精品解析：甘肃省陇南市西和县2025-2026学年九年级上学期期末学情监测数学试卷

2025年秋季学期九年级学情监测 数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 若关于 的一元二次方程无实数根，则 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 全体实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（为常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根. 根据题意得到，解不等式即可. 【详解】解：关于 的一元二次方程无实数根， ， 解得：， 故选：A. 2. 一枚质地均匀的正六面体骰子标有数字1到6，抛掷这枚骰子1次，下列事件中，发生可能性最大的是（ ） A. 朝上一面的数字是2 B. 朝上一面的数字是偶数 C. 朝上一面的数字是3的倍数 D. 朝上一面的数字不小于5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式求出各自的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】解：A. 朝上的面的数字是 2 的概率是； B. 朝上的面的数字是偶数的概率是； C. 朝上的面的数字是 3 的倍数的概率是； D. 朝上的面的数字不小于 5 的概率是， ∵， ∴朝上一面的数字是偶数可能性最大； 故选：B． 3. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感 A. 7 B. 8 C. 448 D. 512 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程，关键是得到两轮传染人数的数量关系，从而可列方程求解． 设每轮传染中平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有人患流感，第二轮共有人，即64人患了流感，由此列方程求出x，再据此即可求得经过三轮传染后患流感的总人数． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 根据题意得：， 整理得，，  解得：或 (舍去)， 故每轮传染中平均一个人传染了7人， 则经过三轮传染后患流感的人数为： (人)， 故选：D． 4. “直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则销售量为件，由此即可得出答案，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键． 【详解】解：设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元）， 每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件， 每件电子产品售价为（元）时，销售量为件， 与之间的函数解析式为， 故选：C． 5. 在如图所示的正方形中，点E在边上，把绕点C顺时针旋转得到 ，且，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到 ，，由旋转的性质推出，求出，即可得到答案； 【详解】解：四边形是正方形， ，， 由旋转得， ， ， ， 旋转角的度数是 ， 故选：C． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直径所对的圆周角是直角 B. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 C. 相等的圆心角，所对的弧相等 D. 经过三点一定可以作圆 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆周角定理，三角形的外心的性质，圆心角弧弦的关系，确定圆的条件分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．直径所对的圆周角是直角，正确； B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故不正确； C．同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弧相等，故不正确； D．经过不在同一直线上三点一定可以作圆，故不正确； 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是了解圆心角弧弦的关系、确定圆的条件、圆周角定理及三角形的外心的性质，难度不大． 7. 如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接 ，则 的长为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，含的直角三角形的性质等知识，根据含的直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出 ，根据旋转的性质可求出 ，，证明 是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵，，， ∴， ， ∵旋转， ∴， ∴ ，， ∴ 是等边三角形， ∴， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，且坐标原点为的中点，点的坐标为．将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、旋转的性质，正确的识别图形并找到规律是解题的关键． 找到前四次旋转后的图形即可找到规律，进而求解． 【详解】解：如图：正方形绕点每次顺时针旋转 ，前四次旋转后得到的正方形分别为、、、， 可以发现，第四次旋转后正方形回到起点，依此规律旋转下去，有 第次旋转后的正方形应为，其中点对应点， ∴此时． 故选：B ． 9. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接 ，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，连接 ， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 10. 已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为．给出下列结论：①；②；③图象与轴的另一个交点为；④当时，随的增大而减小；⑤不等式的解集是．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：①由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴ ，故①错误； ②当时，，由图象可知当时，， ∴，故②正确； ③关于直线x=1的对称点为，故③正确； ④当时，由图象可知y先随x的增大而增大，再随x的增大而减小，故④错误； ⑤由图象及③可知，抛物线与x轴的交点为，， ∴当时， 可，故⑤错误； 综上，有②，③是正确的，故有2个正确的， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a，b，c的关系是正确判断的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ________________ ．（填一个即可） 【答案】 （答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题主要考查了元二次方程的根，即方程的解的定义．解此题的关键是设一元二次方程为，把这一根代入方程得出a、b、c之间的数量关系，只要求出满足该数量关系的a、b、c的值就可得出一元二次方程．设一元二次方程为，把代入可得a、b、c之间的数量关系，只要满足该数量关系的方程即为所求．所以答案不唯一． 【详解】解：设一元二次方程为，把代入可得，， 所以只要a ，b、c的值满足即可． 如 等，答案不唯一． 故答案为： （答案不唯一）． 12. 在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为___________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，根据新定义得：，，由可得到一元二次方程，求解即可．根据题意得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得： ，， ∴方程的解为 ，． 故答案为： ，． 13. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过，则称该三位数为“友好数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“友好数”的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率公式是解题的关键．由题意可得出所有等可能的结果数以及恰好是“友好数”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数出现的等可能结果有：246、264、426、462、624、642， 其中恰好是“友好数”的有246、642， 所以恰好是“友好数”的概率为， 故答案为：． 14. 点，都在二次函数的图象上，则______．（选填“”“ ”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征． 将点，分别代入，求解函数值并比较即可． 【详解】解：将点，分别代入，则，， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，在中，，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，则旋转的度数为______． 【答案】##122度 【解析】 【分析】本题考查了旋转，由旋转可得，进而由点，，在同一条直线上，可得，即可求解，掌握旋转的性质及旋转角的定义是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得，， ∵要使得点，，在同一条直线上， ∴， 即旋转角为， 故答案为：． 16. 如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角的性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于P，则点P即是所求作的点， 根据轴对称的性质可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴ 此时最小，即最小， ∴的最小值为的长， ∵A是半圆上一个三等分点， ∴， 又∵点B是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴的最小值是． 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法．利用因式分解法把原方程化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可． 【详解】解： 或 18. 已知 是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，求m的值． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出两根之积与两根之和的值，再将化简成两根之积与两根之和的形式，然后代入求值即可． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 依题意得：， ， ， 解得：， ， 经检验： ， 是原方程的解， ， ． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，解题的关键是灵活运用根与系数的关系与代数式变形相结合知识． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，与关于点O成中心对称，与的顶点均在格点上． （1）请在图中直接画出点O； （2）将绕点C顺时针旋转 得到，请画出． 【答案】（1） 如图，点O即为所求； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查中心对称、旋转作图： （1）连接与的两组对称点，交点即为点O； （2）利用格点找出点A，B绕点C顺时针旋转 得到的对应点，顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔5月份及7月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可． 【详解】解：设月增长率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 21. 如图，在中， ，，将绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到，点D刚好落在边上． （1）求n的值； （2）若F是的中点，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）n的值是60 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的判定、直角三角形的有关性质： （1）根据等边三角形的判定和性质以及旋转的性质，求解即可； （2）根据直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质，证明四边形四边相等即可； 熟练掌握菱形的判定方法和直角三角形的有关性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵在中， ，，将绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到， ∴，， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴n的值是60； 【小问2详解】 解：四边形是菱形； 理由：∵，F是的中点， ∴， ∵， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵ 是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 22. 为推广阳光体育“大课间”活动，我市某中学决定在学生中开设A：实心球．B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了多少名学生？ （2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整； （3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率． 【答案】（1）在这项调查中，共调查了150名学生； （2）本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数是45人，所占百分比是30%， 画图如下： （3）刚好抽到同性别学生的概率是． 【解析】 【详解】试题分析：（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数； （2）用抽查的总人数减去A、C、D的人数，求出喜欢“立定跳远”的学生人数，再除以被调查的学生数，求出所占的百分比，再画图即可； （3）用A表示男生，B表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可． 试题解析：（1）根据题意得： 15÷10%=150（名）． 答：在这项调查中，共调查了150名学生； （2）本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数是；150﹣15﹣60﹣30=45（人）， 所占百分比是：×100%=30%， （3）用A表示男生，B表示女生，画图如下： 共有20种情况，同性别学生的情况是8种， 则刚好抽到同性别学生的概率是=． 考点：1.条形统计图2.扇形统计图3.列表法与树状图法． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知:如图和都是等边角形．是延长线上一点，与相交于点．、相交于点，、相交于点． （1）在图①中，求证:； （2）当绕点沿逆时针方向旋转到图②时，________． 【答案】（1）见详解． （2）60°． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质得出，求出，根据推出，即可得到答案； （2）证明，得到，根据三角形的内角和定理，即可解答． 【小问1详解】 证明：和为等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：和都是等边三角形， ， ， 即 ， 在和中，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 24. 某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的销售单价为元/件（），且该商品每天的销量y（件）满足关系式．已知该商品第10天的售价按8折出售，仍然可以获得的利润． （1）求公司生产该商品每件的成本为多少元？ （2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）20元 （2）销售该商品第25天时，每天的利润最大，最大利润是2500元 【解析】 【分析】（1）此题考查了一元一次方程的应用、二次函数的应用． （1）设该公司生产每件商品的成本为a元，该商品第10天的售价按8折出售，仍然可以获得的利润，据此列方程并解方程即可； （2）设第x天的销售利润为W元，根据单件利润乘以当天的销量即可得到W关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：设该公司生产每件商品的成本为a元， 根据题意得：， 解得： 答：该公司生产每件商品的成本为20元； 【小问2详解】 设第x天的销售利润为W元， 则： 当时，W取得最大值，最大值为元． 故销售该商品第天时，每天的利润最大，最大利润是元． 25. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 26. 如图，已知抛物线的顶点坐标为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C，D两点．点P是抛物线上的一个动点． （1）求此抛物线的表达式． （2）求C，D两点坐标及△BCD的面积． （3）若点P在x轴下方的抛物线上．满足，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）C(-1，0)；D(3，0)；6 （3）或 【解析】 【分析】（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解； （2）令y=0，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论； （3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把点代入，得，解得 ， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 由（1）知抛物线的表达式为， 令，则，解得或 ， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴． 【小问3详解】 由（2）知，， ， ∵， ∴， ∴， ∵点P在x轴下方的抛物线上， ∴点P的纵坐标为， ∵抛物线的表达式为， ∴，解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 27. 【探究与证明】 【问题情境】如图1，点为正方形内一点， ，，，将直角三角形 绕点逆时针方向旋转度 点、的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交 于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． 【答案】（1）2 2 （2） ①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得： ， ， ， ， 四边形是矩形， 又 ， 四边形是正方形； ②2 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得 ， ， ，再证四边形是矩形，即可得出结论； ②过点作 于点 ，证 ，得 ， ，则 ，再由勾股定理求解即可； 【小问1详解】 解： ，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 解：①略 ②过点作 于点 ，如图3所示： 则 ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明 是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期九年级学情监测 数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 若关于 的一元二次方程无实数根，则 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 全体实数 2. 一枚质地均匀的正六面体骰子标有数字1到6，抛掷这枚骰子1次，下列事件中，发生可能性最大的是（ ） A. 朝上一面的数字是2 B. 朝上一面的数字是偶数 C. 朝上一面的数字是3的倍数 D. 朝上一面的数字不小于5 3. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感 A. 7 B. 8 C. 448 D. 512 4. “直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 在如图所示的正方形中，点E在边上，把绕点C顺时针旋转得到 ，且，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 直径所对的圆周角是直角 B. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 C. 相等的圆心角，所对的弧相等 D. 经过三点一定可以作圆 7. 如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接 ，则 的长为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，且坐标原点为的中点，点的坐标为．将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（ ）的图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为．给出下列结论：①；②；③图象与轴的另一个交点为；④当时，随的增大而减小；⑤不等式的解集是．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ________________ ．（填一个即可） 12. 在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为___________． 13. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过，则称该三位数为“友好数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“友好数”的概率为_____． 14. 点，都在二次函数的图象上，则______．（选填“”“ ”或“”）． 15. 如图，在 中，，，将 绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，则 旋转的度数为______． 16. 如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 已知 是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，求m的值． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，与关于点O成中心对称，与的顶点均在格点上． （1）请在图中直接画出点O； （2）将绕点C顺时针旋转 得到，请画出． 20. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 21. 如图，在中， ，，将绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到，点D刚好落在边上． （1）求n的值； （2）若F是的中点，判断四边形的形状，并说明理由． 22. 为推广阳光体育“大课间”活动，我市某中学决定在学生中开设A：实心球．B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了多少名学生？ （2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整； （3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知:如图和都是等边角形．是延长线上一点，与相交于点． 、相交于点，、相交于点 ． （1）在图①中，求证:； （2）当绕点沿逆时针方向旋转到图②时，________． 24. 某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的销售单价为元/件（），且该商品每天的销量y（件）满足关系式．已知该商品第10天的售价按8折出售，仍然可以获得的利润． （1）求公司生产该商品每件的成本为多少元？ （2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 26. 如图，已知抛物线的顶点坐标为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C，D两点．点P是抛物线上的一个动点． （1）求此抛物线的表达式． （2）求C，D两点坐标及△BCD的面积． （3）若点P在x轴下方的抛物线上．满足，求点P的坐标． 27. 【探究与证明】 【问题情境】如图1，点为正方形内一点， ，，，将直角三角形 绕点逆时针方向旋转度 点、的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了 上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交 于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $