重难点03 利用空间向量解决存在性问题 讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 重难点03 利用空间向量解决存在性问题 题型一、与平行有关的存在性问题 【例1】如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，在的延长线上，且 【详解】（1）证明：以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ． 设平面的法向量为， 则取，则，得， 平面． （2）存在点，使得平面，在的延长线上，且． 由题意得， 设，则， 平面，得． 【跟踪训练】 1．如图所示，在四棱锥，面，底面为正方形． (1)求证：面； (2)已知，在棱上是否存在一点，使面，如果存在请确定点的位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为线段的中点时，面，理由见解析 【分析】（1）通过证明和即可证明面. （2）由几何知识建立空间直角坐标系，根据点在棱上，设出正方形边长，的长，进而表达出点坐标，通过面解出点坐标，即可确定点的位置. 【详解】（1）在四棱锥中，面，面，面， ∴，， 在正方形中，， ∵面，面,面，， ∴面 （2）建立空间直角坐标系如下图所示： 设， 则 ∴，，，， ∴， 在面中，，， 设面的一个法向量为， ∴即，解得， 当时，，即， 若面，则， ∴， 解得：， ∴， ∴当点为线段的中点时，面. 2．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，，平面平面ABCD，且，，点G是EF的中点．    (1)证明：平面ABCD； (2)线段AC上是否存在一点M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）因为，点G是EF的中点，所以， 又因为，所以， 由平面平面ABCD，平面平面，平面ADEF， 所以平面ABCD． （2）由（1）得平面ABCD，平面ABCD，∴， 四边形ABCD是边长为4的正方形，所以AG、AD、AB两两垂直， 以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，    所以， 假设线段AC上存在一点M，使平面ABF， 设，则， ∵，∴， 设，则, 所以， , 设平面ABF的法向量为 ，取 由于平面ABF，所以，即，解得 所以，此时， 即当时，平面ABF． 3．如图所示，在直三棱柱中，，四边形均为正方形，点在线段上，点是线段的中点. (1)若，求平面与平面所成角的余弦值. (2)探究：在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由面面角的向量求法可求得结果； （2）假设存在点，使得平面，求得平面的法向量后，由可求得的值，由此可得结果. 【详解】（1）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， ，，，， ，，， 设平面的法向量， ，令，解得：，，； 平面，平面的一个法向量为， ， 即平面与平面所成角的余弦值为. （2），，，， ，， 假设在线段上存在点，使得平面，则； 设平面的法向量， ，令，解得：，，； ，解得：，， 在线段上存在点，满足，使得平面. 题型二、与垂直有关的存在性问题 【例2】已知正四棱台的体积为，其中.    (1)求侧棱与底面所成的角； (2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）先求得正四棱台的高，然后求得侧棱与底面所成的角. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法确定是否存在符合题意的点. 【详解】（1）依题意，在正四棱台中，， 所以上底面积，下底面积， 设正四棱台的高为，则. 连接，则， 所以， 设侧棱与底面所成的角为，则， 由于线面角的取值范围是，所以. （2）连接，设正四棱台上下底面的中心分别为， 以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， ， 设线段上存在一点，满足， ， ， 则， ， 若，则， 即， 解得，舍去， 所以在线段上不存在一点，使得.      【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点. (1)求证：平面BDE. (2)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度. (3)若PA=2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)PA长为2或4 (3)存在， 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定可得平面ADP，进而以D为原点建立空间直角坐标系，设，求出平面BDE的法向量，再证明即可； （2）由（1），设平面PCD的法向量为，得出，再根据线面角的向量方法求解可得或； （3）令，再根据，与平行列式求解，进而根据空间向量模长公式求解即可. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以. 因为ABCD为正方形，所以. 又，且平面ADP，所以平面ADP. 如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设， 则，，，，，， 所以，，. 设平面BDE的法向量为， 则，即， 令，则，，得. 由题意得. 因为平面BDE，所以平面BDE. （2）由（1）知，，. 设平面PCD的法向量为， 则，即， 令，则，，得， 又， 设直线BE与平面PCD所成的角为， 则，解得或，所以PA长为2或4. （3）存在，理由如下：因为，所以， 令，所以， ，， 所以，解得，则， 故. 【跟踪训练】 1．如图，在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，证明见解析 【详解】（1）证明：平面，平面， ， 又，，平面 平面，平面， ． 又，为等腰直角三角形，为斜边的中点， ，又，平面， 平面，平面， 平面平面； （2）解：以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，， 设存在点，使，点的坐标设为， 所以，， 由相似三角形得，即， ． ， 又， ． ， ， 故存在点，使． 2．如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【详解】（1）连接，由四边形为菱形，得，由，得， 又平面平面，平面平面，面ABC， 则平面，又平面，于是，而，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以    （2）点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高， 由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为， 设点到平面的距离为d，由，得， 而，，则的面积， 由，，得，又，，则， 又，，由余弦定理得， 则，的面积， 则，即 ，所以点到平面的距离为. （3）    取的中点为，连接， 因为四边形是菱形，且， 所以，， 又因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， ，即， 如图，以为原点， 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设，， 所以，可得， ， 设平面的法向量为， 则， 可得， ， 设平面的法向量为， 则， 可得， 使得平面平面， 则，解得， 故上存在一点，当时，平面平面. 3．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN，如果存在，求出线段AS的长度. 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】(1)连接，由题意可知：四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定即可证明； (2)根据题意，建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点的坐标，假设在线段上存在点， 使得平面，求得的坐标，可设，由平面可得关于的方程组， 解得的值，可得的坐标以及的值，从而得出结论. 【详解】（1）证明，连接， 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，又因为，所以四边形为平行四边形， 所以,平面,,所以平面ABCD. （2）由题意知：两两垂直，以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 假设在线段上存在点，使得平面，连接，设， 因为，， 所以，则， 由平面可得，，即，解得：， 此时，， 故当时，平面. 题型三、与线线角有关的存在性问题 【例4】在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，1 【详解】（1）如图，取的中点，连接，， 因为，， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，， 所以，所以， 因为平面，， 所以平面，所以，，两两垂直， 以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则令得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以， 所以二面角的正弦值为； （3）假设在棱存在点，使得直线与所成角的余弦值为， 设，则，又， 所以，即， 所以，解得或（舍去）， 因此适合条件的点存在，且线段的长为1. 【跟踪训练】 1．如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，． (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为?若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，距离为. 【详解】（1）由四边形为正方形，平面，知直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设平面和平面所成锐二面角为，则 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． （2）假设存在，又，则，， 由直线与所成角的余弦值为，得， 解得，则存在点，为棱的中点时满足条件， 即，，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 所以点到平面的距离为. 题型四、与线面角有关的存在性问题 【例5】已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，，为等边三角形．    (1)求证：平面平面； (2)是否存在一点，满足，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用面面垂直判定定理即可证得平面平面； （2） 法一，先确定出直线与平面所成的角，再求得的值即可求得的值；法二，建立空间直角坐标系，依据题给条件列出关于的方程即可求得的值. 【详解】（1）等腰梯形中，，则， 则，所以，．又， 由，得到， 又，平面， 因此平面，又因为平面， 故平面平面 （2）方法一：由（1）知平面，面，则面面． 作于点，则有面． 则即为直线与面所成角， 在直角三角形中，由，，得到 由，可得，又，所以存在． 方法二：过点作平面于， 以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示空间直角坐标系．    其中 得到， 设平面的一个法向量为 由，得， 不妨设，则，，则， 又， 则， 解之得（舍去）或，所以 【跟踪训练】 1．如图所示，在三棱锥中，平面，，，于点，为线段上一点，满足．    (1)求证：是直角三角形； (2)若，求三角形面积的最大值； (3)若存在，使直线与平面所成的角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在三棱锥中，由平面，面，得， 又平面，则平面，而平面， 则，又平面，于是平面， 又平面，因此，所以为直角三角形． （2）由，以及，得为中点，， 由（1）知，则在直角三角形中，有， 因此，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. （3）以为原点，直线分别为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，    设，由，得， 即，且，则， 则， ，设平面的一个法向量为， 则，令，得平面的一个法向量为， ， 整理得，， 设，要存在，使与平面所成角为， 则在上有零点．而函数图象的对称轴， 又，只需满足，即，解得， 所以的取值范围是． 2．如图，在以为顶点的多面体中，平面平面，为的中点    (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以为的中点， 又因为为的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，在平面内，以过点垂直于的方向为轴正方向， 以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 令，则， 假设在棱上存在一点，使得直线与平而所成角的大小为， 设， 因为，则， 又因为，所以， 则， 化简得，解得， 因为，所以， 所以在棱上存在一点，使得直线与平面所成角的大小为， 此时. 3.如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，∥，，，，E为线段AD的中点，过BE的平面与棱PD，PC分别交于点G，F． （1）求证：平面PAD； （2）试确定点G的位置，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为． 【解析】（1）证明：连结PE，因为，且E为线段AD的中点，所以． 又BC∥AD，所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD． 因为，所以． 又平面，平面PCD，所以∥平面PCD． 又平面BEGF，平面平面，所以BE∥GF． 又平面平面ABCD，平面ABCD，，平面平面， 所以平面PAD． 因为平面PAD，所以， 又因为BE∥GF，所以，， 而，PE，平面PAD， 所以平面PAD； （2）G为棱PD上靠近D的三等分点. 证明如下：因为，E为线段AD的中点， 所以， 又平面平面ABCD， 如图，以E为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设，得，所以． 设平面BEGF的法向量为，则， 即 令，可得为平面BEGF的一个法向量， 设直线PB与平面BEGF所成角为， 于是有； 解得或（舍去）， 所以当G为棱PD上靠近D的三等分点时，直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为． 题型五、与二面角有关的存在性问题 【例6】如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；是上靠近的三等分点 【分析】（1）过点作于点，由面面垂直性质定理可得平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点的位置； 【详解】（1）过点作于点， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面．    （2）假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为， 以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 即取，，， 所以为平面的一个法向量， 因为在线段上（不含端点），所以可设，， 所以， 设平面的一个法向量为， 即， 取，，， 所以为平面的一个法向量， ，又， 由已知可得 解得或（舍去）， 所以，存在点，使得二面角的余弦值为， 此时是上靠近的三等分点．    【跟踪训练】 1．如图，四边形是边长为1的正方形，平面平面，且. (1)求证：平面 (2)在线段上是否存在点（不含端点），使得平面与平面的夹角为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为线段上靠近的三等分点 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到 故EC⊥DF，EC⊥DA，从而证明出线面垂直； （2）设，得到的坐标为，求出平面的法向量，列出方程，求出，得到为线段上靠近的三等分点. 【详解】（1）以点为原点，以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， ， ，故EC⊥DF，EC⊥DA， ∵，平面ADF， 平面； （2）设，则的坐标为， 设平面的法向量为， 则由，令，则， 则法向量， 平面与平面的夹角为，且平面的法向量为， ， ， ∴解得， 为线段上靠近的三等分点. 2．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）由于平面平面，平面平面， 且平面， 平面， 平面，． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． （3）令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是，， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时． 题型六、与距离有关的存在性问题 【例7】如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，是的中点． （1）求平面和平面夹角的余弦值； （2）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，理由见解析． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，利用二面角的向量公式即得解； （2）设，，，利用点到平面的向量距离公式，列出等式即得解 【详解】（1）取的中点，连接，，则，， 平面，平面， ，，两两垂直， 如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，2，，，2，，，2，，，0，， ，2，，，2，，，2，， 设平面的法向量，，， 则，取，得，1，， 设平面的法向量，，， 则，取，得，0，， 设平面和平面的夹角为，由图知为锐角， 则， 平面和平面夹角的余弦值为． （2）假设在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为， 设，，，，则，，， 点到平面的距离为，， 解得（舍或， 在线段上存在点（端点处），使点到平面的距离为． 【跟踪训练】 1．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)． (3)存在， 【详解】（1）    如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则取． 设直线与平面所成角为, 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）存在点E，理由如下： 设，其中， 所以，， 设平面ADE的法向量为， 则取． 且， 则点到平面ADE的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时． 1．已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 2．如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上． (1)设，当为何值时，的面积最小？ (2)当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)且 或 【详解】（1）因为 ,所以 , 由于 平面 , ,故在中， ， 在 中，由余弦定理可得 ， 在 中， 在 中， 因为 ，所以，当 时，即 ， 最大，此时，而也为最小值，故 （2）以为坐标原点，以 为 轴的正方向，过 向上作平面 的垂线为 轴正方向，如图，建立空间直角坐标系； 当时，此时是 中点，故 ,故 设 ,则 ; 设平面的法向量为 ，所以 ，取 ，则 同理可得平面的法向量为， 因为平面平面POF，所以 ，即 或 ， 故存在点 ,使得平面平面POF，且 或 【点睛】 3．如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）设是的中点，是的中点，如下图，连接，则， 则，， 由于，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面； （2）由（1）以及已知条件可知两两相互垂直， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为， 设，则， ， ， 整理可得：，解得：， 存在满足题意的点，此时. 4．如图，在中，分别为的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图． (1)求证：． (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1），分别为中点，，即， 为中点，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，. （2）取中点，连接， ，为中点，，即， ，； 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为， 设，则， ， ， 整理可得：，解得：， 存在满足题意的点，此时. 5．如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2． (1)求证：； (2)求直线A1E和平面A1OC所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在； 【详解】（1）因为在中，，分别为，的中点， 所以，， 所以，又为的中点， 所以. 因为平面平面，且平面， 所以平面， 平面， 所以. （2）取的中点，连接，所以， 由（1）得，. 如图建立空间直角坐标系. 由题意得：，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 设直线与平面所成的角为， 则. （3）假设线段上存在点适合题意， 设，其中. 设，则有， 所以，从而， 所以，又， 所以， 令， 整理得， 解得，舍去. 所以线段上存在点适合题意，且. 6．如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. (1)当时，求证：平面； (2)当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【详解】（1）因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 当时，，即， 又，且，平面， 平面， 平面，， 又在三角形中，易知，，， 满足：，由勾股定理可知，， ，且，平面， 平面. （2）当时， （i）由（1）知，，，平面， 平面，又平面， 平面平面， 在平面内，过点作，垂足为， 又平面平面，故平面， 即为点到平面的距离， 在中，，，故. （ii）由（i）知，如图建立空间直角坐标系， 故，，，，设， 设，即，即， 设平面法向量为， ，， ，即， 令，得，，即， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，得，，即， 的余弦值为， ， 解得，即. 7．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； （2）由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； （3）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 8．如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求证：. (2)求二面角的余弦值. (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3)存在，. 【详解】（1）在图1中，由，得，则，， 由，得，即，在图2中，， 取的中点，连接，由为的中点，得，则， 由，得，而，平面，则平面， 又平面，所以. （2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，即，取，得， 设平面的法向量为，则，即，取，得. 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）假设线段上存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以，则点到平面的距离为1， 令，由（2）得，平面的法向量为， 点到平面的距离， 所以，所以线段上存在点，使得三棱锥的体积为，且. 9．如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析； 【详解】（1）在图1连接交于点， 在图2中，知、都是等边三角形， 得，，又，平面， 可得平面； 又直线平面， 所以. （2）因为，，则在中，由， 由余弦定理得，作，垂足为，连接，得，， 如图，以的中点为原点，，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 因此， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 即向量， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为， （3）假设在内存在点，使得平面成立，， 设，，， ， 由，得， 解得，不满足题意，所以不存在使得平面成立； 10．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面所成的角为， （I）求三棱锥的体积； （II）试问在侧面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（I）8；（II）存在， 【详解】（1）由四边形是直角梯形，，， 可得，，从而是等边三角形， ，BD平分.∵E为的中点，，， 又，，平面，平面 平面，平面，所以平面平面. （2）（I）在平面内作于，连接，由（1）有平面， 又平面，∴平面平面. 因为平面平面，平面，平面 为与平面所成的角，则， 由题意得，，，为的中点， .又， 所以三棱锥P-BDC的体积为； （II）方法一：（向量法）以OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标 系， 则，，，， 假设在侧面内存在点，使得平面成立， 设， 由题意得， ，， ，由，得， 解得，， 满足题意，，点N存在. ，，， 所以，，， 所以点到直线PC的距离 方法二：（传统方法）由条件可知，， 且三角形为，的等腰锐角三角形， 所以点B在三角形内的射影N为等腰锐角三角形的外心， 所以点N必在侧面PCD的内部. 由（I）知三棱锥的体积为，， 由体积转化可得，， 在直角中，由勾股定理可得， E为PC的中点， 所以点到直线PC的距离 11．图1是直角梯形ABCD，，，四边形ABCE是边长为4的菱形，并且，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2. (1)求证：平面平面ABED； (2)在棱上是否存在点P，使得P到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)存在，直线与平面所成角的正弦值为 【分析】（1）作出辅助线，得到⊥BE，⊥BE，且，由勾股定理逆定理求出AF⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点P的坐标，从而得到线面角. 【详解】（1）取BE的中点F，连接AF，， 因为四边形ABCE是边长为4的菱形，并且， 所以均为等边三角形， 故⊥BE，⊥BE，且， 因为，所以， 由勾股定理逆定理得：AF⊥， 又因为，平面ABE， 所以⊥平面ABED， 因为平面， 所以平面平面ABED； （2）以F为坐标原点，FA所在直线为x轴，FB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，，， 故， 解得：， 故， 设平面的法向量为， 则， 故， 令，则，故， 其中 则， 解得：或（舍去）， 则， 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 12．如图，菱形的边长为，，将沿向上翻折，得到如图所示得三棱锥.    (1)证明：； (2)若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【分析】（1）取中点，利用等腰三角形三线合一性质，结合线面垂直的判定可得平面，由线面垂直性质可证得结论； （2）利用余弦定理可求得，作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由面面角的向量求法可构造方程求得的值，由此可得结果. 【详解】（1）取中点，连接，    四边形为菱形，，，，， ，平面，平面， 平面，. （2），， ，解得：； ，，； 在平面中，作，交于点， 则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，    假设在线段上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为， ，，， 又，，， ，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， ，解得：， 当时，；当时，； 当或时，平面与平面所成角的余弦值为. 13．如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．      (1)若平面平面，证明：； (2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）先证明，根据线线平行判定定理平面，再由线面平行性质定理证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，设点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的法向量公式计算即可求解. 【详解】（1）在图1中，因为，，， 所以，，又， 所以， 因为，， 所以，故，    在图2中，因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面，所以； （2）由（1）知，，， ，平面，平面, 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故以为坐标原点，分别为轴， 在平面内过点作的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 因为，平面AEB平面BCE，且， 所以点在平面的射影为中点，故，， 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 不妨令，则，， 所以为平面的一个法向量． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 整理得，解得或（舍）， 所以为中点，所以. 14．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上． (1)设，当为何值时，的面积最小？ (2)当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)且 或 【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，进而根据三角形中的边角关系可得，而三角形的面积为，要使得面积最小，则最大即可；（2）根据空间直角坐标系，根据平面法向量垂直得两平面垂直即可求解. 【详解】（1）因为 ,所以 , 由于 平面 , ,故在中， ， 在 中，由余弦定理可得 ， 在 中， 在 中， 因为 ，所以，当 时，即 ， 最大，此时，而也为最小值，故 （2）以为坐标原点，以 为 轴的正方向，过 向上作平面 的垂线为 轴正方向，如图，建立空间直角坐标系； 当时，此时是 中点，故 ,故 设 ,则 ; 设平面的法向量为 ，所以 ，取 ，则 同理可得平面的法向量为， 因为平面平面POF，所以 ，即 或 ， 故存在点 ,使得平面平面POF，且 或 【点睛】 15.已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，E，F分别为AC和AB上的点，且AE＝1，EF∥BC，如图1．沿EF将△AEF折起使平面AEF⊥平面BCEF，连接AC，AB，如图2． （1）求异面直线AC与BF所成角的余弦值； （2）已知M为棱AC上一点，试确定M的位置，使EM∥平面ABF． 【解析】（1）因为平面AEF⊥平面BCEF，平面AEF平面BCEF，，所以平面，所以，又，所以建立如下图所示的空间直角坐标系. 由题意可知，所以 所以 所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为. （2）设，因为，所以 设为平面的一个法向量 则，即，因此可取 所以 因为EM∥平面ABF，所以，即 所以当时，EM∥平面ABF. 16．正的边长为是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角. (1)求证：直线平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3)存在，靠近的三等分点 【分析】(1)判定线面关系，可以从线线关系寻找，由线段中点，可利用中位线性质的线线平行，再利用线面平行判定定理确定； (2)求二面角，一般利用空间直角坐标系，结合空间向量的数量积解决：先建立空间直角坐标系，再分别计算两平面的法向量，最后利用空间向量数量积求夹角的余弦值，经判断所求二面角为锐角即可得出结论； (3)确定点的位置，一般利用空间直角坐标系求出点的坐标，再明确位置关系.要求点的坐标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直，利用这两个条件可得点的位置，进而求解. 【详解】（1）如图，在中，由分别是中点，得， 又平面平面平面. （2）由题知，，平面平面，且交线为， 平面，因为平面，所以， 又已知，两两垂直，以点为坐标原点，直线为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 平面的法向量为，设平面的法向量为， 则，即，取， ， 二面角的余弦值为. （3）设，因为，则， 又， ， 把代入上式得， 在线段上存在点，即靠近的三等分点，使. 17．是边长为2的等边三角形，为边上的动点，且，为的中点，为的中点.将沿进行折起，使得平面平面. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)是否存点使得平面，若存在请确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，位置答案见解析 【分析】（1）根据题意，先证明平面，进而根据线面垂直的性质定理证明问题； （2）建立空间直角坐标系，进而通过空间向量的夹角公式求得答案； （3）通过线面垂直的判定定理，结合平面向量的数量积运算即可判断. 【详解】（1）如图，连接，由题意可知，，且，又为的中点，则，而平面AMN⊥平面BCNM，且交于MN，所以AO⊥平面BCNM. 易知是等腰三角形，为边上的中点，则，由可知，又，则平面，因为平面，所以. （2）以为原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系. 设，则，，，，， ， 设平面的法向量为，则由，即，解得平面的一个法向量为， 因为y轴⊥平面AMN，所以平面的一个法向量为，所以，由图可知，平面与平面夹角的余弦值为. （3）由（1），AO⊥平面BCNM，则，而，于是当时，平面. ,，由 可得，又，则解得 故存在点，使得平面. 18．在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平而； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)存在点，使平面平面，. 【分析】（1）证明，根据直线和平面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面法向量，计算法向量之间夹角的余弦值，即可得到二面角的大小； （3）假设存在点满足题意，设，分别求出平面和平面的法向量，根据其法向量垂直，数量积为零列方程解的值得到答案. 【详解】（1）因为在梯形中，，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 因为线段点，所以为线段的中点， 所以中，， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平行四边形中，， 所以四边形是菱形，则，垂足为， 所以，， 因为平面，平面， 所以是二面角的平面角， 因为二面角为直二面角，所以即， 如图所示，分别以所在直线为建立空间直角坐标系， 因为在图1菱形中，所以， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 则令，则可得， 平面的法向量为， 所以， 由图可知二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为； （3）线段上存在点，使得平面平面， 设，， 因为， 所以，由 设平面的法向量为， 则令，则可得， 由 设平面的法向量为， 则令，则可得， 则， 解得， 为线段的中点，此时. 19．等边三角形的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将 沿CD翻折成直二面角A-DC-B． (1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)在线段BC上是否存在一点P，使？若存在，请指出P点的位置，若存在，请说明理由 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) (3)存在，靠近B的三等分点 【分析】（1）证得，利用线面平行判定定理即可得出结论； （2）建立空间坐标系，再分别计算平面CDF及平面EDF的法向量，利用空间向量数量积求夹角的余弦值，经判断所求二面角为锐角得结论； （3）求点P的坐标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直：可设，再转化条件为，解得，即可确定P位置． 【详解】（1）如图，在中，由E、F分别是AC、BC中点，得， 又平面DEF，平面DEF，∴平面． （2）由题知，，平面平面，且交线为， ∴平面，∴，又已知， ∴两两垂直，以点D为坐标原点，直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 平面的法向量为，设平面的法向量为， 则，即，取， ， 由图可知二面角的平面角为锐角， ∴二面角的余弦值为． （3）设，则，∴， 又， ∵，∴，∴， 把代入上式得，∴， ∴在线段上存在点，即靠近B的三等分点，使． 设，则，∴， 又， ∵，∴，∴， 把代入上式得，∴， ∴在线段上存在点，即靠近B的三等分点，使． 20．在中，，，，､分别是线段､上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. (1)求与平面所成角的大小； (2)在线段上是否存在点（不与端点､重合），使平面与平面垂直？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】先证明出平面，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. （1）用向量法求与平面所成角的大小； （2）假设存在点N，符合题意.用向量法求出. 【详解】（1）因为在中，，，所以，， 因为折叠前后对应角相等，所以， 所以平面，， 又，，所以平面； 于是可以以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，，， ，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为，则有， 因为为与平面所成角， 故，即与平面所成角的大小为； （2）假设存在点N，符合题意.设，，即， 即，，，，， . 设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以， 同理，设平面的法向量为，同理可求， 若平面与平面垂直，则满足，即，，故存在这样的点， ，所以. 21．图是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据长度关系可证得为等边三角形，取中点，由等腰三角形三线合一和勾股定理可证得、，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设存在且，由共线向量可表示出点坐标，利用点到面的距离的向量求法可求得，进而由二面角的向量求法求得结果. 【详解】（1）在图中取中点，连接，， ，，，，， ，，，四边形为矩形，， ，又，为等边三角形； 又，为等边三角形； 在图中，取中点，连接， 为等边三角形，，， ，又，，， 又，平面，平面， 平面，平面平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设棱上存在点且满足题意， 即，解得：，即， 则， 设平面的法向量， 则，令，则， ， 到平面的距离为，解得：， ， 又平面的一个法向量， ， 又二面角为锐二面角，二面角的大小为. 22．等边的边长为3，点，分别是，上的点，且满足.（如图（1）)，将沿折起到的位置，使面平面，连接，(如图（2）). （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【分析】（1）由已知条件推导出，从而得到，折叠后有，由此能够证明平面； （2）由（1）知，平面，以为坐标原点，以射线､､分别为轴､轴､轴的正半轴建立空间直角坐标系，可求得，，由题意根据两向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）证明：题图（1）中，由已知可得： ，，. 从而 故得，所以，. 所以题图（2）中，，， ∵面面 面面 面 ∴面 （2）解：存在.由（1）知，平面. 以为坐标原点，以射线､､分别为轴､轴､轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图， ，，， ∴ ， ∴ ∴. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下： （1）利用面面垂直的性质，结合线线垂直的条件，证得线面垂直； （2）结合（1）的条件，建立空间直角坐标系，假设存在对应的点P，设，利用空间向量解决线线角的余弦值，建立关于的关系式，求得结果. 23．如图1是一个正方形和一副直角三角板（常用的文具哟），其中，，将AD与、BC与分别重合，并将两个三角板翻起，使点与点重合于点P，得一几何体如图2. (1)证明：直线AD⊥直线PC； (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的正弦值； (3)在正方形面ABCD范围内有以圆心为D、半径为2的一段圆弧，则在该段圆弧上，是否存在点Q使得异面直线PC与DQ所成的角是，试说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，理由见解析 【分析】（1）通过证明AD⊥平面PCD即可证明； （2）以点D为原点建立空间直角坐标系，求出平面PCD和平面PAB的法向量，利用向量关系即可求出； （3）设，由异面直线PC与DQ所成的角结合向量关系可得，再利用在圆弧上即可求出. 【详解】（1）由题意可得：AD⊥PD，，且，∴AD⊥平面PCD， 而平面PCD，∴AD⊥PC； （2）由（1）知：AD⊥平面PCD，可作正方体如下： 如下图以点D为原点建立空间直角坐标系，显然，点P在坐标平面yoz内， 则有：， ∴， 易知是平面PCD的一个法向量， 设平面PAB的法向量为，则， 取，得：，所以是平面PAB的一个法向量， 则， 记两个平面的夹角为，则 （3）存在．如上图可知：，∴， 因为点Q在坐标平面xOy内，可设，则， 由题意知：，∴， 又在坐标平面xOy内，以点D为圆心、半径为2的一段圆弧的方程是， 而点Q在圆弧上，所以有，结合，可得：， ∴点Q的坐标是（，，0），故存在符合题意的点Q． 24.如图1，在直角梯形中，，，，，.现沿平行于的折叠，使得且平面，如图2所示. (1)求的长度； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用垂直关系得，再结合勾股定理，即可求解； （2）分别求平面和的法向量，根据二面角的向量公式，即可求解. 【详解】（1）由平面，平面，得， 在矩形中，由，，知， 设，则，， 故，， 由勾股定理：， 解得：， 的长度为1； （2）因为，，， 且平面，所以平面， 结合知，两两互相垂直，故以点为原点，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，所以 ，，，，，， 所以，，，， 设为平面的一个法向量，所以， 取，则， 设为平面的一个法向量，所以， 取，则， 记所求二面角大小为，为钝角，则， 所求二面角的大小为. 25.如图，四边形中，是等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向一方折叠到的位置，使D点在平面内的射影在上，再将向另一方折叠到的位置，使平面平面，形成几何体. （1）若点F为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）设点在平面内的射影为，连接，，又的中点为，易得平面.取的中点，连接，由平面平面，得到平面，又平面，则，则平面，然后由面面平行的判定定理证明； （2）连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量为，由求解． 【详解】解：（1）如图，设D点在平面内的射影为O，连接，连接. ∵，∴， ∴在等腰中，O为的中点. ∵F为中点，∴. 又平面，平面， ∴平面.取的中点H，连接， 则易知，又平面平面， 平面平面， ∴平面， 又平面， ∴，又平面，平面， ∴平面， 又.∴平面平面. 又平面，∴平面. （2）连接，由（1）可知两两垂直，以O为坐标原点所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 从而. 设平面的一个法向量为，则，即， 得，取，则. 设平面的一个法向量为， 则，即， 得，取，则， 从而. ∴， ∴平面与平面所成角的正弦值为． 【点睛】关键点点睛：（1）在求解与图形的翻折有关的问题时，关键是弄清翻折前后哪些量变了，哪些量没变，哪些位置关系变了，哪些位置关系没变；（2）利用向量法求二面角的关键是建立合适的空间直角坐标系及准确求出相关平面的法向量． 26.如图甲所示的正方形中，，，，对角线分别交，于点，，将正方形沿，折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱． (1)若点在棱上，且，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）在图乙中，过作，交于，连接，证明四边形为平行四边形，然后得到即可； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用两个法向量所成角的余弦值求得结果. 【详解】（1）证明：在图乙中，过作，交于，连接， 则，∴共面且平面交平面于， 图甲中，∵，， ∴，又为正方形， ，，由，有， ∴四边形为平行四边形，∴， 又平面，平面， ∴平面． （2）由（1），，∴． 由题图知，，，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为， 则 令，得， 则，，， 设平面的法向量为， 则 令，得， ， 平面与平面夹角的余弦值为． 27.在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．    (1)证明：平面． (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等边三角形三线合一，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可证明； （2）方法一：建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量法计算即可；方法二：作，垂足为M，作，垂足为N，连接，首先由线面垂直得出，则二面角的平面角为，在中，求出即可． 【详解】（1）证明：连接OB， 因为为等腰直角三角形，，， 所以， 因为O为AC边的中点， 所以， 在等边三角形中，， 因为O为AC边的中点， 所以，则， 又， 所以，即， 因为，平面，平面， 所以平面．    （2）方法一：因为是等腰直角三角形，，为边中点， 所以， 由（1）得平面，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，    则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 由，得，令，得， 易知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为θ， 则， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 方法二： 作，垂足为M，作，垂足为N，连接， 因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为，所以， 所以，， 在中，，， 所以， 所以， 所以，即二面角的余弦值为．    2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 重难点03 利用空间向量解决存在性问题 题型一、与平行有关的存在性问题 【例1】如图，在正方体中，分别是的中点． (1)用空间向量法证明：平面； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，请指出的位置；若不存在，请说明理由． 【跟踪训练】 1．如图所示，在四棱锥，面，底面为正方形． (1)求证：面； (2)已知，在棱上是否存在一点，使面，如果存在请确定点的位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由． 2．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，，平面平面ABCD，且，，点G是EF的中点．    (1)证明：平面ABCD； (2)线段AC上是否存在一点M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 3．如图所示，在直三棱柱中，，四边形均为正方形，点在线段上，点是线段的中点. (1)若，求平面与平面所成角的余弦值. (2)探究：在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型二、与垂直有关的存在性问题 【例2】已知正四棱台的体积为，其中.    (1)求侧棱与底面所成的角； (2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点. (1)求证：平面BDE. (2)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度. (3)若PA=2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由. 【跟踪训练】 1．如图，在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使？证明你的结论． 2．如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 3．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN，如果存在，求出线段AS的长度. 题型三、与线线角有关的存在性问题 【例4】在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形，平面，，且，. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若不存在，请说明理由；若存在，求线段的长. 【跟踪训练】 1．如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，． (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为?若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由． 题型四、与线面角有关的存在性问题 【例5】已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，，为等边三角形．    (1)求证：平面平面； (2)是否存在一点，满足，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【跟踪训练】 1．如图所示，在三棱锥中，平面，，，于点，为线段上一点，满足．    (1)求证：是直角三角形； (2)若，求三角形面积的最大值； (3)若存在，使直线与平面所成的角为，求的取值范围． 2．如图，在以为顶点的多面体中，平面平面，为的中点    (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 3.如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，∥，，，，E为线段AD的中点，过BE的平面与棱PD，PC分别交于点G，F． （1）求证：平面PAD； （2）试确定点G的位置，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为． 题型五、与二面角有关的存在性问题 【例6】如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【跟踪训练】 1．如图，四边形是边长为1的正方形，平面平面，且. (1)求证：平面 (2)在线段上是否存在点（不含端点），使得平面与平面的夹角为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 2．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型六、与距离有关的存在性问题 【例7】如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，是的中点． （1）求平面和平面夹角的余弦值； （2）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由． 【跟踪训练】 1．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 1．已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 2．如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上． (1)设，当为何值时，的面积最小？ (2)当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由． 3．如图1，在中，，分别为，的中点，，.将沿折起到的位置，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 4．如图，在中，分别为的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图． (1)求证：． (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 5．如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2． (1)求证：； (2)求直线A1E和平面A1OC所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 6．如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. (1)当时，求证：平面； (2)当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 7．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 8．如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求证：. (2)求二面角的余弦值. (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 9．如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 10．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面所成的角为， （I）求三棱锥的体积； （II）试问在侧面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由. 11．图1是直角梯形ABCD，，，四边形ABCE是边长为4的菱形，并且，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2. (1)求证：平面平面ABED； (2)在棱上是否存在点P，使得P到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值. 12．如图，菱形的边长为，，将沿向上翻折，得到如图所示得三棱锥.    (1)证明：； (2)若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 13．如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．      (1)若平面平面，证明：； (2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 14．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上． (1)设，当为何值时，的面积最小？ (2)当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由． 15.已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，E，F分别为AC和AB上的点，且AE＝1，EF∥BC，如图1．沿EF将△AEF折起使平面AEF⊥平面BCEF，连接AC，AB，如图2． （1）求异面直线AC与BF所成角的余弦值； （2）已知M为棱AC上一点，试确定M的位置，使EM∥平面ABF． 16．正的边长为是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角. (1)求证：直线平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使？若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由. 17．是边长为2的等边三角形，为边上的动点，且，为的中点，为的中点.将沿进行折起，使得平面平面. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)是否存点使得平面，若存在请确定点的位置，若不存在，请说明理由. 18．在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平而； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 19．等边三角形的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将 沿CD翻折成直二面角A-DC-B． (1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)在线段BC上是否存在一点P，使？若存在，请指出P点的位置，若存在，请说明理由 20．在中，，，，､分别是线段､上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. (1)求与平面所成角的大小； (2)在线段上是否存在点（不与端点､重合），使平面与平面垂直？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由. 21．图是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由. 22．等边的边长为3，点，分别是，上的点，且满足.（如图（1）)，将沿折起到的位置，使面平面，连接，(如图（2）). （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 23．如图1是一个正方形和一副直角三角板（常用的文具哟），其中，，将AD与、BC与分别重合，并将两个三角板翻起，使点与点重合于点P，得一几何体如图2. (1)证明：直线AD⊥直线PC； (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的正弦值； (3)在正方形面ABCD范围内有以圆心为D、半径为2的一段圆弧，则在该段圆弧上，是否存在点Q使得异面直线PC与DQ所成的角是，试说明你的理由． 24.如图1，在直角梯形中，，，，，.现沿平行于的折叠，使得且平面，如图2所示. (1)求的长度； (2)求二面角的大小. 25.如图，四边形中，是等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向一方折叠到的位置，使D点在平面内的射影在上，再将向另一方折叠到的位置，使平面平面，形成几何体. （1）若点F为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 26.如图甲所示的正方形中，，，，对角线分别交，于点，，将正方形沿，折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱． (1)若点在棱上，且，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 27.在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．    (1)证明：平面． (2)求二面角的余弦值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $