t的代数式表示的长； （2）当t为何值时，与相似？ 21. 如图（1）是用总长为的木板制作的矩形置物架，抽象为图（2）中的矩形，该置物架上面部分是边长为的正方形，中间部分为矩形，点M，N分别为线段，的中点，且． （1）当时，长为 ； （2）置物架的高的长为 （用含x的式子表示）； （3）为了便于放置物品，要求EG高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 22. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． （1）求抛物线解析式； （2）当线段的长度最大时，求点P的坐标； （3）若线段和为等腰三角形腰，求此时点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末质量监测 九年级数学 数学试题共8页，包括三道大题，共22道小题． 全卷满分120分，考试时间为120分钟． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义就可以选出答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， 故选A． 3. 在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球．从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可知在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是随机事件，故B正确， 故选B． 考点：随机事件 4. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　） A. y=3（x+2）2﹣1 B. y=3（x﹣2）2+1 C. y=3（x﹣2）2﹣1 D. y=3（x+2）2+1 【答案】A 【解析】 【详解】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则，抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1.故选A. 考点：二次函数图象的平移法则. 5. 如图， 为 的直径，已知圆周角 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据为直径，直径所对的圆周角是直角求得的度数，然后根据同弧所对的圆周角相等求得的度数即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 6. 如图，底边AB长为2的等腰直角△OAB的边OB在x轴上，将△OAB绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（ ） A. （1，﹣） B. （1，﹣1） C. （，﹣） D. （，﹣1） 【答案】B 【解析】 【分析】A1B1交x轴于H，如图，根据等腰直角三角形的性质得∠OAB=45°，再利用旋转的性质得A1B1=AB=2，∠1=45°，∠OA1B1=45°，则∠2=45°，于是可判断OH⊥A1B1，则根据等腰直角三角形的性质得到，然后写出点A1的坐标． 【详解】如解图，交x轴于H， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵绕原点O逆时针旋转45°得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形变换-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是判断A1B1被x轴垂直平分． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：由题意，得： ，． ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键． 8. 反比例函数的图象经过第一、三象限，则常数的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据图象经过第一、三象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴； 故答案为：． 9. 如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与直线的位置关系是______．（填“相交”“相切”或“相离”） 【答案】相切 【解析】 【分析】作于点D，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，即可得到圆与直线的位置关系． 【详解】解：作于点， ，， ， ∵的半径是， 与相切， 故答案为：相切． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，直线与圆的位置关系的判定．通常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大小判断：当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离． 10. 把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字、、．自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作，把第二次转动停止后指针指向的数字的倍记作，以长度分别为、、的三条线段能构成三角形的概率为_____．（注：长度单位一致） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系和列表法与树状图法，依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．解题的关键是掌握：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图得： ∴共有种等可能的结果，以长度分别为、、的三条线段能构成三角形的有组：，，；，，；，，；，，， ∴以长度分别为、、三条线段能构成三角形的概率为． 故答案为：． 11. 中，，，．把它沿边所在直线旋转一周，所得到的几何体的表面积为______． 【答案】36π 【解析】 【分析】先利用勾股定理得AB＝5，由于Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4，然后计算它的侧面积和底面积的和即可． 【详解】解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4． ∴AB＝5， Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4， 所以所得到的几何体的全面积＝π×422π×4×5＝36π． 故答案为36π． 点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 三、解答题（12－14每小题6分，15－17每小题7分，18－19每小题8分，20－21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 判断一元二次方程根的情况． 【答案】无实数根 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判定，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 把一元二次方程转换成标准表达式，列出判别式与比较即可． 【详解】解：方程化为， ， ， 方程无实数根． 13. 已知与成反比例，并且当时，，求出关于的函数解析式，并计算当时，的值． 【答案】；当时， 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是求出反比例函数解析式．设，将，代入求出，即可得到关于的函数解析式，最后令求出的值即可． 【详解】解：设， 将，代入得， ， 所求解析式为， 当时，． 14. 如图，在长，宽的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为绿化带，已知绿化带的面积为，求所修建道路的宽度． 【答案】所修建道路的宽度为1m 【解析】 【分析】利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程：，解方程即可． 【详解】解：假设修建的路宽应米， 利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程： ， 整理得：， 解得：，不合题意舍去， 答：所修建道路的宽度为． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程是解题的关键． 15. 如图，在中，D，E分别为，边上的点，．已知，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：在和中，，， ∴， ∴， 又∵，，． ∴， ∴． 16. 已知二次函数的图象的顶点坐标且图象过点，求该函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】设顶点式，然后把代入求出的值即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，关键是熟悉二次函数的顶点式的应用． 17. 学习圆的知识后，小明同学做了如下的实践应用操作：如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径，弦，请你计算求出直尺的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题关键． 连接，过点O作，垂足为H，在中，用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：连接，过点O作，垂足为H， ∴， 在中，， ∴直尺的宽度为． 18. 如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是三张牛年生肖邮票，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票的概率． 【答案】树状图见解析，． 【解析】 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小明两次抽到图案都是两只牛的生肖邮票的情况，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】根据题意，树状图如下： 共有9种等可能的情况数， P（小明两次抽到图案都是两只牛的生肖邮票）． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19. 已知：如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． （1）求这两个函数的表达式； （2）如果点与点关于轴对称，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，利用点坐标求出解析式是解题关键． （1）利用点的坐标求出反比例函数的解析式，再以此求出点的坐标，从而求出一次函数的解析式； （2）作于点，利用对称性求出点的坐标，再通过坐标系中图形面积的求法解出面积即可． 【小问1详解】 解：将点代入得， ， ， 当时，， ， 将点、代入得 ， 解得， ； 【小问2详解】 点与点关于轴对称，， ， 如图，连接，作于点， ， ， ， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从点B开始沿边向终点A以1cm/s的速度移动；点Q从点A开始沿边向终点O以1cm/s的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动，若P、Q同时出发，运动时间为t（s）． （1）用含t的代数式表示的长； （2）当t为何值时，与相似？ 【答案】（1）的长为 （2）秒时，与相似 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理列式，求出，再表示出； （2）分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例，列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴（）， ∵点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s， ∴， ∴的长为． 【小问2详解】 解：∵点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s， ∴，， ①是直角时，， ∴， 即， 解得，舍去； ②是直角时，， ∴， 即， 解得， 综上所述，秒时，与相似． 【点睛】本题考查了列代数式、相似三角形的性质、勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 如图（1）是用总长为的木板制作的矩形置物架，抽象为图（2）中的矩形，该置物架上面部分是边长为的正方形，中间部分为矩形，点M，N分别为线段，的中点，且． （1）当时，的长为 ； （2）置物架的高的长为 （用含x的式子表示）； （3）为了便于放置物品，要求EG的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意得四边形，四边形，四边形均为矩形，则，，，当时，则，则，由此可得出的长； （2）根据，，，则，进而得，； （3）依题意得，由（2）可知，，根据矩形的面积为得，由此解得，，当时，则，符合题意，当时，则，不合题意，舍去，由此可得x的值． 【小问1详解】 解：依题意得：四边形是矩形，四边形是正方形， ∴四边形，四边形，四边形均为矩形， ，，， 当时，则， ∵矩形置物架是用总长为的木板制作的， ， ， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：，，， ， ， ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：依题意得：， 由（2）可知，， ∵矩形的面积为， ， ， 整理得：， 解得：，， 当时，则， ∵为了便于放置物品，要求的高度不小于， 符合题意， 当时，则，不合题意，舍去， ∴x的值为． 【点睛】此题主要考查了用一元二次方程解决实际问题，矩形的判定与性质，正方形的性质，列代数式，理解矩形的判定与性质，正方形的性质，根据矩形的面积列出一元二次方程是解决问题的关键． 22. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． （1）求抛物线解析式； （2）当线段的长度最大时，求点P的坐标； （3）若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3），由时，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点， ， ， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴点， ∵抛物线经过点A，B， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：轴， ， ， 点， 点，则点， 则， 当时，最大．， ； 【小问3详解】 解：根据题意得，， 由（2）得，， ， ， 解得：（舍去）或， ∴点E的坐标为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $