精品解析：吉林省吉林市永吉县2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025—2026学年度第一学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共22道小题．共6页．全卷满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（本题共6小题，每题3分，共18分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（　　） A. 25×10﹣5米 B. 25×10﹣6米 C. 2.5×10﹣5米 D. 2.5×10﹣6米 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 详解】解：0.0000025=2.5×10-6． 故选：D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 若分式有意义，则满足的条件是（ ） A. ≠0 B. ≠2 C. ≠3 D. ≥3 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分式的分母不等于0，即可求解． 【详解】解：根据题意得：x-3≠0， 解得x≠3． 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键． 4. 在下列运算中，计算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方的运算法则求解即可． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方的知识，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则． 5. 如图，相交于点O，，要使，则下列添加的条件中，错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是关键．观察图形可知：已有一角一边对应相等．根据三角形全等的判定方法解答． 【详解】解：， ∴A、如果添加，则可根据判定； B、如果添加，则可根据判定； C、如果添加，则可根据判定； D、如果添加，则根据不能判定． 故答案为：D． 6. 如图，在中，，，P是上的一个动点，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质等．先求出，再根据三角形外角的性质得出的范围，进而得出答案． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴， ∴度数可能是． 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 因式分解的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． 提取公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查计算能力，正确掌握零次幂的定义，负整数指数幂的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 分式的值为0，则m＝______； 【答案】4 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，即可求出答案． 【详解】由题意可知：， 解得：， 故答案为：4 【点睛】本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型． 10. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，则点到的距离为______． 【答案】##2.5## 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，直角三角形中角所对的边是斜边的一半，解决此题的关键是要能判断出角平分线．根据题意判断平分，在根据含直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，作于点G，即， ∵， ∴， 由题意可知：平分， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB=5，AC=4，BC=6，则△APC周长的最小值是________． 【答案】9 【解析】 【分析】直线m与AB的交点为P，此时△APC的周长有最小值为AB+AC． 【详解】解：直线m与AB的交点为P， ∵直线m是BC边的垂直平分线， ∴BP=CP， ∴AP+PC=BP+AP=AB，此时AP+PC值最小， ∴△APC的周长=AP+PC+AC=AB+AC， 此时△APC的周长有最小值为AB+AC， ∵AB=5，AC=4， ∴△APC周长的最小值为9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共计87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式，直接利用多项式乘法化简进而合并同类项得出即可．正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ， ． 13. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键． 先去分母化为整式方程，再进行去括号合并，最终进行检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 经检验是原方程的解， ∴原方程的解是． 14. 如图，，，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由可得，即可证明． 【详解】解：， ，， 在和中， ， ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 【答案】图见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查设计轴对称图案，根据成轴对称的性质，确定对称轴，作图即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 17. (8分)将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC＝64°. (1)求∠1的度数； (2)求证：△EFG是等腰三角形． 【答案】（1）∠1＝52°；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)图形的折叠中隐含着角和线段的相等,由题, 将一张矩形纸条ABCD按如图所示沿EF折叠，∠FEC=64o, ∠FEC′=64o,即∠BEC′=180o-∠FEC-∠FEC′= 52o,因为AD∥BC,所以∠1=∠AGC′=∠BEC′=52o; (2)只要找到两个底角相等即可,因为∠FEC=64o,AD∥BC,所以∠GFE=∠FEC＝64o,又因为∠FEC′=64o,所以GF＝GE, 即△EFG是等腰三角形. 【详解】（1）如图：∵∠FEC=64o,据题意可得：∠FEC′=64o, ∴∠BEC′=180o-∠FEC-∠FEC′= 52o, 又∵AD∥BC, ∴∠1="∠AGC′=" ∠BEC′=52o. （2）证明：∵∠FEC=64o,AD∥BC, ∴∠GFE=∠FEC＝64o, 又∵∠FEC′=64o, ∴∠FEG=∠GEF＝64o, ∴GF＝GE,即△EFG是等腰三角形. 【点睛】考查了1.三角形的全等和等腰三角形.2.轴对称. 18. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本语文书的厚度是每本数学书厚度的倍． （1）若厚度和为的数学书比厚度和为的语文书多30本，求书架上每本数学书和每本语文书的厚度； （2）在（1）的条件下，若书架上已摆放10本语文书，则最多还可以摆多少本数学书？ 【答案】（1）每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为 （2）最多还可以摆90本数学书 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设还可以摆本数学书，根据题意列出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为． 【小问2详解】 解：设还可以摆本数学书， 由题意得，， 解得：， 答：最多还可以摆90本数学书． 19. 如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． （1）由可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，由可证，可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 是的中点， ， 在与中 ， ； 【小问2详解】 ， ， 又 ， ，且， ． ， ． 20. 如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题： （1）用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ；从中你发现什么结论呢： （2）根据上述结论，初步解决问题：已知求的值； （3）解决问题：如图2，C是线段上一点，以为边向两边作等腰直角三角形，记若求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式的几何背景、通过对完全平方公式变形求值． （1）方法1可采用两个正方形面积和；方法2可以用大正方形减去两个长方形的面积；根据两种方式表示的面积是相等的，即可得出结论； （2）根据完全平方公式变形求值，即可求解； （3）设，，根据已知条件可列方程组，求出的值，由于阴影部分的面积为，即可得出答案． 【小问1详解】 解：方法1：阴影部分面积即为边长为和边长为的正方形面积之和， ； 方法2：阴影部分面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积， ． 两种方式表示的面积是相等可知：． 故答案为：；；． 【小问2详解】 解：∵ 由（1）得：， 【小问3详解】 设 ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒． （1）求、的长； （2）连接，设的面积为S，用含t的式子表示S； （3）过点P作直线的垂线，垂足为D，直线与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2） （3）存在，或9． 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了非负数的性质，三角形的面积，全等三角形的性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用非负数的性质求出m，n的值即可； （2）利用三角形面积公式求解； （3）根据，推出或，可得结论． 【小问1详解】 解：且，， ∴，， ，， 点，点， ，； 【小问2详解】 解：连接，t秒后，，， ； 【小问3详解】 解：存在． ， ， ，， ， ， ， ，， ， 或， 或9． 22. 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题， （1）把多项式配方成的形式，则______，______； （2）若多项式，． ①证明：无论x取任何实数，多项式A的值一定恒为正数； ②求多项式的最小值． （3）已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），， （2）①见解析；②11 （3）是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，整式的加减运算，等边三角形的定义，掌握“配方法”是解题的关键． （1）参照题干，利用“配方法”求解； （2）①将变形为，根据平方的非负性即可证明；②将变形为即可求解 （3）将原等式变形为，根据平方的非负性求出a，b，c的值，即可求解． 小问1详解】 解：∵， ∴，， 故答案为：2，2； 【小问2详解】 ①证明：， ∵， ∴， 即无论x取任何实数，多项式A的值一定恒为正数； ②解： ， 所以多项式的最小值为11； 【小问3详解】 解：∵， ， ， ， ，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共22道小题．共6页．全卷满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（本题共6小题，每题3分，共18分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大．某种细菌的直径是0.0000025米，用科学记数法表示这种细菌的直径是（　　） A 25×10﹣5米 B. 25×10﹣6米 C. 2.5×10﹣5米 D. 2.5×10﹣6米 3. 若分式有意义，则满足的条件是（ ） A. ≠0 B. ≠2 C. ≠3 D. ≥3 4. 在下列运算中，计算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，相交于点O，，要使，则下列添加的条件中，错误的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，P是上的一个动点，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 因式分解的结果是______． 8. 计算：_______． 9. 分式的值为0，则m＝______； 10. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，则点到的距离为______． 11. 如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB=5，AC=4，BC=6，则△APC周长的最小值是________． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共计87分） 12. 计算：． 13. 解分式方程：． 14. 如图，，，． 求证：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 17. (8分)将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC＝64°. (1)求∠1的度数； (2)求证：△EFG是等腰三角形． 18. 如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本语文书的厚度是每本数学书厚度的倍． （1）若厚度和为的数学书比厚度和为的语文书多30本，求书架上每本数学书和每本语文书的厚度； （2）在（1）条件下，若书架上已摆放10本语文书，则最多还可以摆多少本数学书？ 19. 如图，在四边形中，，E为中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，且．求证： （1）； （2）． 20. 如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题： （1）用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ；从中你发现什么结论呢： （2）根据上述结论，初步解决问题：已知求的值； （3）解决问题：如图2，C是线段上一点，以为边向两边作等腰直角三角形，记若求图中阴影部分的面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒． （1）求、的长； （2）连接，设的面积为S，用含t的式子表示S； （3）过点P作直线的垂线，垂足为D，直线与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 22. 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题， （1）把多项式配方成形式，则______，______； （2）若多项式，． ①证明：无论x取任何实数，多项式A的值一定恒为正数； ②求多项式的最小值． （3）已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $