精品解析：吉林省长春市德惠市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

德惠市2025—2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 的平方根是，用数学表达式表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在实数，，，，，0.101001…中，无理数的个数有（ ） A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 如果，，则的值是（ ） A. 12 B. 14 C. 36 D. 72 4. 若，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 下列调查方式，你认为最合适的是（ ） A. 调查一批苹果的甜度情况，采用全面调查 B. 调查一批新能源汽车电池的使用寿命，采用全面调查 C. 调查全市观众对电影《浪浪山小妖怪》的喜爱程度，采用抽样调查 D. 调查神舟二十二号载人飞船的零部件质量，采用抽样调查 6. 如图，在中，，，是的角平分线，于点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 15 8. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 比较大小：______3．（填“”“”或“”） 10. 分解因式：a3－a=___________ 11. 若等腰三角形的周长为10，其中一边长为4，则腰长为__________． 12. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是_____命题．(填“真”或“假”) 13. 如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 14. 如图，在中，点分别在边上，，是的平分线，．给出下面四个结论： ①；②；③若，则是等边三角形；④若平分，则．上述结论中，正确结论的序号有__________． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2）． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 已知一个正数的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． （1）求a，y的值； （2）求的算术平方根． 18. 如图，在中，完成下列问题． （1）用圆规和直尺在图中作出的角平分线交于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求度数． 19. 图①是某品牌婴儿车，图②是其部分结构示意图．根据安全标准需满足，已知，，，请通过计算说明该车是否符合安全标准． 20. 小慧想在周末观看一部电影，准备从四部电影中选取一部，分别是：A《震耳欲聋》，B《毕正明的证明》，C《刺杀小说家2》，D《浪浪人生》．对此小慧围绕“你最喜欢的电影是什么？”在全年级同学中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统计图表： 项目 内容 百分比 A 《震耳欲聋》 B 《毕正明的证明》 C 《刺杀小说家2》 D 《浪浪人生》 a 请结合统计图表，回答下列问题： （1）填空：__________；本次调查的学生总人数是__________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）请你根据调查的结果初步估计全校同学中最受欢迎的电影应该是哪一部． 21. 如图，点、、在同一条直线上，，，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. 【课内链接】 我们知道，因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解，则有： （1）； （2）．（填空） 【理解新知】把形如（a、b、c是常数，且）的式子变形成的形式的方法叫做配方法． 例如： ∵（一个数的平方为非负数） ∴（不等式的性质2） ∴（不等式的性质1） 即：， ∴最小值为 将配方成的形式：则 ； ； ；（填空） 【拓展应用】如果，求P的最小值． 23. 问题发现：两个顶角相等等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________； （2）类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上高，连接，若，，则________． 24. 如图，在中，，，动点P从点A出发以每秒1个单位速度沿匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿匀速运动，点Q到达点C后，立即以每秒4个单位的速度沿返回，当点Q返回到点B时，P、Q两点都停止运动，设点P运动时间为t秒． （1）当时， ，当时， ． （2）用含t的代数式表示的长． （3）如图，当时，其他条件不变： ①当点P运动到AB的中点时，与的位置关系是 ，请说明理由． ②在点P、Q运动过程中，当是等边三角形时直接写出的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德惠市2025—2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 的平方根是，用数学表达式表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一个正数的平方根的表示方法，根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：的平方根是，用数学表达式表示为， 故选：A． 2. 在实数，，，，，0.101001…中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握“无理数是无限不循环小数，常见类型包括开方不尽的数、含的数、无限不循环小数”是解题的关键．根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个实数是否为无理数，统计个数． 【详解】解：∵是整数， ∴是有理数； ∵是开方不尽的数， ∴是无理数； ∵是整数， ∴是有理数； ∵是有限小数， ∴是有理数； ∵中是无理数， ∴是无理数； ∵是无限不循环小数， ∴是无理数； ∴无理数有、、，共3个 故选：B． 3. 如果，，则的值是（ ） A. 12 B. 14 C. 36 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算性质，熟练掌握“幂的乘方公式、同底数幂的乘法公式”是解题的关键．利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算性质，将转化为含、的形式，再代入求值． 【详解】∵， ， ∴， 故选：D． 4. 若，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值． 根据多项式乘以多项式的计算法则得到，据此得到，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5. 下列调查方式，你认为最合适的是（ ） A. 调查一批苹果的甜度情况，采用全面调查 B. 调查一批新能源汽车电池的使用寿命，采用全面调查 C. 调查全市观众对电影《浪浪山小妖怪》的喜爱程度，采用抽样调查 D. 调查神舟二十二号载人飞船的零部件质量，采用抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查和抽样调查． 全面调查适用于对象数量少、非破坏性且要求精确的情况；抽样调查适用于对象数量多、破坏性调查或全面调查不现实的情况，据此对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．调查一批苹果的甜度情况，具有破坏性，不宜全面调查，不符合题意； B．调查一批新能源汽车电池使用寿命，具有破坏性，不宜全面调查，不符合题意； C．调查全市观众对电影《浪浪山小妖怪》喜爱程度，全市观众数量大，全面调查困难，抽样调查合适，符合题意； D．调查神州二十二号载人飞船的零部件质量，必须全面检查以确保安全，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，，，是的角平分线，于点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 先利用角平分线的性质确定，再通过线段长度计算，进而得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，（），， ∴， 故选：A． 7. 如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的和差计算与圆的半径性质，熟练掌握“同圆的半径相等”是解题的关键．先根据线段和差求出的长度，再利用已知条件得到、的长度，最后计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心、为半径作弧交延长线于点， ∴， ∴的周长， 故选：． 8. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键． 把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 比较大小：______3．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数比较大小，利用估算法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 10. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 11. 若等腰三角形的周长为10，其中一边长为4，则腰长为__________． 【答案】3或4 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分两种情况讨论：当边长为4的边为腰时和当边长为4的边为底边时，根据等腰三角形的定义和三角形三边关系进行求解即可． 【详解】解：当腰长为4时，则底边长为，此时三边长分别为4，4，2， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当底边长为4时，腰长为，此时三边长分别为3，3，4， ∵ ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，该等腰三角形的腰长为3或4， 故答案为：3或4． 12. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是_____命题．(填“真”或“假”) 【答案】假 【解析】 【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，把题设与结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可． 【详解】解：“全等三角形的对应角相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，因而逆命题是：对应角相等的三角形全等．是一个假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 13. 如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，点分别在边上，，是的平分线，．给出下面四个结论： ①；②；③若，则是等边三角形；④若平分，则．上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边三角形的判定： 由三线合一定理可得，据此可判断①；根据等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而得到，据此可判断②；若，则可证明，据此可判断③；根据现有条件无法证明④的结论． 【详解】解：①∵，是的平分线， ∴（三线合一），故①正确； ②∵， ，故②正确； ③若，则， 又∵， ∴是等边三角形，故③正确； ④若平分，根据现有条件无法证明，故④错误； 故答案为：①②③． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式的除法及乘法的运算，解题的关键是了解有关运算方法并正确的运算． （1）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）利用多项式除以单项式的除法运算法则进行运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用完全平方公式进行化简． 先利用完全平方公式将展开，然后合并同类项进行化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， 把代入得：． 17. 已知一个正数的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． （1）求a，y的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根的性质： （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此即可求出a的值；立方根是本身的负数是，据此可求y的值； （2）根据（1）中求出的a与y的值，求出的值，从而可求其算术平方根． 【小问1详解】 解：依题意，得：， 解得：， ∵负数y的立方根与它本身相同， ∴ ∴a，y的值分别为，； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 则， ∴的算术平方根为． 18. 如图，在中，完成下列问题． （1）用圆规和直尺在图中作出的角平分线交于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作角平分线和三角形内角和定理，熟练掌握基本作图，是解题的关键． （1）根据作已知角的角平分线作图即可； （2）根据三角形内角和定理求得，结合角平分线求得，再利用三角形内角和即可求得答案． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求． 小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ， ∴． 19. 图①是某品牌婴儿车，图②是其部分结构示意图．根据安全标准需满足，已知，，，请通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合安全标准 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．由计算得，得出是直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】解：符合安全标准，理由如下： ∵，，， ， ， ∴， ∴是直角三角形，且， 即， ∴符合安全标准． 20. 小慧想在周末观看一部电影，准备从四部电影中选取一部，分别是：A《震耳欲聋》，B《毕正明的证明》，C《刺杀小说家2》，D《浪浪人生》．对此小慧围绕“你最喜欢的电影是什么？”在全年级同学中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统计图表： 项目 内容 百分比 A 《震耳欲聋》 B 《毕正明的证明》 C 《刺杀小说家2》 D 《浪浪人生》 a 请结合统计图表，回答下列问题： （1）填空：__________；本次调查的学生总人数是__________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）请你根据调查的结果初步估计全校同学中最受欢迎的电影应该是哪一部． 【答案】（1）10%，100人； （2）见解析 （3）《毕正明的证明》 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查，条形统计图， 对于（1），总单位1分别减去A，B，C三项的百分比，可得答案； 对于（2），先求出选择B电影的人数为，再补全统计图即可； 对于（3），根据抽样的人数比较可得答案. 【小问1详解】 解：， 所以； 观察统计图可知选择A电影的人数为25人， 所以本次调查的学生总人数为（人）. 故答案为：人； 小问2详解】 解：补全统计图如下： 小问3详解】 解：因为， 所以全校同学中最受欢迎的电影是《毕正明的证明》. 21. 如图，点、、在同一条直线上，，，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握“全等三角形的判定定理（）及性质、勾股定理的应用”是解题的关键． （1）通过垂直关系得到直角，结合角的和差推出相等角，再利用已知边相等，证明直角三角形全等； （2）利用全等三角形的性质得到对应边相等，结合勾股定理计算线段长度． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得： 22. 【课内链接】 我们知道，因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解，则有： （1）； （2）．（填空） 【理解新知】把形如（a、b、c是常数，且）的式子变形成的形式的方法叫做配方法． 例如： ∵（一个数的平方为非负数） ∴（不等式的性质2） ∴（不等式的性质1） 即：， ∴最小值为 将配方成的形式：则 ； ； ；（填空） 【拓展应用】如果，求P的最小值． 【答案】课内链接：（1）5；（2）36，6；理解新知：，，；拓展应用：P的最小值是2026 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 课内链接：（1）根据完全平方公式，找出对应的项，计算的值； （2）同理，根据完全平方公式，先确定的值，再确定的值； 理解新知：按照配方法步骤，先提取二次项系数，再对括号内式子配方，转化为的形式，确定、、； 拓展应用：用配方法将式子转化为的形式，利用平方的非负性求最小值． 【详解】解：课内链接：（1）， 故答案为：5； （2）， 故答案为：36，6； 理解新知：， ∴，，， 故答案为：，，； 拓展应用：， ， ， ， 即的最小值是2026 23. 问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________； （2）类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________． 【答案】（1） （2）与的数量关系是，位置关系是；见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质． （1）根据证明即可； （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即； （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵ ∴ ∴ 在和中，， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：与的数量关系，位置关系是． 理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 24. 如图，在中，，，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿匀速运动，点Q到达点C后，立即以每秒4个单位的速度沿返回，当点Q返回到点B时，P、Q两点都停止运动，设点P运动时间为t秒． （1）当时， ，当时， ． （2）用含t的代数式表示的长． （3）如图，当时，其他条件不变： ①当点P运动到AB的中点时，与的位置关系是 ，请说明理由． ②在点P、Q运动过程中，当是等边三角形时直接写出的周长． 【答案】（1）4，6 （2）， （3）①，理由见解析；②16或2 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的性质、列代数式等知识点，灵活利用分类思想解决问题是解题的关键． （1）当或时，分别利用路程、速度、时间的关系以及题意列式求得，可求的长即可； （2）分和两种情况讨论，分别根据题意列出关系式即可解答； （3）①如图：在上截取，可证是等边三角形可得，，由等腰三角形的性质可得，可证可得；②由等边三角形的性质可得，进而得到或，即或，然后再分别求得的长，再求周长即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，． 故答案为：4，6． 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∴． 【小问3详解】 解：①，理由如下： 如图：在上截取， ∵点P运动到AB的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②∵是等边三角形， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， ∴的周长为或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $