精品解析：甘肃省平凉市2025-2026学年七年级上学期期末质量监测数学试卷

2025—2026第一学期七年级期末质量监测 数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 将下列平面图形绕轴转一周，可以得到图中所示的立体图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，与是同类项的为（ ） A. B. C. D. 3. 平凉市位于甘肃省东部，是甘肃开放开发“东大门”，总面积11000平方公里，数据11000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，负有理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 如果，那么根据等式的性质，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于整式说法正确的是（ ） A. 单项式的系数为0 B. 单项式的次数为2 C. 单项式 D. 是二次二项式 7. 在数轴上表示x，y两数的点如图所示，则下列判断错误的是（） A. B. C. D. 8. 已知如表所示的和两个量成反比例关系，则“”处应填（ ） A. B. C. D. 9. 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短尺，问绳索、竿子各有多长？甲、乙两人所列方程如下，下列选项判断正确的是（ ） 甲：设竿子长为尺，根据题意可列方程为； 乙：设绳索长为尺，根据题意可列方程为 A 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲、乙都错 D. 甲、乙都对 10. 有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N（圆孔直径忽略不计，M，N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 比较大小：1______．（填“>”“<”或“=”） 12. 如图，小华认为从A点到B点的四条路线中，③是路程最短的，他判断的依据是______． 13. 若，则的值为______． 14. 如图，在平凉火车站测得平凉汽车站大约位于南偏西的位置，则的度数是______． 15. 关于x的方程，*处被盖住了一个数，已知方程的解是，则*处的数是______． 16. 如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，…，依此规律，第个图案有_______个黑棋子． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 简便计算：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 小明做了如下一道有理数混合运算题，在检查时发现有错误． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 （1）小明在第______步开始出现错误； （2）请给出该题的正确解答过程． 21. 如图，长方形的长为a，宽为4． （1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积； （2）当，时，求阴影部分的面积． 22. 已知：如图，线段a和线段b （1）尺规作图：求作线段，并在线段的延长线上，求作线段；(作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹) （2）若、分别是、的中点，求的长(用含、的式子表示)． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 某地的气温从山脚开始变化，当海拔高度每升高100米时，气温会降低，现测得山脚的温度是． （1）求离山脚1500米高的山上某处的气温； （2）如果山上某处的气温为，请你推算此处距山脚的高度． 24. 如图，这是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：标有字母的面向外），请根据要求回答问题： （1）如果面B在长方体上面，那么下面是面______． （2）如果从上面看是面E，从前面看是面C，那么从右面看是面______． （3）如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 25. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． （1）请判断方程．与方程是否为“美好方程”，请说明理由； （2）若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 26. 某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． （1）甲种商品每件进价为______元，乙种商品的利润率为______； （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共46件，恰好总进价为2100元，则分别购进甲、乙两种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场针对甲，乙两种商品进行如下优惠促销活动： 一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过800元 不超过500元部分不打折，超过500元的部分打8折优惠 超过800元 不超过500元的部分不打折，超过500元但不超过800元的部分打8折，超过800元的部分打6折 按上述优惠条件，若小艺一次性购买甲，乙两种商品实际付款1100元，请问小艺所购买的甲、乙两种商品在打折前应付款多少元？ 27. 【综合与实践】 【问题情景】如图，O为直线上的一点，过点O作射线，使得，将直角三角板的直角顶点放在点O处，，一边在射线上，另一边在直线的下方． 【独立思考】 （1）在图1中，的度数为______． 【实践探究】 （2）将图1中的三角板按图2的位置摆放，使得在的平分线上，求的度数． 【拓展探究】 （3）将上述直角三角板按图3的位置摆放，使得在的内部，试猜想的度数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026第一学期七年级期末质量监测 数学 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 将下列平面图形绕轴转一周，可以得到图中所示的立体图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了点线面体，关键是掌握面动成体．点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体，分别判断各选项是否可得到图中所示的立体图形． 【详解】A、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，故不合题意； B、绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形，故符合题意； C、绕轴旋转一周，得不到图中所示立体图形，故不合题意； D、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，故不合题意． 故选：B． 2. 下列各式中，与是同类项的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类项的判定，同类项需满足字母相同且相同字母的指数相同，比较各选项与给定单项式的字母部分指数． 【详解】解：∵同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同， ∴在给定单项式中，a的指数为3，b的指数为1， 选项A：，a的指数为2，b的指数为1，指数不全相同，故不是同类项； 选项B：，a的指数为1，b的指数为2，指数不全相同，故不是同类项； 选项C：，a的指数为3，b的指数为3，指数不全相同，故不是同类项； 选项D：，a的指数为3，b的指数为1，指数完全相同，故是同类项. ∴与是同类项的为选项D， 故选：D． 3. 平凉市位于甘肃省东部，是甘肃开放开发的“东大门”，总面积11000平方公里，数据11000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法表示形式为，其中，n为整数． 详解】解：， 故选：C． 4. 在中，负有理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负有理数的定义，解题的关键是明确有理数的范畴（整数和分数），并筛选出其中小于0的数． 先判断所给各数是否为有理数，再排除正数和0，统计负有理数的个数，最后匹配对应选项． 【详解】解：所给数字整理为、、、、，其中； 是正分数，属于正有理数，不符合负有理数定义；是负整数，属于负有理数，符合定义；是负分数，属于负有理数，符合定义；是正整数，属于正有理数，不符合定义； 是正分数，属于正有理数，不符合定义； 综上，负有理数有个，选项A符合题意； 故选：A． 5. 如果，那么根据等式的性质，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质，等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立． 【详解】解：∵， ∴，即B正确； ∵， ∴，只有当时该等式才成立，故变形不一定正确，故A错误； ∵, ∴ ，因为等式左边加5，右边减5，不符合等式的性质，故C错误； ∵， ∴ ，只有当时该等式才成立，故变形不一定正确，故D错误． 故选：B． 6. 下列关于整式说法正确的是（ ） A. 单项式的系数为0 B. 单项式的次数为2 C. 是单项式 D. 是二次二项式 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的相关概念，包括单项式的系数、次数以及多项式的次数和项数，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵单项式是数字与字母的乘积，单独一个数字或字母也是单项式， ∴ 是单项式，故C正确； 对于A：单项式的系数是1，不是0，故A错误； 对于B：单项式的次数是，不是2，故B错误； 对于D：中，的次数为1，的次数为1，最高次数为1，是一次二项式，不是二次二项式，故D错误， 故选：C． 7. 在数轴上表示x，y两数的点如图所示，则下列判断错误的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，绝对值的几何意义，运用数轴判断式子的正负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴得，，再根据有理数的加法、减法、乘法逐项分析即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴D选项的判断错误． 故选：D． 8. 已知如表所示的和两个量成反比例关系，则“”处应填（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了成反比例关系定义， 由与成反比例，设（为常数），然后根据表格求出，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与成反比例， ∴设（为常数）， 由表可知，当时，， ∴， 当时，， 故选：． 9. 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短尺，问绳索、竿子各有多长？甲、乙两人所列方程如下，下列选项判断正确的是（ ） 甲：设竿子长为尺，根据题意可列方程为； 乙：设绳索长为尺，根据题意可列方程为 A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲、乙都错 D. 甲、乙都对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据竿子与绳索的长度之间的关系找相等关系列方程． 【详解】解：设竿子长为尺，则绳索长为尺，对折后绳索长为尺， 根据对折后比竿子短尺， 可得：， 故甲正确； 设绳索长为尺，则竿子长为尺，对折后绳索长为尺， 根据对折后比竿子短尺， 可得：， 故乙正确. 甲、乙都对． 故选：D． 10. 有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N（圆孔直径忽略不计，M，N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的和差计算以及线段中点的意义，理解题意，分类讨论，作出相应图形是解题关键． 根据题意，分两种情况讨论：当A，或B，重合，且剩余两端点在重合点同侧时；当B，或A，重合，且剩余两端点在重合点两侧时；作出相应图形，结合图形求解即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： 当A，或B，重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 由图可得：； 当B，或A，重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 由图可得：； 两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 比较大小：1______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较，正数大于负数，这是有理数大小比较的基本规则之一． 【详解】解：∵1是正数，是负数，而正数总是大于负数， ∴， 故答案为：>． 12. 如图，小华认为从A点到B点的四条路线中，③是路程最短的，他判断的依据是______． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：∵两点之间线段最短， ∴③是路程最短的． 故答案为：两点之间线段最短． 13. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都为零，从而求出a和b的值． 【详解】解：∵，，且， ∴且， 即，， 解得，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在平凉火车站测得平凉汽车站大约位于南偏西的位置，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查方位角的定义，解题的关键是熟知方位角的性质． 根据方位角的性质即可求解． 【详解】解：由图可知， 故答案为：． 15. 关于x方程，*处被盖住了一个数，已知方程的解是，则*处的数是______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，将代入方程，得到关于*的一元一次方程，解方程即可求出*的值． 【详解】解：把代入方程，得，计算得， 两边同时除以6，得， 移项，得， 故答案为：13． 16. 如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，…，依此规律，第个图案有_______个黑棋子． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是得到图形的一般变化规律． 仔细观察每一个图形中黑棋子的个数与图形序列号的关系，找到规律，利用规律列代数式即可． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图案有（个）黑棋子， 第②个图案有（个）黑棋子， 第③个图案有（个）黑棋子， 发现规律， 第个图案有个黑棋子数． 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解法：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，按此步骤求解即可． 【详解】 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 18. 简便计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法，乘法分配律，灵活运用运算律是解题的关键．运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；6 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值：先去括号，再合并同类项，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 20. 小明做了如下一道有理数混合运算题，在检查时发现有错误． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 （1）小明在第______步开始出现错误； （2）请给出该题的正确解答过程． 【答案】（1）一 （2）过程见详解 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）逐一分析各个步骤，发现小明在第一步时计算开始出现错误； （2）先计算乘方，再计算除法，最终计算出结果． 【小问1详解】 解：根据有理数的乘方运算规则，表示2的立方的相反数，即，而不是，所以第一步开始出现错误， 故答案为：一． 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 如图，长方形的长为a，宽为4． （1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积； （2）当，时，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）阴影部分的面积为7 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和代数式的求值．列出代数式是解决本题的关键． （1）用正方形的面积两个三角形的面积即可； （2）把，代入计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知： 阴影部分的面积； 【小问2详解】 解：当，时， 所以，阴影部分的面积为7． 22. 已知：如图，线段a和线段b （1）尺规作图：求作线段，并在线段的延长线上，求作线段；(作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹) （2）若、分别是、的中点，求的长(用含、的式子表示)． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】在射线上截取，在射线上截取，则，在射线上截取，在线段上截取，则； （2）根据线段中点的性质得出，即可求解． 【小问1详解】 解：在射线上截取，在射线上截取，则， 在射线上截取，在线段上截取，则； 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 ∵，，、分别是、的中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了作线段等于已知线段，线段的和差，线段中点的性质，数形结合是解题的关键． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 某地的气温从山脚开始变化，当海拔高度每升高100米时，气温会降低，现测得山脚的温度是． （1）求离山脚1500米高的山上某处的气温； （2）如果山上某处的气温为，请你推算此处距山脚的高度． 【答案】（1） （2）2000米 【解析】 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意可以列出算式，然后计算即可； （2）根据题意可以列出算式，然后计算即可． 【小问1详解】 解：（1） ． 答：离山脚1500米高的山上某处的气温为． 【小问2详解】 （米）． 答：此处距山脚的高度为2000米． 24. 如图，这是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：标有字母的面向外），请根据要求回答问题： （1）如果面B在长方体的上面，那么下面是面______． （2）如果从上面看是面E，从前面看是面C，那么从右面看是面______． （3）如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 【答案】（1）D （2）D （3） 【解析】 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征，即“相间、Z形是对面”进行判断即可； （2）根据各个面之间的相邻、相对关系进行判断即可； （3）根据长方体表面积的计算方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：由长方体表面展开图的“相间、Z形是对面”可知，“B”与“D”是对面，如果面B在长方体的上面，那么下面是D， 故答案为：D； 【小问2详解】 解：从上面看是面E，从前面看是C，那么右面是D； 故答案：D； 【小问3详解】 解：由题意得，长方体的长为宽为，高为，所以这个长方体的表面积是， 答：这个长方体的表面积为． 25. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． （1）请判断方程．与方程是否为“美好方程”，请说明理由； （2）若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【答案】（1）是“美好方程”，理由见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，理解“美好方程”的定义及计算，掌握解一元一次方程的方法是关键． （1）根据解一元一次方程的方法解方程，再根据“美好方程”的定义判定即可； （2）分别解方程，再根据“美好方程”的定义得到，由此即可求解． 【小问1详解】 解：是“美好方程”，理由如下， ， 解得，， ， 解得，， ∵， ∴与方程是“美好方程”； 【小问2详解】 解：， 解得，， ， 解得，， ∵关于的方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得，． 26. 某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． （1）甲种商品每件进价为______元，乙种商品的利润率为______； （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共46件，恰好总进价为2100元，则分别购进甲、乙两种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场针对甲，乙两种商品进行如下优惠促销活动： 一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过800元 不超过500元的部分不打折，超过500元的部分打8折优惠 超过800元 不超过500元的部分不打折，超过500元但不超过800元的部分打8折，超过800元的部分打6折 按上述优惠条件，若小艺一次性购买甲，乙两种商品实际付款1100元，请问小艺所购买的甲、乙两种商品在打折前应付款多少元？ 【答案】（1）40； （2）甲种商品20件，乙种商品26件 （3）1400元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，列出方程求解． （1）设甲种商品的进价为x元/件，根据甲的利润率为，求出x的值．根据利润率等于利润除以进价求出乙种商品的利润率； （2）设购进甲种商品n件，则购进乙种商品件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； （3）设小艺所购买的商品在打折前应付款y元．先判断出打折前付款额超过800元，再根据优惠措施列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种商品的进价为x元/件， 则， 解得：， 故甲种商品的进价为40元/件； 乙种商品的利润率为． 故答案为：40；； 【小问2详解】 解：设购进甲种商品n件，则购进乙种商品件， 由题意得， 解得， ． 答：购进甲种商品20件，乙种商品26件． 【小问3详解】 解：设小艺所购买的商品在打折前应付款y元． 若打折前付款金额为800元，则打折后实际付款金额为（元）， 小艺一次性购买甲，乙两种商品实际付款1100元，可知打折前付款额超过800元， 由题意得， 解得． 答：小艺所购买的商品在打折前应付款元． 27. 【综合与实践】 【问题情景】如图，O为直线上的一点，过点O作射线，使得，将直角三角板的直角顶点放在点O处，，一边在射线上，另一边在直线的下方． 【独立思考】 （1）在图1中，的度数为______． 【实践探究】 （2）将图1中的三角板按图2的位置摆放，使得在的平分线上，求的度数． 【拓展探究】 （3）将上述直角三角板按图3的位置摆放，使得在的内部，试猜想的度数，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查角的计算，找出各个角之间的关系，与已知条件建立关系，然后求出所求角的度数是解题的关键． （1）根据平角的定义可知，结合已知条件，即可求出和的度数； （2）根据和在的平分线上可以得到，再根据即可求解； （3）设，根据角的和差关系，分别用含有的式子表示出和，然后两者相减即可得到其度数． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：． （2）由（1）可知， 因为在的平分线上， 所以， 所以． （3）． 理由如下：设， 由（1）可知， 所以． 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $