精品解析：内蒙古自治区呼伦贝尔市鄂伦春自治旗2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

鄂伦春自治旗2025--2026年八年级上学期数学期末测试卷 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 下列由左到右变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．把一个多项式化成几个多项式的积的形式，叫因式分解． 【详解】解：A.是整式乘法，不是因式分解，故本选项不合题意； B.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意； C.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意； D.是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 3. 用两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是（ ） A. 的木条 B. 的木条 C. 两根都可以 D. 两根都不行 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．利用三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：如将的线段两段，所截成的两段线段之和大于，所以能够构成三角形， 而的线段无论如何分，分成的两段线段之和都小于，所以不可以构成三角形． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，同底数幂相乘，合并同类项．根据相关运算法则，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，原运算正确，符合题意； B．，原运算错误，不符合题意； C．和不是同类项，不能合并，原运算错误，不符合题意； D．和 不是同类项，不能合并，错误. 故选：A． 5. 如图，已知，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，由全等三角形的性质推出，由等腰三角形的性质得到，求出，，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ∴， ∴， ， ∴． 故选： D ． 6. 将分式 中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则原分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 扩大4倍 C. 不变 D. 扩大3倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 根据分式的基本性质，将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，代入求解即可． 【详解】解：， 即原分式的值扩大4倍． 故选：B 7. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，分两种情况，由三角形的三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，即可解决问题，解题的关键是掌握三角形的三边关系定理． 【详解】∵为等腰三角形， ∴当时，在中，能构成三角形， 当时，不能构成三角形， ∴， 故选：． 8. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式 ，将其分解因式为．若取， 则有，其中 12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是（ ） A. 111525 B. 151025 C. 101525 D. 1215 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，将多项式分解因式，代入给定数值计算因式码，再按从小到大顺序排列形成密码即可． 【详解】解： ； 代入， ，得， ， ， 故因式码为10， 15， 25， 按从小到大顺序排列为 10， 15， 25， 密码为101525， 故选C． 二、填空题（共4题，每题3分，共12分） 9. 若是一个完全平方式，则常数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征确定出的值是解本题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ ∴， 故答案为：． 10. 如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是三角形内角和定理的应用，解题关键是理解反射角等于入射角． 根据题意得到后，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：依题意得：， ， ， 中，． 故答案为：． 11. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 【答案】##24厘米 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 12. 如图，是等边三角形的边上的高，，点M是边上的动点，点E是边的中点，则的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】连接，与交于点M，则就是的最小值，通过三角形全等的性质，可得即可得出结论． 【详解】解：连接，与交于点M，如图所示： ∵，是等边三角形的边上的高， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴就是的最小值， ∵E是等边的边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质—“三线合一”、等边三角形的性质和垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识的综合应用，解题关键是找到M点的位置． 三、解答题（共64分） 13. 计算∶ （1） （2） 【答案】（1）11 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算： （1）先计算零次幂、绝对值、算术平方根、负整数次幂，再进行加减运算； （2）先计算完全平方、平方差、单项式乘多项式，再合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. （1）解方程∶ （2）先化简∶ 再从中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】（1），（2），当时，原式（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式的化简求值． （1）方程两边同时乘以，将分式方程化整式方程求解，并检验即可； （2）先计算括号内的减法，再除法转化为乘法，利用因式分解化简，最后根据分式有意义的条件选择值代入求解． 【详解】解：（1）方程两边同时乘以，得 ， ， ， ， ， 检验，当时，， 所以原方程的解为； （2）原式 ∵分式有意义的条件为，， ∴当时，原式， 当时，原式． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，点． （1）请在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）求面积； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为8，求点P的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）7 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）设点P的坐标为，根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，； 【小问2详解】 的面积为； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， ∵的面积为8， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 16. 素材1：如图，乐乐在公园荡秋千的示意图，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2：秋千转轴O到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时， 过点C作于点E． 此时点C到的距离． 【问题解决】当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D， （1）求证： ； （2）若， 求 长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查垂直的定义，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是关键． （1）根据垂直的定义，角的和差关系即可求解； （2）根据题意得到，，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴在中，， ∴． 17. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 （2）小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键； （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个列出分式方程，解方程，即可求解； （2）先计算总花费为元，根据此次加购小区预备支出不超过元，列出不等式，解不等式，求最小整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个； 【小问2详解】 解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个) 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个) 设再次购进单枪新能源允电社个，则购进双枪新能源允电社个，总花费为元 ∵此次加购小区预备支出不超过元 ∴ 解得 ∴的最小值为 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 18. （1）阅读理解∶如图①，在四边形中， ，点是的中点， 若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证 ，得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断： ， ， 之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且， 求的长； （3）如图③， 是的中线， 是 的中线， 且， 试猜想线段与线段的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据角平分线的性质可证，等角对等边可得，根据中点的定义可证，从而可证，根据全等三角形的性质可证，根据线段之间的关系可得； (2)延长、相交于点，可证，根据全等三角形的性质可知，根据垂直平分线的性质可得； (3)延长到使，连接，可证，根据全等三角形的性质可得，，可证，根据全等三角形的性质可得． 【详解】(1)解：是的平分线， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，，  ， ， ， ， ； (2)解：如下图所示，延长、相交于点， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ； (3)， 证明：如下图所示，延长到使，连接， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，  是的中线， ， 是的外角， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、中线的定义、等腰三角形的性质、解决本题的关键是作辅助线构造出全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄂伦春自治旗2025--2026年八年级上学期数学期末测试卷 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列由左到右变形中，是因式分解是（ ） A. B. C. D. 3. 用两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是（ ） A. 的木条 B. 的木条 C. 两根都可以 D. 两根都不行 4. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将分式 中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则原分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 扩大4倍 C. 不变 D. 扩大3倍 7. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ） A. B. C. D. 或 8. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式 ，将其分解因式为．若取， 则有，其中 12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是（ ） A. 111525 B. 151025 C. 101525 D. 1215 二、填空题（共4题，每题3分，共12分） 9. 若是一个完全平方式，则常数的值为______． 10. 如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为________． 11. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 12. 如图，是等边三角形的边上的高，，点M是边上的动点，点E是边的中点，则的最小值为______． 三、解答题（共64分） 13. 计算∶ （1） （2） 14 （1）解方程∶ （2）先化简∶ 再从中选择一个你喜欢的数代入求值． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，点． （1）请在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为8，求点P的坐标． 16. 素材1：如图，乐乐在公园荡秋千的示意图，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2：秋千的转轴O到地面的距离．乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时， 过点C作于点E． 此时点C到的距离． 【问题解决】当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D， （1）求证： ； （2）若， 求 的长． 17. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 18. （1）阅读理解∶如图①，在四边形中， ，点是中点， 若是的平分线，试判断，，之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证 ，得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断： ， ， 之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且， 求的长； （3）如图③， 是的中线， 是 的中线， 且， 试猜想线段与线段的数量关系，并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $