精品解析：天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高三上学期第三次学业质量检测数学试题

杨村一中2025~2026学年度第一学期第三次学业质量检测 高三数学 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知不重合的直线l，m和不重合的平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 5. 若函数是定义在上的奇函数，对于任意两个正数、，都有.记，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（ ） ①若，则函数的值域为 ②是函数图象的一个对称轴 ③函数在区间上是增函数 ④函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知数列的通项公式，在每相邻两项之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ） A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 8. 距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的是一种茅屋，如图1所示，该茅屋主体是一个正四棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道，甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体，一端与茅屋的这个侧面连在一起，另一端是一个等腰直角三角形.图2是该茅屋主体的直观图，其中正四棱锥的侧棱长为，点在正四棱锥的斜高PH上，平面ABC且.不考虑建筑材料的厚度，则这个茅屋（含甬道)的室内容积为（ ） A. B. C. D. 9. 设双曲线的左、右焦点分别为，，坐标原点为，第一象限的点在双曲线上，连接并延长交双曲线另一点，若，则（ ） A. B. 8 C. D. 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知复数，则复数的虚部为________. 11. 已知过点的直线与圆交于，两点，且，则的面积是_______________． 12. 设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，已知直线交轴于点，且的面积为8，则该抛物线的方程为______. 13. 若，，，则的最小值为______． 14. 在梯形中，与相交于点Q．若，则________；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为_________． 15. 已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为_________. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，M是上的点，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点.若，，三点共线，求证：. 19. 在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项. （1）若数列中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的所有“次生数列”； （2）若满足，且为等比数列，的“次生数列”为. （i）求的值； （ii）求的前项和. 20. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数. （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）对任意，，判断和的大小关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨村一中2025~2026学年度第一学期第三次学业质量检测 高三数学 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，利用交集概念求出答案. 【详解】由题意得，，则． 故选：A． 2. 设且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，结合特殊情况可排除，从而得到答案. 【详解】对A，令，定义域为， 因为， 所以函数为奇函数， 所以其图象关于原点对称，故A不满足； 对B，当时，，故B不满足； 对C，当，故C不满足； 而D均满足以上分析. 故选：D. 4. 已知不重合的直线l，m和不重合的平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中的线、面关系分析判断. 【详解】对于A：若，，则平面，的位置关系有：平行、相交，故A错误； 对于B：若，，则的位置关系有：或，故B错误； 对于C：若，，根据线面垂直的性质可知：，故C正确； 对于D：根据面面平行的判定定理可得：若相交，则，否则不成立，故D错误. 故选：C. 5. 若函数是定义在上的奇函数，对于任意两个正数、，都有.记，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数，根据题意推导出函数为偶函数且在上单调递减，可得，，，比较、、三个数的大小关系，进而可得出、、三个数的大小关系. 【详解】构造函数，函数的定义域为， 因为函数为上的奇函数，则， ，函数为偶函数， 对于任意两个正数、，都有，则， 所以，，则函数在上单调递减， ，，， ，则，即. 故选：A. 【点睛】利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小关系，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，先比较出自变量的大小关系，再利用其单调性得出函数值的大小关系，若为偶函数，则． 6. 已知函数的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（ ） ①若，则函数的值域为 ②是函数图象的一个对称轴 ③函数在区间上是增函数 ④函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象求得函数解析式，然后利用正弦函数性质确定单调性、对称中心、函数值域及三角函数图象变换判断即得． 【详解】由图象可得：，，则，可得， 由在处取到最小值，则， ∵，则， ∴，解得， 故. 若，则， ∴，且函数在区间上不是增函数，①正确，③错误； ∵为最小值， ∴是函数图象的一个对称轴，②正确； 函数的图象向右平移个单位长度得到，④正确； 故选：C. 7. 已知数列的通项公式，在每相邻两项之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ） A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法分析数列，由此求得正确答案. 【详解】由题可知，数列各项依次为：， 当时，， 当时，， 所以成立的的最小值为35. 故选：A. 8. 距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的是一种茅屋，如图1所示，该茅屋主体是一个正四棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道，甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体，一端与茅屋的这个侧面连在一起，另一端是一个等腰直角三角形.图2是该茅屋主体的直观图，其中正四棱锥的侧棱长为，点在正四棱锥的斜高PH上，平面ABC且.不考虑建筑材料的厚度，则这个茅屋（含甬道)的室内容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意问题转化为四棱锥体积与三棱柱体积再加一个小三棱锥体积之和，运用体积公式求解即可. 【详解】设为正四棱锥底面中心，连接，则， ， ， ，则； 取的中点，连接，过点作于点， 则， 在中，过作交于，连接， 则,则， 所求体积. 故选：. 9. 设双曲线的左、右焦点分别为，，坐标原点为，第一象限的点在双曲线上，连接并延长交双曲线另一点，若，则（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，可得四边形为平行四边形，则，设，则，然后结合双曲线的定义可求出，再利用余弦定理求出，再由两边平方化简可求出，从而可求出. 【详解】连接，由题意可得，， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以， 设，则，， 所以，得， 所以，， 在中，由余弦定理得， 因为为的中点，所以， 所以 ， 所以，即， 所以. 故选：C 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知复数，则复数的虚部为________. 【答案】 【解析】 【分析】 先由复数的除法运算，化简，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】因为， 所以其共轭复数为，因此其虚部为： 故答案为： 【点睛】本题主要考查求复数的共轭复数，熟记共轭复数的概念，以及复数的除法运算法则即可，属于基础题型. 11. 已知过点的直线与圆交于，两点，且，则的面积是_______________． 【答案】4 【解析】 【分析】设的中点为，，弦心距为，由和根据勾股定理列式求解，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】 ，所以在圆内， 设的中点为， 设，因为， 所以， 设圆心到直线的距离为，所以， 又， 解得，则，， 所以的面积是. 故答案为：4. 12. 设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，已知直线交轴于点，且的面积为8，则该抛物线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合抛物线的定义可得，结合易得，进而根据的面积求出，进而得解. 【详解】根据题意作出如图所示的图象： 其中，，为双曲线的准线，且准线方程为，，， 设，则，. 在中，为的中点，则为的中点，即，， ∵的面积为8， ∴，即，又， ∴，解得， ∴该抛物线的方程为. 故答案为：. 13. 若，，，则的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】由基本不等式乘1法即可求解. 【详解】，，， 则， 当且仅当，时取到等号． 即的最小值为6， 故答案为：6 14. 在梯形中，与相交于点Q．若，则________；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】易得四边形为平行四边形，设，再将用表示，根据共线，求得，再将用表示，根据数量积的运算律即可求出；根据求得，以点为原点建立平面直角坐标系，设，再根据数量积的坐标表示即可求出答案. 【详解】解：因为， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以且， 则可设， 故， 因为共线， 所以，解得， 所以， 因为， 所以， 所以； 因为， 所以， 所以， 又，所以， 因为，所以， 如图以点为原点建立平面直角坐标系， 则， 设， 故， 则， 当时，取得最小值. 故答案为：；. 15. 已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据是否有零点，分类讨论，当时，恒成立，根据题意求解即可；当，时，恒成立，不符合题意，当，时，结合二次函数性质讨论得没有实数根，最后计算可得. 【详解】（1）当，即时， 恒成立， 所以， 因为有两个零点， 所以且，解得或（舍）， 所以或； （2）当，即或， 设的两个根为，且， 当时，恒成立，不满足题意， 当，有有两个解， 因为，，所以与在必有一个交点， 当时，与没有交点， 当时，，所以与在必有一个交点 所以要使方程有且只有两个零点， 则无解， 即没有实数根， 即，解得， 因为，所以， 综上实数的取值范围为：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题得关键在于讨论当时，恒成立，当时，结合二次函数性质，二次项系数越大，开口越小，得出没有实数根，最后计算可得. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【小问1详解】 已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； 【小问3详解】 由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，M是上的点，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 由平面，，结合平面, 故， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由有：， 所以， 由，所以， 所以，即， 所以，即， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2） （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算，利用数量积得，，利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）分别求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解； （3）假设在线段上存在点，设，求出，利用点到面的距离的向量求法即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）有， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 假设线段上存在点，使得点Q到平面的距离是， 设，所以， 由（2）知平面的一个法向量为， 所以， 所以点Q到平面的距离为，解得， 所以当时，存在点满足题意. 18. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点.若，，三点共线，求证：. 【答案】（1） （2） 由题意可设，，，且，. 直线的方程为. 由消去，整理得. 成立. 由，解得. 所以.所以. ①当直线轴时，，解得， 由椭圆的对称性可得. 又因为，所以. ②当直线不垂直轴时，即时，， 直线的斜率.同理. 因为，，三点共线，所以.所以. 在和中，，， 所以.因为，均为锐角，所以. 综上，若，，三点共线，则. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和三角形面积公式列方程组求解可得方程； （2）设，，，且，，联立直线的方程和椭圆方程表示出点坐标，根据三点共线得的关系，然后可证. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 19. 在数列中，按照下面方式构成“次生数列”，…，，其中表示数列中最小的项. （1）若数列中各项均不相等，只有4项，，且，请写出的所有“次生数列”； （2）若满足，且为等比数列，的“次生数列”为. （i）求的值； （ii）求的前项和. 【答案】（1）或或； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据次生数列的定义得到，从而得到有3个，分别为或或. （2）（i）根据为等比数列，求出公比，求出，从而根据次生数列的定义得到，，得到的值； （ii）当为偶数时，，故，错位相减法求和，再求出当为奇数时，，检验时，也符合上式，从而得到答案. 【小问1详解】 因为，，中各项均不相等， 所以， 若，此时“次生数列”为， 若，此时“次生数列”为， 若，此时“次生数列”为， 所以“次生数列”的定义可知有3个， 分别为或或. 【小问2详解】 （i）设数列的公比为， 因为为等比数列，且， 所以，即，解得， 所以，则. 由“次生数列”的定义，可知， ， 故. （ii）由（i）可知当为偶数时，， ① ，② 由①-②得 ， 所以. 当时，， 当为奇数且时，为偶数， 则 ， 显然当时，也符合上式， 故 【点睛】方法点睛：数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题，需要对分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项相消法求和. 20. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数. （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）对任意，，判断和的大小关系，并说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：，设，，则， 所以在上单调递减，因，， 故存在唯一，使得，即，即， 则当时，，，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递减， 为的极大值点，， 函数在区间上单调递减，则， 即. （ⅱ），理由：由，因为和在上单调递增， 则在上单调递增，且，， 则存在唯一，使得，即，即，（*） 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，故在区间上单调递增， 的最小值为， 由（ⅰ）可知，的最大值为，且，（**） 由于函数在上为增函数，由（*），（**）式可得， 故对任意正实数a，b，都有， 故对任意正实数a，b，都有. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式即可求得切线方程； （2）（i）利用导数判断的单调性，求得的范围和的表达式，利用单调性证明；（ii) 通过求导得到的最小值为，满足，由（i）已得的最大值为，满足，根据函数在上为增函数可得，将结果代入，化简计算即可确定和的大小关系. 【小问1详解】 由，可得，求导得， 则， 故曲线在点处切线方程为， 即. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $