精品解析：湖北省十堰市名校联盟2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025-2026学年上学期九年级阶段性测试（三） 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器成功着陆，实现世界首次月球背面采样返回，这是我国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果．下列是与中国航天事业相关的图标，其中可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. ， B. ， C. ，1 D. ，1 3. 从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ） A. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C. 成语“守株待兔”是随机事件 D. 成语“水中捞月”是随机事件 4. 将抛物线．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，若，则等于（ ） A. 4.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 6. 已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），以下调整张力正确的是（ ） A. 增大至 B. 减小至 C. 增大至 D. 减小至 8. 电影《哪吒之魔童降世》上映以来，全国票房连创佳绩，据不完全统计，第一天的票房约4亿元，以后每天的票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入约达30亿元，将增长率记作，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，点E在上，且，则的度数为（ ） A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° 10. 如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请你构造一个函数，写出一个开口向下，对称轴是的抛物线的表达式：______． 12. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为________． 13. 如图，把绕点按顺时针方向旋转，得到，点落在边上，若，则_____°． 14. 设、是方程的两个根，且，则________． 15. 用总长为a米的铝合金材料做成如图1所示的“日”字形窗框（材料厚度忽略不计），窗户的透光面积y（米2）与窗框的宽x（米）之间的函数图象如图2所示，则a的值是________． 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在和中，，，求证： 18. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 19. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中： （1）画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标； （2）计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度． 20. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数关系式； （2）比较大小：______（填“＜”“＝”或“＞”）； （3）当时，请直接写出的取值范围． 21. 如图，在中，以边为直径的交于，于，且与相切． （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. 材料一：某种旅游纪念品的进价为每件元，销售单价不低于元． 材料二：当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映，销售单价每提高元，日销量将会减少件． 材料三：物价部门规定销售单价不能超过元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售． 任务一：建立函数模型 （1）设该纪念品的销售单价为（单位：元），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元），分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）若日销售利润为元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 在中，，正方形的顶在边上（不与重合），顶点任直线上（不与重合）．连接． （1）如图1，若点为中点，且顶点在的延长线上时，求证：； （2）如图2，若顶点不是中点，且顶点在边上时，确定线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若，正方形绕点旋转，当时，直接写出的长是______． 24. 已知抛物线的图像经过点，与x轴交于另一点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）直接写出a的值，及B，C两点坐标； （2）如图1，若点P为抛物线上异于点D的任意一点，轴，交对称轴于点Q，求的值； （3）如图2，若，点P是抛物线上任意一点，且点P的横坐标为m ①当，求面积的最大值； ②过点P作轴，交抛物线于另一点Q，轴交直线于点D，轴交直线于点E，当的值为14，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级阶段性测试（三） 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器成功着陆，实现世界首次月球背面采样返回，这是我国建设航天强国、科技强国取得的又一标志性成果．下列是与中国航天事业相关的图标，其中可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：观察图形，只有选项A的图形，能够找到一个点，使图形绕该点旋转180度后，能与自身完全重合，是中心对称图形； 故选A． 2. 一元二次方程化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. ， B. ， C. ，1 D. ，1 【答案】B 【解析】 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数和常数项即可． 【详解】将一元二次方程 ，化成一般式得： ， 一次项系数和常数项分别为： 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．掌握一元二次方程的一般形式是 ，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项是解题关键． 3. 从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ） A. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C. 成语“守株待兔”是随机事件 D. 成语“水中捞月”是随机事件 【答案】C 【解析】 【分析】随机事件在随机试验中，可能出现也可能不出现；不可能事件在随机试验中一定不会出现；必然事件在随机试验中一定会出现． 【详解】解：A：清明节不一定会下雨，A为随机事件，故A错误； B：古原上的野草乱生乱长，每年春来茂盛秋来枯黄，B为必然事件，故B错误； C：守株不一定能等来兔子，C为随机事件，故C正确； D：水中不能捞到月亮，故D为不可能事件，故D错误． 故选：C 【点睛】本题考查对于事件类型的判断．掌握各事件的定义即可． 4. 将抛物线．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接运用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：由平移规律可得：将二次函数向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为：． 故选D． 5. 如图，在中，，，若，则等于（ ） A. 4.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．注意确定对应线段． 证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵ ∴ 故选：B． 6. 已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．根据自变量与函数值的情况判定即可． 【详解】解：当时，，而当时，， 在时，必有一个的值使得． 一元二次方程的一个根的范围是． 故选：B． 7. 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），以下调整张力正确的是（ ） A. 增大至 B. 减小至 C. 增大至 D. 减小至 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． 利用待定系数法求出与之间的函数关系式，求出对应的值即可． 【详解】解：设与之间的函数关系式为（为常数，且）， 将，代入， 得， 解得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ∵与之间的函数关系式为，在第一象限，随的增大而减小， ∴当由 升到时，并结合图像，应该将张力减小至， 故选：D． 8. 电影《哪吒之魔童降世》上映以来，全国票房连创佳绩，据不完全统计，第一天的票房约4亿元，以后每天的票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入约达30亿元，将增长率记作，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，需根据增长率模型计算各天票房并累加前三天的总和，从而列出方程． 【详解】解：设增长率为，则：第一天票房为4亿元；第二天票房为亿元；第三天票房为亿元． 依题意得： 故选D． 9. 如图，四边形ABCD内接于，AB是的直径，点E在上，且，则的度数为（ ） A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， ， 是的直径， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：D． 10. 如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点，由正方形的性质得，由，得，则，所以，则，所以，则，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，连接 四边形是正方形，， ，，， ， ，而点为的中点， ， ， 垂直平分， ， 由折叠得， ， 是等边三角形， ， ∵翻折， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请你构造一个函数，写出一个开口向下，对称轴是的抛物线的表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：依题意可知，抛物线解析式中二次项系数为负，对称轴为直线， ∴抛物线解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率．解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值． 根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.6，即黑色阴影的面积占整个面积的0.6，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右， ∴点落在黑色阴影的概率为0.6， ∴黑色阴影的面积占整个面积的0.6， ∴黑色阴影的面积为（）． 故答案为：． 13. 如图，把绕点按顺时针方向旋转，得到，点落在边上，若，则_____°． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和；先根据旋转得到，然后得到的度数，然后根据平行线的性质得到，再根据角的和差解题即可． 【详解】解：由旋转可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：24． 14. 设、是方程的两个根，且，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，得出，，代入，即可求出m的值． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握、是一元二次方程的两根时，， ． 15. 用总长为a米的铝合金材料做成如图1所示的“日”字形窗框（材料厚度忽略不计），窗户的透光面积y（米2）与窗框的宽x（米）之间的函数图象如图2所示，则a的值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据窗框的宽为x米，则窗框的高为，根据长方形面积公式得出，根据函数图象得出时，，代入，解关于a的方程即可． 【详解】解：窗框的宽为x米，则窗框的高为， 窗户的透光面积为：， 根据图2可知，当时，， ∴， 解得：， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据长方形面积公式列出关系式． 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）利用十字相乘法把方程左边分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 17. 如图，在和中，，，求证： 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴． 【解析】 【分析】由题意易得，然后问题可求证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 18. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，小明从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词）． 19. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中： （1）画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标； （2）计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，其中，； （2） 【解析】 【分析】（1）分别作出点、绕点顺时针旋转所得对应点，再与点首尾顺次连接即可得； （2）利用弧长的公式求解可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 弧的长度． 【点睛】本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及扇形的面积公式． 20. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数关系式； （2）比较大小：______（填“＜”“＝”或“＞”）； （3）当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）一次函数关系式为，反比例函数关系式为： （2）＝ （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后代入，求得n，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求得C、D的坐标，利用勾股定理即可判断； （3）根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数得，，解得， ∴反比例函数的解析式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象经过，两点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由一次函数的解析式为可知，， ∴，， ∴， 故答案为：＝； 【小问3详解】 解：由图象可知：时的取值范围是或． 【点睛】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用． 21. 如图，在中，以边为直径的交于，于，且与相切． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图： 与相切， ， ， ， ， ∴是的中位线， ； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据平行线等分线段定理即可得到结论； （2）连接，由（1）知，，求得，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图： 由（1）知，， ， ， 为的直径， ， ， ∴， ， ， ． 22. 材料一：某种旅游纪念品的进价为每件元，销售单价不低于元． 材料二：当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映，销售单价每提高元，日销量将会减少件． 材料三：物价部门规定销售单价不能超过元，且为正整数．商店按规定适当涨价销售． 任务一：建立函数模型 （1）设该纪念品的销售单价为（单位：元），日销量为（单位：件），日销售利润为（单位：元），分别写出与，与的函数解析式，并写出的取值范围； 任务二：设计销售方案 （2）若日销售利润为元，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】 （1）关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）； （2）销售单价应定为元或元； （3）销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数与一次函数的解析式是解此题的关键． （1）根据题意列出关于的函数解析式以及关于的函数解析式即可； （2）令，解一元二次方程即可； （3）根据二次函数的性质即可得解． 【详解】解：（1）由材料二可得，当销售单价为元时，每天可以销售件，销售单价每提高元，日销量减少件， 日销量， 由材料一可得，销售单价不低于元， 由材料三可得，销售单价不能超过元，且为正整数． 的取值范围为，且为正整数． 日销售利润， 关于的函数解析式为（，且为正整数），关于的函数解析式为（，且为正整数）； （2）由题意得，当时，即， 整理得，即， 解得，， ， 销售单价应定为元或元， 答：销售单价应定为元或元； （3）， 且为正整数， 当或时，最大， 当时，（元）， 当时，（元）， 最大利润为元， 答：销售单价定为元或元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是元． 23. 在中，，正方形的顶在边上（不与重合），顶点任直线上（不与重合）．连接． （1）如图1，若点为中点，且顶点在的延长线上时，求证：； （2）如图2，若顶点不是中点，且顶点在边上时，确定线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若，正方形绕点旋转，当时，直接写出的长是______． 【答案】（1） 证明：连接， ∵，正方形的顶在边上， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2） ，证明：点作，过点作， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得到，再利用等腰直角三角形三边关系即可得到本题答案； （2）过点作，过点作，证明，利用等腰直角三角形三边关系即可得出答案； （3）根据题意利用正方形和等腰三角形性质证明出，分两种情况，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵正方形的顶在边上（不与重合）， 当顶点在线段上（不与重合），当时， 过点作，，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 故, ∴, ∴是等腰直角三角形， 设：， ∴， 在中应用勾股定理， ， ，解得：， ∴在中应用勾股定理， ， ∴， 当顶点在线段的延长线上（不与重合），当时， 过点作，，连接，， ∴ 在直角三角形中， 由勾股定理得:， ∴， 解得:（负值已舍去)， 在直角三角形中， 由勾股定理得:， ∴（负值已舍去）， 综上所述：或 故答案为：或． 【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，等腰直角三角形三边关系，勾股定理． 24. 已知抛物线的图像经过点，与x轴交于另一点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）直接写出a的值，及B，C两点坐标； （2）如图1，若点P为抛物线上异于点D的任意一点，轴，交对称轴于点Q，求的值； （3）如图2，若，点P是抛物线上任意一点，且点P的横坐标为m ①当，求面积的最大值； ②过点P作轴，交抛物线于另一点Q，轴交直线于点D，轴交直线于点E，当的值为14，直接写出m的值． 【答案】（1），， （2）4 （3）①；②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形等知识，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法可求得a值和函数解析式，进而可求得B、C坐标； （2）先由二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，设，根据坐标与图形性质得到，进而可得,，即可求解； （3）①先求得直线的函数解析式， 由题意，，则，又，利用坐标与图形性质得到，然后根据二次函数的性质求解即可； ②分当点P在Q右侧时和当点P在Q左侧时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的图像经过点， ∴，解得； ∴， 当时，， ∴； 当时，由得，， ∴； 【小问2详解】 解：由得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 设， ∵点P为抛物线上异于点D的任意一点，轴，交对称轴于点Q， ∴ ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：①设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 由题意知，，则， 又∵，即点在点的上方， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ②当点P在Q右侧时，由题意，当点P在点B处时，点Q在点A处，此时P、D重合，，，， ∴， ∴点P在点B右侧，此时点P、Q都在直线下方，如图， 由题意，，，，，， ∴，，， ∴ ， 由得， 解得或（舍去）； 同理，当点P在Q左侧时，根据抛物线的对称性，，即， 综上，满足条件的m值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $