精品解析：辽宁省鞍山市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试卷

2025—2026 学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分为120分 考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 第一部分 选择题 （共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1. 下图由两个半圆组成的图形，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形的定义（绕一个点旋转能够与自身重合的图形）判断即可． 【详解】解：选项A、C、D中的图形都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，不符合题意． 选项B的图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，符合题意． 故选：B． 2. 下列一元二次方程，有两个相等实数根的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 通过计算每个一元二次方程的判别式，若则有两个相等实数根． 【详解】解：选项A：，，，则方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项B：，，，则方程没有实数根，不符合题意； 选项C： ，，，则方程有两个相等的实数根，符合题意； 选项D：，，，则方程有两个不相等的实数根，不符合题意， 故选：C． 3. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，如图所示，则电流I与电阻R的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，利用待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：设函数解析式为：， 由图象可知：图象过点， ∴， ∴； 故选D 4. 如图，体育课上，小丽的铅球成绩是5.8米，小丽投掷的铅球落地点是（ ） A. A 点 B. B点 C. C点 D. D 点 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了有理数比较大小和圆的基本知识的应用，根据小丽的铅球成绩为5.8米，得出其所在的范围，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴小丽投掷的铅球落地点是B点， 故选：B． 5. 抛物线的图象如图所示，则a，b，c的值分别满足（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系；用到的知识点为：抛物线的开口向上，；对称轴在轴右侧，，异号；抛物线与轴的交点即为的值． 根据开口方向可得的符号，根据对称轴在轴的哪侧可得的符号，根据抛物线与轴的交点可得的符号． 【详解】解：抛物线开口向下 ∴， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴ ， 抛物线与轴交于正半轴， ∴． 故选：D． 6. 某公司在2025年末公示年度报告，第一、二季度利润保持平稳，均为40万元，从第三季度开始收益逐渐提升，到第四季度利润达90万元，如果设第三、第四两季度利润平均增长率为x，根据题意，可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利润从第三季度开始增长，经过两个季度的相同增长率x增长后达到第四季度利润90万元． 【详解】解：第二季度利润为40万元，则第三季度利润为，第四季度利润为， 故可得， 故选：A． 7. 二次函数图象的性质，下列叙述正确的是（） A. 抛物线与x轴没有交点 B. 抛物线有最低点 C. 当时，y随x增大而减小 D. 当时，y随x增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 通过计算判别式判断与x轴的交点；由二次项系数为负判断开口向下，有最高点；通过对称轴分析函数的增减性． 【详解】解：∵二次函数， ∴， 判别式， ∴抛物线与x轴有两个交点，故A错误； ， ∴抛物线开口向下，有最高点，无最低点，故B错误； 对称轴为直线， ∵开口向下， ∴当时，y随x增大而减小，故C正确，D错误， 故选：C． 8. 如图，要测量残缺圆形工件的半径，在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 9. 如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． 设米，则米，表示出矩形场地的面积，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：如图，设米，则米， ， 墙长为25米， ， 解得， 令矩形场地的面积为， ， 所以当时，有最大值， 即围成矩形场地的最大面积是， 故选：B． 10. 如图，的周长是40，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点 M，N，分别以M，N为圆心大于 长为半径画弧，两弧交于点 D，作射线；再以C为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点P，Q，分别以P，Q为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点 G，过点 G作于点F， 若， 则的长度分别是（ ） A 15， 11 B. 14， 12 C. 14， 11 D. 13， 12 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作，垂足分别为，连接，根据角平分线的性质，证明、、，则，得到，即可求得答案． 【详解】解：过点作，垂足分别，连接， 由题意可知，分别是的角平分线， ∴平分， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次函数经过两点，则一元二次方程的两个根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程关系，牢记解一元二次方程得出的值为直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键． 由方程的解可得出二次函数图象与直线的交点坐标． 【详解】解：由题意，点在二次函数上， 即当或时，函数值， ∴方程的两个根为和， 故答案为：，． 12. 一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角是___度． 【答案】150 【解析】 【分析】根据弧长公式计算． 【详解】根据扇形的面积公式可得： ， 解得r=24cm， 再根据弧长公式， 解得. 故答案为：150. 【点睛】本题考查了弧长的计算及扇形面积的计算，要记熟公式：扇形的面积公式，弧长公式. 13. 已知a，b是一元二次方程的两个根，若以a，b为两条直角边作直角三角形，则斜边c的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 由根与系数的关系得和，再通过恒等变换求，最后利用勾股定理求斜边． 【详解】解：根据根与系数的关系，得，， 则， 在直角三角形中，斜边， 故答案为． 14. 如图，中，，则的度数是_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，求出，根据圆周角定理得到，再根据等边对等角即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 15. 如图，平面直角坐标系中，点A 的坐标是，点B的坐标是，连接，将线段绕点 B 逆时针旋转点A 的对应点为C，连接并延长交x轴于点 D，则点 D 的坐标是___________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、一次函数的图象和性质等知识．过点作于点，过点作于点，证明，求出，利用待定系数法求出直线的解析式，进一步求出直线与x轴的交点即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则， ∵将线段AB绕点 B 逆时针旋转 点A 的对应点为C， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴点的坐标为， 故答案为： 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练运用不同方法解方程是解题的关键． （1）利用公式法即可解答； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ， ∴，； 【小问2详解】 解： 移项得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，． 17. 如图，平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是点，点，点； （1）将 绕点 O 顺时针旋转 得到 ，在坐标系中画出图形，并分别写出对应点坐标； （2）以原点O为位似中心，在点O的异侧，画 ，使它与的相似比为 【答案】（1）图见解析，点坐标为； （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了位似图形和旋转的作图，熟练掌握作图方法是关键． （1）找到旋转后的对应点，顺次连接即可； （2）找到位似的对应点并顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图即为所求： 点坐标为； 【小问2详解】 如图，即为所求． 18. 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，边在坐标轴上，且点 A 的坐标是，反比例函数经过边的中点D， 与边交于点E， 连结； （1）求出函数的解析式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、反比例函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）求出点D的坐标，利用待定系数法即可求出的解析式； （2）证明，即可得到结论． 【小问1详解】 解：矩形的顶点 ，， 点D是边中点， ． 把代入得： 解得：． 函数解析式为． 【小问2详解】 证明：点E在边上， E点纵坐标为3， 把代入得：， ， ． ， ， ． 矩形中，，， ． ． 19. 如图，四边形是平行四边形，是的外接圆，连接并延长交于点E，连结并延长交边于点 F，已知； （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定、圆周角定理、垂径定理是解题的关键． （1）连接并延长交于点P，连接，求出．再根据四边形是平行四边形，则，，得到．即可证明结论成立； （2）根据垂径定理得到．根据勾股定理得到．设的半径r，在中，利用勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 证明：连接并延长交于点P，连接， ， ， ． BE是直径， ， ． ， ， ． ． 四边形平行四边形， ， ， ． 过圆心， 是的切线． 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ， ，过圆心， ． ． 设的半径为r，在中， ， ． 解得． 的半径为． 20. 学习了相似的相关数学知识以后，老师布置了课后作业：查阅历史上相似学的典型应用．安安阅读了《周髀算经》，在这部中国最早的“测天量地”著作里，安安发现相似学大量用于测量，下面是安安关于“陈子模型”的学习笔记，请将表格补充完整，写出计算过程与结论： 测量目标 知道太阳的高低和大小 测量方法 使用圭表，利用影长测量人与太阳的距离：利用竹竿测量太阳直径． 测量一 图形 测量过程 已知：圭表高8尺，从太阳正下方无影之点直上到太阳的距离（）为里，圭表距太阳正下方的距离（）为里．步骤：在观测点 A．当圭表（）上的影长（）为6尺时，计算观测人与太阳的距离．即的长（点C为太阳中心点）． 计算过程及结论： 图形 测量过程 测量二 已知：与上述测量同时同地，利用竹空（古代望远设备）．竹空筒长 （H到的距离）与竹空直径（） 的长度之比为． 步骤：观测人让太阳（）的边缘恰好充满竹管的圆孔时可计算太阳的直径． 计算过程及结论： 【答案】人与太阳的距离约为10万里．太阳的直径为1250里．过程见解析 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先求出万里，证明，利用相似三角形的性质即可求出太阳的直径． 【详解】解：测量一结论：人与太阳的距离约为10万里． 在中，里． 万里 即：人与太阳中心的距离约为10万里． 测量二结论：太阳的直径约为1250里． 由测量一可知，人与太阳中心的距离为10万里 ， ． ， 万里 即：太阳的直径约为1250里． 21. 如图1，某农业种植户维修蔬菜大棚，准备在已有大棚的另一侧增加一个与原有大棚形状相同的育苗矮棚，经测试，原大棚立柱（）高为3米，以所在的直线为y轴，以水平地面为x轴建立如图所示坐标系（如图2），大棚靠近立柱一侧由三角形（）支架固定，另一侧由立柱（）固定，已知，，棚顶主体结构符合某二次函数抛物线，且C是最高点： （1）请求出该抛物线解析式，并注明取值范围； （2）如图2，新修建的育苗棚在靠近立柱的一侧同样由三角形支架（）固定，且，外侧固定的立柱，若棚顶是点E为最高点且形状相同的抛物线，种植户在立柱的左侧平整出宽的土地是否够用？通过计算说明． 【答案】（1） （2）种植户平整出宽4米的土地不够用，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）求得点的坐标，根据形状相同，可以求得新棚顶的抛物线解析式，将代入新抛物线解析式，求得点的坐标，即可求得． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点， ∴设抛物线解析式为， 把代入解析式得， 解得， ； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ∵形状相同且E顶点， ∴设新棚顶的抛物线解析式为， ， 令，， 解得（舍去）， ， ， ， ∴种植户平整出宽4米的土地不够用． 22. 如图，是等腰直角三角形，且，，点D是边上动点，连结，将绕点C顺时针旋转得， （1）如图1，延长交延长线于点G，连结，求证：； （2）如图2，连结，若，求的值； （3）如图3，若与交于点N，与交于点M，连结，设，试求出四边形面积（用含m的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明四边形是正方形，进一步证明，即可得到结论； （2）证明，得到，，求出．即可得到的值； （3）证明，得到，则，得到，同理，，得到，即可求出答案． 【小问1详解】 解：由旋转得：，，， ， ． 四边形是正方形， ， ， 在中，，， ， ， ． 【小问2详解】 在中，， ， ，， ． 四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ． ． 【小问3详解】 ∵，， ∴ ∵，， ∴， ． 四边形是正方形， ， ， ， ， 与是同高， ， 同理可得：，， ， ， ， ． 23. 如图1，二次函数与y轴交于点A，二次函数经过点A： （1）求函数的解析式； （2）直线与函数有三个交点，求出m的取值范围； （3）如图2，将函数向右平移8个单位得到函数，且函数与函数交于B，C两点，直线与交于点M； ①若直线与的交点的最大值与最小值均不随m的变化而变化，求m的取值范围； ②若点M位于B，C两点之间的封闭曲线内，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，二次函数的性质，抛物线与直线的交点，正确列出方程，结合图象是解题的关键． （1）利用求得点的坐标，将点的坐标代入即可解答； （2）求得抛物线的顶点，根据图象即可解答； （3）①求得，列方程求得点和点的坐标，利用二次函数的性质列不等式即可解答； ②得到点M在直线上，即，列方程求得与的交点即可解答． 【小问1详解】 解：令中，则， ， 把代入得： ， 解得， ； 【小问2详解】 解：， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴抛物线的顶点为， 当直线经过两抛物线的顶点时，与函数有两个交点， ∴直线与函数有三个交点时，； 【小问3详解】 解：①由平移得， 由得， 解得，， 把代入可得， 把代入可得， ∴点，， 当时， 解得：，（舍）， 则当时，直线与的交点的最大值与最小值均不随m的变化而变化 ∴m的取值范围是； ②， ∴点M在直线上，即， 由， 解得：， 把代入， 可得或， 由， 解得，不在B，C两点之间，不合题意， ∴m的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026 学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分为120分 考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 第一部分 选择题 （共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1. 下图由两个半圆组成的图形，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程，有两个相等实数根的是 （ ） A. B. C. D. 3. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，如图所示，则电流I与电阻R的函数关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，体育课上，小丽的铅球成绩是5.8米，小丽投掷的铅球落地点是（ ） A. A 点 B. B点 C. C点 D. D 点 5. 抛物线图象如图所示，则a，b，c的值分别满足（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 某公司在2025年末公示年度报告，第一、二季度利润保持平稳，均为40万元，从第三季度开始收益逐渐提升，到第四季度利润达90万元，如果设第三、第四两季度利润平均增长率为x，根据题意，可列方程为（） A. B. C. D. 7. 二次函数图象的性质，下列叙述正确的是（） A. 抛物线与x轴没有交点 B. 抛物线有最低点 C. 当时，y随x增大而减小 D. 当时，y随x增大而增大 8. 如图，要测量残缺圆形工件的半径，在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，利用一面墙，用40米长篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（ ） A B. C. D. 10. 如图，的周长是40，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点 M，N，分别以M，N为圆心大于 长为半径画弧，两弧交于点 D，作射线；再以C为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点P，Q，分别以P，Q为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点 G，过点 G作于点F， 若， 则的长度分别是（ ） A. 15， 11 B. 14， 12 C. 14， 11 D. 13， 12 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次函数经过两点，则一元二次方程的两个根是________． 12. 一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角是___度． 13. 已知a，b是一元二次方程的两个根，若以a，b为两条直角边作直角三角形，则斜边c的值是________． 14. 如图，中，，则的度数是_______． 15. 如图，平面直角坐标系中，点A 的坐标是，点B的坐标是，连接，将线段绕点 B 逆时针旋转点A 的对应点为C，连接并延长交x轴于点 D，则点 D 的坐标是___________ 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2）． 17. 如图，平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是点，点，点； （1）将 绕点 O 顺时针旋转 得到 ，在坐标系中画出图形，并分别写出对应点坐标； （2）以原点O为位似中心，在点O的异侧，画 ，使它与的相似比为 18. 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，边在坐标轴上，且点 A 的坐标是，反比例函数经过边的中点D， 与边交于点E， 连结； （1）求出函数的解析式； （2）证明：． 19. 如图，四边形是平行四边形，是的外接圆，连接并延长交于点E，连结并延长交边于点 F，已知； （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 20. 学习了相似的相关数学知识以后，老师布置了课后作业：查阅历史上相似学的典型应用．安安阅读了《周髀算经》，在这部中国最早的“测天量地”著作里，安安发现相似学大量用于测量，下面是安安关于“陈子模型”的学习笔记，请将表格补充完整，写出计算过程与结论： 测量目标 知道太阳的高低和大小 测量方法 使用圭表，利用影长测量人与太阳的距离：利用竹竿测量太阳直径． 测量一 图形 测量过程 已知：圭表高8尺，从太阳正下方无影之点直上到太阳距离（）为里，圭表距太阳正下方的距离（）为里．步骤：在观测点 A．当圭表（）上的影长（）为6尺时，计算观测人与太阳的距离．即的长（点C为太阳中心点）． 计算过程及结论： 图形 测量过程 测量二 已知：与上述测量同时同地，利用竹空（古代望远设备）．竹空筒长 （H到的距离）与竹空直径（） 的长度之比为． 步骤：观测人让太阳（）边缘恰好充满竹管的圆孔时可计算太阳的直径． 计算过程及结论： 21. 如图1，某农业种植户维修蔬菜大棚，准备在已有大棚的另一侧增加一个与原有大棚形状相同的育苗矮棚，经测试，原大棚立柱（）高为3米，以所在的直线为y轴，以水平地面为x轴建立如图所示坐标系（如图2），大棚靠近立柱一侧由三角形（）支架固定，另一侧由立柱（）固定，已知，，棚顶主体结构符合某二次函数抛物线，且C是最高点： （1）请求出该抛物线解析式，并注明取值范围； （2）如图2，新修建的育苗棚在靠近立柱的一侧同样由三角形支架（）固定，且，外侧固定的立柱，若棚顶是点E为最高点且形状相同的抛物线，种植户在立柱的左侧平整出宽的土地是否够用？通过计算说明． 22. 如图，是等腰直角三角形，且，，点D是边上动点，连结，将绕点C顺时针旋转得， （1）如图1，延长交延长线于点G，连结，求证：； （2）如图2，连结，若，求的值； （3）如图3，若与交于点N，与交于点M，连结，设，试求出四边形面积（用含m的式子表示）． 23. 如图1，二次函数与y轴交于点A，二次函数经过点A： （1）求函数的解析式； （2）直线与函数有三个交点，求出m的取值范围； （3）如图2，将函数向右平移8个单位得到函数，且函数与函数交于B，C两点，直线与交于点M； ①若直线与的交点的最大值与最小值均不随m的变化而变化，求m的取值范围； ②若点M位于B，C两点之间的封闭曲线内，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $