精品解析：黑龙江省大庆市景园中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

大庆市景园中学2025—2026学年度第一学期 初四年级期末考试数学试题 2026/1 考生注意： 1、考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2、答题注意事项：答题前，考生先将自己的姓名、准考证号在试卷、答题卡相应位置填涂清楚．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4、考试时间120分钟． 5、全卷共28道题，总分120分． 一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 3和 B. 3和 C. 和 D. 3和 2. 黄金是自然界中延展性最好的金属，最薄的金箔厚度为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 随着人们健康生活理念增强，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 由7个相同的小正方体组成的一个几何体如图所示，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 圆锥的底面半径为，母线长，则它的侧面展开图的圆心角度数是（ ） A. B. C. D. 7. 一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 八边形 C. 十边形 D. 十二边形 8. 某校为了解九年级学生综合成绩情况，随机抽取8名学生，其综合成绩如下（单位：分）：692，693，692，694，694，693，695，691．对这组数据判断正确的是（ ） A. 平均数为693，方差为 B. 平均数为693，众数为694 C. 中位数为693，方差为 D. 众数为692，693，694，平均数为693.5 9. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象经过点，则值为（ ） A. B. C. 7 D. 9 10. 如图，在矩形中，，点和点是平面内两动点，满足，且，则线段长度取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：___________． 12. 若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是_____． 13. 已知函数，当时，y的最大值是______． 14. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余辆车没人坐；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，则可列方程______． 15. 如图所示，正方形中阴影部分面积是___________．（结果保留） 16. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是______． 17. 关于x的不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a之和是__． 18. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标3倍的点，则把该函数称为“三倍函数”，该点称为“三倍点”．例如“三倍函数”，其“三倍点”为．下列说法错误的序号为_______． ①函数都不是“三倍函数”； ②在的范围内，若函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则的取值范围为； ③若函数的图象上存在“三倍点”和，令，则的最小值为； ④若函数的图象上存在唯一的一个“三倍点”，且当时，的最小值为，则的值为． 三、解答题（本题10小题，共66分） 19. 计算：|﹣3|+（﹣1）2019×（π﹣3）0﹣+（）﹣2 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A，B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，求两种机器人每小时分别搬运多少原料？ 22. 如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，求建筑物AB的高度．（注：结果保留到0.1，≈1.414，≈1.732） 23. 某校为了解本校初三毕业生数学学业水平，随机抽取了若干名初三学生的数学测试成绩，按A、B、C、D四个等级进行统计分析，并绘制了如下尚不完整的统计图：某校初三毕业生数学学业水平人数条形统计图 某校初三毕业生数学学业水平人数分布扇形统计图人数 请根据以上统计图提供信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生有　 　名； （2）补全条形统计图1； （3）在抽取的学生中C级人数所占的百分比是　 　； （4）根据抽样调查结果，请你估计该校720名初中毕业生数学质量检测成绩为A级的人数． 24. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE=AC． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，，与y轴相交于点C，点D与点C关于x轴对称． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出：不等式的解集是______． （3）求的面积． 26. 一工厂今年六月份生产了500个某产品，产品热销后，该工厂增大生产量，八月份生产了720个该产品． 若工厂每月生产该产品的数量的月增长率相同． （1）求工厂每月生产该产品的数量的月增长率； （2）已知某商店销售该产品，平均每天可销售个，每个盈利元，每降价元，每天可多售个．那么降价多少元时，每天销售该产品的利润最大？最大利润为多少元？ 27. 如图，是的直径，是的切线，为切点，的延长线交于点，连接，且，交于，连接． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的长． 28. 抛物线的顶点坐标为，与轴交于点两点，与轴交于点，点是抛物线上的动点． （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点在直线上方抛物线上，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，在抛物线对称轴上，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市景园中学2025—2026学年度第一学期 初四年级期末考试数学试题 2026/1 考生注意： 1、考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2、答题注意事项：答题前，考生先将自己的姓名、准考证号在试卷、答题卡相应位置填涂清楚．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4、考试时间120分钟． 5、全卷共28道题，总分120分． 一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A 3和 B. 3和 C. 和 D. 3和 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，根据定义判断即可． 【详解】解：A.3和不是相反数，故该项不符合题意； B.3和是相反数，故该项符合题意； C.和不是相反数，故该项不符合题意； D.3和，不是相反数，故该项不符合题意； 故选：B． 2. 黄金是自然界中延展性最好的金属，最薄的金箔厚度为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 随着人们健康生活理念的增强，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义“把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形”逐项判断解答即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 4. 由7个相同的小正方体组成的一个几何体如图所示，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上往下看求解即可． 【详解】解：根据俯视图是从上往下看可知题干组合体的俯视图是， 故选：D 5. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 6. 圆锥的底面半径为，母线长，则它的侧面展开图的圆心角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的底面半径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用已知的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可. 【详解】圆锥的底面半径为 圆锥的侧面展开扇形的弧长为 母线长 圆锥的侧面展开扇形的面积为 解得， 侧面展开图的圆心角度数为 故答案选A． 【点睛】本题考查圆锥底面半径，侧面积，明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的侧面关系解题的关键． 7. 一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 八边形 C. 十边形 D. 十二边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式可得（n﹣2）•180°＝360°，解方程即可 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得（n﹣2）•180°＝360°， 解得n＝10， ∴这个多边形为十边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理与外角和的应用，解题的关键是掌握多边形内角和公式：（n﹣2）•180°． 8. 某校为了解九年级学生的综合成绩情况，随机抽取8名学生，其综合成绩如下（单位：分）：692，693，692，694，694，693，695，691．对这组数据判断正确的是（ ） A. 平均数为693，方差为 B. 平均数为693，众数为694 C. 中位数为693，方差为 D. 众数为692，693，694，平均数为693.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差的概念及计算，解决本题的关键是熟练掌握以上概念并正确计算． 计算数据的平均数、众数、中位数和方差，与选项对比即可． 【详解】解：数据排序后为：691， 692， 692， 693， 693， 694， 694， 695， ∵ 平均数为； 众数为出现次数最多的数，692、693、694均出现2次， ∴众数为692， 693， 694； 中位数为； 方差为 ； 选项C中位数为693，方差为，正确． 故选：C． 9. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象经过点，则值为（ ） A. B. C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及求反比例函数的比例系数，作轴，证推出得，即可进一步推出点的坐标，即可求解； 【详解】解：作轴，如图所示： 则， ∴； ∵， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设点， ∵，，，为矩形的四个顶点， ∴，解得， ∴， ∴； 故选：B 10. 如图，在矩形中，，点和点是平面内两动点，满足，且，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质．先求得，取的中点O，点P在以O为圆心，为直径的上，连接交于点P，此时最小，延长交于点P，此时最大，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，取的中点O， ∴， ∴点P在以O为圆心，为直径的上，连接交于点P，此时最小，延长交于点P，此时最大， ∵矩形中，， 在中， ∵，，， ∴． ∴， ∵， 当点和点都在矩形内时，线段长度有最小值， 当点和点都在矩形外时，线段长度有最大值， ∴． 故选：D． 二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． 直接提取公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 13. 已知函数，当时，y的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的增减性，利用增减性即可求出最大值． 【详解】一次函数中，，y随x增大而减小． 故当时，． 故答案为：． 14. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余辆车没人坐；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据人数不变，即可得出关于的一元一次方程，然后即可求解； 【详解】解：根据人数不变，即可得出关于的一元一次方程为： ． 故答案为：． 15. 如图所示，正方形中阴影部分的面积是___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积是边长的平方，圆的面积是，由图可知，圆内空白处的面积等于以为半径的圆面积的减去以为半径的圆面积的，那么阴影部分的面积等于正方形面积减去空白处的面积，据此列式解答即可． 本题主要考查了求不规则图形的面积，熟练掌握扇形、半圆和正方形的面积公式是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 16. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子的个数依次增加2是解题的关键．根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 当时，（个）， 即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个． 故答案为：22． 17. 关于x的不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a之和是__． 【答案】8 【解析】 【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出的值，由此即可求得答案． 【详解】解：解不等式组得：， 由解集为x≤a，得到a≤7， 分式方程去分母得：y﹣a+3y﹣4＝y﹣2， 即3y＝a+2， 解得：y＝， ∵y为正数， ∴， 解得， ∵y≠2， ∴， 解得a≠4， ∴a的取值范围为－2＜a≤7且a≠4， 又∵y为正整数， ∴a＝1，7， 满足条件的整数a的和为1+7＝8． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了解分式方程以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标3倍的点，则把该函数称为“三倍函数”，该点称为“三倍点”．例如“三倍函数”，其“三倍点”为．下列说法错误的序号为_______． ①函数都不是“三倍函数”； ②在的范围内，若函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则的取值范围为； ③若函数的图象上存在“三倍点”和，令，则的最小值为； ④若函数的图象上存在唯一的一个“三倍点”，且当时，的最小值为，则的值为． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程综合. ①根据定义进行判断即可； ②由题意得，“三倍点”所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出； ③由定义可得，再由判别式，求出，根据根与系数的关系可得，当时，有最小值； ④由定义可得，由题意可知，得到，根据当时，当时，有最小值求出的值；当时，当时，有最小值求出的值；当时，当时，有最小值，求出的值，即可得解； 【详解】①：根据定义可得，无解； ：根据定义可得， 即，无解； ：根据定义可得 即 解得， ∴“三倍点”为， 故函数是“三倍函数”，①错误； ②∵在的范围内，若函数的图象上至少存在一个“三倍点”， ∴ 整理得 ∵函数的图象上至少存在一个“三倍点”， ∴， 即， ∵函数对称轴为直线， ∴当时，或当时， 解得或 综上，c的取值范围为：，②正确； ③解：∵抛物线上存在“三倍点”， ∴ 整理得： 由题意可知： 解得： 由一元二次方程根与系数的关系可知： ， ∴ ∵当时，随的增大而减小； ∴当时，有最小值； 此时，，③正确； ④∵函数的图像上存在唯一的一个“三倍点” ∴关于的方程有两个相等的实数根； 整理得：， ∴ ∴ 当时； 存在时，有最小值 最小值为： ∴ 解得： 当时 存在时，有最小值 最小值为： ∴ 解得，（舍） 当时 存在时，有最小值 最小值为： ∴ 整理得： 该方程无实数根； 综上所述：的值为或，④错误； 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，根与系数的关系，弄清新定义是解题的关键． 三、解答题（本题10小题，共66分） 19. 计算：|﹣3|+（﹣1）2019×（π﹣3）0﹣+（）﹣2 【答案】3 【解析】 【分析】根据实数的性质进行化简即可求解. 【详解】|﹣3|+（﹣1）2019×（π﹣3）0﹣+（）﹣2 =3-1×1-3+4 =3-1-3+4 =3 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质. 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是首先将括号里面通分，再将分子与分母分解因式，将除法转化为乘法，约分得到最简结果，最后把m的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 21. 2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A，B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，求两种机器人每小时分别搬运多少原料？ 【答案】A种机器人每小时搬运90kg原料，B种机器人每小时搬运60kg原料 【解析】 【分析】设B种机器人每小时搬运xkg原料，则A种机器人每小时搬运（x+30）kg原料，由题意：A型机器人搬运750kg所用时间与B型机器人搬运500kg所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设B种机器人每小时搬运xkg原料，A种机器人每小时搬运（x＋30）kg原料． 根据题意，得﹒ 解这个方程，得x＝60． 经检验，x＝60是方程的解，且符合题意． x＋30＝90． 答：A种机器人每小时搬运90kg原料，B种机器人每小时搬运60kg原料． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 22. 如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，求建筑物AB的高度．（注：结果保留到0.1，≈1.414，≈1.732） 【答案】建筑物AB的高度约为136.6米 【解析】 【分析】由题意可知，在△ABC和△ABD中，∠ABC=∠ABD=90°，设AB=x米，则由已知条件易得BC=x米，BD=x+100（米），这样在△ABD中，由tan∠D==tan30°即可列出关于x的方程，解方程即可求得AB的长. 【详解】由题意可知，在△ABC和△ABD中，∠ABC=∠ABD=90°， 设AB=x米， 在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°， ∴BC=AB=x米，则BD=BC+CD=x+100（米）， 在Rt△ABD中，∵∠ADB=30°， ∴tan∠D==tan30°，即 解得：x=（米）. 即建筑物AB的高度约为136.6米． 【点睛】本题解题要点有以下两点：（1）读懂题意，能由设AB=x结合已知条件得到BD=x+100；（2）熟悉直角三角形中边角间的关系，并能由tan∠D==tan30°结合已知条件得到方程：. 23. 某校为了解本校初三毕业生数学学业水平，随机抽取了若干名初三学生的数学测试成绩，按A、B、C、D四个等级进行统计分析，并绘制了如下尚不完整的统计图：某校初三毕业生数学学业水平人数条形统计图 某校初三毕业生数学学业水平人数分布扇形统计图人数 请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生有　 　名； （2）补全条形统计图1； （3）在抽取的学生中C级人数所占的百分比是　 　； （4）根据抽样调查结果，请你估计该校720名初中毕业生数学质量检测成绩为A级的人数． 【答案】（1）100；（2）见解析；（3）30%；（4）144. 【解析】 【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数； （2）根据（1）中的答案可以求得B等级的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）C等级人数除以总人数即可得； （4）总人数乘以样本中A级人数所占百分比可得． 【详解】（1）由题意可得，本次抽取的学生有：20÷20%＝100（名）， 故答案为100； （2）B等级的学生有：100﹣20﹣30﹣25＝25（名）， 补全的条形统计图如右图所示： （3）在抽取的学生中C级人数所占的百分比是 ×100%＝30%， 故答案30%； （4）估计该校720名初中毕业生数学质量检测成绩为A级的人数为720×20%＝144人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 24. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE=AC． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长． 【答案】（1）详见解析；（2）16. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件推知四边形BCED是平行四边形，则对边相等：CE=BD，依据等量代换得到对角线AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形； （2）通过勾股定理求得BD的长度，再利用四边形BCED是平行四边形列式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥BC． ∵CE∥BD， ∴四边形BCED是平行四边形． ∴CE=BD． ∵CE=AC， ∴AC=BD． ∴□ABCD是矩形． （2）解：∵□ABCD是矩形，AB=4，AD=3， ∴∠DAB=90°，BC=AD=3， ∴． ∵四边形BCED是平行四边形， ∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）=2×(3+5)=16． 【点睛】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，，与y轴相交于点C，点D与点C关于x轴对称． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出：不等式的解集是______． （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）x＜－1 （3）3 【解析】 【分析】（1）先把B坐标代入中求得m值，进而求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点A坐标，再由A、B两点的坐标可得k、b的值； （2）根据图象，求得在x轴上方且一次函数图象位于反比例函数的图象上方部分的横坐标的取值范围即可求解； （3）先求出点C、D坐标，再利用三角形面积公式可求得△ABD的面积． 【小问1详解】 解：将代入中，得：m=－2， ∴反比例函数的解析式为； 将代入中，得：n=2，∴A（－1，2）， 将A（－1，2）、代入中，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于，当y=0时，x=1，则函数与x轴的交点坐标为（1，0）， 由图可知，当x＜－1时，， 故答案为：x＜－1； 【小问3详解】 解：对于，当x=0时，y=1，∴C（0，1）， ∵点D与点C关于x轴对称， ∴D（0，－1），又A（－1，2）、 ∴△ABD的面积为 =3． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，坐标与图形，掌握图象交点的坐标满足两个函数解析式并会利用数形结合思想求解不等式的解集是解题的关键． 26. 一工厂今年六月份生产了500个某产品，产品热销后，该工厂增大生产量，八月份生产了720个该产品． 若工厂每月生产该产品的数量的月增长率相同． （1）求工厂每月生产该产品的数量的月增长率； （2）已知某商店销售该产品，平均每天可销售个，每个盈利元，每降价元，每天可多售个．那么降价多少元时，每天销售该产品的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）该工厂每月生产产品数量的月增长率为 （2）该工厂每月生产产品的月增长率为，降价18元时，每天销售的利润最大，最大利润为2420元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的实际应用，理解题意，正确列出一元二次方程及二次函数是解此题的关键． （1）设该工厂每月生产产品数量的月增长率为，则七月份生产了个某产品，八月份生产了个某产品，由此即可列出方程，解方程即可得到答案； （2）设每个产品降价元，总利润为元，根据总利润每个的销售利润日销售量，列出关于的函数关系式，再根据函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设该工厂每月生产产品数量的月增长率为， 依题意得：， 解得：，（舍去）， 答：该工厂每月生产产品数量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设每个产品降价元，总利润为元， 依题意得：， ∴当时，有最大值，最大值为2420 答：该工厂每月生产产品的月增长率为，降价18元时，每天销售的利润最大，最大利润为2420元． 27. 如图，是的直径，是的切线，为切点，的延长线交于点，连接，且，交于，连接． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数. （1）证明，得到，再根据是的切线，得到，即可证明结论； （2）根据是的直径得到，证明，得到，即，进而可证； （3）根据三角函数求出的值，从而得到，证明，再证明，得到，求出，进而求出，再根据，证明，得到，即，即可得到的长． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得：． 28. 抛物线的顶点坐标为，与轴交于点两点，与轴交于点，点是抛物线上的动点． （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点在直线上方抛物线上，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，在抛物线对称轴上，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，故优先用顶点式设解析式；再将交点代入顶点式，解出参数的值，进而得到抛物线的解析式(可展开为一般式)； （2）过作轴交于，用含的代数式表示，然后利用，故，最后求得最大值和此时点的坐标即可； （3）设点的坐标为，分点在直线上、下方两种情况，以为内角构造等腰直角三角形，利用三角形全等得到线段关系，最后再利用三角形相似得到方程，结合图形对方程的根进行取舍即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为． 又∵抛物线过点， 将代入得：，即，解得． ∴抛物线的函数表达式为，展开得； 【小问2详解】 解：对于抛物线， 令，则，解得或， ∴； ∵，则， ∴． 设直线的解析式为，将、代入得： ，解得， ∴直线的解析式为． 设点()，如图，过作轴交于，则 ，解得， ∴， ∴． ∵轴， ∴， ∴． ∵， ∴当时，的最大值为，此时； 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或． ①当点在直线上方时，如图，过点作交延长线于点，过点作轴交轴于点，过点作交延长线于点，交轴于点，抛物线的对称轴与轴交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点，点的横坐标为， 则， ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入整理得， 解得或（，舍去）， 则点的坐标为． ②当点在直线下方时，如图，过点作交延长线于点，过点作轴的垂线，过点作于点，过点作于点，抛物线的对称轴与轴交于点， 同理，， ∴， 设点，点的横坐标为， 则，, ∵, ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 把代入整理得， 解得（正值舍去）或， 则点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，角的存在性问题，全等三角形的判定与性质，根据构建“三线垂直”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $