江西省南昌市第一中学2025-2026学年高三上学期周测（十一）数学试题

南昌一中2025-2026学年高三上学期数学周测（十一） 补充练习卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知复数（i是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数除法运算化简z，进而可得，相减即可得出答案. 【详解】因为 所以 所以 所以的虚部为 故选：B 2．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，根据补集的定义即可求解。 【详解】集合，所以， 故选：B 3．双曲线的一条渐近线方程：，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的渐近线方程得出与的关系，即可求解出离心率. 【详解】双曲线的一条渐近线方程：， ， 双曲线的离心率为：， 故选：A. 4．函数图象的对称中心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为整体，结合正切函数的对称中心运算求解. 【详解】令，解得， 所以函数图象的对称中心坐标为. 故选：C. 5. 已知函数，，且，则函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可先得到和，再代入得到，由选项解析式代入化简，得到结论. 【详解】由题意得：， ∵，∴， ∴， 若，则，舍去； 若，则，舍去； 若，则，成立； 若，则，舍去. 故选：C. 6．若向量和向量垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量垂直得到方程，求出x＝1，进而求出，利用模长公式进行求解即可. 【详解】由，得，解得x＝1； ∴， ∴． 故选：A． 7．过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则实数 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，结合图形，不妨取圆上一点，过作圆的两条切线，求出时的值即可． 【详解】如图所示，    取圆上一点，过作圆的两条切线，当时，，且；，则实数．故选A． 【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题． 8．下列不等式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数可得在上单调递增，再由可判断A；举反例可判断B；当是第三象限角时由可判断C；当时利用为单调递增函数，对两边取对数对称矛盾可判断D. 【详解】对于A，令，则，即证， 令，则， 所以在上单调递增，故， 所以，即，故A正确； 对于B，当时显然不成立，故B错误； 对于C，当是第三象限角时，则，所以， 可得，故C错误；     对于D，当时，为单调递增函数， 若，则， 这与矛盾，故D错误. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：对于A选项，关键点是构造函数，再利用函数的单调性解题，考查了学生的思维能力、运算能力. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1~8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 事件B与C互斥 D. 事件A与B相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先写出事件所包含的样本点，再根据古典概型的概率公式计算即可判断；对于B，分别求出，，再根据条件概率的公式计算即可判断；对于C，根据互斥事件的定义判断即可；对于D，根据相互独立事件的概率公式判断即可. 【详解】由题意可知事件，事件，事件， 对于A，因为事件，所以，故A正确； 对于B，因为事件，所以，而， 所以，故B正确； 对于C，因为事件，故事件可以同时发生， 所以事件B与C不互斥，故C错误； 对于D，因为事件，所以， 而，，且， 所以事件A与B相互独立，故D正确. 故选：ABD 10．已知抛物线C：的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则（   ） A．准线l与圆A相切 B．过点F，A的直线与抛物线C相交的弦长为5 C．当P，A，B三点共线时， D．满足的点P有且仅有2个 【答案】BCD 【分析】对于A，只需判断圆的半径是否等于1即可；对于B，联立直线的方程与抛物线方程，结合韦达定理，焦点弦公式即可判断；对于C，直接验算即可；对于D，联立直线的垂直平分线方程与抛物线方程，判断判别式是否大于0即可. 【详解】 对于A，抛物线的准线为，圆A的圆心在轴上，半径，准线l与圆A相离，A错误； 对于B，直线的方程为，代入得， 弦长为，B正确； 对于C，中，令得，故，显然⊥， 由勾股定理得，所以，C正确； 对于D，由抛物线的定义得，故满足要求的点在线段的垂直平分线上， 其中直线的垂直平分线方程为，代入得， 故点有且仅有2个，D正确． 故选：BCD. 11．的内角A，B，C的对边为a，b，c则下列说法正确的是（   ） A．，则是锐角三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由平面向量数量积的定义可判断A；由同角三角函数和正弦定理可判断B；由正弦函数的性质可判断C；由两角和的正切公式，正弦函数的性质和诱导公式可判断D. 【详解】选项A，因为， 所以，因为，所以为钝角，故是钝角三角形，故A错误； 选项B，因为， 所以，化简得：， 由正弦定理得：，所以为直角三角形，故B正确； 选项C，因为，所以，可得：， 又因为在上单增，所以， 所以，故C正确； 选项D，因为，所以为锐角， 又因为，所以为锐角， 所以，可得，所以 同理可得：． 所以，所以，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．函数的最大值为 . 【答案】/0.25 【分析】对给定函数求导，利用导数探讨单调性即可计算作答. 【详解】当时，求导得：，令，得， 当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，y取得最大值，即， 所以函数的最大值为. 故答案为： 13．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则 ． 【答案】 【分析】设等比数列的公比为q，则，显然，根据题意求出，的值，再根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】解：设等比数列的公比为q，则，显然， 因为，， 所以， 即，解得, 所以． 故答案为： 14. 已知实数，且函数，则函数的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和，其中点在曲线上，点在抛物线上，作出图象，结合图象求解即可． 【详解】由题意得， 设，， 则点在曲线上，点在抛物线上， 的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和． 设抛物线的焦点为， 则由抛物线的定义知， 所以， 所以， 问题转化为求曲线上的点到点 的距离的最小值， 设曲线上的点，到点的距离最小， 则与曲线在点处的切线垂直， 即， 所以， 作出函数与函数的图象，如图所示： 由图象知，两函数图象只有一个交点， 所以方程的解为，则． 所以， 所以函数的最小值为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：将看作是，两点间距离与点到轴的距离之和，利用抛物线的性质求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．东北师大附中数学科技节知识竞赛活动圆满结束，现从参加知识竞赛活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的比赛成绩（满分为分）分为组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值并估计这名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）在抽取的名学生中，规定：比赛成绩低于分为困难生，已知甲乙两人是困难生，为了解困难生具体情况，从选取的困难生随机抽取两人，求甲乙两人中至少有一人被抽到的概率？ 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）利用频率和为代入求解a的值，再利用频率分布直方图平均数的计算公式代入求解平均成绩；（2）设甲乙为，另外三人为，写出所有的情况以及符合题意的情况，再利用古典概型的公式代入计算. 【详解】（1）由题可得，，解得． ，平均成绩为：. （2）困难生共人，设另外三人，甲乙为，所有情况：，，，，，，，，，，共种，符合题意的有种.所以概率为. 16．已知数列中，且满足． （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式; （2）求证：对于数列，的充要条件是. 【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析. 【解析】（1）两边同时除以即可证明，利用等差数列的通项公式求出，即得出的通项公式； （2）先正充分性，由得，相减即可证出；再证必要性，利用错位相减法求和可证明. 【详解】（1）， 两边同时除以，可得， 是首项为，公差为1的等差数列， ， ； （2），即①， 充分性：时，， 时，②， ①-②得，则，满足， ，充分性成立； 必要性：若，则， 设， ， ， 两式相减得： ， ， 故，必要性成立. 故得证. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 17．如图，四棱锥中，底面为菱形，与交于点，. （1）求证：平面平面； （2）若平面平面，，，为的中点，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）连结，先证明平面，进而证明平面平面； （2）由平面平面得平面，进而建立空间直角坐标系，用向量的方法求解即可. 【详解】（1）证明：连结，因为底面为菱形， 所以为的中点，， 又，所以， 平面，， 所以平面.又平面， 所以平面平面. （2）因为平面平面，， 所以平面，又因为， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 所以取. 因为平面，所以取平面的法向量为. 于是， 因为为锐角， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直与二面角的求解，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题. 常见的面面的证明方法有：①通过线面垂直得面面垂直；②通过二面角为直二面角求证面面；③通过空间向量求证； 常见的二面角的求解方法有：①几何法——即找出二面角的平面角，再根据几何关系求解；②利用空间向量求解. 18．已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点. (1)求椭圆的标准方程; (2)试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)是，MN的中点为 【分析】（1）根据题意列方程，再结合，解方程得到，，，即可得到椭圆方程； （2）联立直线方程和椭圆方程得到+，，根据直线AB、AC的方程得、，结合韦达定理化简得+，则MN中点坐标可得. 【详解】（1）由题意得，，又， 解得，，， 所以椭圆的标准方程为； （2）设，， 因为直线经过且与椭圆交于BC两点，所以直线BC的斜率一定存在， 故设直线BC的方程为：，其中， 由得：， ，得； +，， 又因为直线AB的方程:，得， 同理 由+= = = 故MN的中点为. 19．已知函数，，其中e为自然对数的底数． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，得到，由导函数几何意义求出切线方程； （2）参变分离得到对任意的恒成立，构造函数，求导得到函数单调性，进而得到，从而求出t的取值范围. 【详解】（1），， ， 则，故所求切线方程为， 即； （2）由题意得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立． 令， 则 ， 令， 则， 令，，则， 故在上单调递增，故， 故对任意的恒成立． ∴在上单调递增，且， ∴当时，，当时，， 即当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，∴， 即t的取值范围是． 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 试卷第2页，共17页 试卷第12页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌一中2025-2026学年高三上学期数学周测（十一） 补充练习卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知复数（i是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的一条渐近线方程：，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 4．函数图象的对称中心坐标为（    ） A． B． C． D． 5. 已知函数，，且，则函数可能是（ ） A. B. C. D. 6．若向量和向量垂直，则（    ） A． B． C． D． 7．过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则实数 A． B． C． D． 8．下列不等式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1~8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 事件B与C互斥 D. 事件A与B相互独立 10．已知抛物线C：的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则（   ） A．准线l与圆A相切 B．过点F，A的直线与抛物线C相交的弦长为5 C．当P，A，B三点共线时， D．满足的点P有且仅有2个 11．的内角A，B，C的对边为a，b，c则下列说法正确的是（   ） A．，则是锐角三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则 D．若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．函数的最大值为 . 13．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则 ． 14. 已知实数，且函数，则函数的最小值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．东北师大附中数学科技节知识竞赛活动圆满结束，现从参加知识竞赛活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的比赛成绩（满分为分）分为组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值并估计这名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）在抽取的名学生中，规定：比赛成绩低于分为困难生，已知甲乙两人是困难生，为了解困难生具体情况，从选取的困难生随机抽取两人，求甲乙两人中至少有一人被抽到的概率？ 16．已知数列中，且满足． （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式; （2）求证：对于数列，的充要条件是. 17．如图，四棱锥中，底面为菱形，与交于点，. （1）求证：平面平面； （2）若平面平面，，，为的中点，求二面角的余弦值. 18．已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点. (1)求椭圆的标准方程; (2)试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由. 19．已知函数，，其中e为自然对数的底数． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求t的取值范围． 试卷第2页，共17页 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $