精品解析：吉林省长春市德惠市第三中学2024-2025学年八年级上学期12月期末数学试题

2024—2025学年度第一学期期末测试 八年级数学试卷 一、选择题（共8大题，共24分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：的平方根是； 故选C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握有关运算法则以及公式．运用相关运算法则逐项判断即可得解； 【详解】解：A、，此选项错误；不符合题意， B、，此选项错误；不符合题意， C、，此选项正确；符合题意， D、，此选项错误．不符合题意， 故选：C 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，6，8 C. ，， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数是满足较小的两个数的平方之和等于最大的数的平方的一组正整数，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，，不是正整数，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 4. 若等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是（ ） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键．由题意分该等腰三角形的腰长分别为4和9两种情况，结合三角形三边间的关系进行讨论，然后再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下两种情况进行讨论： （1）当该等腰三角形的腰长为4时，因为，不组成三角形，所以这种情况不成立； （2）当该等腰三角形的腰长为9时，因为，组成三角形，此时该等腰三角形的周长． 综上所述，该等腰三角形的周长为22． 故选：B． 5. 可以用来说明“如果，则”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反例的运用，理解反例的运用方法是解题的关键． 根据题意，代入计算即可求解． 【详解】解：“如果，则”， A、，则， ∴，则是假命题，符合题意； B、，则，条件不符合，无法验证，不符合题意； C、，则， ∴，则是真命题题，不符合题意； D、，则，条件不符合，无法验证，不符合题意； 故选：A ． 6. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 6` B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 7. 已知RtABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则RtABC的面积是（　　） A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2 【答案】A 【解析】 【分析】根据∠C＝90°确定直角边为，对式子两边平方，再根据勾股定理得到的值，即可求解． 【详解】解：根据∠C＝90°确定直角边为，∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 故选A 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，涉及了完全平方公式，解题的关键是根据所给式子确定的值． 8. 观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】依次对各个图形的作图痕迹进行分析即可． 【详解】 由图①知，， ， 故图①能说明； 由图②知射线是的平分线，不能说明； 由图③知，不能说明； 由图④知是的垂直平分线， ． 中， ， 即． 故图④能说明． 故选：B 【点睛】本题主要考查了尺规作图法，和三角形三边之间关系．初中阶段常考的尺规作图有：做一条线段等于已知线段，做一个角的平分线，过直线外一点作已知直线的垂线，做一条线段的垂直平分线．熟练掌握以上尺规作图的方法，并且懂得其中的原理是解题的关键． 二、解答题（共6大题，共18分） 9. 比较大小：_____4.（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较，熟练地掌握无理数的估算是解决问题的关键． 根据无理数的估算，进行大小比较即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10 命题“全等三角形的对应边都相等”的逆命题是___命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：对应边相等，把题设与结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可． 【详解】“全等三角形的对应边相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应边相等，因而逆命题是：对应边相等的三角形全等．是一个真命题． 故答案是：真 【点睛】考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 11. 如图，已知，要用“”判定，则需要补充的一个条件为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，根据用“”判定，已知及公共边，添加的条件是． 【详解】解：添加的条件是， 理由是：在与中， ， ∴， 故答案为：． 12. 如图，圆柱体底面圆周长为16，高为6，是上底面的直径．一只蚂蚁从圆柱的表面点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为________cm． 【答案】10 【解析】 【分析】先把圆柱体沿剪开，则的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】圆柱体的侧面展开图如图所示， ∵底面圆周长为16， ∴ 又∵高为6， ∴在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 13. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝3，现将它折叠，使点B与C重合，则折痕DE的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由在△ABC中，AB=4，BC=5，AC=3，利用勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形，由折叠的性质，可得：DE⊥BC，BE=BC=2.5，则可证得△BED∽△BAC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得折痕DE的长． 【详解】解：∵在△ABC中，AB=4，BC=5，AC=3， ∴AC2+AB2=BC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠A=90º， 由折叠的性质可得：DE⊥BC，BE=BC=2.5， ∴∠BED=∠A=90°， ∵∠B是公共角， ∴△BED∽△BAC， ∴= 即=， 解得：DE=． 故答案为. 【点睛】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质. 14. 如图，在和中，，，连接，连接并延长交于点，且恰好平分；有以下四个结论：①是等腰三角形；②③④和全等；这四个结论中正确的是_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，根据角分线的性质以及等腰三角形的性质可得角度，证明出≌是解决本题的关键． 由，，可求解的度数，再结合角平分线的性质即可求解的度数，由此可判断①；由边角边的证明方法证明与全等，即可得，再由“内错角相等，两直线平行”即可判断②和④；假设成立，求出角度，根据“同位角相等，两直线平行”得到与已知矛盾的结论可判断③． 【详解】解：在中，，， ∴， 又， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； ∵ ∴， ∴， ∵， 在与中， 由， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 由②知，≌，故④正确； 假设， ∵，， ∴， 若， 则， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴，与已知矛盾，故③错误； ∴这四个结论中正确的是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（共10大题，共78分） 15. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的运算、积的乘方、同底数幂的乘法与除法等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方、算术平方根与立方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得； （2）先计算积的乘方，再计算同底数幂的除法，然后计算同底数幂的乘法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 因式分解． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查因式分解； （1）直接利用提取公因式法因式分解即可； （2）先提取负号，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查整式的混合运算—化简求值，原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用平方差公式化简，第三项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入化简后的式子中计算，即可求出值． 【详解】解：原式 ， 把代入上式， 原式． 18. 如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的和差关系得到，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴与都为直角三角形， 在和中，， ∴， ∴． 19. 图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． （2）在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． （3）在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了格点画图、直角三角形、等腰三角形的定义等知识点．掌握相关定义成为解题的关键． （1）根据直角三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （2）根据等腰三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （3）根据等腰直角三角形的定义画出所求三角形即可． 【小问1详解】 解：如图①、图②即为所求． 【小问2详解】 解：如图③即为所求． 【小问3详解】 解：如图④即为所求． 20. 以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）_________，_________． （2）请补全条形统计图； （3）若该公司新招聘600名毕业生，请你估计“软件”和“总线”专业的毕业生共有______名． 【答案】（1），； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，熟练掌握从不同统计图中获取信息并进行相关计算是解题的关键． （1）从扇形统计图可知总线专业人数所占百分比，结合条形统计图中总线专业人数，可求出调查总人数；再根据测试专业人数与总人数的比例求出． （2）先根据硬件专业人数所占百分比求出硬件专业人数，再据此补全条形统计图． （3）先求出“软件”和“总线”专业人数在调查总人数中所占比例，再根据公司新招聘总人数，用乘法求出这两个专业的毕业生总数． 【小问1详解】 解： 扇形统计图中总线专业人数占，条形统计图中总线专业人数为名， 条形统计图中测试专业人数为名， ，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： 硬件专业人数所占百分比为，总人数， 硬件专业人数为名 补全条形统计图如下， 【小问3详解】 解： 软件专业人数为名，总线专业人数为名，总人数， “软件”和“总线”专业人数所占比例为 公司新招聘名毕业生， 这两个专业的毕业生总数为名， 故答案为：． 21. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）他应该往回收线8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据勾股定理求出的长，即可求解； （2）设风筝沿方向下降12米后到达点F，连接，根据勾股定理求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：由勾股定理得，米， ∴米； 小问2详解】 解：如图，设风筝沿方向下降12米后到达点F，连接， 由勾股定理得： 米， ∵米， ∴他应该往回收线8米． 22. 完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若x满足，求的值． 解：设，则，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）若x满足，求的值； （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子（即长方形）．以为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为，则长方形院子的面积为______． 【答案】（1）12 （2）5 （3）1200 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）根据，并将已知条件代入计算即可； （2）设，则，利用计算即可； （3）设米，米，则，再根据完全平方公式的变形求出即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：设，则， ． 【小问3详解】 解：设米，米，则， ，， ，解得：． ∴长方形院子的面积为． 23. 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是的平分线，点是上的任何一点，，，垂足分别为点和点求证：． 请写出完整的证明过程：．．． （1）请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． （2）【应用】如图，在中，，平分，于点，点在上，，若，，则的长为_________． （3）【拓展】如图，在中，平分交于点，于点，若，，，，则的面积______． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）9． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和角平分线的性质，等角对等边，三角形内角和定理，通过（1）中证明角平分线的性质定理是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，由此证明，即可证明； （2）同（1）法可得：，得到，，再证明，得到，根据线段之间的关系推出，即：，则； （3）过点作，交于点，由角平分线的定义和性质得到，，再证明，得到，据此利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：是的平分线， ， ，， ， 又， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 平分，， 同（1）法可得：， ，， ∵， ， 又，， ， ， ，， ，即：， ； 故答案为：； 【小问3详解】 过点作，交于点， 平分交于点，， ，， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：． 24. 如图，在中，，，于，点在边上从点出发，以的速度向终点运动，设点的运动时间为． （1）线段_________． （2）在线段上时，线段的长为__________（用含的代数式表示）． （3）求为何值时，为等腰三角形． （4）当点与顶点的连线与的腰垂直时，直接写出的值． 【答案】（1）6； （2）； （3）或5或8； （4）或． 【解析】 【分析】（1）根据是等腰三角形，，得是中点，可先求出长度，再用勾股定理求出． （2）先求出长度，根据点的运动速度和时间求出长度，再用得到． （3）分三种情况讨论为等腰三角形，分别是、、，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理列方程求解． （4）分两种情况讨论与的腰垂直，分别是和，然后根据勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵，点速度为，运动时间为 ∴ ∵在线段上 ∴ 故答案为：． 【小问3详解】 解：①当时, ∵，，， ∴是中点， ∴， ∵， ∴在线段上， 在中，， ∵，，， ∴， 解得； ②当时， ∵， ∴与重合， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； ③当时 ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上，的值为或或． 【小问4详解】 解：①当时 ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵，，，， ∴， 解得； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵，，，， ∴， 解得； 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、一元一次方程的应用，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末测试 八年级数学试卷 一、选择题（共8大题，共24分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，6，8 C. ，， D. 5，12，13 4. 若等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是（ ） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 13 5. 可以用来说明“如果，则”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 6` B. 5 C. 4 D. 3 7. 已知RtABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则RtABC的面积是（　　） A 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2 8. 观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ③④ 二、解答题（共6大题，共18分） 9. 比较大小：_____4.（填“”、“”或“”） 10 命题“全等三角形的对应边都相等”的逆命题是___命题．（填“真”或“假”） 11. 如图，已知，要用“”判定，则需要补充的一个条件为______． 12. 如图，圆柱体的底面圆周长为16，高为6，是上底面的直径．一只蚂蚁从圆柱的表面点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为________cm． 13. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝3，现将它折叠，使点B与C重合，则折痕DE的长为_____． 14. 如图，在和中，，，连接，连接并延长交于点，且恰好平分；有以下四个结论：①是等腰三角形；②③④和全等；这四个结论中正确的是_______． 三、解答题（共10大题，共78分） 15. 计算． （1）； （2）． 16. 因式分解． （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且，求证：． 19. 图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． （2）在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． （3）在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形． 20. 以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供信息，解答下列问题． （1）_________，_________． （2）请补全条形统计图； （3）若该公司新招聘600名毕业生，请你估计“软件”和“总线”专业毕业生共有______名． 21. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 22. 完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若x满足，求的值． 解：设，则，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）若x满足，求的值； （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子（即长方形）．以为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为，则长方形院子的面积为______． 23. 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，是平分线，点是上的任何一点，，，垂足分别为点和点求证：． 请写出完整的证明过程：．．． （1）请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． （2）【应用】如图，在中，，平分，于点，点在上，，若，，则的长为_________． （3）【拓展】如图，在中，平分交于点，于点，若，，，，则的面积______． 24. 如图，在中，，，于，点在边上从点出发，以的速度向终点运动，设点的运动时间为． （1）线段_________． （2）在线段上时，线段的长为__________（用含的代数式表示）． （3）求为何值时，为等腰三角形． （4）当点与顶点的连线与的腰垂直时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $