精品解析：吉林省长春市南关区长春市第一0四中学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期九年级数学学科期末质量测试 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，同一条直线上的三个点都在平行线上．若，则的长是（ ） A. B. C. 1 D. 5. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 6. 当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：），那么该圆的半径为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上，和的长度分别是，．若扇形与扇形的面积相等，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①；②；③；④对于任意实数，都有；其中说法正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点的抛物线的表达式______． 10. 某设计运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下： 设计次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是__________（精确到)． 11. 如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是______． 12. 如图，在圆内接四边形中，对角线，，，则__________． 13. 如图1，将笔记本电脑平放在桌子上，当电脑闭合时，与重合；当电脑打开时，点运动的过程形成.如图2，若，，则的长是_______（结果保留）． 14. 如图，在正方形中，E、F分别在、边上，且，连接、相交于G点．则下列结论：①；②；③；④当E为中点时，连接，则，正确的结论是__________．（填序号） 三、解答题（共78分） 15. 计算：； 16. “白山松水，吉祥吉林”，冬季的吉林省银装素裹展芳华，2025年吉林省围绕“冰雪新消费·共享新未来”主题，全域联动开展瓦萨国际滑雪节、查干湖冬捕、雾凇冰雪节、长白山粉雪节等精彩活动．下面4张图片分别是A：瓦萨滑雪节；B：查干湖冬捕；C：雾凇冰雪节；D：长白山粉雪节的宣传图片，小鹿同学随机从这四张图片中抽出两张，请用画树状图或列表的方法求小鹿抽出的两张图片中有A瓦萨滑雪节图片的概率． A． B． C． D． 17. 如图，要建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，使养鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为a，另三边用竹篱笆围成．已知篱笆总长为40m．求养鸡场的长与宽各为多少米？ 18. 如图，A是的直径延长线上的一点，点B在上，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 19. 某校为庆祝建校周年，开展四项活动：项：猜谜语，项：校史宣讲，项：经典诵读，项：艺术展示，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______，条形统计图中项活动的人数是______，并补全条形统计图； （2）项活动所在扇形的圆心角的大小为______，扇形统计图中的值为______； （3）若该校约有名学生，请估计其中意向参加“校史宣讲”活动的人数． 20. 在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段，其中点在直线上．请用无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，在直线上找到一点，作，使得； （2）在图②中，在直线上找到一点，作，使得与图①相似； （3）在图③中，在直线上找到一点，作，使得． 21. 掷实心球是中考体育考试项目之一，图1是某男生投掷实心球的照片，图2是实心球掷出后的行进路线，可近似看成一条抛物线．已知该男生实心球掷出时的起点处距离地面高度为，当水平距离为时，实心球行进至距离地面最高点处．根据福建省中考体育考试评分标准（男生版），实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分．那么该男生在此项考试中能否得到满分，请说明理由． 22. 在综合实践课上，王老师组织同学们以“图形的旋转”“图形的折叠”为主题开展数学活动．下面是同学们进行相关问题的研究． 在中，．点为线段上一动点（不与、重合），以为顶点作，射线交线段于点，将射线绕点顺时针旋转交射线于点，连接． （1）【特例感知】如图①，当时，可知：________； （2）【类比探究】如图②， ①猜想：________，________； ②求证：； （3）【问题探究】当，时，当为直角三角形时，________； （4）【拓展探究】当，时，点关于射线的对称点为，线段长度的最小值为________． 23. 如图，，点是的边上一点，．点、分别是射线、射线上的动点，．点是线段的中点，连结，过点作的垂线，当该垂线与射线有交点时，记交点为，以、为邻边作矩形． （1）的值是______； （2）当时，求的长； （3）当四边形是正方形时，求的值（求出一个即可）； （4）当点在线段上，且矩形与重合部分的图形是轴对称图形时，直接写出的取值范围． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）的顶点坐标为．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m，点B、C为抛物线与x轴的交点（点B在点C的左侧）． （1）求b、c的值． （2）当的面积为1时，求点A的坐标； （3）当时，，则m的取值范围为______； （4）过点B作x轴的垂线l，过点A作于点P，点Q在直线l上，且点Q的纵坐标为，以AP、PQ为边作矩形，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期九年级数学学科期末质量测试 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出m的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 4. 五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，同一条直线上的三个点都在平行线上．若，则的长是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，从而根据比例的性质可求出的长． 【详解】解：五条平行横线的距离都相等， ， ， ， 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的关系；依题意，关于的方程的根即抛物线与的交点的横坐标，根据函数图象即可求解． 【详解】解：依题意，与无交点，即关于的方程的根的情况为没有实数根， 故选：D． 6. 当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：），那么该圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，设圆的圆心为O点，⊙O与刻度尺的一边相交于点A、B，与另一边相交于点C，连接OC，OA，如图，cm，根据切线的性质得到刻度尺的一边，所以，根据平行线的性质得到cm，cm，设⊙O的半径为rcm，在中利用勾股定理得到，，然后解方程即可，熟练利用垂径定理是解题的关键． 【详解】解：设圆的圆心为O点，与刻度尺的一边相交于点A、B，与另一边相交于点C，连接OC，OA，如图，， ∵刻度尺的一边与圆相切， ∴刻度尺的这一边， ∵刻度尺的两边平行， ∴， ∴，， 设⊙O的半径为， 在中，， 解得，即该圆的半径为． 故选：B 7. 如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上，和的长度分别是，．若扇形与扇形的面积相等，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积公式，即等于弧长与半径乘积的一半．设大圆半径为，小圆半径为，得到，则，即可得答案． 【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为， 则扇形的面积，扇形的面积， ∵扇形与扇形的面积相等， ∴， ∵ ∴， 即， 故选：B 8. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①；②；③；④对于任意实数，都有；其中说法正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据图象分别求出a、b、c的符号，即可判断①，根据对称轴求出，即可判断②，把代入二次函数的解析式，再根据图象及即可判断③，当时，的值最小，可得，据此即可判断④． 【详解】解：二次函数的图象开口向上， ， 二次函数的图象交y轴的负半轴于一点， ， 对称轴为直线， ， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 当时，， ， ，即，故③正确； 当时，的值最小， ， 对于任意实数，都有，故④正确； 即①②③④都正确，正确的有4个， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点的抛物线的表达式______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．写出一个二次函数，使其二次项系数为正数，常数项为即可． 【详解】解：根据题意得：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 10. 某设计运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下： 设计次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是__________（精确到)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，首先根据表格分别求出每一次实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由频率分布表可知，随着射击次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近， 估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是（精确到)． 故答案为：． 11. 如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，，， ∴， ∴， ∴点M对应的数是：； 故答案为：． 12. 如图，在圆内接四边形中，对角线，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定、勾股定理，先根据圆内接四边形的性质求得，再利用三角形的内角和定理和等腰三角形的判定得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在圆内接四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图1，将笔记本电脑平放在桌子上，当电脑闭合时，与重合；当电脑打开时，点运动的过程形成.如图2，若，，则的长是_______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式计算可得． 【详解】解：的长为：， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，E、F分别在、边上，且，连接、相交于G点．则下列结论：①；②；③；④当E为中点时，连接，则，正确的结论是__________．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①由“”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，由面积和差关系可得； ③通过证明，可得，可得结论； ④通过证明点D，点E，点G，点F四点共圆，可证． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴S△BCE＝S△CDF， ∴；故②正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；故③正确； 如图，连接， ∵点E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点D，点E，点G，点F四点共圆， ∴，故④正确； 综上所述：正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 三、解答题（共78分） 15. 计算：； 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、零次幂、二次根式的性质、绝对值等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先用零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 16. “白山松水，吉祥吉林”，冬季的吉林省银装素裹展芳华，2025年吉林省围绕“冰雪新消费·共享新未来”主题，全域联动开展瓦萨国际滑雪节、查干湖冬捕、雾凇冰雪节、长白山粉雪节等精彩活动．下面4张图片分别是A：瓦萨滑雪节；B：查干湖冬捕；C：雾凇冰雪节；D：长白山粉雪节的宣传图片，小鹿同学随机从这四张图片中抽出两张，请用画树状图或列表的方法求小鹿抽出的两张图片中有A瓦萨滑雪节图片的概率． A． B． C． D． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中小鹿抽出的两张图片中有A瓦萨滑雪节图片的结果数有6种， ∴小鹿抽出的两张图片中有A瓦萨滑雪节图片的概率是． 17. 如图，要建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，使养鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为a，另三边用竹篱笆围成．已知篱笆总长为40m．求养鸡场的长与宽各为多少米？ 【答案】当0＜a＜10时，问题无解；当10≤a＜30时，问题有一解，即宽为10m，长为15m；当a≥30时，问题有两解，即宽为10m，长为15m或宽为5m，长为30m 【解析】 【分析】本题的等量关系是：与墙垂直的一面×与墙平行的一面=长方形的面积，设垂直墙的一边为xm，由题意得x（40﹣2x）＝150，解方程即可求出题目结果． 【详解】解：如图，设垂直于墙的一边为xm， 由题意得x（40﹣2x）＝150， 解得x1＝15，x2＝5． 当x＝15时，40﹣2×15＝10； 当x＝5时，40﹣2×5＝30， ∴当0＜a＜10时，问题无解； 当10≤a＜30时，问题有一解，即宽为10m，长为15m； 当a≥30时，问题有两解，即宽为10m，长为15m或宽为5m，长为30m的鸡场． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题时一定要结合实际，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 18. 如图，A是的直径延长线上的一点，点B在上，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：如图：连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是的切线． （2）6 【解析】 【分析】（1）如图：连接，先根据三角形内角和定理可得，再说明，然后再说明即可证明结论； （2）如图：过B作,垂足为E，先根据直角三角形的性质求得，再由勾股定理求得，然后再说明三角形是等腰三角形，最后根据等腰三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：过B作，垂足为E ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的证明、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解答本题的关键． 19. 某校为庆祝建校周年，开展四项活动：项：猜谜语，项：校史宣讲，项：经典诵读，项：艺术展示，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______，条形统计图中项活动的人数是______，并补全条形统计图； （2）项活动所在扇形的圆心角的大小为______，扇形统计图中的值为______； （3）若该校约有名学生，请估计其中意向参加“校史宣讲”活动的人数． 【答案】（1）40，6人，图见解析 （2），10 （3）估计其中意向参加“校史宣讲”活动的人数810人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体、样本容量等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用项的人数除以其所占的百分比即可得样本容量；利用样本容量乘以项的人数所占的百分比即可得项的人数，据此补全条形统计图即可得； （2）利用乘以项的人数所占的百分比即可得其圆心角的度数；利用项的人数除以样本容量可得，由此即可得的值； （3）利用该校学生的总人数乘以意向参加“校史宣讲”活动的人数所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是， 条形统计图中项活动的人数是（人）． 则补全条形统计图如下： 故答案为：40，6人； 【小问2详解】 解：项活动所在扇形的圆心角的大小为， ， 则， 故答案为：，10． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计其中意向参加“校史宣讲”活动的人数810人． 20. 在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段，其中点在直线上．请用无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，在直线上找到一点，作，使得； （2）在图②中，在直线上找到一点，作，使得与图①相似； （3）在图③中，在直线上找到一点，作，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值； （1）根据轴对称的性质画出使得，即可画出 （2）根据两边成比例，夹角相等，得出，进而画出， （3）根据可得，结合网格作等腰，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求 【小问2详解】 解：如图，即为所求 ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，即为所求 ∵，， ∴， ∴． 21. 掷实心球是中考体育考试项目之一，图1是某男生投掷实心球的照片，图2是实心球掷出后的行进路线，可近似看成一条抛物线．已知该男生实心球掷出时的起点处距离地面高度为，当水平距离为时，实心球行进至距离地面最高点处．根据福建省中考体育考试评分标准（男生版），实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分．那么该男生在此项考试中能否得到满分，请说明理由． 【答案】 解：该男生在此项考试中不能得满分，理由如下： 根据题意设y关于x的函数表达式为， 把代入解析式可得：，解得：， ∴y关于x的函数表达式为； 令，则，解得：（舍去）， ∵． ∴该男生在此项考试中不能得满分． 【解析】 【分析】先根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式，令，求得该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，然后与标准对比即可解答． 【详解】略 【点睛】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，理解题意把函数问题转化为方程为题是解答本题的关键． 22. 在综合实践课上，王老师组织同学们以“图形的旋转”“图形的折叠”为主题开展数学活动．下面是同学们进行相关问题的研究． 在中，．点为线段上一动点（不与、重合），以为顶点作，射线交线段于点，将射线绕点顺时针旋转交射线于点，连接． （1）【特例感知】如图①，当时，可知：________； （2）【类比探究】如图②， ①猜想：________，________； ②求证：； （3）【问题探究】当，时，当为直角三角形时，________； （4）【拓展探究】当，时，点关于射线的对称点为，线段长度的最小值为________． 【答案】（1） （2）①、90； ②由①知，即， ∵， ∴， ∴， ∴． （3） （4）2 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，从而求得，即可得，所以，最后由即可得出结论． （2）①猜想：，，先证明O、C、B、E四点共圆，即可主得，，即可得出，从而求得； ②证明，即可得出结论． （3）当为直角三角形时，则，再证明四边形为矩形，得到，，然后证明，得到，又，，求得，则，从而得出，求解即可． （4）根据点A、F关于对称，点C在上运动，所以点F在以点O为圆心为半径的圆上，所以当点B在半径上时，最小，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由旋转可得：， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 在与中， ， ∴； 【小问2详解】 解：①猜想：，， 理由：由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴O、C、B、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略 【小问3详解】 解：当为直角三角形时， 由（2）①知， 又与相交于C， ∴， ∴， ∵， ∴， 由由（2）①知：O、C、B、E四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：∵点A、F关于对称，点C在上运动， ∴点F在以点O为圆心为半径的圆上，如图， 连接 ∵， ∴当点B在半径上时，最小， 此时， ∴线段长度的最小值为2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角开遥判定与性质，四点共圆，圆周角性质，最短距离问题，矩形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．此题综合性强，属中考压轴题目． 23. 如图，，点是的边上一点，．点、分别是射线、射线上的动点，．点是线段的中点，连结，过点作的垂线，当该垂线与射线有交点时，记交点为，以、为邻边作矩形． （1）的值是______； （2）当时，求的长； （3）当四边形是正方形时，求的值（求出一个即可）； （4）当点在线段上，且矩形与重合部分的图形是轴对称图形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或3 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解决问题的关键是分类推论． （1）根据，得出结果； （2）设于，设，则，可得出，从而，从而得出，根据列出方程，进一步得出结果； （3）设，则，当在的延长线上时，作，交的延长线于，可证得，从而，，进而根据，得出，从而表示出和及，进一步得出结果；同样得出当点在上时的情形； （4），当矩形与△重合部分的图形是矩形时，符合条件，得出临界：当点在上时，点在处时的结果和当在上时的结果，进而得出的范围． 【小问1详解】 解：（1）， ， ， 点是的中点， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 如图1， 设于，设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图2， 设，则， 当在的延长线上时， 作，交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图3， 当点在上时， 作于， 同理可证， ，， ， ， 综上所述：或3； 【小问4详解】 当矩形与△重合部分的图形是矩形时，符合条件， 当点在上时，点在处时， 如图， 当在上时， 与平行， ， ， ， 如图， 设交于， 当时中点时，四边形是轴对称图形， 此时， 作，交于，作于，作于， ， 且，，，，， ， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 综上所述：或． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）的顶点坐标为．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m，点B、C为抛物线与x轴的交点（点B在点C的左侧）． （1）求b、c的值． （2）当的面积为1时，求点A的坐标； （3）当时，，则m的取值范围为______； （4）过点B作x轴的垂线l，过点A作于点P，点Q在直线l上，且点Q的纵坐标为，以AP、PQ为边作矩形，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），； （2）点A的坐标为或或； （3）； （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标公式，即可求解； （2）先求出，再结合，即可得到答案； （3）由图可知：时，，进而即可得到答案； （4）分三种情况讨论，①当点A在对称轴右侧时，，②当点A在对称轴左侧时，，③时，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线（b、c是常数）的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：抛物线， 令，解得：， ∴， ∴， ∴的面积=， ∴， ∴，解得：， ∴点A的坐标为或或； 【小问3详解】 解：令， 则， ∵，由图可知：， ∵当时，， ∴； 【小问4详解】 解：①当点A在对称轴上或右侧时，，则， 此时点Q在x轴上或下方，抛物线在矩形内部，y随x得增大而增大， 当时，无重合； ②当点A在对称轴左侧时，，则，此时无重合； ③时，， ，解得， ∴当时，y随x得增大而增大， 当时，y随x得增大而减小， 综上所述：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数得图形和性质，掌握待定系数法以及数形结合的思想方法是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $