精品解析：甘肃省天水市张家川回族自治县2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

张家川县2025~2026学年度第一学期期末调研 八年级数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的立方根是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 在中，，，，则的值为（ ） A. 4 B. 16 C. 32 D. 40 3. 下列计算中，正确的是(　　) A. B. C. D. 4. 用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 若 与是同一个正数的两个不等平方根，则m的值为（　　） A. 3 B. C. 1 D. 7. 杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶住屋顶处，这根木头需要长度可能是（ ） A. 2.5 B. 6 C. 4 D. 8 8. “共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，现已成为城市交通出行的新方式．小张对他所在的小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法正确的是（） A. 组数为5 B. 每个小组的组距为5 C. 样本中当月使用“共享单车”不足20次的有12人 D. 样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数多于40次~60次的人数 9. 如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长为（    ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10. 若的展开式中不含项，则常数a的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：______． 12. “永不言弃”的英语翻译是，短语中“e”出现的频率为________． 13. 已知是无理数，且，写出一个满足条件的的值是______________． 14. 如图，在中，，，，将沿所在直线向右平移得到，连接，若，则线段的长为______． 15. 如图，在中，是的垂直平分线，交于，交于，连接，已知，的周长为，则的周长是________． 16. 勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第4个勾股数组为______． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 分解因式 19. 化简：． 20. 电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两城镇，的距离要相等，发射塔到两条高速公路和的距离要相等． ①连接，作线段的垂直平分线； ②作的平分线交于点； 则点就是所要修建的电视信号发射塔． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出电视信号发射塔的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 21. 某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 22. 某八年级数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：如图，首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，此时直杆与地面的夹角为（即），然后使直杆沿墙面竖直缓慢下滑至位置（即），此时直杆与地面的夹角为（即），最后测得，，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求攀岩墙的高度． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 《中国诗词大会》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，深受观众喜爱．受此启发，为了引导同学们赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美，某学校在校内也举办了一场校园诗词大赛，获得了广大同学的积极响应．赛后学校随机抽取了部分同学的比赛成绩（设为）进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图表．请结合统计图表，解答如下问题： 学生比赛成绩频数分布表 组别 成绩（单位：分） 频数 6 13 10 3 （1）本次采用的调查方式为________（填“普查”或“抽样调查”），本次调查的样本容量为________，________； （2）若成绩在90分及以上为“优秀”，求评为“优秀”的学生所在扇形圆心角的度数； （3）求所抽取学生中成绩低于85分的学生占所抽取学生的百分比． 24. “9·3”阅兵仪式以点线面铸就钢铁洪流，是展现国家力量的绝对证明．在阅兵仪式的观礼区内，有一块长为米，宽为米的长方形座位区．为方便特殊观礼群体，工作人员在这块长方形座位区中划出了两块边长均为y米的正方形区域作为专属观礼区，剩余的“T”形区域（阴影部分）为普通观礼区． （1）用含x，y的式子表示普通观礼区的面积； （2）当时，请计算普通观礼区的面积． 25. 如图，有一块三角形菜园，其中，，． （1）判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； （2）现要扩大菜园，在边的延长线上找一点，使边的长为，求菜园的面积扩大了多少． 26. 如图，在与中，点，，，在同一条直线上，连接，，且，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 27. 在中，，点为所在直线上的一个动点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，过点作，交直线于点，连接． 【初步思考】（1）如图，当点在线段上，若，，则的周长是________； （2）若： 【深入探究】如图，当点在线段上时，请判断的形状？并说明理由； 【拓展延伸】当点在的延长线上时，请判断的形状？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张家川县2025~2026学年度第一学期期末调研 八年级数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的立方根是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查立方根，根据立方根定义与求法直接求解即可得到答案，熟记立方根定义与求法是解决问题的关键． 【详解】解：的立方根是， 故选：C． 2. 在中，，，，则的值为（ ） A. 4 B. 16 C. 32 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意利用勾股定理代入计算即可． 【详解】解∶ 在中，，，， ∴， 故选：C 3. 下列计算中，正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查指数运算的规则，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同底数幂相乘、幂的乘方，合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A：，∴A错误； B：，∴B错误； C：∴C正确； D：，∴D错误． 故选：C． 4. 用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设． 故选：A． 5. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 6. 若 与是同一个正数的两个不等平方根，则m的值为（　　） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的性质列方程求解即可； 【详解】∵ 与是同一个正数的两个平方根， ∴ 与互为相反数， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键． 7. 杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶住屋顶处，这根木头需要长度可能是（ ） A. 2.5 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，过点A作于点E，由等腰三角形的性质得米，由勾股定理求出米，然后由，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ∵米，米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， 由题意可知，， 即3米米， 故这根木头需要长度可能是4米， 故选：C． 8. “共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，现已成为城市交通出行的新方式．小张对他所在的小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法正确的是（） A. 组数为5 B. 每个小组的组距为5 C. 样本中当月使用“共享单车”不足20次的有12人 D. 样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数多于40次~60次的人数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是根据频数分布直方图得出样本容量及各组具体人数．从直方图中有效地获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、组数为6，故此选项不符合题意； B、每个小组的组距为10，故此选项不符合题意； C、样本中当月使用“共享单车”不足20次的有12人，故此选项符合题意； D、样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有（人），40次～60次的人数有（人），因为，故此选项不符合题意； 故选：C． 9. 如图，是的角平分线，，垂足为E，，，，则长为（    ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点D作于点F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式可求出的面积，即可求出的面积，即可求出答案． 【详解】解：过D作于F， 是的角平分线，，， ， ， 的面积为9， 的面积为， ， ， ， 故选：B． 10. 若的展开式中不含项，则常数a的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题关键，不含哪一项就合并同类项后令该项的系数等于0． 根据多项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后根据展开式中不含x2项，可得x2项的系数等于0，即可求出a的值． 【详解】 ∵的展开式中不含项， ∴ ∴． 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可得到结果． 【详解】解：． 12. “永不言弃”的英语翻译是，短语中“e”出现的频率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了频率的计算方法，记住频率=频数总数是解答此题的关键．根据频数、频率的定义即可得出答案． 【详解】在11个字母中，“e”出现了3次，即频数为3，频率为． 故答案为：． 13. 已知是无理数，且，写出一个满足条件的的值是______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据是无理数，且，得出，从而即可得出答案，准确进行估算是解此题的关键． 【详解】解：是无理数，且， ， 满足条件的的值是（答案不唯一）． 14. 如图，在中，，，，将沿所在直线向右平移得到，连接，若，则线段的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．根据平移的性质可得，，然后根据等边三角形的定义列式计算即可得解． 【详解】解：， 沿射线方向平移2个单位后得到， ，， ， 是等边三角形， ， 故答案为：4． 15. 如图，在中，是的垂直平分线，交于，交于，连接，已知，的周长为，则的周长是________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端距离相等． 根据垂直平分线的性质得出，，进而得出，即可解答． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴的周长， 故答案为：12． 16. 勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第4个勾股数组为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，由勾股数组：，，，…可知，，，，…可得第4个勾股数组中间的数为：，即可得出结论． 【详解】解：由，，，…第四个为， 第4组勾股数中间的数为，即勾股数组为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，求一个数的算术平方根．先将立方根和算术平方根化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 分解因式 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，以及多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 先利用完全平方公式和平方差公式，将小括号展开，再根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两城镇，的距离要相等，发射塔到两条高速公路和的距离要相等． ①连接，作线段的垂直平分线； ②作的平分线交于点； 则点就是所要修建的电视信号发射塔． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出电视信号发射塔的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 如图，点即为所求 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，以及线段垂直平分线和角平分线的判定定理，正确掌握尺规作图的方法是解题的关键． 根据线段垂直平分线和角平分线的判定定理可得点为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此利用尺规作图即可． 【详解】略 21. 某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 【答案】，超速了 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先根据勾股定理求出，再根据速度公式求出速度，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∴该汽车的速度为， ∵， ∴可疑汽车超速了． 22. 某八年级数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：如图，首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，此时直杆与地面的夹角为（即），然后使直杆沿墙面竖直缓慢下滑至位置（即），此时直杆与地面的夹角为（即），最后测得，，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求攀岩墙的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可证明，再证明，即可得到． 【详解】解：，， ， 在和中， ． ， 答：攀岩墙的高度为． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 《中国诗词大会》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，深受观众喜爱．受此启发，为了引导同学们赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美，某学校在校内也举办了一场校园诗词大赛，获得了广大同学的积极响应．赛后学校随机抽取了部分同学的比赛成绩（设为）进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图表．请结合统计图表，解答如下问题： 学生比赛成绩频数分布表 组别 成绩（单位：分） 频数 6 13 10 3 （1）本次采用的调查方式为________（填“普查”或“抽样调查”），本次调查的样本容量为________，________； （2）若成绩在90分及以上为“优秀”，求评为“优秀”的学生所在扇形圆心角的度数； （3）求所抽取学生中成绩低于85分的学生占所抽取学生的百分比． 【答案】（1）抽样调查，50，18 （2） （3） 【解析】 【分析】 本题主要考查调查与统计的相关知识； （1）根据普查和抽样调查的定义，可知采用的调查方式，用C组的频数除以其所占百分比，即可求出样本容量；用样本容量乘以B组人数所占百分比，即可解答； （2）用乘以成绩在90分及以上人数所占百分比，即可解答； （3）用成绩低于85分的学生人数除以样本容量，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得，本次采用的调查方式为抽样调查， 本次调查的样本容量为：， 学生成绩统计表中， 故答案为：抽样调查，50，18； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：． 24. “9·3”阅兵仪式以点线面铸就钢铁洪流，是展现国家力量的绝对证明．在阅兵仪式的观礼区内，有一块长为米，宽为米的长方形座位区．为方便特殊观礼群体，工作人员在这块长方形座位区中划出了两块边长均为y米的正方形区域作为专属观礼区，剩余的“T”形区域（阴影部分）为普通观礼区． （1）用含x，y的式子表示普通观礼区的面积； （2）当时，请计算普通观礼区的面积． 【答案】（1）平方米； （2）8200平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积； （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把代入求解即可． 【小问1详解】 平方米 【小问2详解】 当时， 平方米． 答：普通观礼区的面积为平方米． 25. 如图，有一块三角形菜园，其中，，． （1）判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； （2）现要扩大菜园，在边的延长线上找一点，使边的长为，求菜园的面积扩大了多少． 【答案】（1） ，理由：∵，，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理． （1）根据题目所给数据，得出，推出，即可解答； （2）根据勾股定理求出，进而得出，最后求出的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴． ∴菜园的面积扩大了． 26. 如图，在与中，点，，，在同一条直线上，连接，，且，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴； （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键． （1）根据得出，则，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 27. 在中，，点为所在直线上的一个动点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，过点作，交直线于点，连接． 【初步思考】（1）如图，当点在线段上，若，，则的周长是________； （2）若： 【深入探究】如图，当点在线段上时，请判断的形状？并说明理由； 【拓展延伸】当点在的延长线上时，请判断的形状？并说明理由． 【答案】（）； （）为等腰三角形， 证明：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 为等腰三角形，理由： 如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）先证明，则有，再证明为等边三角形，从而求解； （2）先证明，所以，则，根据平行线的性质可得，所以，从而有，然后通过等腰三角形的判定即可求解； 证明，则有，又，所以，根据平行线性质可得，所以，则，根据等角对等边即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长是， 故答案为：； （2）略 略 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等角的补角相等等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $