第01讲 直线的倾斜角与斜率（知识清单+3题型讲解举一反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册重难点讲义与测试

本高中数学讲义聚焦直线的倾斜角与斜率，系统梳理倾斜角的定义、范围及意义，斜率的概念、公式及与倾斜角的联系，构建从几何直观到代数表达再到实际应用的学习支架。 资料以“举一反三”题型设计为亮点，通过例题与变式题结合，如斜率与倾斜角变化关系、已知两点求斜率等，培养学生数学思维与应用意识。分层训练题辅助课中教学，助力课后查漏补缺，提升学习效果。

第01讲 直线的倾斜角与斜率 知识清单 知识点01：倾斜角的相关概念 知识点02：斜率的概念及斜率公式 知识点03：倾斜角和斜率的应用 题型讲解 （举一反三） 题型1：斜率与倾斜角的变化关系 题型2：已知两点求斜率 题型3：已知斜率求参数 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01．倾斜角的相关概念 1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 2．范围：[0，π） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°） 3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度． 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度 知识点02．斜率的概念及斜率公式 1．定义：当直线倾斜角α≠时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα． 2．斜率的求法 （1）定义：k＝tanα（α≠） （2）斜率公式：k＝． 3．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系： ①当α≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在； ②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大． 4.斜率与倾斜角的对应关系． 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α ＜180° 斜率 (范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) 注意点： (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0 知识点03倾斜角和斜率的应用 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 题型1：斜率与倾斜角的变化关系 【例1-1】直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·上海·月考）已知直线的一个法向量为，则直线的倾斜角 ． 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为 . 【变式1-3】设直线与轴的交点为，求将此直线绕点逆时针旋转角后所得到的直线的方程． 题型2：已知两点求斜率 【例2-1】已知与是直线(为常数)上异于坐标原点的两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（    ） A．无论､､如何，总是无解 B．无论､､如何，总有唯一解 C．存在､､，使之恰有两解 D．存在､､，使之有无穷多解 【变式2-1】（24-25高二下·上海·期中）已知一条直线经过点 、 ，则直线 的倾斜角是 . 【变式2-2】已知直线经过，，则直线的倾斜角大小为 ． 【变式2-3】已知三点、、共线，求点的坐标与所要满足的关系式． 题型3：已知斜率求参数 【例3-1】（24-25高二上·上海·期末）直线的斜率为，则实数的值为 . 【变式3-1】若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 【变式3-2】直线过，两点，且，则实数的值为 ． 【变式3-3】已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 一、填空题 1．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为 . 2．已知直线过点，则直线的斜率为 ． 3．（24-25高二上·上海浦东新·月考）已知斜率为的直线过点和，则实数的值为 ； 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）经过点、的直线的斜率为 . 5．已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为 ． 6．（24-25高二上·上海·期中）若直线的倾斜角的取值范围是，则其斜率的取值范围是 . 7．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线的倾斜角的大小为 8．已知点，，则直线的倾斜角 . 9．已知直线的斜率不存在，且，则直线的斜率为 . 10．（24-25高二下·上海·月考）若倾斜角为的直线过点和，则实数 . 11．直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是 . 12．（24-25高二下·上海·期中）已知函数在点处切线的斜率为，倾斜角为，则 . 二、单选题 13．已知直线与直线，若直线与直线的夹角为，则实数的值为（    ） A． B． C．或0 D．或 14．（24-25高二上·上海嘉定·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等； C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角． 15．已知下列命题：①直线的倾斜角为，则此直线的斜率为；②直线的斜率为，则直线的倾斜角为；③直线的倾斜角为，则.上述命题中不正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 16．直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．求一次函数所表示直线的斜率． 18．（24-25高二上·上海·课后作业）已知一条直线经过点、，求直线的斜率与倾斜角． 19．在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形，其中点为坐标原点，点、分别在轴和轴上，点在第一象限．求直线和的斜率，并讨论这两个斜率之间的关系． 20．（24-25高二上·上海普陀·月考）若直线经过两点，斜率为，倾斜角为. (1)用分别表示直线的斜率和倾斜角； (2)求的取值范围. 21．设直线l的方程是，其倾斜角为． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 直线的倾斜角与斜率 知识清单 知识点01：倾斜角的相关概念 知识点02：斜率的概念及斜率公式 知识点03：倾斜角和斜率的应用 题型讲解 （举一反三） 题型1：斜率与倾斜角的变化关系 题型2：已知两点求斜率 题型3：已知斜率求参数 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01．倾斜角的相关概念 1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 2．范围：[0，π） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°） 3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度． 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度 知识点02．斜率的概念及斜率公式 1．定义：当直线倾斜角α≠时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα． 2．斜率的求法 （1）定义：k＝tanα（α≠） （2）斜率公式：k＝． 3．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系： ①当α≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在； ②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大． 4.斜率与倾斜角的对应关系． 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α ＜180° 斜率 (范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) 注意点： (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0 知识点03倾斜角和斜率的应用 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 题型1：斜率与倾斜角的变化关系 【例1-1】直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助倾斜角与斜率的关系可得两直线的倾斜角，即可得其夹角. 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高二上·上海·月考）已知直线的一个法向量为，则直线的倾斜角 ． 【答案】 【分析】先由直线的法向量求出直线的方向向量，从而可求出直线的斜率，利用反三角函数进而可求出直线的倾斜角. 【详解】因为直线的一个法向量为，所以取直线的一个方向向量为 所以直线的斜率为 所以 ，所以 所以. 故答案为：. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据斜率的定义以及正切函数的单调性可得结论. 【详解】因为在上为增函数,所以, 因为在上为增函数,所以, 又时,直线的斜率不存在, 所以直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 【变式1-3】设直线与轴的交点为，求将此直线绕点逆时针旋转角后所得到的直线的方程． 【答案】答案见详解 【分析】根据题意可得点的坐标及直线的倾斜角为，从而可得所求直线与轴正方向的夹角为，再分和讨论即可求解． 【详解】由直线与轴的交点为，且其斜率为1， 所以直线的倾斜角为，即其与轴正方向的夹角为， 所以将直线绕点逆时针旋转角后所得到的直线与轴正方向的夹角为， 当时，所以所求直线的方程为； 当时，所以所求直线的方程为． 题型2：已知两点求斜率 【例2-1】已知与是直线(为常数)上异于坐标原点的两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（    ） A．无论､､如何，总是无解 B．无论､､如何，总有唯一解 C．存在､､，使之恰有两解 D．存在､､，使之有无穷多解 【答案】A 【分析】判断直线的斜率存在，当斜率为0时，方程组无解；当斜率不为0时，通过点在线上可得的关系，分析方程组即可. 【详解】与由题意可知，直线的斜率存在， 当时 ，又， 所以方程组无解； 当时，，且， 所以， 由得 因为 所以方程组无解. 综上所述，方程组无解. 故选 【点睛】求斜率可用k＝tanα (α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 【变式2-1】（24-25高二下·上海·期中）已知一条直线经过点 、 ，则直线 的倾斜角是 . 【答案】 【分析】根据斜率公式，即可求解. 【详解】，所以. 故答案为： 【变式2-2】已知直线经过，，则直线的倾斜角大小为 ． 【答案】 【分析】先由斜率坐标公式求解斜率，再求倾斜角. 【详解】因为直线经过，， 所以直线的倾斜角的斜率， 设直线的倾斜角为，则，则， 则直线的倾斜角. 故答案为：. 【变式2-3】已知三点、、共线，求点的坐标与所要满足的关系式． 【答案】 【分析】由题意易知直线的斜率，再分别讨论点与点是否重合，并计算斜率即可. 【详解】因为两点横坐标不同，所以直线的斜率是． 又由题设知，点在直线上，即与是同一条直线， 当点与点不重合时，两点的斜率与直线的斜率相等， 用两点坐标表示斜率得， 此时与要满足的关系式是，变形得． 当点与点重合时，点的坐标也满足上式． 所以，与满足的关系式是． 题型3：已知斜率求参数 【例3-1】（24-25高二上·上海·期末）直线的斜率为，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】根据斜率列方程，即可得到的值. 【详解】因为直线的斜率为， 所以，解得. 故答案为：. 【变式3-1】若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】结合倾斜角与斜率、两角和与差的正切公式求得正确答案. 【详解】设直线的倾斜角为、直线的倾斜角为， 由于的斜率为，即， 所以， 由于直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角不是，斜率存在，且斜率为. 所以，解得， 或，解得. 所以实数的值为或. 故答案为：或 【变式3-2】直线过，两点，且，则实数的值为 ． 【答案】/-3.2 【分析】直接利用斜率公式计算得到答案. 【详解】直线过，两点，，解得. 故答案为： 【变式3-3】已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】首先求出的斜率，再分、两种情况讨论，由得到不等式，解得即可. 【详解】因为、、， 所以， 当，即，此时，，，则的斜率不存在， 此时、、三点能构成一个三角形， 当，即时，， 要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得， 综上可得实数的取值范围. 一、填空题 1．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】利用直线斜率的定义式及直线斜率与倾斜角的关系式可得解. 【详解】由直线经过，两点， 则， 设直线的倾斜角为，， 则， 则， 故答案为：. 2．已知直线过点，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】根据斜率公式可求斜率. 【详解】直线的斜率为， 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海浦东新·月考）已知斜率为的直线过点和，则实数的值为 ； 【答案】2 【分析】由斜率公式求解即可 【详解】，可得 故答案为： 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）经过点、的直线的斜率为 . 【答案】 【分析】利用斜率公式可求得直线的斜率. 【详解】经过点、的直线的斜率为. 故答案为：. 5．已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为 ． 【答案】 【分析】根据倾斜角和斜率关系确定斜率范围即可. 【详解】当，斜率， 当，斜率不存在， 当，斜率， 综上，，则. 故答案为： 6．（24-25高二上·上海·期中）若直线的倾斜角的取值范围是，则其斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系求斜率范围. 【详解】由，则. 故答案为： 7．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线的倾斜角的大小为 【答案】 【分析】根据直线倾斜角和斜率关系即可得到答案. 【详解】根据其斜率为，设其倾斜角大小为，则， 因为，则. 故答案为：. 8．已知点，，则直线的倾斜角 . 【答案】 【分析】根据直线斜率与倾斜角关系可得解. 【详解】，， 直线的斜率为，即， . 故答案为：. 9．已知直线的斜率不存在，且，则直线的斜率为 . 【答案】0 【分析】由直线的倾斜角结合垂直关系得出直线的斜率. 【详解】直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为0，则斜率为0 故答案为：0 10．（24-25高二下·上海·月考）若倾斜角为的直线过点和，则实数 . 【答案】./. 【分析】根据直线斜率公式以及倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线斜率，则，解得. 故答案为：. 11．直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，斜率为，因为， 又因为，所以， 故答案为：. 12．（24-25高二下·上海·期中）已知函数在点处切线的斜率为，倾斜角为，则 . 【答案】/ 【分析】分子分母同时除以化弦为切，然后代入可得. 【详解】由题知，，，所以. 故答案为： 二、单选题 13．已知直线与直线，若直线与直线的夹角为，则实数的值为（    ） A． B． C．或0 D．或 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】的斜率为，所以其倾斜角为，直线恒过点,若直线与直线的夹角为，则的倾斜角为或者，所以斜率为或， 故选：C 14．（24-25高二上·上海嘉定·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等； C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角． 【答案】D 【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可. 【详解】对于:直线的倾斜角,,所以错误； 对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误； 对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误； 对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确. 故选：. 15．已知下列命题：①直线的倾斜角为，则此直线的斜率为；②直线的斜率为，则直线的倾斜角为；③直线的倾斜角为，则.上述命题中不正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据倾斜角、斜率的知识对个命题进行分析，由此确定正确答案. 【详解】①，时，直线的斜率不存在，①错误. ②，，直线的倾斜角为，不是，②错误. ③，当时，，③错误. 所以不正确的是①②③. 故选：D 16．直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意知,若 a = 0  ,则倾斜角为, 若,则, ①当时，(当且仅当时，取“”)， ②当时，(当且仅当时，取“”)， ，故， 综上，， 故选：C. 三、解答题 17．求一次函数所表示直线的斜率． 【答案】k 【分析】求出一次函数上的任意不同的两点坐标，应用两点式求直线斜率，即可得答案. 【详解】设一次函数表达式的图像是直线． 在函数解析式中，分别取及，得及． 所以点与点是直线上的两点． 依据斜率公式得直线的斜率为， 即一次函数的一次项系数就是其对应直线的斜率． 18．（24-25高二上·上海·课后作业）已知一条直线经过点、，求直线的斜率与倾斜角． 【答案】，． 【分析】利用两点的斜率公式求出斜率，从而得到倾斜角. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，，则， 从而． 19．在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形，其中点为坐标原点，点、分别在轴和轴上，点在第一象限．求直线和的斜率，并讨论这两个斜率之间的关系． 【答案】 【分析】根据已知建系，先根据两点求斜率公式求出斜率，最后找到斜率关系即可. 【详解】   如图建系， 20．（24-25高二上·上海普陀·月考）若直线经过两点，斜率为，倾斜角为. (1)用分别表示直线的斜率和倾斜角； (2)求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）计算，根据和两种情况得到倾斜角. （2），得到倾斜角范围. 【详解】（1）， 当或时，，； 当时，，； （2），所以. 21．设直线l的方程是，其倾斜角为． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由斜率与倾斜角的关系即可建立不等式求解； （2）分别讨论、，由斜率与倾斜角的关系即可求得 【详解】（1）当，斜率，解得； （2）i.时，，； ii.时，，斜率，， 综上， 1 学科网（北京）股份有限公司 $