专题03 期末复习（基础篇）讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版（必修第三册+空间向量）

该高中数学期末复习讲义通过模块式框架系统梳理知识体系，涵盖空间直线与平面、空间几何体等五大模块，以知识框架图呈现各模块内在逻辑，突出空间观念与概率统计的核心联系，明确重难点分布。 讲义亮点在于真题情境化练习设计，如空间几何动点问题、概率独立事件判断等例题，培养逻辑推理与数据分析素养。基础题巩固知识，综合题提升能力，助力分层教学，为教师精准复习提供有效支持。

2025-2026学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期末复习满分冲刺讲义（基础篇） 模块一：空间直线与平面 模块二：空间几何体 模块三：概率初步 模块四：统计 模块五：空间向量 模块一：空间直线与平面 【例1】（24-25徐汇区校级月考）下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面．其中正确的是　　． 【例2】（24-25高二上·上海·期中）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为 . 【例3】（2023·上海·高三校联考阶段练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（   ） A．直线与直线CP可能相交 B．直线与直线CP始终异面 C．直线与直线CP可能垂直 D．直线与直线BP不可能垂直 【例4】空间中有两个不同的平面、和两条不同的直线m、n，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【例5】如图，在正方体中，、为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则平面平面 C．若，，则平面 D．若，，则 【例6】如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为 ． 【例7】已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的大小为 ． 【例8】在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为 . 模块二：空间几何体 【例9】（24-25高二上·上海·期中）设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例10】下列结论正确的是（    ） A．底面是平行四边形的棱柱是平行六面体 B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 D．圆台的上底面圆周上的任意一点与下底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【例11】已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是 . 【例12】若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 . 【例13】（23-24高二上·上海崇明·期中）已知圆锥的底面半径为2，侧面积为，则此圆锥的体积为 ． 【例14】（25-26高二上·上海·期中）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为 . 【例15】已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【例16】已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为 ． 【例17】如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点，则三棱锥的体积为 ． 【例18】已知球的两个平行截面的面积分别为，且两个截面之间的距离是，则球的表面积为 ． 【例19】已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 ． 【例20】已知正三棱锥的所有顶点均在球的球面上，，侧棱，点在线段上，且．过点作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例21】若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 【例22】如图，已知正三棱柱的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱、爬到点，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱爬到点．设，，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则 【例23】如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 模块三：概率初步 【例24】从0，1，2这三个数字中，不放回地取两次，每次取一个，将这两个数构成有序数对（x，y），其中x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字，则该试验的样本空间为 　　． 【例25】（2021秋•浦东新区期末）在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，则“取出的球是白球”为 　　现象（填“随机”或“确定性”）． 【例26】（2021秋•黄浦区校级期末）若将抛掷一枚硬币所出现的结果“正面（朝上）”与“反面（朝上）”，分别记为H、T，相应的抛掷两枚硬币的样本空间为Ω＝{HH，HT，TH，TT}，则与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间的子集为 　　． 【例27】（2021秋•杨浦区校级期末）已知事件A、B、C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法不正确的是（　　） A．事件A发生一定导致事件C发生 B．事件B发生一定导致事件C发生 C．事件发生不一定导致事件发生 D．事件发生不一定导致事件发生 【例28】三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为 . 【例29】甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为 . 【例30】银行储蓄卡的密码由6个数字组成，每个数字可以是十个数字中的任意一个．假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是 ． 【例31】甲､乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束.已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为24的概率为 . 【例32】为了解某年级学生的课外学习情况，从该年级名学生中按分层抽样，从男生中抽取名，女生中抽取名，则男生甲被抽中且女生乙没有被抽中的概率为 （用数字作答） 【例33】掷质地均匀的一黑、一白两颗骰子，观察朝上的点数，A表示事件“两颗骰子的点数和为7”，B表示事件“白色骰子的点数是1”，C表示事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，分别验证事件A与事件B、事件A与事件C是否独立，请说明理由． 【例34】现有4个礼品盒，前三个礼品盒中分别装了一支钢笔，一本书以及一个笔袋，第4个礼品盒中三样均有.现随机抽取一个礼盒，事件A为抽中的盒子里面有钢笔，事件B为抽中的盒子里面有书，事件C为抽中的盒子里面有笔袋，则下面选项正确的是（    ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C．A与互斥 D．A与相互独立 【例35】（2021秋•普陀区校级期末）已知事件A与事件B相互独立，若，则P（A）＝　． 【例36】事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（    ） A． B． C． D． 【例37】设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 【例38】设、分别是事件A、B的对立事件，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若A、B是互斥事件，则 C． D．若A、B是独立事件，则 【例39】给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例40】某社区举办“闹元宵，猜灯谜”活动.甲、乙、丙三个家庭同时参加此活动．某一灯谜，已知甲家庭猜对的概率是，甲、丙两个家庭都猜错的概率是，乙、丙两个家庭都猜对的概率是．若各家庭是否猜对互不影响． (1)求乙、丙两个家庭各自猜对此灯谜的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭猜对此灯谜的概率． 【例41】甲乙两人进行某项比赛 (1)若比赛结果有胜利、失败、平局三种，已知甲获胜的概率为，甲不输的概率为，求甲乙两人取得平局的概率； (2)若比赛结果只有胜利、失败两种，已知甲获胜的概率为（），对于甲来说，一局定胜负和三局两胜两种比赛方式比较，试问哪种比赛方式对甲更有利？说明你的理由. （说明：“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，做多三局结束） 【例42】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数（人） x 30 25 y 10 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)若将这100位顾客分成两类，第一类是购物量不超过8件的人群，第二类为购物量超过8件的人群，现采用分层抽样的方法抽取20位顾客，进行问卷调查，求第二类人群中应抽取的人数； (3)若将频率视为概率，求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率. 模块四：统计 【例43】从总体容量为的一批电子元件中抽取一个容量为30的样本，若每个电子元件被抽到的可能性为，则总体容量 ． 【例44】某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了抽检，则（ ） A．该市场监管局的调查方法是普查 B．样本的个体是每种冷冻饮品的质量 C．样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品 D．样本容量是该超市的20种冷冻饮品数 【例45】某校学生总人数为1000人，其中高三人数为300人，现采用分层抽样方式从全校学生中抽取20人参加一项活动，则高一高二的参加活动的总人数为 . 【例46】要考查某种品牌的颗种子的发芽率，从中抽取颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将颗种子按、、、进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始并向右读，则抽到的第颗种子的编号是 .（下面抽取了随机数表第行至第行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【例47】已知总体划分为2层，通过按比例分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，总的样本平均数为，则总的样本方差用上述已知量表示为 . 【例48】学校开展国防知识竞赛，对100名学生的竞赛成绩进行统计，发现这100名同学的成绩都在[50，100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，图中x的值是 ． 【例49】某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中到A班的有 人. 【例50】商场为改进服务质量，提升顾客购物体验，从2023年第三季度消费过的顾客中随机抽取部分人进行满意度问卷调查．并将这部分人满意度的得分分成以下6组：，统计结果如图所示．那么该商场顾客满意度得分的第60百分位数为 ．      【例51】某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示. 花费时间（分钟） 时间等级 一级 二级 三级 (1)试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； (2)已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； (3)现从这20人中随机抽取男、女生各一人，设事件为“被选中的男生的时间等级小于被选中的女生的时间等级”，假设这20个人上学互不影响，求事件发生的概率. 【例52】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，，第六组，得到如图所示的频率分布直方图.其中第一组有2人，第二组有13人.求与的值. 模块五：空间向量 【例53】已知、、是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是 ． ①，，； ②，，； ③，，． 【例54】已知向量，， 若共面，则等于（   ） A． B．1 C．1或 D．1或0 【例55】在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．5 【例56】已知空间中三点，设 (1)已知，求的值； (2)若，且，求的坐标. 【例57】已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【例58】若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例59】如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 期末复习满分冲刺讲义（基础篇） 模块一：空间直线与平面 模块二：空间几何体 模块三：概率初步 模块四：统计 模块五：空间向量 模块一：空间直线与平面 【例1】（24-25徐汇区校级月考）下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面．其中正确的是　　． 【分析】主要根据公理2以及推论判断①②③④，利用空间图形和几何体进行判断⑤⑥⑦． 【解答】解①根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故①不对； ②根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故②不对； ③由异面直线的定义知，两条直线不一定确定一个平面，故③不对； ④因梯形的一组对边平行，所以由“两条平行确定一个平面”知，梯形是一个平面图形，又因三角形的三个顶点不共线，故④对； ⑤比如空间四边形则不是平面图形，故⑤不对；⑥比如空间六边形则不是平面图形，故⑥不对； ⑦两两相交于同一点的三条直线，如三棱锥的三个侧面，它们确定了三个平面，故⑦不对． 故答案为：④． 【点评】本题的考点是平面公理2以及推论的应用，主要利用公理2的作用和公理中的关键条件进行判断，考查了空间想象能力． 【例2】（24-25高二上·上海·期中）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为 . 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】先推导出原三角形的面积与其直观图面积之间的关系，并求出的面积，由此可得出的面积. 【详解】不妨设的底边，点到边的距离为，则，如下图所示： 在斜二测直观图中，如下图所示： 点到直线的距离为， 所以，，则， 本题中，在直观图中，， 则为等边三角形，则， ， 所以，， 所以，， 则. 故答案为：. 【例3】（2023·上海·高三校联考阶段练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（   ） A．直线与直线CP可能相交 B．直线与直线CP始终异面 C．直线与直线CP可能垂直 D．直线与直线BP不可能垂直 【答案】B 【解析】在正三棱柱中， 因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面，，， 所以四点不共面， 所以直线与直线CP始终异面，故A错误，B正确； 对于C，设， 则， ， 若直线与直线CP垂直，则， 即， 所以， 即，解得， 因为，所以不存在点使得直线与直线CP垂直，故C错误； 对于D，连接， 因为为的中点，所以， 又因平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D错误. 故选：B. 【例4】空间中有两个不同的平面、和两条不同的直线m、n，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据面面垂直的性质结合线线以及线面的位置关系可判断B；根据面面平行的性质结合线线以及线面的位置关系可判断ACD. 【详解】对于选项A：若，，，则可能异面，故A错误； 对于选项B：若，，则与不一定垂直， 且，所以与不一定垂直，故B错误； 对于选项C：若，，可知， 且，所以，故C正确； 对于选项D：若，，，则可能有，故D错误； 【例5】如图，在正方体中，、为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则平面平面 C．若，，则平面 D．若，，则 【答案】D 【知识点】面面平行证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据正方体的特征及线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定判断AB；利用正方体的特征及面面平行的判定与性质判断CD. 【详解】    对于A，，底面，底面，则， 又平面，则平面，平面，所以，A正确； 对于B，，则平面，又平面，则平面平面， 而平面与平面重合，平面平面，B正确；    对于C，在正方体中，， 而平面，平面，则平面，同理平面， 又平面，因此平面平面， 由平面，得平面，C正确； 对于D，由于分别为上的动点，则与不一定相等，与不一定平行，D错误. 故选：D 【例6】如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为 ． 【答案】 【解析】取中点为,连接,记与交点为,如图所示: 因为G,F分别是棱,的中点, 所以,且,故四边形为平行四边形, 所以,所以与BF所成角即为与所成角, 因为正方体,E,G是棱AD,的中点, 所以, 所以,即, 因为,所以, 所以, 故与所成角为,即与BF所成角为. 故答案为: 【例7】已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的大小为 ． 【答案】 【解析】解:由题知,取中点为，连接如图所示: 不妨设正四面体棱为6, 根据分别为中点得：， 因为与为等边三角形, 所以，故，同理， 在中,由余弦定理可得: ， 故, 因为, 所以异面直线CE与BD所成角，即直线CE与所成角，即, 故异面直线CE与BD所成角为. 故答案为: 【例8】在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为 . 【答案】 【知识点】由线面角的大小求长度 【分析】根据线面角的定义得即为直线与平面所成的角，在中由可得结果. 【详解】连接，因为在正四棱柱 中，所以平面， 所以为直线在平面内的射影， 所以即为直线与平面所成的角，即 设正四棱柱的高为h，又，在中，， 解得， 故答案为：. 模块二：空间几何体 【例9】（24-25高二上·上海·期中）设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】判断命题的真假、棱柱的结构特征和分类 【分析】底面是矩形，侧棱和底面不一定垂直，①为假命题；棱长都相等，底面可能为菱形，②是假命题；当侧棱垂直于底面两条平行的边时不能得到侧棱和底面垂直，③是假命题；由对角线相等可得侧棱.和底面垂直，④是真命题. 【详解】①是假命题，底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体，不是长方体. ②是假命题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体. ③是假命题，侧棱垂直于底面两条平行的边，则不能得到侧棱和底面垂直，不是直平行六面体. ④是真命题，对角线相等的平行四边形为矩形，故平行六面体中过相对侧棱的两个对角面都是矩形，从而侧棱垂直于底面的两条对角线，故垂直于底面，是直平行六面体. 故选：A． 【例10】下列结论正确的是（    ） A．底面是平行四边形的棱柱是平行六面体 B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 D．圆台的上底面圆周上的任意一点与下底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【答案】A 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析 【分析】根据平行六面体、三棱锥、圆锥、圆台的母线的概念进行逐项分析即可. 【详解】对于A：底面是平行四边形的四棱柱为平行六面体，故A正确； 对于B：如果两个相同的三棱锥叠放在一起，得到的几何体各个面都是三角形，但几何体不是三棱锥，如下图所示： 故B错误； 对于C：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的几何体叫圆锥， 显然若旋转未满一周，则几何体不是圆锥，故C错误； 对于D：过圆台上下底面平行的直径同一侧的端点的连线叫做圆台的母线，故D错误； 故选：A. 【例11】已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则该圆柱的表面积是 . 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】根据给定条件，求出该圆柱的底面圆半径，再求出其表面积. 【详解】依题意，圆柱的底面圆周长为4，则半径， 所以该圆柱的表面积. 故答案为： 【例12】若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 . 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】先根据侧面积公式表示出侧面积，然后利用基本不等式求解出最大值即可. 【详解】由题意可知：圆柱的母线长度为， 侧面积， 当且仅当，即时取等号， 所以侧面积的最大值为， 故答案为：. 【例13】（23-24高二上·上海崇明·期中）已知圆锥的底面半径为2，侧面积为，则此圆锥的体积为 ． 【答案】 【分析】利用圆锥侧面积公式求出母线长，进而求出圆锥的高即可计算得解. 【解析】令圆锥的母线长，高为， 由圆锥的底面半径为2，侧面积为，得，解得，则， 所以圆锥的体积. 故答案为： 【例14】（25-26高二上·上海·期中）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】根据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积. 【解析】设圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆， 半圆的弧长为：，即圆锥的底面周长为：， 设圆锥的底面半径是r，高为， 则得到，解得：， 这个圆锥的底面半径是1，所以圆锥的高. 所以圆锥的体积为：. 故答案为：. 【例15】已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算、锥体体积的有关计算、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】利用圆的周长和扇形弧长公式可构造方程求得圆锥底面半径和母线长，由勾股定理可得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， ，解得：，， 圆锥体积. 故选：C. 【例16】已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】求出圆锥的底面半径，底面周长，结合圆锥侧面积，列出方程，求出圆锥的母线长，由勾股定理求出圆锥的高，得到圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得：， 则圆锥底面周长为，设圆锥的母线长为， 则，解得：， 由勾股定理得：， 故圆锥的体积为. 故答案为：. 【例17】如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点，则三棱锥的体积为 ． 【答案】/ 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】根据三棱锥的体积公式直接求得结果. 【详解】因为， 点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点， 所以， 所以三棱锥的体积为， 故答案为：. 【例18】已知球的两个平行截面的面积分别为，且两个截面之间的距离是，则球的表面积为 ． 【答案】 【分析】先根据截面面积得到两个圆截面的半径，由于球的对称性，考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧和异侧两种情况，加以分类讨论. 【解析】由球的截面为圆，设两个平行的截面圆的半径分别为，，球的半径为， 因为，所以， 又，所以， 当两截面在球心的同侧时，， 解得，球的表面积为； 当两截面在球心的同侧时，，无解； 综上，所求球的表面积为. 故答案为：. 【例19】已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 ． 【答案】 【分析】计算球的半径和截面圆的半径，确定圆锥的轴与平面的夹角为，截面为等腰三角形，计算边长得到面积. 【解析】设球的半径为，则，解得， 设球的截面半径为，则，故， 故球心到平面的距离， 球心在圆锥的轴上，圆锥的轴与平面的夹角为. 圆锥的高为，故球心到圆锥底面圆的距离为， 圆锥的底面半径为， 如图所示：截面为等腰三角形，，，， ，故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查了球与圆锥的截面问题，意在考查学生的转化能力，空间想象能力和综合应用能力，其中，确定圆锥的轴与平面的夹角为，再确定截面形状得到面积是解题的关键. 【例20】已知正三棱锥的所有顶点均在球的球面上，，侧棱，点在线段上，且．过点作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小；当截面过球心时，截面面积最大，进而利用图形求解即可. 【详解】如图：设的中心为，球的半径为，连接，则点在上， 连接. 因为三棱锥为正三棱锥，且，， 所以，， 在中，，即， 解得， 因为，所以， 在中，由余弦定理可得， ， 过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小， 此时截面的半径为，则截面面积为， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为. 故选：A 【例21】若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】设出截面圆的半径，然后根据勾股定理完成计算即可. 【详解】设所截圆面的半径为， 由题意可知，，解得， 所以截面圆的面积为， 故答案为：. 【例22】如图，已知正三棱柱的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱、爬到点，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱爬到点．设，，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则 【答案】 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据三棱柱的侧面展开图确定两只蚂蚁各自爬过的路程最短，当取等号时求即可. 【详解】如图所示， 将三棱柱沿着侧棱展开，又因为正三棱柱的底面边长与侧棱长相等，则同理 所以， 又因为，所以 所以. 故答案为：. 【例23】如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】连接，，将平面和平面展开到同一平面，连接求解即可． 【详解】如图，连接，，将平面和平面展开到同一平面， 连接，交于点， 则， 因为，所以， 所以四边形为菱形，， 则， 故选：C． 模块三：概率初步 【例24】从0，1，2这三个数字中，不放回地取两次，每次取一个，将这两个数构成有序数对（x，y），其中x为第一次取到的数字，y为第二次取到的数字，则该试验的样本空间为 　　． 【分析】由所给的三个数任意取两个写成坐标的形式可得该试验的样本空间． 【解答】解：从0，1，2这三个数字中，不放回地取两次，每次取一个，将这两个数构成有序数对（x，y）， 则可能为{（0，1），（0，2），（1，0），（2，0），（1，2），（2，1）}； 故答案为：{（0，1），（0，2），（1，0），（2，0），（1，2），（2，1）}． 【点评】本题考查样本空间的求法，属于基础题． 【例25】（2021秋•浦东新区期末）在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，则“取出的球是白球”为 　　现象（填“随机”或“确定性”）． 【分析】利用随机现象的定义直接求解． 【解答】解：在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球， 有可能取出的球是红球，也有可能取出的球是白球， 则“取出的球是白球”为随机现象． 故答案为：随机． 【点评】本题考查随机现象的判断，考查随机现象的定义等基础知识，是基础题． 【例26】（2021秋•黄浦区校级期末）若将抛掷一枚硬币所出现的结果“正面（朝上）”与“反面（朝上）”，分别记为H、T，相应的抛掷两枚硬币的样本空间为Ω＝{HH，HT，TH，TT}，则与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间的子集为 　　． 【分析】利用随机事件的定义直接求解． 【解答】解：将抛掷一枚硬币所出现的结果“正面（朝上）”与“反面（朝上）”，分别记为H、T， 相应的抛掷两枚硬币的样本空间为Ω＝{HH，HT，TH，TT}， 则与事件“一个正面（朝上）一个反面（朝上）”对应的样本空间的子集为{HT，TH}． 故答案为：{HT，TH}． 【点评】本题考查随机事件的表示方法，考查列举法等基础知识，是基础题． 【例27】（2021秋•杨浦区校级期末）已知事件A、B、C满足A⊆B，B⊆C，则下列说法不正确的是（　　） A．事件A发生一定导致事件C发生 B．事件B发生一定导致事件C发生 C．事件发生不一定导致事件发生 D．事件发生不一定导致事件发生 【分析】把事件A，B，C的关系用韦恩图表示，利用数形结合对应各个选项即可判断求解． 【解答】解：由已知可得A⊆C，又因为A⊆B，B⊆C，如图事件A，B，C用集合表示： 则选项A，B正确， 事件表示集合A以外的，包含部分集合B与集合C，则C正确， 事件表示集合C以外的部分，不包含集合A，B，故D错误， 故选：D． 【点评】本题考查了随机事件的包含关系，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题． 【例28】三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意列出参加晚会的所有情形，利用古典概型计算即可. 【详解】不妨记三人为甲，乙，丙， 则所有参加晚会的情形有：①只去一人，甲，乙，丙；②去两人，甲乙，甲丙，乙丙； ③去三人，甲乙丙；共计7种情形， 所以恰有1人去的概率为. 故答案为： 【例29】甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为 . 【答案】/0.06 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解. 【详解】解：记“甲预报准确”，“乙预报准确”， 则 所以甲､乙都预报错误的概率为 故答案为：0.06 【例30】银行储蓄卡的密码由6个数字组成，每个数字可以是十个数字中的任意一个．假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是 ． 【答案】/ 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】利用古典概型求解即可. 【详解】我们知道密码是从一直到，共有个数， 而正确的密码只有1个且设概率为，故概率为. 故答案为： 【例31】甲､乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束.已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为24的概率为 . 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】由条件确定最后四局的胜负情况结合独立事件概率公式计算即可. 【详解】因为比赛结束时，两人的得分总和为24，其中且两人的得分的差的绝对值为2， 若甲赢得比赛，则最后两局比赛甲胜，第21球和第22球甲乙一胜一负， 所以事件甲赢得比赛的概率为， 同理乙赢得比赛的概率为， 所以. 故答案为： 【例32】为了解某年级学生的课外学习情况，从该年级名学生中按分层抽样，从男生中抽取名，女生中抽取名，则男生甲被抽中且女生乙没有被抽中的概率为 （用数字作答） 【答案】/ 【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】求出男生甲被抽中的概率、女生乙没有被抽中的概率，即可得答案. 【详解】解：因为在样本中，男生占， 所以该年级男生总人数为：(人)， 所以男生甲被抽中的概率为， 同理可得该年级女生总人数为：(人)， 所以女生乙被抽中的概率为，没有被抽中的概率为， 所以男生甲被抽中且女生乙没有被抽中的概率为. 故答案为： 【例33】掷质地均匀的一黑、一白两颗骰子，观察朝上的点数，A表示事件“两颗骰子的点数和为7”，B表示事件“白色骰子的点数是1”，C表示事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，分别验证事件A与事件B、事件A与事件C是否独立，请说明理由． 【答案】事件A与事件B相互独立，事件A与事件C不相互独立 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】 （1）（2）掷黑、白两颗骰子，可得基本事件的总数为36．分别求解事件A,B,C,AB，AC包含的基本事件个数，利用古典概率计算公式可得,，验证,是否成立，即可得出结论． 【详解】 掷黑、白两颗骰子，可得基本事件的总数为． 设为事件“两颗骰子的点数和为7”， 为事件“白色骰子的点数是1”，则表示“白色骰子的点数是1且两颗骰子的点数和为7”， 事件A包含的基本事件有（16）,（25）,（34）,（43）,（52）,（61）共有6个， 事件B包含的基本事件有（61）,（51）,（41）,（31）,（21）,（11）共有6个， 事件AB包含的基本事件有（61）共有1个， 则， ，， 故， 即事件A与事件B是独立的． （2）设为事件“两颗骰子的点数和为7”， C为事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，则AC表示“两颗骰子中至少有一颗的点数是1且两颗骰子的点数和为7”， 事件C包含的基本事件有（61）,（51）,（41）,（31）,（21）,（11）,（16）,（15）,（14）,（13）,（12）共有11个， 事件AC包含的基本事件有（16），（61）共有2个， 则， ，， 而， 故事件A与事件C是不是独立的． 【例34】现有4个礼品盒，前三个礼品盒中分别装了一支钢笔，一本书以及一个笔袋，第4个礼品盒中三样均有.现随机抽取一个礼盒，事件A为抽中的盒子里面有钢笔，事件B为抽中的盒子里面有书，事件C为抽中的盒子里面有笔袋，则下面选项正确的是（    ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C．A与互斥 D．A与相互独立 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件判断AC，结合独立事件的概率乘法公式判断BD. 【详解】由题意可知：事件A为取到第1或4个礼品盒，事件B为取到第2或4个礼品盒，事件C为取到第3或4个礼品盒， 对于选项A：因为事件为取到第4个礼品盒，所以A与B不互斥，故A错误； 对于选项B：因为， 可知，所以A与B相互独立，故B正确； 对于选项C：因为事件为取到第2或3或4个礼品盒， 则事件为取到第4个礼品盒，所以A与不互斥，故C错误； 对于选项D：因为事件为取到第4个礼品盒，则， 且事件为取到第4个礼品盒，则， 可知，所以A与不相互独立，故D错误； 故选：B. 【例35】（2021秋•普陀区校级期末）已知事件A与事件B相互独立，若，则P（A）＝　． 【分析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式，即可求解． 【解答】解：∵事件A与事件B相互独立，， ∴P（A∩B）＝P（A）P（B）＝0.18，P（A）＝P（A）[1﹣P（B）]＝0.12， ∴P（A）＝0.3． 故答案为：0.3． 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率公式，考查计算能力，属于基础题． 【例36】事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】概率的基本性质、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件的乘法公式和概率的性质逐项判断即可. 【详解】事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件， 故，故AB错误； ，故C正确； ,故D错误. 故选：C 【例37】设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 【答案】C 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D. 【详解】对于A，若是对立事件，则，A错误； 对于B，若是互斥事件，，则，B错误； 对于C，，则，， 又，则是独立事件，C正确； 对于D，若是独立事件，则是独立事件，而， 则，D错误. 故选：C 【例38】设、分别是事件A、B的对立事件，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若A、B是互斥事件，则 C． D．若A、B是独立事件，则 【答案】B 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用对立概率公式判断选项AC；依据互斥事件概率公式判断选项B；依据独立事件概率公式判断选项D. 【详解】选项A：是事件A的对立事件，则.判断正确； 选项B：若A、B是互斥事件，则， 又，则.判断错误； 选项C：因为与A对立，.判断正确； 选项D：若A、B是独立事件，则.判断正确. 故选：B 【例39】给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】相互独立事件与互斥事件、独立事件的判断 【分析】根据独立事件概率公式可判断①正确；通过反例可说明②③错误；由，结合独立事件概率公式可知④正确. 【详解】对于①，若互斥，则，又， ，不相互独立，①正确； 对于②，，； 扔一枚骰子，记事件为“点数大于两点”；事件为“点数大于五点”；事件为“点数大于一点”， 则，，， 满足，但不是对立事件，②错误； 对于③，扔一枚骰子，记事件为“点数大于两点”；事件为“点数大于五点”；事件为“点数大于六点”， 则，，，，， 满足，此时， 事件不相互独立，③错误； 对于④，，事件与互斥，， 又，， 即，事件相互独立，④正确. 故选：B. 【点睛】思路点睛：本题考查对立事件、独立事件的判断，解题基本思路是能够结合和事件和积事件的定义，利用独立事件概率公式依次验证选项中的事件是否为独立事件. 【例40】某社区举办“闹元宵，猜灯谜”活动.甲、乙、丙三个家庭同时参加此活动．某一灯谜，已知甲家庭猜对的概率是，甲、丙两个家庭都猜错的概率是，乙、丙两个家庭都猜对的概率是．若各家庭是否猜对互不影响． (1)求乙、丙两个家庭各自猜对此灯谜的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭猜对此灯谜的概率． 【答案】(1)甲家庭猜对的概率为，乙家庭猜对的概率为 (2) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）记甲家庭猜对此灯谜为事件，乙家庭猜对此灯谜为事件，丙家庭猜对此灯谜为事件，根据相互独立事件的概率公式得到方程组，解得即可； （2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）记甲家庭猜对此灯谜为事件，乙家庭猜对此灯谜为事件，丙家庭猜对此灯谜为事件， 则，，， 又、、两两相互独立，所以， 解得，即甲家庭猜对的概率为，乙家庭猜对的概率为. （2）记甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭猜对此灯谜为事件， 则 . 【例41】甲乙两人进行某项比赛 (1)若比赛结果有胜利、失败、平局三种，已知甲获胜的概率为，甲不输的概率为，求甲乙两人取得平局的概率； (2)若比赛结果只有胜利、失败两种，已知甲获胜的概率为（），对于甲来说，一局定胜负和三局两胜两种比赛方式比较，试问哪种比赛方式对甲更有利？说明你的理由. （说明：“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，做多三局结束） 【答案】(1)0.5 (2)一局定胜负对甲更有利 【分析】（1）甲不输是甲获胜与平局互斥的和事件，利用加法公式，求平局的概率； （2）分别计算一局定输赢和三局两胜情况下甲获胜的概率，比较大小. 【解析】（1）甲乙两人取得平局的概率为. （2）对于甲来说，一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为， 三局两胜的情况下，赢得比赛的概率为，因为， ， 所以，则一局定胜负对甲更有利. 【例42】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数（人） x 30 25 y 10 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)若将这100位顾客分成两类，第一类是购物量不超过8件的人群，第二类为购物量超过8件的人群，现采用分层抽样的方法抽取20位顾客，进行问卷调查，求第二类人群中应抽取的人数； (3)若将频率视为概率，求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率. 【答案】(1)，，1.9分钟 (2)11 (3). 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】（1），，解方程组；运用加权平均数公式计算平均值； （2）运用分层抽样比计算即可； （3）运用古典概型计算概率即可. 【详解】（1）由题知，可得，，，， 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：（分钟）. （2）设第一类和第二类人群中抽取的人数分别为m，n，则， 所以，，即第二类人群中应抽取的人数为11. （3）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”， ，，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”. 将频率视为概率，得，，. 因为，且，，是互斥事件， 所以. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为. 模块四：统计 【例43】从总体容量为的一批电子元件中抽取一个容量为30的样本，若每个电子元件被抽到的可能性为，则总体容量 ． 【答案】 【知识点】总体与样本 【分析】根据条件列出总体容量和样本容量的关系式，由此可求结果. 【详解】由条件可知：， 所以， 故答案为：. 【例44】某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了抽检，则（ ） A．该市场监管局的调查方法是普查 B．样本的个体是每种冷冻饮品的质量 C．样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品 D．样本容量是该超市的20种冷冻饮品数 【答案】B 【知识点】普查与抽样的合理选择、普查与抽样的定义辨析、总体与样本 【分析】根据抽样方法、样本、总体、个体的概念可得答案. 【详解】该市场监管局的调查方法是随机抽样，A错误； 样本的个体是每种冷冻饮品的质量，B正确； 样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量，C错误； 样本容量是20，D错误， 故选：B 【例45】某校学生总人数为1000人，其中高三人数为300人，现采用分层抽样方式从全校学生中抽取20人参加一项活动，则高一高二的参加活动的总人数为 . 【答案】14 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案. 【详解】高一高二有人， 所以高一高二的参加活动的总人数人. 故答案为： 【例46】要考查某种品牌的颗种子的发芽率，从中抽取颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将颗种子按、、、进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始并向右读，则抽到的第颗种子的编号是 .（下面抽取了随机数表第行至第行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【答案】 【知识点】随机数表法 【分析】根据随机数表法可得结果. 【详解】由随机数表法可知，抽取的前颗种子的编号依次为：、、、， 故抽到的第颗种子的编号是. 故答案为：. 【例47】已知总体划分为2层，通过按比例分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，总的样本平均数为，则总的样本方差用上述已知量表示为 . 【答案】 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】结合按比例分配的分层抽样，根据方差的定义，写出总样本方差，又，，进而进行化简即可得证. 【详解】根据方差的定义，总样本方差为 ， 因为， 同理， 因此， . 故答案为：. 【例48】学校开展国防知识竞赛，对100名学生的竞赛成绩进行统计，发现这100名同学的成绩都在[50，100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，图中x的值是 ． 【答案】0.030 【知识点】补全频率分布直方图 【分析】利用面积之和等于1即能解. 【详解】因为每个小矩形的面积就是频率，所以面积之和等于1，即，解出. 故答案为：0.030. 【例49】某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中到A班的有 人. 【答案】2 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、茎叶图的优缺点与适用对象 【分析】先根据茎叶图求求得到A班的人数和到B班的人数，再利用分层抽样的定义求解即可. 【详解】由题意结合茎叶图的数据可知，这20名学生有8人到A班培训，12人到B班培训， 根据分层抽样的定义知：5人中到A班的有人. 故答案为：2 【例50】商场为改进服务质量，提升顾客购物体验，从2023年第三季度消费过的顾客中随机抽取部分人进行满意度问卷调查．并将这部分人满意度的得分分成以下6组：，统计结果如图所示．那么该商场顾客满意度得分的第60百分位数为 ．      【答案】75 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、总体百分位数的估计 【分析】利用频率分布直方图每个小矩形面积代表频率表示第60百分位数求解即可. 【详解】由图可知，第1个小矩形面积为0.1，第2个小矩形面积为0.15，第,3个小矩形面积为0.2，第4个小矩形面积为0.3， 则第60百分位数位于内，设60百分位数为，则有， 则，所以商场顾客满意度得分的第60百分位数为75. 故答案为：75 【例51】某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示. 花费时间（分钟） 时间等级 一级 二级 三级 (1)试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； (2)已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； (3)现从这20人中随机抽取男、女生各一人，设事件为“被选中的男生的时间等级小于被选中的女生的时间等级”，假设这20个人上学互不影响，求事件发生的概率. 【答案】(1)极差为，中位数为 (2)估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数为人 (3)事件发生的概率为 【分析】（1）根据极差和中位数的定义即可求解； （2）根据分层抽样求出高二年级中男生的人数，据此即可估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； （3）分女生的时间为二级和三级两种情况即可求解. 【解析】（1）极差为，中位数为； （2）高二年级中男生共有人， 估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数为人； （3）. 【例52】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，，第六组，得到如图所示的频率分布直方图.其中第一组有2人，第二组有13人.求与的值. 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）按照求百分数的计算步骤计算即可； （2）分别算出第一种与第二种生产方式中优秀的概率相乘即可； （3）据直方图面积为1的性质及第一组第二组的人数建立方程组，解出，进而得解. 【解析】（1）40名工人完成生产任务所需时间按从小到大排列为： ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， 因为， 所以第75百分数为； （2）由题意可知，第一种生产方式中优秀的概率为， 第二种生产方式中优秀的概率为， 所以选出的两个人均为优秀的概率为. （3）依题意，则， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，. 模块五：空间向量 【例53】已知、、是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是 ． ①，，； ②，，； ③，，． 【答案】①③ 【知识点】判定空间向量共面 【分析】利用向量共面定理即可判断出结论． 【详解】对于①，，，是空间三个不共面的向量， ，，是不共面的向量，故①正确； 对于②，假设存在实数，，使得， 则，，，解得：，，因此，，是共面向量，故②不正确． 对于③，假设存在实数，，使得， 则，，，无解， 假设不成立，因此，，不共面，故③正确． 故答案为：①③． 【例54】已知向量，， 若共面，则等于（   ） A． B．1 C．1或 D．1或0 【答案】B 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答. 【详解】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得 ， 即， 所以，解得. 故选：B 【例55】在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．5 【答案】A 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量平行的坐标表示 【分析】由向量平行有且，结合已知坐标列方程组求参数即可. 【详解】由题设，且，则，可得. 故选：A 【例56】已知空间中三点，设 (1)已知，求的值； (2)若，且，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】（1）根据条件得到，，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解； （2）根据条件得到，再利用，即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，， 又，所以，得到. （2）因为，又，所以，解得或， 所以的坐标为或. 【例57】已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】4 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 【例58】若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合向量共线的坐标关系求解即得. 【详解】由空间向量与的夹角为锐角，得且与不共线， 于是，解得，此时，而，即与不共线， 所以x的取值范围是. 故选：C 【例59】如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为 . 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离即可． 【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，,1,，,1,，,0,， 所以,1,，,1,，,0,， 设平面的法向量为,,，则， 令，则，所以,,， 所以点到平面的距离为． 故答案为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $