精品解析：甘肃省陇南市西和县2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025年秋季学期八年级学情监测 数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 2. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在下列各图形中，线段是边上高的是（ ） A. B. C. D. 4. 对多项式分解因式，正确的选项是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的角平分线，于点，，则的长不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 8. 据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（ ） A. B. C. D. 9. 若分式方程有增根，则的值为（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 10. 下列分式中，把的值同时扩大3倍后，结果也扩大为原来的3倍的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：________． 12. 如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为____． 13. 在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示0.00000002为___________． 14. 如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为_________ 15. 若，则__________． 16. 如图，点关于、对称点分别为、，连结，交于，交于，若的周长厘米，则为_________厘米． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，在中，，． （1）用尺规作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求的度数． 21. 如图，已知在中，，为边上的中点，过点作，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 22. 某一工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成； 方案：乙队单独完成这项工程，比规定工期多用5天； 方案：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 求规定的工期是多少天？ 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形． （2）写出点，，的坐标（直接写答案）________；________；________ （3）在x轴上找出点P，求的最小值（保留作图痕迹） 25. 在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案： （1） （分成两组） （提公因式） （提公因式） （2） （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： （1）因式分解：； （2）若的三边，，满足，则是什么三角形？ 26. 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图①，当为的中点时，求线段与的数量关系； 特例启发，解答题目】 （2）如图②，当为边上任意一点时，求线段与数量关系，并说明理由． 27. 综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（ ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期八年级学情监测 数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列以数学家名字命名的图形中，不是轴对称图形是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 赵爽弦图 C. 莱洛三角形 D. 科克曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、它不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、它是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．利用完全平方公式，将展开为，然后代入已知值计算． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴ 故答案为：C． 3. 在下列各图形中，线段是的边上高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点A作，垂足为D，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 【详解】解：根据三角形高的画法知： A、线段是的边上高，故选项A不符合题意； B、线段是的边上高，故选项B符合题意； C、线段不是的边上高，故选项C不符合题意； D、线段是的边上高，故选项D不符合题意； 故选：B． 4. 对多项式分解因式，正确的选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，关键是在分解因式时首先要考虑提取公因式，再考虑公式法进行分解，首先提取公因式，然后再利用平方差进行二次分解． 【详解】解：， 故选：B． 5. 如图，为的角平分线，于点，，则的长不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质，可知，再根据垂线段最短，可知，从而得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 为的角平分线，于点，， ， ， ， 的长度不可能为1， 故选：D． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，提公因式与完全平方公式的运算，将分式的除法变为分式的乘法是解题的关键．先根据提公因式与完全平方公式计算，再将除法变为乘法约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 7. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求了代数式的值，多项式乘以多项式，合并同类项，先把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故选：． 8. 据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得，证明A，得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明B、C． 【详解】解：在和中， ， ，故选项A不符合题意； ∴， ∴，即， ∵、， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意； 故选：D 9. 若分式方程有增根，则的值为（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，涉及由分式方程解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 先解分式方程，得到，再由分式方程有增根，列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得， 解得， 分式方程有增根， ， 即， 解得， 故选：A． 10. 下列分式中，把的值同时扩大3倍后，结果也扩大为原来的3倍的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质将分式化成最简分式． 根据题意将每个选项中同时扩大3倍，然后对式子进行化简计算，看最后结果与选项的关系判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行简算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 12. 如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为____． 【答案】19 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式推出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴周长为 ， 故答案为：． 13. 在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示0.00000002为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为，其中是关键． 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键；由题意易得为等边三角形，再证明，则． 【详解】解：∵, ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 15. 若，则__________． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查分式的通分与等式求解，解决本题的关键是先对等式右边进行通分，然后根据等式两边分子相等来确定的值． 将右边通分后比较分子，得到关于和的方程组，解方程组求得即可． 详解】解：∵， ∵， 即， ∴． 即， 则有，解得， 综上，的值为． 故答案为：． 16. 如图，点关于、的对称点分别为、，连结，交于，交于，若的周长厘米，则为_________厘米． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知． 【详解】解：根据题意点P关于、的对称点分别为、D， 故有，； 则． 故答案为． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，包括乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，灵活应用相关运算法则是解题的关键．先计算乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，解决本题的关键在于通过去分母将其转化为整式方程，并进行增根检验． 先将分式方程化为整式方程，然后求解整式方程，最后对所得的解进行检验即可． 【详解】解：方程中， 则原方程可化为． 方程两边同时乘以去分母得：． 移项可得，即， 解得． 检验：把代入原方程的分母中，， ∴是原分式方程的解． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；4 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，求代数式的值，熟练掌握乘法公式、单项式与多项式的乘法是解题的关键；依次用完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式展开，再合并同类项，最后代入数值计算即可． 【详解】解： ； 当，时 原式． 20. 如图，在中，，． （1）用尺规作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则作的垂直平分线，连接，即可作答． （2）先运用三角形内角和性质以及等边对等角得，结合垂直平分线的性质，故，则，即可作答． 【小问1详解】 解：作的垂直平分线，连接，如图所示： 【小问2详解】 解：∵，． ∴， 由（1）得是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，已知在中，，为边上的中点，过点作，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，准确分析计算是解题的关键． （）已知，，所以，根据等腰三角形的性质，得到，根据为边上的中点，得到，根据即可证明，根据三角形全等的性质对应边相等，得； （）根据，，判定是等边三角形，得到，再根据为边上的中点，得到，计算的周长即可． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， 为等边三角形， ∵为边上的中点， ∴， ， 的周长为． 22. 某一工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成； 方案：乙队单独完成这项工程，比规定工期多用5天； 方案：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 求规定的工期是多少天？ 【答案】 20天 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，解决本题的关键是根据方案建立等式． 通过设规定工期为x天，根据方案A与方案B可得到甲队与乙队单独完成的天数，根据方案C中甲、乙两队的工作量关系列出方程求解． 【详解】解：设规定工期为x天，则甲队单独完成需x天，乙队单独完成需天， 根据方案C，甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做正好完成，可列方程： ， 方程两边同乘，得：， 化简得：， 即，解得， 经检验，是原方程解且符合题意， 答：规定的工期是20天． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题关键，根据分式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴， ∴， ∴原式． 24. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴的对称图形． （2）写出点，，的坐标（直接写答案）________；________；________ （3）在x轴上找出点P，求的最小值（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2），， （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图，根据轴对称写出点的坐标； （1）分别作出A，B，C关于y轴的对应点，，，然后连接得到即可． （2）根据，，的位置写出坐标即可． （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所作． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 解：，，的坐标分别为，，， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所作． 25. 在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案： （1） （分成两组） （提公因式） （提公因式） （2） （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： （1）因式分解：； （2）若的三边，，满足，则是什么三角形？ 【答案】（1） （2）等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，包含提取公因式，完全平方公式与平方差公式的应用，解决本题的关键是熟练掌握公式并会使用不同方法． （1）先分成两组，再使用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可； （2）先根据提取公因式和公式法化简，再根据三角形三边的关系得到，即，由此可得三角形形状． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵的三边，，满足， ∴ ， ∴， ∵，，为的三边， ∴，即， ∴，即， ∴是等腰三角形． 26. 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图①，当为的中点时，求线段与的数量关系； 【特例启发，解答题目】 （2）如图②，当为边上任意一点时，求线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）当为的中点时，线段与的数量关系为； （2）当为边上任意一点时，线段与的数量关系为，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定及性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质． （1）利用等边三角形的性质，结合已知，可得，由等腰三角形的性质和判定，可得，等量代换，即可得线段与的数量关系； （2）过点E作，交于点，利用等边三角形的性质证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当为的中点时，线段与的数量关系为． （2）解：． 理由：过点E作，交于点，则，，如图所示： ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当为边上任意一点时，线段与的数量关系为． 27. 综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（ ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 【答案】活动一：B；活动二：①；②见解析，4；活动三：的最小值为． 【解析】 【分析】活动一：根据两点之间，线段最短求解即可； 活动二：①根据三线合一得到，，即可得到； ②连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【详解】活动一：示例1中所经含的数学原理是两点之间，线段最短 故选：B； 活动二：①∵在等边三角形中，是中线 ∴， ∴； ②如图所示，点F即为所求； ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $